चेबीशेव फलन: Difference between revisions
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{{log(x)}} | {{log(x)}} | ||
[[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|चेबीशेव | [[Image:ChebyshevPsi.png|thumb|right|चेबीशेव फलन {{math|''ψ'' (''x'')}}, साथ {{math|''x'' < 50}}]] | ||
[[Image:Chebyshev.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ'' (''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>4</sup>}}]] | [[Image:Chebyshev.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ'' (''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>4</sup>}}]] | ||
[[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ'' (''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}]]गणित में, चेबीशेव फलन या तो | [[Image:Chebyshev-big.svg|thumb|right|कार्यक्रम {{math|''ψ'' (''x'') − ''x''}}, के लिए {{math|''x'' < 10<sup>7</sup>}}]]गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन {{math|''ϑ''  (''x'')}} या {{math|''θ'' (''x'')}} द्वारा दिया गया है: | ||
:<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p</math> | :<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p</math> | ||
जहाँ <math>\log</math> [[प्राकृतिक]] लघुगणक को दर्शाता है, जिसका योग सभी [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] {{mvar|p}} पर विस्तारित होता है जो {{mvar|x}} से कम या उसके समान हैं। | |||
दूसरा चेबीशेव | दूसरा चेबीशेव फलन {{math|''ψ'' (''x'')}} को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अभाज्य शक्तियों का योग {{mvar|x}} से अधिक नहीं है | ||
:<math>\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,</math> | :<math>\psi(x) = \sum_{k \in \mathbb{N}}\sum_{p^k \le x}\log p = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \sum_{p \le x}\left\lfloor\log_p x\right\rfloor\log p,</math> | ||
जहाँ {{math|Λ}} [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा|मैंगोल्ड्ट फलन]] है। चेबीशेव फलन, विशेष रूप से दूसरा {{math|''ψ'' (''x'')}}, प्रायः अभाज्य संख्याओं से संबंधित [[गणितीय प्रमाण|गणितीय प्रमाणों]] में उपयोग किया जाता है, क्योंकि सामान्यतः अभाज्य-गणना फलन, {{math|''π'' (''x'')}} की तुलना में उनके साथ कार्य करना सरल होता है, (नीचे त्रुटिहीन सूत्र देखें।) दोनों चेबिशेव फलन {{mvar|x}} के लिए स्पर्शोन्मुख हैं, जो अभाज्य संख्या प्रमेय के समतुल्य कथन है। | |||
त्चेबीशेफ़ फलन, चेबीशेव यूटिलिटी फलन, या भारित त्चेबीशेफ़ स्केलराइज़िंग फलन का उपयोग तब किया जाता है, जब किसी के पास कम करने के लिए कई फलन होते हैं और कोई उन्हें एक ही फलन में स्केलराइज़ करना चाहता है: | |||
:<math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).</math><ref name=JK>{{cite web|url=http://syllabus.cs.manchester.ac.uk/pgt/2017/COMP60342/COMP60342-2014-MOO.pdf|title=बहुउद्देश्यीय अनुकूलन अवधारणा, एल्गोरिदम और प्रदर्शन उपाय|author=Joshua Knowles|date=2 May 2014|publisher=The University of Manchester|page=34}}</ref> | :<math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i f_i(x).</math><ref name=JK>{{cite web|url=http://syllabus.cs.manchester.ac.uk/pgt/2017/COMP60342/COMP60342-2014-MOO.pdf|title=बहुउद्देश्यीय अनुकूलन अवधारणा, एल्गोरिदम और प्रदर्शन उपाय|author=Joshua Knowles|date=2 May 2014|publisher=The University of Manchester|page=34}}</ref> | ||
विभिन्न मानों के लिए इस फलन को न्यूनतम करके <math>w</math>, गैर-उत्तल भागों में भी, पारेटो मोर्चे पर सभी बिंदु प्राप्त करता है।<ref name=JK/>प्रायः <math>f_i</math> फलन को न्यूनतम नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु <math>|f_i-z_i^*|</math> कुछ अदिशों के लिए <math>z_i^*</math> तब <math>f_{Tchb}(x,w) = \max_i w_i |f_i(x)-z_i^*|.</math><ref>{{cite journal|url=https://pure.tudelft.nl/ws/portalfiles/portal/30882193/FinalRevised_Improved_MOEA_D_for_BOPs_with_complicated_PFs.pdf|at=Page 6 equation (2)|title=An improved MOEA/D algorithm for bi-objective optimization problems with complex Pareto fronts and its application to structural optimization|author=Ho-Huu, V.; Hartjes, S.; Visser, H. G.; Curran, R.|doi=10.1016/j.eswa.2017.09.051|publisher=Delft University of Technology|date=2018}}</ref> | |||
