अवकल बीजगणित: Difference between revisions
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{{about|algebraic study of differential equations|the concept in homological algebra|Differential graded algebra}} | {{about|algebraic study of differential equations|the concept in homological algebra|Differential graded algebra}} | ||
गणित में, | गणित में, अवकल [[बीजगणित]], बड़े स्तर पर गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना [[अंतर समीकरण|अवकल समीकरण]] और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने को ध्यान में रखकर बीजगणित के रूप में अवकल समीकरणों और अवकल संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे [[बहुपद बीजगणित]] का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय प्रकारों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान समूह हैं। [[वेइल बीजगणित]] और ली बीजगणित को अवकल बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है। | ||
विशेष रूप से, अवकल बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा प्रस्तुत किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें अवकल वलय, अवकल क्षेत्र और अवकल बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं। | |||
अवकल क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण [[जटिल संख्या]]ओं पर एक चर में [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत]] कार्यों का क्षेत्र <math>\mathbb{C}(t)</math> है, जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव <math>t</math> है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक अवकल समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) फलन द्वारा उत्पन्न अवकल क्षेत्र पर अवकल बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है। | |||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
जोसेफ रिट ने | जोसेफ रिट ने अवकल बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने अवकल समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को अवकल समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया।{{sfn|Ritt|1932}}{{rp|iii-iv}} उनके प्रयासों से प्रारंभिक बीजगणितीय अवकल समीकरणों की प्रणालियों द्वारा परिभाषित कार्यों के प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स और 2 पुस्तकें, बीजगणितीय दृष्टिकोण और अवकल बीजगणित से अवकल समीकरण।।{{sfn|Ritt|1930}}{{sfn|Ritt|1932}}{{sfn|Ritt|1950}} रिट के छात्र [[एलिस कल्चेन]] ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और <em>अवकल बीजगणित और बीजगणितीय समूह</em> प्रकाशित किया।{{sfn|Kolchin |1973}} | ||
== | ==अवकल वलय== | ||
===परिभाषा=== | ===परिभाषा=== | ||
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व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत <math>\partial (0)=\partial (1) = 0</math> और <math>\partial (-r)=-\partial (r)</math> देती हैं | व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत <math>\partial (0)=\partial (1) = 0</math> और <math>\partial (-r)=-\partial (r)</math> देती हैं | ||
एक | एक अवकल वलय एक [[क्रमविनिमेय वलय]] <math>R</math> है, एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है, <math display="block">\partial_1(\partial_2 (r))=\partial_2(\partial_1 (r))</math> व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए <math>r\in R</math> है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}} जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो सामान्यतः एक <em>साधारण अवकल वलय</em> की बात की जाती है; अन्यथा, कोई <em>आंशिक अवकल वलय</em> की बात करता है | ||
अवकल क्षेत्र अवकल वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक अवकल बीजगणित <math>A</math> एक अवकल क्षेत्र पर <math>K</math> एक अवकल वलय है जिसमें सम्मिलित है <math>K</math> एक सबवलय के रूप में जैसे कि प्रतिबंध <math>K</math> की व्युत्पत्तियों का <math>A</math> की व्युत्पत्ति के बराबर <math>K.</math> (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस स्थिति के लिए पर्याप्त है <math>K</math> एक क्षेत्र नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब <math>K</math> एक क्षेत्र है.) | |||
विट बीजगणित | विट बीजगणित अवकल वलय है जिसमें <math>\Q</math> परिमेय संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित होता है। समान रूप से, यह अवकल बीजगणित <math>\Q</math> है तब से <math>\Q</math> इसे अवकल क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जिस पर प्रत्येक व्युत्पत्ति [[शून्य कार्य]] है। | ||
