गणनीय समुच्चय: Difference between revisions
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{{Short description|Mathematical set that can be enumerated}} | {{Short description|Mathematical set that can be enumerated}} | ||
गणित में, समुच्चय (गणित) गणनीय है यदि परिमित समुच्चय है या इसे [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है।{{efn|name=ZeroN}} समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है। | गणित में, समुच्चय (गणित) '''गणनीय''' है यदि परिमित समुच्चय है या इसे [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है।{{efn|name=ZeroN}} समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है। | ||
अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी [[प्रमुखता]] (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है। | अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी [[प्रमुखता]] (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है। | ||
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इस अवधारणा का श्रेय [[जॉर्ज कैंटर]] को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय आदि। | इस अवधारणा का श्रेय [[जॉर्ज कैंटर]] को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए [[वास्तविक संख्या]]ओं का समुच्चय आदि। | ||
==शब्दावली पर | ==शब्दावली पर नोट == | ||
यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है।<ref>{{cite book |last1=Manetti |first1=Marco |title=टोपोलॉजी|date=19 June 2015 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-16958-3 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=89zyCQAAQBAJ&pg=PA26 |language=en}}</ref> वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है।<ref name="Rudin">{{Harvard citation no brackets|Rudin|1976|loc=Chapter 2}}</ref><ref>{{harvnb|Tao|2016|p=181}}</ref> अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है।{{cn|date=September 2021}} पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें। | यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है।<ref>{{cite book |last1=Manetti |first1=Marco |title=टोपोलॉजी|date=19 June 2015 |publisher=Springer |isbn=978-3-319-16958-3 |page=26 |url=https://books.google.com/books?id=89zyCQAAQBAJ&pg=PA26 |language=en}}</ref> वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है।<ref name="Rudin">{{Harvard citation no brackets|Rudin|1976|loc=Chapter 2}}</ref><ref>{{harvnb|Tao|2016|p=181}}</ref> अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है।{{cn|date=September 2021}} पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें। | ||
गिनती योग्य शर्तें<ref>{{Harvard citation no brackets|Kamke|1950|page=2}}</ref> और संख्यात्मक<ref name="Lang">{{Harvard citation no brackets|Lang|1993|loc=§2 of Chapter I}}</ref><ref name="Apostol">{{Harvard citation no brackets|Apostol|1969|loc=Chapter 1.14|p=23}}</ref> का भी उपयोग किया जा सकता है, दाहरण के लिए क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का विचार करते हुए I<ref>{{cite book |last1=Thierry |first1=Vialar |title=गणित की पुस्तिका|date=4 April 2017 |publisher=BoD - Books on Demand |isbn=978-2-9551990-1-5 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA24 |language=en}}</ref> किन्तु चूँकि परिभाषाएँ भिन्न-भिन्न होती हैं, इसलिए पाठक को | गिनती योग्य शर्तें<ref>{{Harvard citation no brackets|Kamke|1950|page=2}}</ref> और संख्यात्मक<ref name="Lang">{{Harvard citation no brackets|Lang|1993|loc=§2 of Chapter I}}</ref><ref name="Apostol">{{Harvard citation no brackets|Apostol|1969|loc=Chapter 1.14|p=23}}</ref> का भी उपयोग किया जा सकता है, दाहरण के लिए क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का विचार करते हुए I<ref>{{cite book |last1=Thierry |first1=Vialar |title=गणित की पुस्तिका|date=4 April 2017 |publisher=BoD - Books on Demand |isbn=978-2-9551990-1-5 |page=24 |url=https://books.google.com/books?id=RkepDgAAQBAJ&pg=PA24 |language=en}}</ref> किन्तु चूँकि परिभाषाएँ भिन्न-भिन्न होती हैं, इसलिए पाठक को पुनः उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करने की राय दी जाती है।