डायगामा फंक्शन

For बार्न्स का दो चरों का गामा फलन, see दोहरा गामा फ़ंक्शन.

डिगामा फलन $\psi (z)$,
डोमेन रंग का उपयोग करके कल्पना की गई

डिगामा के वास्तविक भाग प्लॉट और अगले तीन बहुगामा वास्तविक रेखा के साथ फलन करते हैं

गणित में, डिगामा फलन को गामा फलन के लघुगणकीय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$\psi (z)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}.$

यह पॉलीगामा फलन में से प्रथम होता है। यह फलन कठोरता से बढ़ रहा है और मोनोटोनिक फलन और $(0,\infty )$ पर जटिलता से अवतल है , और यह स्पर्शोन्मुख विश्लेषण के रूप में व्यवहार करता है

$\psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}},$

इस प्रकार से कुछ असीम रूप से छोटे सकारात्मक स्थिरांक $\varepsilon$. . . . के साथ सेक्टर $|\arg z|<\pi -\varepsilon$ में उच्च तर्क ($|z|\rightarrow \infty$) के लिए।

डिगामा फलन को सदैव $\psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)$ इस रूप में दर्शाया जाता है या Ϝ (पुरातन ग्रीक व्यंजन डिगामा का अपरकेस रूप जिसका अर्थ है गामा डबल-गामा) के रूप में दर्शाया जाता है।।

हार्मोनिक संख्याओं से संबंध

गामा फलन समीकरण का पालन करता है

$\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,$

z के संबंध में व्युत्पन्न लेने से प्राप्त होता है:

$\Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,$

Γ(z + 1) या समकक्ष zΓ(z) से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:

${\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}$

या:

$\psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}$

चूँकि हार्मोनिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांकों n के लिए परिभाषित की जाती हैं जैसा

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

डिगामा फलन उनसे संबंधित होती है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,$

जहाँ H₀ = 0, और γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। अर्ध-पूर्णांक तर्कों के लिए डिगामा फलन मान लेता है$\psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.$

अभिन्न प्रतिनिधित्व

यदि का वास्तविक भाग z सकारात्मक है तो गॉस के कारण डिगामा फलन में निम्नलिखित अभिन्न प्रतिनिधित्व होता है:

$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.$

इस अभिव्यक्ति को यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए अभिन्न पहचान के साथ संयोजित करने पर $\gamma$ प्राप्त होता देता है:

$\psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.$

इंटीग्रल यूलर की हार्मोनिक संख्या $H_{z}$, है अतः पिछला सूत्र भी लिखा जा सकता है

$\psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.$

एक परिणाम पुनरावृत्ति संबंध का निम्नलिखित सामान्यीकरण है:

$\psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.$

डिरिचलेट के कारण अभिन्न प्रतिनिधित्व है: :$\psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.$

$\psi$ के स्पर्शोन्मुख विस्तार की प्रारंभिक रूप से देने के लिए गॉस के अभिन्न प्रतिनिधित्व में हेरफेर किया जा सकता है .

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.$

इस प्रकार से यह सूत्र गामा फलन के लिए बिनेट के पहले अभिन्न अंग का भी परिणाम है। इंटीग्रल को लाप्लास परिवर्तन के रूप में पहचाना जा सकता है।

गामा फलन के लिए बिनेट का दूसरा इंटीग्रल अलग सूत्र $\psi$ देता है जो स्पर्शोन्मुख विस्तार के पहले कुछ पद भी देता है:

$\psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

की परिभाषा से $\psi$ और गामा फलन का अभिन्न प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है

$\psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,$

साथ $\Re z>0$.

अनंत उत्पाद प्रतिनिधित्व

फलन $\psi (z)/\Gamma (z)$ संपूर्ण फलन है, और इसे अनंत उत्पाद द्वारा दर्शाया जा सकता है

${\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.$

यहां $x_{k}$, $\psi$ का kth शून्य है (नीचे देखें), और $\gamma$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

नोट: डिगामा फलन ${\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)$ की परिभाषा के कारण यह भी $-{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}$ के समान है.