एक | एक अवकल वलय के <em>स्थिरांक</em> तत्व <math>r</math> हैं ऐसा है कि <math>\partial r=0</math> प्रत्येक व्युत्पत्ति <math>\partial</math> के लिए, अवकल [[सबरिंग|वलय]] के स्थिरांक उपवलय बनाते हैं और भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक उपक्षेत्र बनाते हैं।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–60}} स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे [[स्थिरांक (गणित)|स्थिरांक]] के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। | ||
===मूल सूत्र=== | ===मूल सूत्र=== | ||
निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|पहचान]] में, <math>\delta</math> एक | निम्नलिखित [[पहचान (गणित)|पहचान]] में, <math>\delta</math> एक अवकल वलय <math>R</math> की व्युत्पत्ति है {{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|76}} | ||
* अगर <math>r\in R</math> और <math>c</math> में एक स्थिरांक है (वह है, <math>\delta c=0</math>), तब <math display =block> \delta (c r)= c \delta (r).</math> | * अगर <math>r\in R</math> और <math>c</math> में एक स्थिरांक है (वह है, <math>\delta c=0</math>), तब <math display =block> \delta (c r)= c \delta (r).</math> | ||
* अगर <math>r\in R</math> और <math>u</math> में एक [[इकाई (रिंग सिद्धांत)|इकाई (वलय सिद्धांत)]] <math>R</math> है तब <math display="block"> \delta \left( \frac{r}{u} \right)= \frac{\delta (r) u - r \delta (u)}{u^{2}}</math> | * अगर <math>r\in R</math> और <math>u</math> में एक [[इकाई (रिंग सिद्धांत)|इकाई (वलय सिद्धांत)]] <math>R</math> है तब <math display="block"> \delta \left( \frac{r}{u} \right)= \frac{\delta (r) u - r \delta (u)}{u^{2}}</math> | ||
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* अगर <math>u_1, \ldots, u_n</math> में इकाइयाँ <math>R</math> हैं, और <math>n_1, \ldots, n_n</math> पूर्णांक हैं, किसी के पास <em>[[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] पहचान है:</em> <math display =block> \frac{\delta (u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}}} = e_{1} \frac{\delta( u_{1} ) }{u_{1}} + \dots + e_{n} \frac{\delta( u_{n} ) }{u_{n}}. </math> | * अगर <math>u_1, \ldots, u_n</math> में इकाइयाँ <math>R</math> हैं, और <math>n_1, \ldots, n_n</math> पूर्णांक हैं, किसी के पास <em>[[लघुगणकीय व्युत्पन्न]] पहचान है:</em> <math display =block> \frac{\delta (u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}})}{u_{1}^{e_{1}} \ldots u_{n}^{e_{n}}} = e_{1} \frac{\delta( u_{1} ) }{u_{1}} + \dots + e_{n} \frac{\delta( u_{n} ) }{u_{n}}. </math> | ||
===उच्च क्रम व्युत्पत्तियाँ=== | ===उच्च क्रम व्युत्पत्तियाँ=== | ||
एक <em>व्युत्पत्ति संचालिका</em> या <em>उच्च क्रम व्युत्पत्ति</em>{{citation needed|reason=It is unclear what is the common name in the literature|date=March 2023}} कई व्युत्पत्तियों की [[कार्य संरचना|संरचना]] है। जैसा कि एक | एक <em>व्युत्पत्ति संचालिका</em> या <em>उच्च क्रम व्युत्पत्ति</em>{{citation needed|reason=It is unclear what is the common name in the literature|date=March 2023}} कई व्युत्पत्तियों की [[कार्य संरचना|संरचना]] है। जैसा कि एक अवकल वलय की व्युत्पत्तियों को परिवर्तित किया जाना चाहिए, व्युत्पत्तियों का क्रम तात्पर्य नहीं रखता है, और एक व्युत्पत्ति संक्रियक को इस प्रकार लिखा जा सकता है<math display= block> \delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n},</math>जहाँ <math>\delta_1, \ldots, \delta_n</math> विचाराधीन व्युत्पत्तियां हैं, <math>e_1, \ldots, e_n</math> अतिरिक्त-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और किसी व्युत्पत्ति का घातांक यह दर्शाता है कि संक्रियक में यह व्युत्पत्ति कितनी बार बनाई गई है। | ||
योग <math>o=e_1+ \cdots +e_n</math> व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर <math>o=1</math> व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर <math>o=0</math>, एक में पहचान फलन होता है, जिसे सामान्यतः क्रम शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति संक्रियक माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के समूह पर एक क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं। | योग <math>o=e_1+ \cdots +e_n</math> व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर <math>o=1</math> व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर <math>o=0</math>, एक में पहचान फलन होता है, जिसे सामान्यतः क्रम शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति संक्रियक माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के समूह पर एक क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं। | ||