<ref>{{cite book |last1=Mukherjee |first1=Subir Kumar |title=वास्तविक विश्लेषण में पहला कोर्स|date=2009 |publisher=Academic Publishers |isbn=978-81-89781-90-3 |page=22 |url=https://books.google.com/books?id=n5AhsN5UQ8IC&pg=PA22 |language=en}}</ref> | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
समुच्चय <math>S</math> गणनीय है यदि: | |||
* इसकी प्रमुखता <math>|S|</math> से कम या | * इसकी प्रमुखता <math>|S|</math> से कम या <math>\aleph_0</math> ([[aleph-अशक्त|एलेफ़-नल]]) के समान है, [[प्राकृतिक संख्या|प्राकृतिक संख्याओं]] के समुच्चय की प्रमुखता <math>\N</math> हैI<ref name=Yaqub/> | ||
* <math>S</math> | *<math>S</math> की <math>\N</math> से अन्तःक्षेपण फलन उपस्थित है I<ref name="Singh">{{cite book |last1=Singh |first1=Tej Bahadur |title=टोपोलॉजी का परिचय|date=17 May 2019 |publisher=Springer |isbn=978-981-13-6954-4 |page=422 |url=https://books.google.com/books?id=UQiZDwAAQBAJ&pg=PA422 |language=en}}</ref><ref name="Katzourakis">{{cite book |last1=Katzourakis |first1=Nikolaos |last2=Varvaruca |first2=Eugen |title=आधुनिक विश्लेषण का एक उदाहरणात्मक परिचय|date=2 January 2018 |publisher=CRC Press |isbn=978-1-351-76532-9 |url=https://books.google.com/books?id=jBFFDwAAQBAJ&pg=PT15 |language=en}}</ref> | ||
* <math>S</math> या तो परिमित समुच्चय | * <math>S</math> रिक्त है या वहां से कोई [[विशेषण फलन]] उपस्थित है I <ref name="Katzourakis" /> <math>\N</math> से <math>S</math> के मध्य विशेषण मानचित्रण <math>S</math> और <math>\N</math> का उपसमुच्चय उपस्थित है I<ref>{{harvnb|Halmos|1960|loc=p. 91}}</ref> | ||
* <math>S</math> या तो परिमित समुच्चय (<math>|S|<\aleph_0</math>) है, या गणनीय रूप से अनंत समुच्चय है।<ref name="Lang" /> ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं। | |||
समुच्चय <math>S</math> गणनीय रूप से [[अनंत सेट|अनंत समुच्चय]] है यदि: | |||
* इसकी प्रमुखता <math>|S|</math> बिलकुल | * इसकी प्रमुखता <math>|S|</math> बिलकुल <math>\aleph_0</math>है <ref name=Yaqub/> | ||
* <math>S</math> के साथ [[एक-एक पत्राचार | *विशेषण और विशेषण (और इसलिए आक्षेप) के मध्य <math>S</math> और <math>\N</math> मानचित्रण है। | ||
* | * <math>S</math> के साथ [[एक-एक पत्राचार|वन-टू-वन पत्राचार]] <math>\N</math> है।<ref>{{harvnb|Kamke|1950|loc=p. 2}}</ref> | ||
*<math>S</math> के तत्व को अनंत क्रम <math>a_0, a_1, a_2, \ldots</math>, में व्यवस्थित किया जा सकता है, जहां <math>a_i</math> से भिन्न है <math>a_j</math> के लिए <math>i\neq j</math> और प्रत्येक तत्व <math>S</math> सूचीबद्ध है।<ref>{{cite book |last1=Dlab |first1=Vlastimil |last2=Williams |first2=Kenneth S. |title=Invitation To Algebra: A Resource Compendium For Teachers, Advanced Undergraduate Students And Graduate Students In Mathematics |date=9 June 2020 |publisher=World Scientific |isbn=978-981-12-1999-3 |page=8 |url=https://books.google.com/books?id=l9rrDwAAQBAJ&pg=PA8 |language=en}}</ref><ref>{{harvnb|Tao|2016|p=182}}</ref> | |||
समुच्चय [[बेशुमार|अपरिमित]] है यदि वह गणनीय नहीं है, अर्थात उसकी प्रमुखता <math>\aleph_0</math> इससे अधिक है।<ref name=Yaqub>{{cite book |last1=Yaqub |first1=Aladdin M. |title=मेटालॉजिक का एक परिचय|date=24 October 2014 |publisher=Broadview Press |isbn=978-1-4604-0244-3 |url=https://books.google.com/books?id=cyljCAAAQBAJ&pg=PT187 |language=en}}</ref> | |||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