== | तीनों फलनो का नाम [[पफन्युटी चेबीशेव]] के सम्मान में रखा गया है। | ||
दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है | |||
== सम्बन्ध == | |||
दूसरे चेबीशेव फलन को पहले से संबंधित लिखते हुए इसे इस रूप में देखा जा सकता है: | |||
:<math>\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p</math> | :<math>\psi(x) = \sum_{p \le x}k \log p</math> | ||
जहाँ {{mvar|k}} अद्वितीय [[पूर्णांक]] है जैसे कि {{math|''p''<sup> ''k''</sup> ≤ ''x''}} और {{math|''x'' < ''p''<sup> ''k'' + 1</sup>}}, {{mvar|k}} के मान {{OEIS2C|id=A206722}} द्वारा अधिक प्रत्यक्ष संबंध दिया गया है: | |||
:<math>\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).</math> | :<math>\psi(x) = \sum_{n=1}^\infty \vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big).</math> | ||
ध्यान दें कि इस अंतिम | ध्यान दें कि इस अंतिम योग में केवल अलुप्त होने वाली पदों की केवल एक सीमित संख्या है: | ||
:<math>\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.</math> | :<math>\vartheta\big(x^{\frac{1}{n}}\big) = 0\quad \text{for}\quad n>\log_2 x = \frac{\log x}{\log 2}.</math> | ||
दूसरा चेबीशेव | दूसरा चेबीशेव फलन 1 से {{mvar|n}} तक पूर्णांकों के लघुत्तम समापवर्त्य का लघुगणक है: | ||
:<math>\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.</math> | :<math>\operatorname{lcm}(1,2,\dots,n) = e^{\psi(n)}.</math> | ||
पूर्णांक चर {{mvar|n}} के लिए {{math|lcm(1, 2, ..., ''n'')}} का मान {{OEIS2C|id=A003418}} पर दिया गया है: | |||
== | == <math>\psi(x)/x</math> और <math>\vartheta(x)/x</math> के मध्य संबंध <ref>{{Cite book |last=Apostol |first=Tom M. |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय|publisher=Springer |year=2010 |pages=75–76}}</ref> == | ||
निम्नलिखित [[प्रमेय]] दो भागफलों से संबंधित है <math>\frac{\psi(x)}{x}</math> और <math>\frac{\vartheta(x)}{x}</math> | निम्नलिखित [[प्रमेय]] दो भागफलों से संबंधित है, <math>\frac{\psi(x)}{x}</math> और <math>\frac{\vartheta(x)}{x}</math> | ||
प्रमेय: | प्रमेय: <math>x>0</math>, के लिए | ||
:<math>0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.</math> | :<math>0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}.</math> | ||
नोट: यह [[असमानता (गणित)]] का तात्पर्य है | नोट: यह [[असमानता (गणित)]] का तात्पर्य है: | ||
:<math>\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.</math> | :<math>\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)\! = 0.</math> | ||
दूसरे शब्दों में, यदि | दूसरे शब्दों में, यदि इनमे से <math>\psi(x)/x</math> या <math>\vartheta(x)/x</math> फलन की सीमा की ओर प्रवृत्त होता है तो दूसरी की भी, और दोनों सीमाएँ समान होती हैं। | ||
प्रमाण: चूंकि <math>\psi(x)=\sum_{n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n})</math> से प्राप्त होता है: | |||
:<math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).</math> | :<math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x)=\sum_{2\leq n \leq \log_2 x}\vartheta(x^{1/n}).</math> | ||
किन्तु की परिभाषा से <math>\vartheta(x)</math> हमारे पास तुच्छ असमानता है: | |||
:<math>\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x</math> | :<math>\vartheta(x)\leq \sum_{p\leq x}\log x\leq x\log x</math> | ||
| Line 58: | Line 59: | ||
&=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}. | &=\frac{\sqrt{x}\,(\log x)^2}{2\log 2}. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
<math>x</math> प्रमेय में असमानता प्राप्त करने के लिए अंत में विभाजित करें । | |||
== स्पर्शोन्मुखता और सीमा == | == स्पर्शोन्मुखता और सीमा == | ||
निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव | निम्नलिखित सीमाएं चेबीशेव फलन के लिए जानी जाती हैं:{{ref|Dusart1999}}{{ref|Dusart2010}}(इन सूत्रों में {{math|''p''<sub>''k''</sub>}} {{mvar|k}}वें अभाज्य संख्या है; {{math|''p''<sub>1</sub> {{=}} 2}}, {{math|''p''<sub>2</sub> {{=}} 3}}, आदि।) | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 70: | Line 71: | ||
0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121. | 0.9999\sqrt{x} &< \psi(x)-\vartheta(x)<1.00007\sqrt{x}+1.78\sqrt[3]{x}&& \text{for }x\ge121. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
इसके | इसके अतिरिक्त, [[रीमैन परिकल्पना]] के अंतर्गत, | ||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
| Line 76: | Line 77: | ||
|\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) | |\psi(x)-x| &= O\Big(x^{\frac12+\varepsilon}\Big) | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
किसी | किसी भी {{math|''ε'' > 0}} के लिए, | ||
ऊपरी सीमाएं | ऊपरी सीमाएं {{math|''ϑ''  (''x'')}} और {{math|''ψ'' (''x'')}} दोनों के लिए उपस्तिथ हैं, जैसे कि<ref>{{Cite journal | ||
| last1 = Rosser | | last1 = Rosser | ||
| first1 = J. Barkley | | first1 = J. Barkley | ||
| Line 90: | Line 91: | ||
| volume = 6 | | volume = 6 | ||
| pages = 64–94 | | pages = 64–94 | ||
| url = http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807}}</ref> {{ref|Dusart2010}} | | url = http://projecteuclid.org/DPubS?service=UI&version=1.0&verb=Display&handle=euclid.ijm/1255631807}}</ref> {{ref|Dusart2010}} | ||
:<math>\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}</math> | :<math>\begin{align} \vartheta(x)&<1.000028x \\ \psi(x)&<1.03883x \end{align}</math> | ||
किसी | किसी भी {{math|''x'' > 0}} के लिए, | ||
स्थिरांक 1.03883 | स्थिरांक 1.03883 का स्पष्टीकरण {{OEIS2C|id=A206431}} पर दिया गया है। | ||
== | == त्रुटिहीन सूत्र == | ||
1895 में, [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] ने | 1895 में, [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] ने रीमैन जीटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य के योग के रूप में {{math|''ψ'' (''x'')}} के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति प्रमाणित है:{{ref|Dav104}} | ||
:<math>\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).</math> | :<math>\psi_0(x) = x - \sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} - \frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)} - \tfrac{1}{2} \log (1-x^{-2}).</math> | ||
(संख्यात्मक मान {{math|{{sfrac|''ζ{{prime}} ''(0)|''ζ'' (0)}}}} | (संख्यात्मक मान {{math|{{sfrac|''ζ{{prime}} ''(0)|''ζ'' (0)}}}} {{math|log(2π)}} है।) यहाँ {{mvar|ρ}} जीटा फलन के गैर तुच्छ शून्यों पर चलता है, और {{math|''ψ''<sub>0</sub>}} और {{mvar|ψ}} के समान है, अतिरिक्त इसके कि इसकी [[कूदना बंद करो|जम्प असंततता]] (मुख्य शक्तियां) पर यह मान को बाईं ओर के मानों के मध्य आधा ले जाता है और सही: | ||
:<math>\psi_0(x) | :<math>\psi_0(x) | ||
| Line 107: | Line 107: | ||
=\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px] | =\begin{cases} \psi(x) - \tfrac{1}{2} \Lambda(x) & x = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\dots \\ [5px] | ||
\psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math> | \psi(x) & \mbox{otherwise.} \end{cases}</math> | ||
प्राकृतिक लघुगणक के लिए [[टेलर श्रृंखला]] से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम | प्राकृतिक लघुगणक के लिए [[टेलर श्रृंखला]] से, स्पष्ट सूत्र में अंतिम पद को योग {{math|{{sfrac|''x<sup>ω</sup>''|''ω''}}}} के रूप में अध्ययन किया जा सकता है जीटा फलन के तुच्छ शून्यों पर, {{math|''ω'' {{=}} −2, −4, −6, ...}}, है। | ||
:<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).</math> | :<math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{-2k}}{-2k} = \tfrac{1}{2} \log \left( 1 - x^{-2} \right).</math> | ||
