अरेखीय प्रणाली: Difference between revisions
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सामान्यतः गैर-रेखीय प्रणाली के व्यवहार को गणित में [[समीकरण]] की गैर-रेखीय प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का सेट है जिसमें अज्ञात (या [[अंतर समीकरण]] के स्थितियों में अज्ञात कार्य) डिग्री के [[बहुपद]] के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] के तर्क में जो डिग्री का बहुपद नहीं है। | सामान्यतः गैर-रेखीय प्रणाली के व्यवहार को गणित में [[समीकरण]] की गैर-रेखीय प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का सेट है जिसमें अज्ञात (या [[अंतर समीकरण]] के स्थितियों में अज्ञात कार्य) डिग्री के [[बहुपद]] के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] के तर्क में जो डिग्री का बहुपद नहीं है। | ||
दूसरे शब्दों में, समीकरणों की अरेखीय प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरणों को उनमें दिखाई देने वाले अज्ञात [[चर (गणित)]] या फलन (गणित) के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रणाली को गैर-रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, | दूसरे शब्दों में, समीकरणों की अरेखीय प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरणों को उनमें दिखाई देने वाले अज्ञात [[चर (गणित)]] या फलन (गणित) के [[रैखिक संयोजन]] के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रणाली को गैर-रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, तथापि ज्ञात रैखिक फलन समीकरणों में दिखाई देते हों। विशेष रूप से, अंतर समीकरण रैखिक होता है, यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव के संदर्भ में रैखिक है, तथापि इसमें दिखने वाले अन्य चर के संदर्भ में गैर-रैखिक हो। | ||
चूंकि गैर-रेखीय गतिशील समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए गैर-रेखीय प्रणालियों को सामान्यतः रैखिक समीकरणों (रैखिकीकरण) द्वारा अनुमानित किया जाता है। यह इनपुट मानों के लिए कुछ | चूंकि गैर-रेखीय गतिशील समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए गैर-रेखीय प्रणालियों को सामान्यतः रैखिक समीकरणों (रैखिकीकरण) द्वारा अनुमानित किया जाता है। यह इनपुट मानों के लिए कुछ स्पष्टता और कुछ सीमा तक अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कुछ दिलचस्प घटनाएं जैसे [[सॉलिटन]], [[अराजकता सिद्धांत]]<ref>[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Earth--Atmospheric--and-Planetary-Sciences/12-006JFall-2006/CourseHome/index.htm Nonlinear Dynamics I: Chaos] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080212045134/http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Earth--Atmospheric--and-Planetary-Sciences/12-006JFall-2006/CourseHome/index.htm |date=2008-02-12}} at [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/index.htm MIT's OpenCourseWare]</ref> और [[गणितीय विलक्षणता]] रैखिककरण द्वारा छिपी हुई है। इसका तात्पर्य यह है कि गैर-रेखीय प्रणाली के गतिशील व्यवहार के कुछ पहलू प्रति-सहज ज्ञान युक्त, अप्रत्याशित या अराजक भी प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि ऐसा अराजक व्यवहार यादृच्छिक व्यवहार जैसा हो सकता है, लेकिन वास्तव में यह यादृच्छिक नहीं है। उदाहरण के लिए, मौसम के कुछ पहलुओं को अव्यवस्थित देखा जाता है, जहां प्रणाली के भागों में साधारण परिवर्तन पूरे क्षेत्र में जटिल प्रभाव उत्पन करते हैं। यह गैर-रैखिकता उन कारणों में से एक है कि वर्तमान तकनीक के साथ सटीक दीर्घकालिक पूर्वानुमान असंभव क्यों हैं। | ||
कुछ लेखक अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अरेखीय विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं। यह शब्द अन्य लोगों द्वारा विवादित है: | कुछ लेखक अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अरेखीय विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं। यह शब्द अन्य लोगों द्वारा विवादित है: | ||
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समीकरण के रूप में लिखा गया है। | समीकरण के रूप में लिखा गया है। | ||
:<math>f(x) = C</math> | :<math>f(x) = C</math> | ||
यदि रैखिक कहा जाता है <math>f(x)</math> | रेखीय मानचित्र, यदि रैखिक कहा जाता है तो <math>f(x)</math> है (जैसा कि ऊपर परिभाषित है) अन्यथा अरेखीय है। समीकरण को सजातीय कहा जाता है यदि <math>C = 0</math> और <math>f(x)</math> [[सजातीय कार्य]] है। | ||
मानहानि <math>f(x) = C</math> उसमें बहुत सामान्य है <math>x</math> कोई भी समझदार गणितीय वस्तु (संख्या, वेक्टर, फलन, आदि) और फलन | मानहानि <math>f(x) = C</math> उसमें बहुत सामान्य है <math>x</math> कोई भी समझदार गणितीय वस्तु (संख्या, वेक्टर, फलन, आदि) और फलन <math>f(x)</math> हो सकता है, वस्तुतः कोई भी [[मानचित्र (गणित)]] हो सकता है, जिसमें संबद्ध बाधाओं (जैसे [[सीमा मान]]) के साथ एकीकरण या विभेदन सम्मिलित है। अगर <math>f(x)</math> के संबंध में व्युत्पन्न सम्मिलित है <math>x</math>परिणाम विभेदक समीकरण होगा। | ||
==अरेखीय बीजगणितीय समीकरण== | ==अरेखीय बीजगणितीय समीकरण== | ||
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अरेखीय [[बीजगणितीय समीकरण]], जिन्हें [[बहुपद समीकरण]] भी कहा जाता है, बहुपद (एक से अधिक डिग्री वाले) को शून्य के बराबर करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, | अरेखीय [[बीजगणितीय समीकरण]], जिन्हें [[बहुपद समीकरण]] भी कहा जाता है, बहुपद (एक से अधिक डिग्री वाले) को शून्य के बराबर करके परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, | ||
:<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math> | :<math>x^2 + x - 1 = 0\,.</math> | ||
एकल बहुपद समीकरण के लिए, मूल-खोज एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है। (यानी, समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के लिए मानों का सेट) | एकल बहुपद समीकरण के लिए, मूल-खोज एल्गोरिदम का उपयोग समीकरण के समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है। (यानी, समीकरण को संतुष्ट करने वाले चर के लिए मानों का सेट) चूँकि, बीजगणितीय समीकरणों की प्रणालियाँ अधिक जटिल हैं; उनका अध्ययन [[बीजगणितीय ज्यामिति]] के क्षेत्र के लिए प्रेरणा है, जो आधुनिक गणित की कठिन शाखा है। यह तय करना और भी कठिन है कि क्या किसी दिए गए बीजगणितीय प्रणाली के जटिल समाधान हैं। (हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसत्ज़ देखें)। फिर भी, जटिल समाधानों की सीमित संख्या वाली प्रणालियों के स्थितियों में, बहुपद समीकरणों की ये प्रणालियाँ अब अच्छी तरह से समझी जाती हैं। और उन्हें हल करने के लिए कुशल विधियाँ उपस्थित हैं।<ref>{{cite journal |last1= Lazard |first1= D. |title= Thirty years of Polynomial System Solving, and now? |doi= 10.1016/j.jsc.2008.03.004 |journal= Journal of Symbolic Computation |volume= 44 |issue= 3 |pages= 222–231 |year= 2009 |doi-access= free }}</ref> | ||
