अवकल बीजगणित: Difference between revisions
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==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। | जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को विभेदक समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया।{{sfn|Ritt|1932}}{{rp|iii-iv}} उनके प्रयासों से एक प्रारंभिक पेपर <em>मैनिफोल्ड्स ऑफ फंक्शन्स डिफाइन्ड बाय सिस्टम्स ऑफ अलजेब्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन</em> और 2 किताबें, <em>डिफरेंशियल इक्वेशन फ्रॉम द अलजेब्रिक स्टैंडपॉइंट</em> और <em>डिफरेंशियल अलजेब्रा</em> प्रकाशित हुईं।। उन्हें>.{{sfn|Ritt|1930}}{{sfn|Ritt|1932}}{{sfn|Ritt|1950}} रिट के छात्र [[एलिस कल्चेन]] ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और <em>डिफरेंशियल अलजेब्रा एंड अलजेब्रिक ग्रुप्स</em> प्रकाशित किया।{{sfn|Kolchin |1973}} | ||
==विभेदक वलय== | ==विभेदक वलय== | ||
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<em>विभेदक आदर्श</em> <math>I</math> विभेदक वलय <math>R</math> वलय का एक आदर्श है <math>R</math> जो वलय की व्युत्पत्ति के तहत बंद (स्थिर) है; वह <math display="inline"> \partial x\in I</math> है, प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial</math> और प्रत्येक <math>x\in I</math> है। विभेदक आदर्श को <em>उचित</em> कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो विभेदक आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है। | <em>विभेदक आदर्श</em> <math>I</math> विभेदक वलय <math>R</math> वलय का एक आदर्श है <math>R</math> जो वलय की व्युत्पत्ति के तहत बंद (स्थिर) है; वह <math display="inline"> \partial x\in I</math> है, प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial</math> और प्रत्येक <math>x\in I</math> है। विभेदक आदर्श को <em>उचित</em> कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो विभेदक आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है। | ||
विभेदक आदर्श का <em>मूलांक</em> बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। विभेदक आदर्श का मूलांक भी विभेदक आदर्श है। | विभेदक आदर्श का <em>मूलांक</em> बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। विभेदक आदर्श का मूलांक भी विभेदक आदर्श है। मौलिक या पूर्ण विभेदक आदर्श विभेदक आदर्श है जो इसके मौलिक के बराबर होता है।{{sfn|Sit|2002}}{{rp|3–4}} एक अभाज्य विभेदक आदर्श एक विभेदक विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य विभेदक आदर्श हमेशा एक मूल विभेदक आदर्श होता है। | ||
रिट की एक खोज यह है कि, हालांकि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत विभेदक आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागतविभेदक आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें विभेदक बीजगणित में मौलिक बनाता है। | रिट की एक खोज यह है कि, हालांकि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत विभेदक आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागतविभेदक आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें विभेदक बीजगणित में मौलिक बनाता है। | ||
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==विभेदक बहुपद== | ==विभेदक बहुपद== | ||
विभेदक क्षेत्र पर विभेदक बहुपद <math>K</math> विभेदक समीकरण की अवधारणा का एक औपचारिकरण है जैसे कि समीकरण में दिखाई देने वाले ज्ञात कार्य <math>K</math> संबंधित हैं और अनिश्चित अज्ञात कार्यों के प्रतीक हैं। | |||
तो चलो <math>K</math> एक विभेदक क्षेत्र हो, जो | तो चलो <math>K</math> एक विभेदक क्षेत्र हो, जो विशिष्ट रूप से (लेकिन जरूरी नहीं) परिमेय भिन्नों का क्षेत्र है <math>K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)</math> (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित <math>\partial_i</math> ऐसा है कि <math>\partial_i x_i=1</math> और <math>\partial_i x_j=0</math> अगर <math>i\neq j</math> (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)। | ||
वलय को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में विभेदक बहुपदों का <math>Y=\{y_1,\ldots, y_n\}</math> व्युत्पत्तियों के साथ <math>\partial_1, \ldots, \partial_n,</math> एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है <math>\Delta y_i,</math> | वलय को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में विभेदक बहुपदों का <math>Y=\{y_1,\ldots, y_n\}</math> व्युत्पत्तियों के साथ <math>\partial_1, \ldots, \partial_n,</math> एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है <math>\Delta y_i,</math> जहाँ <math>\Delta</math> क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर {{math|1}} है। इस संकेतन के साथ, <math>K \{ Y \}</math> इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है)। विशेषकर, यदि <math>n=1,</math> के पास | ||
:<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | :<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | ||
यहां तक कि जब <math>n=1,</math> विभेदक बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। | यहां तक कि जब <math>n=1,</math> विभेदक बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। यद्यपि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। | ||
सबसे पहले, विभेदक बहुपद की | सबसे पहले, विभेदक बहुपद की सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की सीमित संख्या सम्मिलित होती है। इसका तात्पर्य यह है कि बहुपदों का प्रत्येक गुण जिसमें बहुपदों की सीमित संख्या सम्मिलित होती है, विभेदक बहुपदों के लिए सत्य रहता है। विशेष रूप से, सबसे बड़े सामान्य भाजक उपस्थित हैं, और विभेदक बहुपदों की वलय [[Index.php?title=अद्वितीय गुणनखंडन|अद्वितीय गुणनखंडन]] कार्यक्षेत्र है। | ||
दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> | दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, विभेदक बहुपदों के वलय सम्मिलित हैं <math>K</math> मूल विभेदक आदर्शों पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करता है। यह रिट का प्रमेय इसके सामान्यीकरण से निहित है, जिसे कभी-कभी <em>रिट-रौडेनबश आधार प्रमेय</em> भी कहा जाता है जो दावा करता है कि यदि <math>R</math> <em>रिट बीजगणित</em> है (वह, एक विभेदक वलय है जिसमें तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित है),{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|12}} जो परंपरागत विभेदक आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर विभेदक बहुपद की वलय <math>R\{y\}</math> एक ही गुणधर्म को संतुष्ट करता है (प्रमेय को पुनरावृत्त रूप से लागू करके एकल चर से बहुभिन्नरूपी विषय चला जाता है)।{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|45,48}}{{rp|56–57}}{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|126–129}} | ||
नोथेरियन गुणधर्म का तात्पर्य है कि, विभेदक बहुपद की एक वलय में, प्रत्येक परंपरागत विभेदक आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा परंपरागत विभेदक आदर्श है जिसमें बहुपद का एक सीमित समूह होता है।{{sfn|Marker|2000}} यह जनरेटर के ऐसे सीमित समूह द्वारा एक परंपरागत विभेदक आदर्श का प्रतिनिधित्व करने और इन आदर्शों के साथ गणनाओं की अनुमति देता है। यद्यपि, बीजगणितीय विषय की कुछ सामान्य गणनाओं को बढ़ाया नहीं जा सकता है। विशेष रूप से दो मौलिक विभेदक आदर्शों की समानता के मौलिक विभेदक आदर्श में किसी तत्व की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए कोई कलन विधि ज्ञात नहीं है। | |||
नोथेरियन | नोथेरियन गुणधर्म का एक और परिणाम यह है कि एक परंपरागत विभेदक आदर्श को विशिष्ट रूप से प्रधान विभेदक आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आदर्श के <em>आवश्यक प्रधान घटक</em> कहा जाता है।{{sfn|Hubert|2002}}{{rp|8}} <!-- | ||
An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | ||
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* <em>नियमित बीजगणितीय आदर्श</em>: <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.</math><br /> | * <em>नियमित बीजगणितीय आदर्श</em>: <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.</math><br /> | ||
===रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि=== | ===रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि=== | ||
<em>रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि</em> नियमित | <em>रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि</em> नियमित मौलिक विभेदक आदर्शों के एक सीमित प्रतिच्छेदन के रूप में मौलिक विभेदक आदर्श को विघटित करता है। विशिष्ट समूहों द्वारा दर्शाए गए ये नियमित विभेदक परंपरागतआदर्श आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्श नहीं हैं और प्रतिनिधित्व आवश्यक रूप से [[प्राथमिक अपघटन|न्यूनतम]] नहीं है।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|158}} | ||
<em>सदस्यता समस्या</em> यह निर्धारित करना है कि क्या <math display="inline">p</math> एक विभेदक बहुपद है विभेदक बहुपदों के एक समूह से उत्पन्न आदर्श <math display="inline">S</math> का एक सदस्य है . रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि ग्रोबनेर आधारों के समूह उत्पन्न करता है। कलन विधि यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|164}} | <em>सदस्यता समस्या</em> यह निर्धारित करना है कि क्या <math display="inline">p</math> एक विभेदक बहुपद है विभेदक बहुपदों के एक समूह से उत्पन्न आदर्श <math display="inline">S</math> का एक सदस्य है . रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि ग्रोबनेर आधारों के समूह उत्पन्न करता है। कलन विधि यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|164}} | ||
Revision as of 22:19, 9 July 2023
गणित में, विभेदक बीजगणित, मोटे तौर पर, गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना विभेदक समीकरण और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने के मद्देनजर बीजगणित के रूप में विभेदक समीकरणों और विभेदक संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे बहुपद बीजगणित का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय प्रकारों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान समूह हैं। वेल बीजगणित और ली बीजगणित को विभेदक बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है।
अधिक विशेष रूप से, विभेदक बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा पेश किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें विभेदक वलय, विभेदक क्षेत्र और विभेदक बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं।
विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाप्रत्येकण जटिल संख्याओं पर एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है, जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक विभेदक समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) कार्यों द्वारा उत्पन्न विभेदक क्षेत्र पर विभेदक बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है।
इतिहास
जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को विभेदक समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया।[1]: iii–iv उनके प्रयासों से एक प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स ऑफ फंक्शन्स डिफाइन्ड बाय सिस्टम्स ऑफ अलजेब्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन और 2 किताबें, डिफरेंशियल इक्वेशन फ्रॉम द अलजेब्रिक स्टैंडपॉइंट और डिफरेंशियल अलजेब्रा प्रकाशित हुईं।। उन्हें>.[2][1][3] रिट के छात्र एलिस कल्चेन ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और डिफरेंशियल अलजेब्रा एंड अलजेब्रिक ग्रुप्स प्रकाशित किया।[4]
विभेदक वलय
परिभाषा
व्युत्पत्ति वलय पर एक फलन है ऐसा कि
और
प्रत्येक और में के लिए
व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत देती हैं और एक विभेदक वलय एक क्रमविनिमेय वलय है एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है,