1874 में, जॉर्ज कैंटर के | 1874 में, जॉर्ज कैंटर के प्रथम समुच्चय सिद्धांत लेख में, कैंटर ने सिद्ध किया कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अपरिमित है, इस प्रकार सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय नहीं हैं।<ref>{{citation|title=Roads to Infinity: The Mathematics of Truth and Proof|first=John C.|last=Stillwell|author-link=John Stillwell|publisher=CRC Press|year=2010| isbn=9781439865507|page=10|url=https://books.google.com/books?id=XvPRBQAAQBAJ&pg=PA10|quote=Cantor's discovery of uncountable sets in 1874 was one of the most unexpected events in the history of mathematics. Before 1874, infinity was not even considered a legitimate mathematical subject by most people, so the need to distinguish between countable and uncountable infinities could not have been imagined.}}</ref> 1878 में, उन्होंने कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने और तुलना करने के लिए अनेक पत्राचार का उपयोग किया।<ref>Cantor 1878, p. 242.</ref> 1883 में, उन्होंने अपनी अनंत [[क्रमसूचक संख्या]] के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार किया, और भिन्न-भिन्न अपरिमित कार्डिनलिटी वाले अपरिमित समुच्चयों का उत्पादन करने के लिए क्रमसूचकों के समुच्चय का उपयोग किया।<ref>Ferreirós 2007, pp. 268, 272–273.</ref> | ||
==परिचय== | ==परिचय== | ||
समुच्चय (गणित) तत्वों का संग्रह होता है, और इसे कई प्रकारो से वर्णित किया जा सकता है। इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक 3, 4 और 5 से युक्त समुच्चय <math>\{3, 4, 5\}</math> को प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे रोस्टर फॉर्म कहा जाता है।<ref>{{Cite web|date=2021-05-09|title=What Are Sets and Roster Form?|url=https://www.expii.com/t/what-are-sets-and-roster-form-4300| url-status=live|website=expii|archive-url=https://web.archive.org/web/20200918224155/https://www.expii.com/t/what-are-sets-and-roster-form-4300 |archive-date=2020-09-18 }}</ref> चूँकि, यह केवल छोटे समुच्चयों के लिए प्रभावी है; बड़े समुच्चयों के लिए, यह समय लेने वाला और त्रुटि-प्रवण होगा। प्रत्येक तत्व को सूचीबद्ध करने के अतिरिक्त, कभी-कभी किसी समुच्चय में प्रारंभिक तत्व और अंतिम तत्व के मध्य कई तत्वों को प्रदर्शित करने के लिए दीर्घवृत्त (...) का उपयोग किया जाता है, यदि लेखक का मानना है कि पाठक सरलता से अनुमान लगा सकता है कि ... क्या दर्शाता है; उदाहरण के लिए, <math>\{1, 2, 3, \dots, 100\}</math> संभवतः 1 से 100 तक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। चूँकि, इस विषय में भी, सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना अभी भी संभव है, क्योंकि समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है। यदि हम समुच्चय के तत्वों को 1, 2, <math>n</math> इत्यादि तक क्रमांकित करते हैं, तो यह हमें <math>n</math> आकार के समुच्चय की सामान्य परिभाषा देता है I | |||
[[File:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|x100px|पूर्णांक से सम संख्याओं तक विशेषण मानचित्रण]]कुछ समुच्चय | [[File:Aplicación 2 inyectiva sobreyectiva02.svg|thumb|x100px|पूर्णांक से सम संख्याओं तक विशेषण मानचित्रण]]कुछ समुच्चय अपरिमितत हैं; इन समुच्चयों में इससे भी अधिक <math>n</math> तत्व है I जहाँ <math>n</math> कोई पूर्णांक है जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है। ( निर्दिष्ट <math>n</math> पूर्णांक कितना बड़ा है, जैसे <math>n=10^{1000}</math>, अपरिमितत समुच्चय <math>n</math> तत्व से अधिक है।) उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय, <math>\{0, 1, 2, 3, 4, 5,\dots\}</math> द्वारा निरूपित हैं,{{efn|name=ZeroN|Since there is an obvious [[bijection]] between <math>\N</math> and <math>\N^*=\{1,2,3,\dots\}</math>, it makes no difference whether one considers 0 a natural number or not. In any case, this article follows [[ISO 31-11]] and the standard convention in [[mathematical logic]], which takes 0 as a natural number.