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विभेदक समीकरणों के [[युगपत समीकरण]] को अरैखिक कहा जाता है यदि यह [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] नहीं है। अरेखीय अंतर समीकरणों से जुड़ी समस्याएं बहुत विविध हैं, और समाधान या विश्लेषण के विधि समस्या पर निर्भर हैं। अरेखीय विभेदक समीकरणों के उदाहरण द्रव गतिकी में नेवियर-स्टोक्स समीकरण और जीव विज्ञान में लोटका-वोल्टेरा समीकरण हैं। | विभेदक समीकरणों के [[युगपत समीकरण]] को अरैखिक कहा जाता है यदि यह [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] नहीं है। अरेखीय अंतर समीकरणों से जुड़ी समस्याएं बहुत विविध हैं, और समाधान या विश्लेषण के विधि समस्या पर निर्भर हैं। अरेखीय विभेदक समीकरणों के उदाहरण द्रव गतिकी में नेवियर-स्टोक्स समीकरण और जीव विज्ञान में लोटका-वोल्टेरा समीकरण हैं। | ||
अरेखीय समस्याओं की सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक यह है कि ज्ञात समाधानों को नए समाधानों में जोड़ना सामान्यतः संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, रैखिक समस्याओं में, सुपरपोज़िशन सिद्धांत के माध्यम से सामान्य समाधान बनाने के लिए [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] समाधानों के एक परिवार का उपयोग किया जा सकता है। इसका अच्छा उदाहरण डिरिक्लेट सीमा स्थितियों के साथ एक-आयामी ताप परिवहन है, जिसका समाधान विभिन्न आवृत्तियों के साइनसॉइड के समय-निर्भर रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; यह समाधानों को बहुत लचीला बनाता है. गैर-रेखीय समीकरणों के लिए कई विशिष्ट समाधान ढूंढना अधिकांशतः संभव होता है, | अरेखीय समस्याओं की सबसे बड़ी कठिनाइयों में से एक यह है कि ज्ञात समाधानों को नए समाधानों में जोड़ना सामान्यतः संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, रैखिक समस्याओं में, सुपरपोज़िशन सिद्धांत के माध्यम से सामान्य समाधान बनाने के लिए [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] समाधानों के एक परिवार का उपयोग किया जा सकता है। इसका अच्छा उदाहरण डिरिक्लेट सीमा स्थितियों के साथ एक-आयामी ताप परिवहन है, जिसका समाधान विभिन्न आवृत्तियों के साइनसॉइड के समय-निर्भर रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; यह समाधानों को बहुत लचीला बनाता है. गैर-रेखीय समीकरणों के लिए कई विशिष्ट समाधान ढूंढना अधिकांशतः संभव होता है, चूँकि सुपरपोजिशन सिद्धांत की कमी नए समाधानों के निर्माण को रोकती है। | ||
===साधारण अवकल समीकरण=== | ===साधारण अवकल समीकरण=== | ||
पहले क्रम के [[साधारण अंतर समीकरण]] अधिकांशतः चरों को अलग करके बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं, | पहले क्रम के [[साधारण अंतर समीकरण]] अधिकांशतः चरों को अलग करके बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं, विशेषकर स्वायत्त समीकरणों के लिए के योग्य होते हैं। उदाहरण के लिए, अरेखीय समीकरण | ||
:<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math> | :<math>\frac{d u}{d x} = -u^2</math> | ||
है। | है। | ||
<math>u=\frac{1}{x+C}</math> | सामान्य समाधान के रूप में (और विशेष समाधान भी) <math>u=\frac{1}{x+C}</math> होता है। <math>u = 0,</math> सामान्य समाधान की सीमा के अनुरूप जब C अनंत की ओर प्रवृत्त होता है)। समीकरण अरैखिक है क्योंकि इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है। | ||
:<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math> | :<math>\frac{du}{d x} + u^2=0</math> | ||