किसी तत्व का व्युत्पन्न <math>x</math> | किसी तत्व का व्युत्पन्न <math>x</math> अवकल वलय <math>x</math> का व्युत्पत्ति संक्रियक का अनुप्रयोग है अर्थात्, उपरोक्त संकेतन <math>\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x)</math> के साथ है, एक <em>उचित व्युत्पन्न</em> सकारात्मक क्रम का व्युत्पन्न है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}} | ||
===[[विभेदक आदर्श]]=== | ===[[विभेदक आदर्श|अवकल आदर्श]]=== | ||
<em> | <em>अवकल आदर्श</em> <math>I</math> अवकल वलय <math>R</math> वलय का एक आदर्श है <math>R</math> जो वलय की व्युत्पत्ति के तहत बंद (स्थिर) है; वह <math display="inline"> \partial x\in I</math> है, प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial</math> और प्रत्येक <math>x\in I</math> है। अवकल आदर्श को <em>उचित</em> कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो अवकल आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है। | ||
अवकल आदर्श का <em>मूलांक</em> बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। अवकल आदर्श का मूलांक भी अवकल आदर्श है। मौलिक या पूर्ण अवकल आदर्श अवकल आदर्श है जो इसके मौलिक के बराबर होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|3–4}} एक अभाज्य अवकल आदर्श एक अवकल विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य अवकल आदर्श प्रायः एक मूल अवकल आदर्श होता है। | |||
रिट की एक खोज यह है कि, यद्यपि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत | रिट की एक खोज यह है कि, यद्यपि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत अवकल आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागत अवकल आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें अवकल बीजगणित में मौलिक बनाता है। | ||
अवकल आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक अवकल आदर्श है, और मूल अवकल आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल अवकल आदर्श है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}यह इस प्रकार है,अवकल वलय का <math>S</math>एक उपसमुच्चय दिया गया है, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी अवकल आदर्शों और सभी मौलिक अवकल आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह सम्मिलित होता है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}{{sfn|Buium|1994}}{{rp|21}} | |||
<math>S</math> द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय <math>S</math> है और सामान्यतः इसे <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle</math> इस रूप में दर्शाया जाता है | <math>S</math> द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय <math>S</math> है और सामान्यतः इसे <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle</math> इस रूप में दर्शाया जाता है | ||
<math>S</math> द्वारा उत्पन्न | <math>S</math> द्वारा उत्पन्न अवकल आदर्श के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय <math>S</math> है और इन तत्वों के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न; इसे सामान्यतः <math>[S]</math> रूप में दर्शाया जाता है जब <math>S</math> परिमित है, <math>[S]</math> सामान्यतः बीजगणितीय आदर्श के रूप में [[अंतिम रूप से उत्पन्न आदर्श|अंतिम रूप से उत्पन्र्]] नहीं होता है। | ||
<math>S</math> द्वारा उत्पन्न मौलिक | <math>S</math> द्वारा उत्पन्न मौलिक अवकल आदर्श सामान्यतः <math>\{S\}</math> के रूप में दर्शाया जाता है अन्य दो वाद की तरह इसके तत्व को चित्रित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है। | ||
== | ==अवकल बहुपद== | ||
अवकल क्षेत्र पर अवकल बहुपद <math>K</math> अवकल समीकरण की अवधारणा का एक औपचारिकरण है जैसे कि समीकरण में दिखाई देने वाले ज्ञात कार्य <math>K</math> संबंधित हैं और अनिश्चित अज्ञात कार्यों के प्रतीक हैं। | |||
तो चलो <math>K</math> एक | तो चलो <math>K</math> एक अवकल क्षेत्र हो, जो विशिष्ट रूप से (लेकिन जरूरी नहीं) परिमेय भिन्नों का क्षेत्र है <math>K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)</math> (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित <math>\partial_i</math> ऐसा है कि <math>\partial_i x_i=1</math> और <math>\partial_i x_j=0</math> अगर <math>i\neq j</math> (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)। | ||
वलय को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में | वलय को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में अवकल बहुपदों का <math>Y=\{y_1,\ldots, y_n\}</math> व्युत्पत्तियों के साथ <math>\partial_1, \ldots, \partial_n,</math> एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है <math>\Delta y_i,</math> जहाँ <math>\Delta</math> क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर {{math|1}} है। इस संकेतन के साथ, <math>K \{ Y \}</math> इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है)। विशेषकर, यदि <math>n=1,</math> के पास | ||