}} अपरिमितत रूप से कई तत्व हैं, और हम इसका आकार देने के लिए किसी प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं। समुच्चयों को भिन्न-भिन्न वर्गों में विभाजित करना स्वाभाविक लग सकता है: एक तत्व वाले सभी समुच्चयों को साथ रखें; सभी समुच्चय जिनमें दो तत्व साथ हैं; अंत में, सभी अपरिमितत समुच्चयों को साथ रखें और उन्हें समान आकार का मानें। यह दृश्य अनगिनत अपरिमितत समुच्चयों के लिए अच्छा काम करता है और जॉर्ज कैंटर के काम से पूर्व यह प्रचलित धारणा थी। उदाहरण के लिए, अपरिमित रूप से अनेक विषम पूर्णांक, अपरिमित रूप से अनेक सम पूर्णांक और कुल मिलाकर अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक होते हैं। हम इन सभी समुच्चयों को समान आकार का मान सकते हैं क्योंकि हम तत्वों को इस प्रकार व्यवस्थित कर सकते हैं कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए, भिन्न सम पूर्णांक हो: | ||
<math display="block">\ldots \, -\! 2\! \rightarrow \! - \! 4, \, -\! 1\! \rightarrow \! - \! 2, \, 0\! \rightarrow \! 0, \, 1\! \rightarrow \! 2, \, 2\! \rightarrow \! 4 \, \cdots</math> | <math display="block">\ldots \, -\! 2\! \rightarrow \! - \! 4, \, -\! 1\! \rightarrow \! - \! 2, \, 0\! \rightarrow \! 0, \, 1\! \rightarrow \! 2, \, 2\! \rightarrow \! 4 \, \cdots</math> | ||
या, अधिक सामान्यतः, <math>n \rightarrow 2n</math> ( | या, अधिक सामान्यतः, <math>n \rightarrow 2n</math> (चित्र देखने)। हमने यहां जो किया है, वह पूर्णांकों और सम पूर्णांकों को अनेक पत्राचार (या आक्षेप) में व्यवस्थित करना है, यह [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है जो दो समुच्चयों के मध्य मैप करता है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय का प्रत्येक तत्व एक ही तत्व से मेल खाता है दूसरे समुच्चय में आकार, कार्डिनलिटी की यह गणितीय धारणा यह है कि दो समुच्चय समान आकार के होते हैं, जब उनके मध्य कोई आपत्ति हो। हम उन सभी समुच्चयों को अपरिमित कहते हैं जो पूर्णांकों के साथ अनेक पत्राचार में हैं और कहते हैं कि उनमें कार्डिनैलिटी <math>\aleph_0</math> है I | ||
जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी | जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी अपरिमित समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के साथ अनेक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक प्रमुखता होती है और इसे अपरिमित कहा जाता है। | ||
==औपचारिक | ==औपचारिक अवलोकन== | ||
परिभाषा के अनुसार, | परिभाषा के अनुसार, समुच्चय <math>S</math> यदि मध्य में कोई आपत्ति उपस्थित है तो <math>S</math> और प्राकृतिक संख्याओं का उपसमुच्चय <math>\N=\{0,1,2,\dots\}</math>गणनीय है I उदाहरण के लिए, पत्राचार को परिभाषित करें | ||
<math display=block> | <math display=block> | ||
a \leftrightarrow 1,\ b \leftrightarrow 2,\ c \leftrightarrow 3 | a \leftrightarrow 1,\ b \leftrightarrow 2,\ c \leftrightarrow 3 | ||
</math> | </math> | ||
चूँकि प्रत्येक तत्व <math>S=\{a,b,c\}</math> के | चूँकि प्रत्येक तत्व <math>S=\{a,b,c\}</math> के <math>\{1,2,3\}</math> तत्व के साथ जोड़ा गया है, और इसके विपरीत, यह आक्षेप को परिभाषित करता है, और उसे दिखाता है, <math>S</math> गणनीय है. इसी प्रकार हम दिखा सकते हैं कि सभी परिमित समुच्चय गणनीय हैं। | ||
जहाँ तक | जहाँ तक अपरिमित समुच्चयों का विषय है, समुच्चय <math>S</math> यदि मध्य में कोई आपत्ति है, तो <math>S</math> और सभी <math>\N</math> गणनीय रूप से अपरिमित है I उदाहरण के लिए, समुच्चय पर विचार करें I <math>A=\{1,2,3,\dots\}</math> धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय, और <math>B=\{0,2,4,6,\dots\}</math>, सम पूर्णांकों का समुच्चय है। हम प्राकृतिक संख्याओं पर आपत्ति प्रदर्शित करके यह दिखा सकते हैं कि ये समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित हैं। इसे असाइनमेंट <math>n \leftrightarrow n+1</math> और <math>n \leftrightarrow 2n</math>,का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता:- | ||
<math display=block>\begin{matrix} | <math display=block>\begin{matrix} | ||
0 \leftrightarrow 1, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 3, & 3 \leftrightarrow 4, & 4 \leftrightarrow 5, & \ldots \\[6pt] | 0 \leftrightarrow 1, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 3, & 3 \leftrightarrow 4, & 4 \leftrightarrow 5, & \ldots \\[6pt] | ||
0 \leftrightarrow 0, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 4, & 3 \leftrightarrow 6, & 4 \leftrightarrow 8, & \ldots | 0 \leftrightarrow 0, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 4, & 3 \leftrightarrow 6, & 4 \leftrightarrow 8, & \ldots | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
प्रत्येक | प्रत्येक अपरिमित समुच्चय गणनीय है, और प्रत्येक अपरिमित गणनीय समुच्चय गणनीय रूप से अपरिमित है। इसके अतिरिक्त, प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी उपसमूह गणनीय है, | ||
{{math theorem | math_statement = | {{math theorem | math_statement = गणनीय समुच्चय का उपसमुच्चय गणनीय होता है.<ref>{{harvnb|Halmos|1960|page=91}}</ref>}} | ||
प्राकृतिक संख्याओं के सभी [[क्रमित युग्म]] | प्राकृतिक संख्याओं के सभी [[क्रमित युग्म|क्रमित युग्मों]] का समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के दो समुच्चयों का [[कार्तीय गुणन|कार्तीय गुणनफल]], <math>\N\times\N</math> यह अनगिनत रूप से अपरिमित है, जैसा कि चित्र में दिखाए गए पथ का अनुसरण करके देखा जा सकता है: [[File:Pairing natural.svg|thumb|300px|[[कैंटर युग्मन फ़ंक्शन|कैंटर युग्मन फलन]] प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक जोड़े को प्राकृतिक संख्या निर्दिष्ट करता है I]]परिणामी [[मानचित्र (गणित)]] इस प्रकार आगे बढ़ता है: | ||
<math display=block> | <math display=block> | ||
0 \leftrightarrow (0, 0), 1 \leftrightarrow (1, 0), 2 \leftrightarrow (0, 1), 3 \leftrightarrow (2, 0), 4 \leftrightarrow (1, 1), 5 \leftrightarrow (0, 2), 6 \leftrightarrow (3, 0), \ldots | 0 \leftrightarrow (0, 0), 1 \leftrightarrow (1, 0), 2 \leftrightarrow (0, 1), 3 \leftrightarrow (2, 0), 4 \leftrightarrow (1, 1), 5 \leftrightarrow (0, 2), 6 \leftrightarrow (3, 0), \ldots | ||
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यह मैपिंग ऐसे सभी ऑर्डर किए गए जोड़े को कवर करती है। | यह मैपिंग ऐसे सभी ऑर्डर किए गए जोड़े को कवर करती है। | ||
त्रिकोणीय मानचित्रण पुनरावर्तन का यह रूप सामान्यीकृत होता है <math>n</math>-प्राकृतिक संख्याओं का समूह, अर्थात्, <math>(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)</math> | त्रिकोणीय मानचित्रण पुनरावर्तन का यह रूप सामान्यीकृत होता है I <math>n</math>-प्राकृतिक संख्याओं का समूह, अर्थात्, <math>(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)</math> जहाँ <math>a_i</math> और <math>n</math> के प्रथम दो तत्वों को मैप करके, प्राकृतिक संख्याएँ हैं I <math>n</math> प्राकृतिक संख्या में ट्यूपल करें। उदाहरण के लिए, <math>(0, 2, 3)</math> के रूप में लिखा जा सकता है,<math>((0, 2), 3)</math> तब <math>(0, 2)</math> 5 तक मानचित्र <math>((0, 2), 3)</math> के लिए मानचित्र <math>(5, 3)</math>, तब <math>(5, 3)</math> 39 तक मैप करता है। चूंकि अलग 2-टुपल, वह जोड़ी है जैसे <math>(a,b)</math>, अलग प्राकृतिक संख्या के लिए मैप, तत्व द्वारा दो एन-टुपल्स के मध्य का अंतर यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि एन-टुपल्स को भिन्न-भिन्न प्राकृतिक संख्याओं के लिए मैप किया जा रहा है। समुच्चय से इंजेक्शन <math>n</math>-प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के ट्यूपल्स <math>\N</math> सिद्ध है, <math>n</math>- कार्टेशियन के समुच्चय के लिए उत्पाद द्वारा परिमित रूप से कई भिन्न-भिन्न समुच्चयों से बने टुपल्स, प्रत्येक टुपल में प्रत्येक तत्व का प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार होता है, इसलिए प्रत्येक टुपल को प्राकृतिक संख्याओं में लिखा जा सकता है, पुनः प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उसी तर्क को प्रस्तावित किया जाता है। | ||
{{math theorem | math_statement = | {{math theorem | math_statement = [[कार्तीय गुणन]] परिमित रूप से अनेक गणनीय समुच्चय गणनीय हैं.<ref>{{Harvard citation no brackets|Halmos|1960|page=92}}</ref>{{efn|'''Proof:''' Observe that <math>\N\times\N</math> is countable as a consequence of the definition because the function <math>f:\N\times\N\to\N</math> given by <math>f(m,n)=2^m\cdot3^n</math> is injective.<ref>{{Harvard citation no brackets|Avelsgaard|1990|page=182}}</ref> It then follows that the Cartesian product of any two countable sets is countable, because if <math>A</math> and <math>B</math> are two countable sets there are surjections <math>f:\N\to A</math> and <math>g:\N\to B</math>. So <math>f\times g:\N\times\N\to A\times B</math> | ||
is a surjection from the countable set <math>\N\times\N</math> to the set <math>A\times B</math> and the Corollary implies <math>A\times B</math> is countable. This result generalizes to the Cartesian product of any finite collection of countable sets and the proof follows by [[mathematical induction|induction]] on the number of sets in the collection. | is a surjection from the countable set <math>\N\times\N</math> to the set <math>A\times B</math> and the Corollary implies <math>A\times B</math> is countable. This result generalizes to the Cartesian product of any finite collection of countable sets and the proof follows by [[mathematical induction|induction]] on the number of sets in the collection. | ||
}}}} | }}}} | ||
सभी पूर्णांकों का समुच्चय <math>\Z</math> और सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>\Q</math> सहज रूप से इससे कहीं अधिक बड़ा लग सकता है <math>\N</math> | सभी पूर्णांकों का समुच्चय <math>\Z</math> और सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>\Q</math> सहज रूप से इससे कहीं अधिक बड़ा लग सकता है, <math>\N</math> स्वरूप धोखा देने वाले हो सकते हैं। यदि जोड़ी को अशिष्ट भिन्न (भिन्न के रूप में) के अंश और हर के रूप में माना जाता है I <math>a/b</math> जहाँ <math>a</math> और <math>b\neq 0</math> पूर्णांक हैं), तो प्रत्येक धनात्मक भिन्न के लिए, हम उसके अनुरूप विशिष्ट प्राकृत संख्या प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रतिनिधित्व में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के पश्चात् से प्राकृतिक संख्याएँ भी सम्मिलित हैं I <math>n</math> यह भी <math>n/1</math> का अंश है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उतनी ही धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जितनी धनात्मक पूर्णांक हैं। यह सभी परिमेय संख्याओं के लिए भी सत्य है, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है। | ||
{{math theorem | math_statement = <math>\Z</math> ( | {{math theorem | math_statement = <math>\Z</math> (सभी पूर्णांकों का समुच्चय) और<math>\Q</math> (सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय) गणनीय हैं {{efn|'''Proof:''' पूर्णांक <math>\Z</math> फलन के कारण गणनीय हैं <math>f:\Z\to\N</math> given by <math>f(n)=2^n</math> if <math>n</math> गैर-नकारात्मक है और <math>f(n)=3^{-n}</math> यदि <math>n</math> ऋणात्मक है,विशेषण फलन है। तर्कसंगत संख्याएँ <math>\Q</math> are countable because the function <math>g:\Z\times\N\to\Q</math> given by <math>g(m,n)=m/(n+1)</math> is a surjection f | ||