और समीकरण का बायाँ भाग रैखिक फलन | और समीकरण का बायाँ भाग रैखिक फलन <math>u</math> नहीं है और इसके व्युत्पन्न ध्यान दें कि यदि <math>u^2</math> शब्द को <math>u</math> से प्रतिस्थापित कर दिया गया, तो समस्या रैखिक होगी ([[घातीय क्षय]] समस्या)। | ||
दूसरे और उच्चतर क्रम के साधारण अंतर समीकरण (अधिक सामान्यतः, गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ) शायद ही कभी [[बंद-रूप अभिव्यक्ति]] | दूसरे और उच्चतर क्रम के साधारण अंतर समीकरण (अधिक सामान्यतः, गैर-रेखीय समीकरणों की प्रणालियाँ) शायद ही कभी [[बंद-रूप अभिव्यक्ति]] समाधान उत्पन्न करते हैं, चूँकि अंतर्निहित समाधान और गैर-प्राथमिक अभिन्न अंग वाले समाधान सामने आते हैं। | ||
अरेखीय साधारण अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए सामान्य विधियों में सम्मिलित हैं: | अरेखीय साधारण अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए सामान्य विधियों में सम्मिलित हैं: | ||
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तब से <math>\sin(\theta) \approx \theta</math> के लिए <math>\theta \approx 0</math>. यह अपने पथ के निचले भाग के पास पेंडुलम के दोलनों के अनुरूप [[सरल हार्मोनिक थरथरानवाला]] है। एक और रैखिककरण पर होगा <math>\theta = \pi</math>, पेंडुलम के सीधा ऊपर होने के अनुरूप: | तब से <math>\sin(\theta) \approx \theta</math> के लिए <math>\theta \approx 0</math>. यह अपने पथ के निचले भाग के पास पेंडुलम के दोलनों के अनुरूप [[सरल हार्मोनिक थरथरानवाला]] है। एक और रैखिककरण पर होगा <math>\theta = \pi</math>, पेंडुलम के सीधा ऊपर होने के अनुरूप: | ||
:<math>\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \pi - \theta = 0</math> | :<math>\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \pi - \theta = 0</math> | ||
तब से <math>\sin(\theta) \approx \pi - \theta</math> के लिए <math>\theta \approx \pi</math>. इस समस्या के समाधान में [[अतिशयोक्तिपूर्ण साइनसॉइड]] सम्मिलित हैं, और ध्यान दें कि छोटे कोण सन्निकटन के विपरीत, यह सन्निकटन अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि <math>|\theta|</math> सामान्यतः बिना किसी सीमा के बढ़ेगा, | तब से <math>\sin(\theta) \approx \pi - \theta</math> के लिए <math>\theta \approx \pi</math>. इस समस्या के समाधान में [[अतिशयोक्तिपूर्ण साइनसॉइड]] सम्मिलित हैं, और ध्यान दें कि छोटे कोण सन्निकटन के विपरीत, यह सन्निकटन अस्थिर है, जिसका अर्थ है कि <math>|\theta|</math> सामान्यतः बिना किसी सीमा के बढ़ेगा, चूँकि सीमित समाधान संभव हैं। यह पेंडुलम को सीधा संतुलित करने की कठिनाई से मेल खाता है, यह वस्तुतः अस्थिर स्थिति है। | ||
चारों ओर एक और दिलचस्प रैखिककरण संभव है <math>\theta = \pi/2</math>, जिसके आसपास <math>\sin(\theta) \approx 1</math>: | चारों ओर एक और दिलचस्प रैखिककरण संभव है <math>\theta = \pi/2</math>, जिसके आसपास <math>\sin(\theta) \approx 1</math>: | ||
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*सॉलिटॉन्स - स्व-प्रबलित एकान्त तरंगें | *सॉलिटॉन्स - स्व-प्रबलित एकान्त तरंगें | ||
*[[सीमा चक्र]] - स्पर्शोन्मुख आवधिक कक्षाएँ जिनकी ओर अस्थिर निश्चित बिंदु आकर्षित होते हैं। | *[[सीमा चक्र]] - स्पर्शोन्मुख आवधिक कक्षाएँ जिनकी ओर अस्थिर निश्चित बिंदु आकर्षित होते हैं। | ||
*[[स्व-दोलन]] | *[[स्व-दोलन]] - विवृत विघटनकारी भौतिक प्रणालियों में होने वाले फीडबैक दोलन। | ||
==अरैखिक समीकरणों के उदाहरण== | ==अरैखिक समीकरणों के उदाहरण== | ||
Revision as of 11:09, 7 July 2023
| Complex systems |
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| Topics |
गणित और विज्ञान में, गैर-रेखीय प्रणाली (या गैर-रेखीय प्रणाली) ऐसी प्रणाली है जिसमें आउटपुट का परिवर्तन इनपुट के परिवर्तन के लिए आनुपातिकता (गणित) नहीं है।[1][2] अरैखिक समस्याएँ अभियंता, जीवविज्ञानियों के लिए रूचिकर होती हैं।[3][4][5] भौतिक विज्ञानी[6][7] गणितज्ञ, और कई अन्य वैज्ञानिक क्योंकि अधिकांश प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से अरैखिक प्रकृति की हैं।[8] समय के साथ चर में परिवर्तन का वर्णन करने वाली अरेखीय डायनेमिक प्रणालियाँ, बहुत सरल रैखिक प्रणालियों के विपरीत, अराजक, अप्रत्याशित या प्रति-सहज ज्ञान युक्त दिखाई दे सकती हैं।
सामान्यतः गैर-रेखीय प्रणाली के व्यवहार को गणित में समीकरण की गैर-रेखीय प्रणाली द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक साथ समीकरणों का सेट है जिसमें अज्ञात (या अंतर समीकरण के स्थितियों में अज्ञात कार्य) डिग्री के बहुपद के चर के रूप में दिखाई देते हैं। एक से अधिक या किसी फलन (गणित) के तर्क में जो डिग्री का बहुपद नहीं है।
दूसरे शब्दों में, समीकरणों की अरेखीय प्रणाली में, हल किए जाने वाले समीकरणों को उनमें दिखाई देने वाले अज्ञात चर (गणित) या फलन (गणित) के रैखिक संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। प्रणाली को गैर-रेखीय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, तथापि ज्ञात रैखिक फलन समीकरणों में दिखाई देते हों। विशेष रूप से, अंतर समीकरण रैखिक होता है, यदि यह अज्ञात फलन और उसके डेरिवेटिव के संदर्भ में रैखिक है, तथापि इसमें दिखने वाले अन्य चर के संदर्भ में गैर-रैखिक हो।
चूंकि गैर-रेखीय गतिशील समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए गैर-रेखीय प्रणालियों को सामान्यतः रैखिक समीकरणों (रैखिकीकरण) द्वारा अनुमानित किया जाता है। यह इनपुट मानों के लिए कुछ स्पष्टता और कुछ सीमा तक अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन कुछ दिलचस्प घटनाएं जैसे सॉलिटन, अराजकता सिद्धांत[9] और गणितीय विलक्षणता रैखिककरण द्वारा छिपी हुई है। इसका तात्पर्य यह है कि गैर-रेखीय प्रणाली के गतिशील व्यवहार के कुछ पहलू प्रति-सहज ज्ञान युक्त, अप्रत्याशित या अराजक भी प्रतीत हो सकते हैं। चूँकि ऐसा अराजक व्यवहार यादृच्छिक व्यवहार जैसा हो सकता है, लेकिन वास्तव में यह यादृच्छिक नहीं है। उदाहरण के लिए, मौसम के कुछ पहलुओं को अव्यवस्थित देखा जाता है, जहां प्रणाली के भागों में साधारण परिवर्तन पूरे क्षेत्र में जटिल प्रभाव उत्पन करते हैं। यह गैर-रैखिकता उन कारणों में से एक है कि वर्तमान तकनीक के साथ सटीक दीर्घकालिक पूर्वानुमान असंभव क्यों हैं।
कुछ लेखक अरेखीय प्रणालियों के अध्ययन के लिए अरेखीय विज्ञान शब्द का उपयोग करते हैं। यह शब्द अन्य लोगों द्वारा विवादित है:
अरेखीय विज्ञान जैसे शब्द का उपयोग करना प्राणीशास्त्र के बड़े भाग को गैर-हाथी जानवरों के अध्ययन के रूप में संदर्भित करने जैसा है।
परिभाषा
गणित में, रेखीय मानचित्र (या रैखिक फलन) वह है जो निम्नलिखित दोनों गुणों को संतुष्ट करता है:
- एडिटिविटी या सुपरपोजिशन सिद्धांत:
- एकरूपता:
योगात्मकता का तात्पर्य किसी भी परिमेय संख्या α के लिए एकरूपता से है, और, निरंतर कार्यों के लिए, किसी भी वास्तविक संख्या α के लिए सम्मिश्र संख्या α के लिए, समरूपता योगात्मकता से उत्पन्न नहीं होती है। उदाहरण के लिए एंटीलीनियर मानचित्र योगात्मक है लेकिन सजा