:<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | :<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | ||
यहां तक कि जब <math>n=1,</math> | यहां तक कि जब <math>n=1,</math> अवकल बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। यद्यपि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। | ||
सबसे पहले, | सबसे पहले, अवकल बहुपद की सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की सीमित संख्या सम्मिलित होती है। इसका तात्पर्य यह है कि बहुपदों का प्रत्येक गुण जिसमें बहुपदों की सीमित संख्या सम्मिलित होती है, अवकल बहुपदों के लिए सत्य रहता है। विशेष रूप से, सबसे बड़े सामान्य भाजक उपस्थित हैं, और अवकल बहुपदों की वलय [[Index.php?title=अद्वितीय गुणनखंडन|अद्वितीय गुणनखंडन]] कार्यक्षेत्र है। | ||
दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, | दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, अवकल बहुपदों के वलय सम्मिलित हैं <math>K</math> मूल अवकल आदर्शों पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है। यह रिट का प्रमेय इसके सामान्यीकरण से निहित है, जिसे कभी-कभी <em>रिट-रौडेनबश आधार प्रमेय</em> भी कहा जाता है जो दावा करता है कि यदि <math>R</math> <em>रिट बीजगणित</em> है (वह, एक अवकल वलय है जिसमें तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित है),{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|12}} जो परंपरागत अवकल आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर अवकल बहुपद की वलय <math>R\{y\}</math> एक ही गुणधर्म को संतुष्ट करता है (प्रमेय को पुनरावृत्त रूप से लागू करके एकल चर से बहुभिन्नरूपी विषय चला जाता है)।{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|45,48}}{{rp|56–57}}{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|126–129}} | ||
नोथेरियन गुणधर्म का तात्पर्य है कि, | नोथेरियन गुणधर्म का तात्पर्य है कि, अवकल बहुपद की एक वलय में, प्रत्येक परंपरागत अवकल आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा परंपरागत अवकल आदर्श है जिसमें बहुपद का एक सीमित समूह होता है।{{sfn|Marker|2000}} यह जनरेटर के ऐसे सीमित समूह द्वारा एक परंपरागत अवकल आदर्श का प्रतिनिधित्व करने और इन आदर्शों के साथ गणनाओं की अनुमति देता है। यद्यपि, बीजगणितीय विषय की कुछ सामान्य गणनाओं को बढ़ाया नहीं जा सकता है। विशेष रूप से दो मौलिक अवकल आदर्शों की समानता के मौलिक अवकल आदर्श में किसी तत्व की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए कोई कलन विधि ज्ञात नहीं है। | ||
नोथेरियन गुणधर्म का एक और परिणाम यह है कि एक परंपरागत | नोथेरियन गुणधर्म का एक और परिणाम यह है कि एक परंपरागत अवकल आदर्श को विशिष्ट रूप से प्रधान अवकल आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आदर्श के <em>आवश्यक प्रधान घटक</em> कहा जाता है।{{sfn|Hubert|2002}}{{rp|8}} <!-- | ||
An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | ||
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==उन्मूलन विधियाँ== | ==उन्मूलन विधियाँ== | ||
<em>[[उन्मूलन सिद्धांत|उन्मूलन विधियाँ]]</em> कलन विधि हैं जो | <em>[[उन्मूलन सिद्धांत|उन्मूलन विधियाँ]]</em> कलन विधि हैं जो अवकल समीकरणों के समूह से व्युत्पन्न के एक निर्दिष्ट समूह को प्राथमिकता से हटा देते हैं, जो सामान्यतः अवकल समीकरणों के समूह को उत्तम ढंग से समझने और हल करने के लिए किया जाता है। | ||
उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में <em>विशेषता समूह विधियों की विधि</em>, | उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में <em>विशेषता समूह विधियों की विधि</em>, अवकल ग्रोबनेर आधार विधियां और [[परिणामी]] आधारित विधियां सम्मिलित हैं।{{sfn|Kolchin |1973}}{{sfn|Li|Yuan|2019}}{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{sfn|Mansfield|1991}}{{sfn|Ferro|2005}}{{sfn|Chardin|1991}}{{sfn|Wu |2005b}} | ||
उन्मूलन कलन विधि में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में 1) श्रेणी व्युत्पन्न, बहुपद और बहुपद समूह, 2) बहुपद के प्रमुख व्युत्पन्न, प्रारंभिक और पृथक्करण की पहचान करना, 3) बहुपद कमी, और 4) विशेष बहुपद समूह बनाना सम्मिलित हैं। | उन्मूलन कलन विधि में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में 1) श्रेणी व्युत्पन्न, बहुपद और बहुपद समूह, 2) बहुपद के प्रमुख व्युत्पन्न, प्रारंभिक और पृथक्करण की पहचान करना, 3) बहुपद कमी, और 4) विशेष बहुपद समूह बनाना सम्मिलित हैं। | ||
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: <math display="inline"> \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. </math> | : <math display="inline"> \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. </math> | ||
: <math display="inline"> \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. </math> | : <math display="inline"> \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. </math> | ||
प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और [[एकपदी क्रम]] व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को श्रेणी करके व्युत्पन्न को श्रेणी करता है। पूर्णांक टपल | प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और [[एकपदी क्रम]] व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को श्रेणी करके व्युत्पन्न को श्रेणी करता है। पूर्णांक टपल अवकल अनिश्चित, व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक की पहचान करता है और व्युत्पन्न के क्रम की पहचान कर सकता है। श्रेणी के प्रकारों में सम्मिलित हैं:{{sfn|Ferro|Gerdt|2003}}{{rp|83}} | ||
* <em>क्रमबद्ध श्रेणी</em>: <math> \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | * <em>क्रमबद्ध श्रेणी</em>: <math> \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | ||
* <em>उन्मूलन श्रेणी</em>: <math>\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | * <em>उन्मूलन श्रेणी</em>: <math>\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | ||
इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल | इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल अवकल अनिश्चित और व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक और [[शब्दकोषीय क्रम]] <math display="inline"> \ge_\text{lex}</math> की पहचान करता है, व्युत्पन्न की श्रेणी निर्धारित करता है।{{sfn|Wu |2005a}}{{rp|4}} | ||
: <math>\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) </math>. | : <math>\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) </math>. | ||
: <math> \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. </math><br /> | : <math> \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. </math><br /> | ||
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* <em>प्रारंभिक</em> गुणांक <math> I_p=a_d</math>है। | * <em>प्रारंभिक</em> गुणांक <math> I_p=a_d</math>है। | ||
* <em>श्रेणी</em> बहुपद की डिग्री तक उठाया गया प्रमुख व्युत्पन्न <math>u_p^d</math> है। | * <em>श्रेणी</em> बहुपद की डिग्री तक उठाया गया प्रमुख व्युत्पन्न <math>u_p^d</math> है। | ||
* <em> | * <em>अवकल रूप से बंद</em> क्षेत्रव्युत्पन्न <math> S_p= \frac{\partial p}{\partial u_p}</math>है। | ||
वे समूह को अलग कर देते <math>S_A= \{ S_p \mid p \in A \} </math> हैं। प्रारंभिक समूह है <math>I_A= \{ I_p \mid p \in A \} </math>हैं। और संयुक्त समूह <math display="inline">H_A= S_A \cup I_A </math>है।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|159}} | वे समूह को अलग कर देते <math>S_A= \{ S_p \mid p \in A \} </math> हैं। प्रारंभिक समूह है <math>I_A= \{ I_p \mid p \in A \} </math>हैं। और संयुक्त समूह <math display="inline">H_A= S_A \cup I_A </math>है।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|159}} | ||
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<em>स्वतः कम किए गए</em> बहुपद समूह में प्रत्येक बहुपद समूह के प्रत्येक दूसरे बहुपद के संबंध में कम हो जाता है। प्रत्येक स्वतः कम किया गया समूह परिमित है। एक स्वतः कम किया गया समूह <em>[[त्रिकोणीय अपघटन|त्रिकोणीय]]</em> है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बहुपद तत्व का एक अलग अग्रणी व्युत्पन्न होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|6}}{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|75}} | <em>स्वतः कम किए गए</em> बहुपद समूह में प्रत्येक बहुपद समूह के प्रत्येक दूसरे बहुपद के संबंध में कम हो जाता है। प्रत्येक स्वतः कम किया गया समूह परिमित है। एक स्वतः कम किया गया समूह <em>[[त्रिकोणीय अपघटन|त्रिकोणीय]]</em> है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बहुपद तत्व का एक अलग अग्रणी व्युत्पन्न होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|6}}{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|75}} | ||
<em>रिट का न्यूनीकरण कलन विधि</em> पूर्णांकों की पहचान करता <math display="inline">i_{A_{k}}, s_{A_{k}}</math> है और एक | <em>रिट का न्यूनीकरण कलन विधि</em> पूर्णांकों की पहचान करता <math display="inline">i_{A_{k}}, s_{A_{k}}</math> है और एक अवकल बहुपद को रूपांतरित करता है <math display="inline">f</math> निम्न या समान श्रेणी वाले शेष बहुपद के लिए बहुपद के सबसे बड़े सामान्य भाजक का उपयोग करना <math display="inline"> f_{red}</math> स्वतः कम किए | ||