इसी प्रकार, | इसी प्रकार, प्रथम पद, {{math|''x'' {{=}} {{sfrac|''x''<sup>1</sup>|1}}}}, 1 पर जीटा फलन के सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) से युग्मित है। यह शब्द के अतिरिक्त ध्रुव है जो पद के विपरीत संकेत को दर्शाता है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
[[एरहार्ड श्मिट]] के कारण | [[एरहार्ड श्मिट]] के कारण प्रमेय में कहा गया है कि, कुछ स्पष्ट सकारात्मक स्थिरांक {{mvar|K}}, के लिए, अनंत रूप से कई प्राकृतिक संख्याएँ {{mvar|x}} हैं जैसे कि, | ||
:<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math> | :<math>\psi(x)-x < -K\sqrt{x}</math> | ||
| Line 120: | Line 120: | ||
:<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}.</math>{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}} | :<math>\psi(x)-x > K\sqrt{x}.</math>{{ref|Sch03}}{{ref|Hard16}} | ||
बिग-ओ नोटेशन में | बिग-ओ नोटेशन में छोटा-{{mvar|o}} अंकन, को उपरोक्त के रूप में लिख सकता है: | ||
:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).</math> | :<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\right).</math> | ||
हार्डी और लिटिलवुड{{ref|Hard16}}स्थिर परिणाम प्रमाणित करते हैं कि, | |||
:<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).</math> | :<math>\psi(x)-x \ne o\left(\sqrt{x}\,\log\log\log x\right).</math> | ||
== सर्वप्रथम से संबंध == | |||
== | सर्वप्रथम चेबिशेव फलन {{mvar|x}}, के प्राइमोरियल का लघुगणक है, जिसे {{math|''x'' #}} से निरूपित किया गया है: | ||
:<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).</math> | :<math>\vartheta(x) = \sum_{p \le x} \log p = \log \prod_{p\le x} p = \log\left(x\#\right).</math> | ||
इससे सिद्ध होता है कि | इससे सिद्ध होता है कि सर्वप्रथम {{math|''x'' #}} स्पर्शोन्मुख रूप से {{math|''e''<sup>(1  + ''o''(1))''x''</sup>}} के समान है, जहाँ {{mvar|o}} छोटा-{{mvar|o}} अंकन है (बड़ा {{mvar|O}} अंकन देखें) और अभाज्य संख्या प्रमेय {{math|''p''<sub>''n''</sub> #}} के साथ मिलकर स्पर्शोन्मुख व्यवहार स्थापित करता है। | ||
== | == अभाज्य-गणना फलन से संबंध == | ||
चेबिशेव | चेबिशेव फलन को अभाज्य-गणना फलन से निम्नानुसार संबंधित किया जा सकता है। परिभाषित करना; | ||
:<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.</math> | :<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \frac{\Lambda(n)}{\log n}.</math> | ||
| Line 142: | Line 140: | ||
:<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.</math> | :<math>\Pi(x) = \sum_{n \leq x} \Lambda(n) \int_n^x \frac{dt}{t \log^2 t} + \frac{1}{\log x} \sum_{n \leq x} \Lambda(n) = \int_2^x \frac{\psi(t)\, dt}{t \log^2 t} + \frac{\psi(x)}{\log x}.</math> | ||
{{math|Π}} अभाज्य-गणना फलन से {{mvar|π}} में संक्रमण समीकरण के माध्यम से किया जाता है: | |||
:<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots</math> | :<math>\Pi(x) = \pi(x) + \tfrac{1}{2} \pi\left(\sqrt{x}\,\right) + \tfrac{1}{3} \pi\left(\sqrt[3]{x}\,\right) + \cdots</math> | ||
निश्चित रूप से {{math|''π'' (''x'') ≤ ''x''}}, इसलिए | निश्चित रूप से {{math|''π'' (''x'') ≤ ''x''}}, इसलिए अनुमान के लिए, इस अंतिम संबंध को इस रूप में दोबारा बनाया जा सकता है: | ||
: | |||
<math>\pi(x) = \Pi(x) + O\left(\sqrt{x}\,\right).</math> | |||
== रीमैन परिकल्पना == | == रीमैन परिकल्पना == | ||
रीमैन परिकल्पना | रीमैन परिकल्पना में कहा गया है कि ज़ेटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्य का [[वास्तविक भाग]] {{sfrac|1|2}} होता है, इस स्तिथि में, {{math|{{abs|''x''<sup> ''ρ''</sup>}} {{=}} {{sqrt|''x''}}}}, और यह दिखाया जा सकता है: | ||
:<math>\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).</math> | :<math>\sum_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho} = O\!\left(\sqrt{x}\, \log^2 x\right).</math> | ||
उपरोक्त से इसका तात्पर्य है | उपरोक्त से इसका तात्पर्य है | ||