श्रृंखला प्रतिनिधित्व

श्रृंखला सूत्र

गामा फलन के लिए यूलर का उत्पाद सूत्र, फलन समीकरण और यूलर-माशेरोनी स्थिरांक के लिए पहचान के साथ मिलकर, डिगामा फलन के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति उत्पन्न करता है, जो नकारात्मक पूर्णांक (अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन 6.3.16) के बाहर जटिल विमान में मान्य है::${\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}$

समान रूप से,

${\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}$

तर्कसंगत फलन के योग का मूल्यांकन

उपरोक्त पहचान का उपयोग फॉर्म के योग का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},$

जहाँ p(n) और q(n) के बहुपद n हैं .

जटिल क्षेत्र में u_n पर आंशिक अंश निष्पादित करना, उस स्थिति में जब q(n) की सभी जड़ें सरल जड़ें हों,

$u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.$

श्रृंखला को एकाकार करने के लिए,

$\lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,$

अन्यथा श्रृंखला हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) से उच्च होगी और इस प्रकार अलग हो जाएगी। इस तरह

$\sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,$

और

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}$

उच्च रैंक पॉलीगामा फलन के श्रृंखला विस्तार के साथ सामान्यीकृत सूत्र इस प्रकार दिया जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{(r_{k}-1)}(b_{k}),$

परंतु बाईं ओर की श्रृंखला अभिसरण होती है।

टेलर श्रृंखला

डिगामा में एक तर्कसंगत ज़ेटा श्रृंखला है, जो टेलर श्रृंखला द्वारा z = 1 पर दी गई है। यह है.

$\psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},$

जिसके लिए अभिसरण होता है |z| < 1. यहाँ, ζ(n) रीमैन ज़ेटा फलन है। यह श्रृंखला हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन के लिए संबंधित टेलर की श्रृंखला से सरल ी से ली गई है।

न्यूटन श्रृंखला

डिगामा के लिए न्यूटन श्रृंखला, जिसे कभी-कभी स्टर्न श्रृंखला भी कहा जाता है, पढ़ता

$\psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}$

जहाँ (^s
_k) द्विपद गुणांक है. इसका सामान्यीकरण भी किया जा सकता है

$\psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,$

जहाँ m = 2,3,4,...

ग्रेगरी के गुणांक, कॉची संख्या और दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद के साथ श्रृंखला

इस प्रकार से केवल तर्कसंगत तर्कों के लिए तर्कसंगत गुणांक वाले डिगामा के लिए विभिन्न श्रृंखलाएं उपस्तिथ हैं। विशेष रूप से, ग्रेगरी गुणांक वाली श्रृंखला ग्रेगरी के गुणांक G_n है

$\psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

$\psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,$

जहाँ (v)_n गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है (v)_n = v(v+1)(v+2) ... (v+n-1), G_n(k) उच्च क्रम के ग्रेगरी गुणांक हैं G_n(1) = G_n, Γ गामा फलन है और ζ हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन है। दूसरी तरह की कॉची संख्याओं के साथ समान श्रृंखला C_n पढ़ता है:

$\psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,$

दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद वाली श्रृंखला का रूप निम्नलिखित है: $\psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,$

जहाँ ψ_n(a) जनरेटिंग द्वारा परिभाषित दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद हैं

समीकरण

${\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,$

इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है

$\psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots$

जहां बहुपद N_n,r(a) निम्नलिखित जनरेटिंग समीकरण द्वारा दिए गए हैं

${\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,$

जिससे N_n,1(a) = ψ_n(a). गामा फलन के लघुगणक के साथ समान अभिव्यक्तियों में ये सूत्र सम्मिलित होते हैं: $\psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,$

और $\psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},$

जहाँ $\Re (v)>-a$ और $r=2,3,4,\ldots$.

प्रतिबिंब सूत्र

डिगामा फलन गामा फलन के समान प्रतिबिंब सूत्र को संतुष्ट करता है:

$\psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x$

पुनरावृत्ति सूत्र और लक्षण वर्णन

डिगामा फलन पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

$\psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.$

इस प्रकार इसे दूरबीन 1 / x, कहा जा सकता है के लिए है

$\Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}$

जहाँ Δ फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर है। यह हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) के आंशिक योग के पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है, इस प्रकार सूत्र का अर्थ है

$\psi (n)=H_{n-1}-\gamma$

जहाँ γ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

अधिक सामान्यतः, किसी के समीप होता है

$\psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k}}\right).$

के लिए $\mathrm {Re} (z)>0$. अन्य शृंखला विस्तार है:

$\psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}$,

जहाँ $B_{2j}$ बर्नौली संख्याएँ हैं। यह शृंखला सभी z के लिए विचलन करती है और इसे स्टर्लिंग श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

वास्तव में, ψ फलन समीकरण का एकमात्र समाधान है

$F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}$

यह R⁺ पर मोनोटोनिक है और F(1) = −γ को संतुष्ट करता है। यह तथ्य इसके पुनरावृत्ति समीकरण और उत्तलता प्रतिबंध को देखते हुए Γ फलन की विशिष्टता का तुरंत अनुसरण करता है। इसका तात्पर्य उपयोगी अंतर समीकरण से है:

$\psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}$

डिगामा फलन से जुड़े कुछ सीमित योग

डिगामा फलन के लिए कई परिमित योग सूत्र हैं। मूल योग सूत्र, जैसे

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),$

$\sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

गॉस के कारण हैं। अधिक जटिल सूत्र, जैसे

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z}$

$\sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}$

कुछ आधुनिक लेखकों के फलन के कारण हैं (उदाहरण के लिए ब्लागॉचिन (2014) में परिशिष्ट बी देखें)).

हमारे समीप भी है

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+...+{\frac {1}{k-1}}-\gamma ={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(1+{\frac {n}{k}}\right),k=2,3,...$

गॉस का डिगामा प्रमेय

धनात्मक पूर्णांकों के लिए r और m (r < m), डिगामा फलन को यूलर के स्थिरांक और प्रारंभिक फलन की सीमित संख्या के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है

$\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)$

जो, अपने पुनरावृत्ति समीकरण के कारण, सभी तर्कसंगत तर्कों के लिए मान्य है।

स्पर्शोन्मुख विस्तार

डिगामा फलन में स्पर्शोन्मुख विस्तार होता है

$\psi (z)\sim \ln z+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-n)}{z^{n}}}=\ln z-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{n}}{nz^{n}}},$

जहाँ B_k है kth बर्नौली संख्या और ζ रीमैन ज़ेटा फलन है। इस विस्तार की प्रथम कुछ नियम इस प्रकार से हैं:

$\psi (z)\approx \ln z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {1}{132z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .$

चूंकि अनंत योग किसी भी z के लिए अभिसरित नहीं होता है, जैसे-जैसे z बढ़ता है, कोई भी परिमित आंशिक योग तीव्र से स्पष्ट हो जाता है।

योग में यूलर-मैकलॉरिन फॉर्मूला प्रयुक्त करके विस्तार पाया जा सकता है

$\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)$

विस्तार को गामा फलन के लिए बिनेट के दूसरे अभिन्न सूत्र से आने वाले अभिन्न प्रतिनिधित्व से भी प्राप्त किया जा सकता है। विस्तार $t/(t^{2}+z^{2})$ ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में और बर्नौली संख्याओं के अभिन्न प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित करने से उपरोक्त के समान ही स्पर्शोन्मुख श्रृंखला बनती है। इसके अतिरिक्त , श्रृंखला के केवल सीमित रूप से कई पदों का विस्तार करने से स्पष्ट त्रुटि पद के साथ सूत्र मिलता है:

$\psi (z)=\ln z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.$

असमानताएं

कब x > 0, फलन

$\ln x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)$

पूर्ण रूप से एकरस और विशेष रूप से सकारात्मक है। यह गामा फलन के लिए बिनेट के पहले इंटीग्रल से आने वाले इंटीग्रल प्रतिनिधित्व पर प्रयुक्त मोनोटोन फ़ंक्शंस पर बर्नस्टीन के प्रमेय का परिणाम है। इसके अतिरिक्त, उत्तलता असमानता $1+t\leq e^{t}$, द्वारा इस प्रतिनिधित्व में समाकलन $e^{-tz}/2$. द्वारा ऊपर से घिरा हुआ होता है

${\frac {1}{x}}-\ln x+\psi (x)$पूर्णतः एकरस भी है। यह इस प्रकार है कि, सभी x > 0, के लिए अनुसरण करता है,

$\ln x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \ln x-{\frac {1}{2x}}.$

यह होर्स्ट अल्ज़र के एक प्रमेय को पुनः प्राप्त करता है। एल्ज़र ने यह भी प्रमाणित किया कि s ∈ (0, 1) के लिए,

${\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),$

संबंधित सीमाएँ एलेज़ोविक, जिओर्डानो और पेकारिक द्वारा प्राप्त की गईं, जिन्होंने यह प्रमाणित किया x > 0 , के लिए,

$\ln(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\ln(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},$

जहाँ $\gamma =-\psi (1)$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। स्थिरांक ($0.5$ और $e^{-\gamma }\approx 0.56$) इन सीमाओं में प्रदर्शित होना सर्वोत्तम संभव होती है।

इस प्रकार से माध्य मान प्रमेय गौत्शी की असमानता के निम्नलिखित अनुरूप का तात्पर्य करता है: यदि x > c, जहाँ c ≈ 1.461 डिगामा फलन का अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक मूल है, और यदि s > 0, तब

$\exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).$

इसके अतिरिक्त , समानता केवल यदि और केवल यदि ही मान्य s = 1 है .

शास्त्रीय गामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता से प्रेरित होकर, होर्ज्ट अल्ज़र और ग्राहम जेमिसन ने अन्य संवाद के अतिरिक्त , डिगामा फलन के लिए हार्मोनिक माध्य-मूल्य असमानता प्रमाणित की:

$-\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}$ के लिए $x>0$

समानता यदि और केवल यदि ही मान्य $x=1$ है .

गणना और समीपता

जब x, का वास्तविक भाग बड़ा होता है तो स्पर्शोन्मुख विस्तार ψ(x) की गणना करने का एक सरल विधि देता है। छोटे x के लिए ψ(x) की गणना करने के लिए, पुनरावृत्ति संबंध

$\psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)$

इस प्रकार से x के मान को उच्च मान पर स्थानांतरित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। बील उपरोक्त पुनरावृत्ति का उपयोग करके x को 6 से अधिक मान पर स्थानांतरित करने और फिर उपरोक्त विस्तार को x¹⁴ कट ऑफ से ऊपर के शब्दों के साथ प्रस्तुत करने का सुझाव देता है, जो "पर्याप्त से अधिक स्पष्टतः " (शून्य के समीप को छोड़कर कम से कम 12 अंक) उत्पन्न करता है

जैसे ही x अनंत तक जाता है, ψ(x) मनमाने ढंग से ln(x − 1/2) और ln x. दोनों के समीप आ जाता है। x + 1 से x तक नीचे जाने पर, ψ1 / x से घटता है, ln (x + 1/2) / (x − 1/2), से घटता है, जो 1 / x, से अधिक है , और ln x ln (1 + 1 / x) से घटता है, जो 1 / x. से कम है। इससे हम देखते हैं कि 1/2, से अधिक किसी भी धनात्मक x के लिए,

$\psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)$

या, किसी भी सकारात्मक के लिए x,

$\exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).$

इस प्रकार से उच्च x के लिए घातीय व्यय ψ(x) लगभग x − 1/2 है, जिससे छोटे x, पर x, के समीप हो जाता है ,x = 0. पर 0 के समीप पहुंच जाता है। x < 1 के लिए, हम इस तथ्य के आधार पर सीमा की गणना कर सकते हैं कि 1 और 2 के मध्य , ψ(x) ∈ [−γ, 1 − γ] इसलिए

$\psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)$

या

$\exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).$

इस प्रकार से ψ, के लिए उपरोक्त एसिम्प्टोटिक श्रृंखला से, कोई व्यक्ति exp(−ψ(x)) के लिए एक एसिम्प्टोटिक श्रृंखला प्राप्त कर सकता है। श्रृंखला समग्र व्यवहार से अच्छी तरह मेल खाती है, यानी, यह बड़े तर्कों के लिए असम्बद्ध रूप से व्यवहार करती है, और मूल में असीमित बहुलता का शून्य भी है।

${\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots$

यह टेलर के विस्तार के समान है exp(−ψ(1 / y)) पर y = 0, जिससे यह अभिसरण नहीं होता है। (फलन अनंत पर विश्लेषणात्मक फलन नहीं है।) समान श्रृंखला उपस्तिथ है exp(ψ(x)) जो शुरू होता है $\exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.$

यदि कोई इसके लिए स्पर्शोन्मुख श्रृंखला की गणना करता है ψ(x+1/2) इससे पता चलता है कि कोई विषम शक्तियाँ नहीं हैं x (कोई नहीं है x⁻¹पद). इससे निम्नलिखित असममित विस्तार होता है, जो सम क्रम की कंप्यूटिंग शर्तों को बचाता है।

$\exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots$

विशेष मूल्य

1. गॉस के डिगामा प्रमेय|गॉस के डिगामा प्रमेय के परिणामस्वरूप, डिगामा फलन में तर्कसंगत संख्याओं के लिए बंद रूप में मान होते हैं। कुछ नीचे सूचीबद्ध हैं:

${\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left({\sqrt {2}}+1\right)-\ln \left({\sqrt {2}}-1\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}$

इसके अतिरिक्त , का लघुगणकीय व्युत्पन्न लेकर $|\Gamma (bi)|^{2}$ या $|\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}$ जहाँ $b$ वास्तविक मूल्य है, इसका अनुमान सरल ी से लगाया जा सकता है

$\operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),$

$\operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).$

गॉस के डिगामा प्रमेय के अतिरिक्त , सामान्य रूप से वास्तविक भाग के लिए ऐसा कोई बंद सूत्र ज्ञात नहीं है। उदाहरण के लिए, हमारे समीप काल्पनिक इकाई पर संख्यात्मक सन्निकटन है

$\operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.$

डिगामा फलन की जड़ें

डिगामा फलन के मूल कॉम्प्लेक्स-मूल्यवान गामा फलन के सैडल बिंदु हैं। इस प्रकार वे सभी वास्तविक रेखाएँ या वास्तविक बीजगणित में स्थित हैं। सकारात्मक वास्तविक अक्षर पर वास्तविक वास्तविक-मूल्यवान गामा फलन R⁺ का अद्वितीय न्यूनतम है x₀ = 1.46163214496836234126.... अन्य सभी ऋणात्मक अक्ष पर ध्रुवों के मध्य एकल होते हैं:

x₁ = −0.50408300826445540925...

x₂ = −1.57349847316239045877...

x₃ = −2.61072086844414465000...

x₄ = −3.63529336643690109783...

$\vdots$

पहले से ही 1881 में, चार्ल्स हर्मिट ने अवलोकन किया था वह

$x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)$

स्पर्शोन्मुख रूप से धारण करता है। जड़ों के स्थान का उत्तम अनुमान इसके द्वारा दिया गया है

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2$

और और शब्द का प्रयोग करने पर यह और भी उत्तम हो जाता है

$x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1$

जो दोनों प्रतिबिंब सूत्र से निकलते हैं

$0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}$

और ψ(x_n) प्रतिस्थापित करना इसके अभिसारी स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा नहीं। इस विस्तार का सही दूसरा पद 1 / 2n है , जहां दिया गया छोटा n के साथ जड़ों का अनुमान लगाने में अच्छा काम करता है .

हर्माइट के सूत्र का और सुधार दिया जा सकता है: :

$x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).$

शून्य के संबंध में, निम्नलिखित अनंत योग पहचान वर्तमान समय में इस्तवान मेज़ो और माइकल हॉफमैन द्वारा सिद्ध की गई थीं

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}$

सामान्यतः , फलन

$Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}$

निर्धारित किया जा सकता है और उद्धृत लेखकों द्वारा इसका विस्तार से अध्ययन किया गया है।

निम्नलिखित परिणाम :

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}$

भी सच है.

नियमितीकरण

डिगामा फलन अपसारी अभिन्नों के नियमितीकरण में प्रकट होता है

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},$

इस अभिन्न को भिन्न सामान्य हार्मोनिक श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिससे निम्नलिखित मान को श्रृंखला से जोड़ा जा सकता है

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).$

यह भी देखें

• पॉलीगामा फलन
• त्रिगामा फलन
• डिगामा फलन का चेबीशेव बहुपद Wimp, Jet (1961). "अभिन्न परिवर्तनों के लिए बहुपद सन्निकटन". Math. Comp. 15 (74): 174–178. doi:10.1090/S0025-5718-61-99221-3.

बाहरी संबंध

• OEIS sequence A020759 (Decimal expansion of (-1)*Gamma'(1/2)/Gamma(1/2) where Gamma(x) denotes the Gamma function)—psi(1/2)

OEIS: A047787 psi(1/3), OEIS: A200064 psi(2/3), OEIS: A020777 psi(1/4), OEIS: A200134 psi(3/4), OEIS: A200135 to OEIS: A200138 psi(1/5) to psi(4/5).