:<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).</math> | :<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O\!\left(\sqrt{x}\, \log x\right).</math> | ||
परिकल्पना सत्य हो सकती है इसका उत्तम प्रमाण [[ एलेन कोन्स |एलेन कोन्स]] और अन्य द्वारा प्रस्तावित तथ्य से मिलता है, कि यदि हम {{mvar|x}} के संबंध में वॉन मैंगोल्ड्ट सूत्र को भिन्न करते हैं तो हमें {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup> ''u''</sup>}} प्राप्त होता है। परिवर्तन करते हुए, हमारे पास हैमिल्टनियन संचालन के घातांक को संतुष्ट करने के लिए "ट्रेस फॉर्मूला" है; | |||
:<math>\left. \zeta\big(\tfrac{1}{2}+i \hat H \big)\right|n \ge \zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+iE_n\right) = 0,</math> | :<math>\left. \zeta\big(\tfrac{1}{2}+i \hat H \big)\right|n \ge \zeta\!\left(\tfrac{1}{2}+iE_n\right) = 0,</math> | ||
और | और | ||
:<math>\sum_n e^{iu E_n} = Z(u) = e^{\frac{u}{2}} - e^{-{\frac{u}{2}}} \frac{d\psi_0}{du}-\frac{e^\frac{u}{2}}{e^{3u}-e^u} = \operatorname{Tr}\!\big(e^{iu\hat H }\big),</math> | :<math>\sum_n e^{iu E_n} = Z(u) = e^{\frac{u}{2}} - e^{-{\frac{u}{2}}} \frac{d\psi_0}{du}-\frac{e^\frac{u}{2}}{e^{3u}-e^u} = \operatorname{Tr}\!\big(e^{iu\hat H }\big),</math> | ||
जहां त्रिकोणमितीय | जहां त्रिकोणमितीय योग को ऑपरेटर ([[सांख्यिकीय यांत्रिकी]]) {{math|''e''<sup> ''iuĤ''</sup>}} का प्रतीक माना जा सकता है , जो केवल तभी सत्य है यदि {{math|''ρ'' {{=}} {{sfrac|1|2}} + ''iE''(''n'')}}. | ||
अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग | अर्धशास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए {{math|''H'' {{=}} ''T'' + ''V''}} की क्षमता संतुष्ट करती है: | ||
:<math>\frac{Z(u)u^\frac12}{\sqrt \pi }\sim \int_{-\infty}^\infty e^{i \left(uV(x)+ \frac{\pi}{4} \right)}\,dx</math> | :<math>\frac{Z(u)u^\frac12}{\sqrt \pi }\sim \int_{-\infty}^\infty e^{i \left(uV(x)+ \frac{\pi}{4} \right)}\,dx</math> | ||
साथ {{math|''Z'' (''u'') → 0}} जैसा{{math|''u'' → ∞}}. | साथ {{math|''Z'' (''u'') → 0}} जैसा{{math|''u'' → ∞}}. | ||
इस गैर-रैखिक [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के | इस गैर-रैखिक [[अभिन्न समीकरण]] का समाधान (दूसरों के मध्य) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है | ||
:<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{d^\frac12}{dx^\frac12} N(x)</math> | :<math>V^{-1} (x) \approx \sqrt {4\pi}\cdot \frac{d^\frac12}{dx^\frac12} N(x)</math> | ||
क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए: | क्षमता का व्युत्क्रम प्राप्त करने के लिए: | ||
| Line 175: | Line 171: | ||
== चौरसाई | == चौरसाई फलन == | ||
[[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव | [[Image:Chebyshev-smooth.svg|thumb|right|चिकने चेबीशेव फलन का अंतर और {{math|{{sfrac|''x''<sup> 2</sup>|2}}}} | ||
के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]चौरसाई | के लिए {{math|''x'' < 10<sup>6</sup>}}]]चौरसाई फलन के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math> | :<math>\psi_1(x) = \int_0^x \psi(t)\,dt.</math> | ||
| Line 185: | Line 181: | ||
== परिवर्तनशील सूत्रीकरण == | == परिवर्तनशील सूत्रीकरण == | ||
चेबिशेव | चेबिशेव फलन का मूल्यांकन किया गया {{math|''x'' {{=}} ''e''<sup> ''t''</sup>}} [[कार्यात्मक (गणित)]] को कम करता है | ||
:<math>J[f] = \int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,</math> | :<math>J[f] = \int_{0}^{\infty}\frac{f(s)\zeta' (s+c)}{\zeta(s+c)(s+c)}\,ds-\int_{0}^{\infty}\!\!\!\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(s)f(t)\,ds\,dt,</math> | ||
Revision as of 09:49, 5 July 2023
File:Chebyshev.svg
कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 104
File:Chebyshev-big.svg
कार्यक्रम ψ (x) − x, के लिए x < 107
गणित में, चेबीशेव फलन या तो स्केलराइजिंग फलन (चेबीशेफ फलन) या दो संबंधित फलनों में से है। प्रथम चेबिशेव फलन ϑ (x) या θ (x) द्वारा दिया गया है: