समीकरण: Difference between revisions

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{{Infobox person
| name              = समीकरण
| image              = [[File:Algebraic equation notation.svg|150px]]
}}
== समीकरण बनाना ==
== समीकरण बनाना ==
किसी भी प्रकार के समीकरण के वास्तविक समाधान की ओर बढ़ने से पहले, इसे हल के लिए तैयार करने के लिए कुछ प्रारंभिक संक्रियाओं को करना आवश्यक है।
वास्तविक समाधान में जाने से पहले, हमें समीकरणों  पर कुछ प्रारंभिक संचालन करने की आवश्यकता है।
 
हमें प्रस्तावित प्रश्न  की दी गई शर्तों से समीकरण (''समी-करण, समी-करा या समी-क्रिया''; ''समा, बराबर'' और ''कर्''  से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने की आवश्यकता है। इसके लिए बीजगणित या अंकगणित की एक या एक से अधिक मूलभूत संक्रियाओं को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।
 
[[भास्कर द्वितीय]] कहते हैं: "''यावत्-तावत्'' " को अज्ञात मात्रा का मान/मूल्य  मान लें। फिर ठीक वैसा ही करें, जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है- किसी समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या भाग देना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
[[File:Equation illustration colour.svg|thumb|बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण]]
 
== बीजीय व्यंजक और बीजीय समीकरण ==
बीजीय व्यंजक को निम्न उदाहरण <ref>भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन।''(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1''. Samskrit Promotion Foundation.) 2021. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/978-81-951757-2-7|<bdi>978-81-951757-2-7</bdi>]].</ref>से समझा जा सकता है।
 
राम कहता है कि उसके पास श्याम से 10 सिक्के ज्यादा हैं। हम ठीक से नहीं जानते कि श्याम के पास कितने सिक्के  हैं। उसके पास कितने भी सिक्के हो सकते हैं। लेकिन हम जानते हैं कि राम के सिक्कों की संख्या = श्याम  के सिक्कों की संख्या + 10
 
हम 'श्याम  के सिक्कों की संख्या' को अक्षर x से निरूपित करेंगे। यहाँ x अज्ञात है जो 1, 2, 3, 4 आदि हो सकता है।


अभी भी अधिक प्रारंभिक कार्य प्रस्तावित समस्या की स्थितियों से समीकरण (सामी-करण, सामी-कारा या सामी-क्रिया; समा, बराबर और कु से करना; इसलिए शाब्दिक रूप से, समान बनाना) बनाने का है। इस तरह के प्रारंभिक कार्य के लिए बीजगणित या अंकगणित के एक या एक से अधिक मौलिक संचालन के आवेदन की आवश्यकता हो सकती है।
x का प्रयोग करके हम लिखते हैं,


भास्कर द्वितीय कहते हैं: "यावत-तावत को अज्ञात मात्रा के मूल्य के रूप में माना जाता है। फिर जैसा कि विशेष रूप से बताया गया है-एक समीकरण के दो बराबर पक्षों को घटाना, जोड़ना, गुणा करना या विभाजित करना बहुत सावधानी से बनाया जाना चाहिए।
राम के सिक्कों की संख्या = x+10


== बीजीय संकेतन ==
अत: 'x + 10' एक बीजीय व्यंजक है।


* अज्ञात संख्याओं के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों में यस्वत-तस्वत् (जितना जितना हो) के प्रारंभिक शब्दांश, कासलका (काला) का कश, नलका (नीला) का नंबर, पुत (पीला) आदि का पु शामिल है।
बीजगणित प्रतीकों के प्रयोग का उपयोग करता है। ये प्रतीक अज्ञात मात्राओं और उनके साथ किए गए कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। निम्नलिखित तालिका में वे प्रतीक दिए गए हैं, जिनका उपयोग प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा कुछ बुनियादी कार्यों के लिए किया गया था।
* दो अज्ञातों के गुणनफल को उनके बाद रखे भाविता (उत्पाद) के प्रारंभिक शब्दांश भा द्वारा दर्शाया जाता है। शक्तियों को वर्गा (वर्ग), घाना के घ (घन) के प्रारंभिक अक्षरों वा द्वारा दर्शाया गया है; वावा का मतलब वर्गवर्ग, चौथी शक्ति है। कभी-कभी घट (उत्पाद) का प्रारंभिक शब्दांश घा शक्तियों के योग के लिए होता है।
{| class="wikitable"
* प्रतीक के बगल में एक गुणांक रखा गया है। अचर पद को rūpa (रूप) के प्रारंभिक प्रतीक rū द्वारा निरूपित किया जाता है।
|+
* ऋणात्मक पूर्णांक के ऊपर एक बिंदु रखा गया है
!क्रमांक
* एक समीकरण के दो पक्षों को एक दूसरे के नीचे रखा जाता है। इस प्रकार समीकरण X4 - 2X2 - 400x = 9999; के रूप में लिखा गया है
!बीजीय व्यंजक का संघटक
यावव 1 याव 2● या 400● 0
! संस्कृत शब्द
!प्रतीक/चिह्न
!उदाहरण
!
|-
| 1
|अज्ञात
|यावत्तावत्
कालकः


यावव 0 याव 0 या रू 9999
नीलकः , ......
|या
का


जिसका अर्थ है या के लिए x लिखना
नी , ........
|या ३५
का १४


x<sup>4</sup> -2x<sup>2</sup> -400x+0 = 0x<sup>4</sup> +0x<sup>2</sup>+0x+9999
नी ८२
|35x
14y


यदि कई अज्ञात हैं, तो एक ही तरह के लोगों को एक ही कॉलम में शून्य गुणांक के साथ लिखा जाता है, यदि आवश्यक हो। इस प्रकार समीकरण
82z
|-
|2
|योगफल
|योगः
|<nowiki>-</nowiki>
|या का
या ३५ का १४
|x + y
35x + 14y
|-
|3
|गुणनफल
|भावितम्
|भा
|याकाभा
याकाभा  ३२
|xy
32xy
|-
| 4
|वर्ग
| वर्गः
|व
|याव
|x<sup>2</sup>
|-
|5
| घनक्षेत्र
|घनः
|घ
|याघ
|x<sup>3</sup>
|-
|6
|चौथी शक्ति
|वर्ग​-वर्गः
|वव
|यावव
|x<sup>4</sup>
|-
|7
|स्थायी अवधि
|रूपम्
|रू
|रू ३२
|32
|-
|8
|ऋणात्मक
|ऋणम्
| मात्रा के ऊपर बिंदु  (.)
|'''.'''
रू ४३२
| -432
|}


197x - 1644y - z = 6302 द्वारा दर्शाया गया है
अक्षर '<nowiki/>''या'' '(''यावत्-तावत्''  का संक्षिप्त रूप),अज्ञात मात्रा का सबसे लोकप्रिय प्रतिनिधित्व था। इसके वर्ग को '<nowiki/>''याव'' ' कहा जाता था, जो ''यावत्-तावत्-वर्ग'' (''वर्ग''  का अर्थ वर्ग) का संक्षिप्त नाम था। स्थिर पद को '''रू'' 'अक्षर से निरूपित किया गया था, जो ''रूपा''  का एक संक्षिप्त नाम है जैसा कि उपरोक्त तालिका में दिखाया गया है। समीकरण में किसी भी ऋणात्मक चिह्न को पद के ऊपर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है।


या 197 का 1644● नी 1● रु 0
यदि किसी व्यंजक में तीन अज्ञात मात्राएँ हैं, तो प्रयुक्त चिह्न ''या'' , ''का'', और ''नी''   हैं। ये ''यावत्-तावत्,'' ''कालका'' और ''नीलका''  के संक्षिप्त रूप हैं। पहली दो अज्ञात मात्राओं के गुणनफल को ''याकाभा'' के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ ''या''  और ''का''  दो अज्ञात हैं और ''भा''  उनके गुणनफल के लिए है।


या 0 का 0 नी 0 रु 6302
निम्नलिखित तालिका प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा प्रयुक्त कुछ बीजीय व्यंजकों का निरूपण करती है।
{| class="wikitable"
|+
!क्रमांक
!आधुनिक संकेतन
!प्राचीन भारतीय संकेतन
|-
|1
|x + 17
|या १ रू १७
|-
|2
|7x - 17
|या ७ रू १७<sup>'''.'''</sup>
|-
|3
|18x – 8
|या १८ रू ८<sup>'''.'''</sup>
|-
|4
|15x<sup>2</sup> + 17x - 2
|याव १५ या ७ रू २<sup>'''.'''</sup>
|-
|5
|1x<sup>4</sup> + 16x<sup>3</sup> + 25x<sup>2</sup> + 8x + 6
|यावव १ याघ १६ याव २५ या ८ रू ६
|-
|6
|8x<sup>2</sup> + 12xy - 6xz -16x
|याव ८ याकाभा १२ यानीभा ६<sup>'''.'''</sup> या १६<sup>'''.'''</sup>
|}


जिसका अर्थ है, k के लिए y और ni . के लिए z डालना
हम देखेंगे कि प्राचीन भारतीय गणितज्ञों द्वारा बीजीय व्यंजक कैसे लिखे जाते हैं।


197x - 1644y - z + 0 = 0x + 0y + 0z + 6302।
समीकरण 10x - 8 = x<sup>2</sup> +1 पर विचार करें


भास्कर द्वितीय कहते हैं:
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है,
 
0x<sup>2</sup> + 10x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 1
 
x<sup>2</sup>, x<sup>1</sup>, x<sup>0</sup> (स्थिर पद/अवधि) की स्थितियों का निरीक्षण करने पर कुछ स्वरूप मिलता है? समीकरण लिखने का सामान्य तरीका x की उच्चतम घात से प्रारंभ होता है। तब x की घातों को उसके निम्नतम घात तक अवरोही क्रम(descending order) में लिखा गया था। समीकरण लिखने के इस प्रारूप का अनुसरण प्राचीन काल से गणितज्ञों द्वारा किया जाता रहा है।
 
[[ब्रह्मगुप्त]] ने समीकरण को ''समकरण''  या ''संकरण''  कहा है। इसका अर्थ है 'समान बनाना'। एक समीकरण के दो पक्षों (LHS और RHS) को एक के नीचे एक लिखा गया था।  प्रतीक '=' का प्रयोग नहीं किया गया था। एक समीकरण के दोनों पक्षों को अज्ञात के लिए उपयुक्त मान (मानों) को खोजने के द्वारा समान बनाया गया था।
 
चतुर्वेद पृथूदकस्वामिन् (864 ईस्वी) ने ब्रह्म-स्फूट-सिद्धांत पर अपनी टिप्पणी में समीकरण 40x - 48 = x<sup>2</sup> + 51 को नीचे के रूप में लिखा है
{| class="wikitable"
|+
!देवनागरी
!लिप्यंतरण
!
!आधुनिक संकेतन
|-
|याव ०  या ४०  रू ४८'''<sup>.</sup>'''
याव १  या ०    रू ५१
|याव  0 या  40 rū 48'''<sup>.</sup>'''
याव  1 या  0 rū  51
|⇒
|0x<sup>2</sup> + 0 x - 8 = 1x<sup>2</sup> + 0x + 51
|}
भास्कर द्वितीय के बीजगणित से समीकरण का एक और उदाहरण यहां दिया गया है:
 
x<sup>4</sup> - 2x<sup>2</sup> - 400x = 9999
 
इसे इस प्रकार दर्शाया गया है,
 
यावव १ याव २'''<sup>.</sup>'''   या  ४<sup>'''.'''</sup>०० रू ०
 
यावव ० याव ०   या  ०       रू ९९९९
 
== बीजीय व्यंजकों के साथ संक्रिया ==
 
 
भास्कर द्वितीय बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करते हुए संक्रियाएँ इस प्रकार देते  हैं :
 
''स्याद्रूपवर्णाभिहतौ तु वर्णो द्वित्र्यादिकानां समजातिकानाम् ॥''
 
''वधे तु तद्वर्गघनादयः स्युस्तद्भावितं चासमजातिघाते।''
 
''भागादिकं रूपवदेव शेषं व्यक्ते यदुक्तं गणिते तदत्र ॥''<ref>बीजगणित, अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम 6,7, पृ.8(Bījagaṇita, ch. Avyaktādi-guṇana, vs.6,7, p.8)</ref>
 
"एक संख्यात्मक स्थिरांक और एक अज्ञात मात्रा का गुणनफल एक अज्ञात मात्रा है। दो या तीन समान पदों के गुणनफल उनके वर्ग या घन (क्रमशः) होते हैं। विषम पदों का गुणनफल ''भाविता''  है। भिन्न आदि ज्ञात की स्थति में हैं। अन्य (प्रक्रियाएं) वही हैं जो अंकगणित में बताए गए हैं।"
 
=== बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव ===
भास्कर  द्वितीय अज्ञात मात्राओं के जोड़ और घटाव का नियम इस प्रकार देते  हैं:
 
''योगोऽन्तरं तेषु समानजात्योर्विभिन्नजात्योश्च पृथक् स्थितिश्च।''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्त-संकलन-व्यवकलन, बनाम 6, पृ.7(Bījagaṇita ch. Avyakta-saṅkalana-vyavakalana, vs.6, p.7)</ref>
 
"जोड़ और घटाव समान पदों के बीच किया जाता है। विपरीत/विषम शब्दों को अलग रखा जाना चाहिए।"
 
'''व्याख्या:'''
 
जोड़ और घटाव समान पदों के साथ किया जा सकता है, और विपरीत पदों को अलग-अलग रखा जाना होता है। समान घातों के लिए उठाए गए समान अक्षर चर को समान पदों के रूप में माना जाता है। उदा., ''या  ४,या  ५, या  ६''  समान पद हैं। ''याव  ७, याव ८, याव  ९''  भी समान पद  हैं। ''का ३, का ७, का १५''  भी समान पद हैं। वर्तमान में हम कहते हैं कि 4x, 5x, 6x समान पद हैं। इसी प्रकार 7x<sup>2</sup>, 8x<sup>2</sup>, 9x<sup>2</sup> समान पद हैं। और 3y, 7y, 15y भी समान पद हैं।जब हमारे पास समान पद होते हैं, तो योग और अंतर को सरल बनाया जा सकता है। उदा. 4x + 6x को 10x के रूप में सरल बनाया जा सकता है। 9x<sup>2</sup> - 7x<sup>2</sup> को 2x<sup>2</sup> के रूप में सरल बनाया जा सकता है।
 
विपरीत पद वे पद हैं, जिनमें भिन्न-भिन्न चर या भिन्न-भिन्न घात वाले चर होते हैं। उदा: ''या''  ३, ''याव''  ३, ''याघ''  ४, ''का''  ५, ''काव'', ''याकाभा'' । आधुनिक संकेतन में, इन्हें 3x, 3x<sup>2</sup>, 4x<sup>3</sup>, 5y, y<sup>2</sup>, xy के रूप में दर्शाया जाता है।
 
=== बीजीय व्यंजकों का गुणन ===
बीजगणित गुणन का नियम देता इस प्रकार देता है -
 
''गुण्यः पृथग्गुणकखण्डसमो निवेश्यस्तैः खण्डकैः क्रमहतः सहितो यथोक्त्या।''
 
''अव्यक्तवर्गकरणीगणनास चिन्त्यो व्यक्तोक्तखण्डगुणनाविधिरेवमत्र॥''<ref>बीजगणित अध्या. अव्यक्तदि-गुणन , बनाम.8, पृ.8(Bījagaṇita ch. Avyaktādi-guṇana, vs.8, p.8)</ref>
 
"गुण्य को गुणक के पदों के रूप में कई स्थानों पर रखें। गुणक के पदों को अलग-अलग क्रम से गुणा करें और प्रश्न  में निर्देशानुसार परिणाम जोड़ें। यह अज्ञात संख्याओं और करणी (surd/सर्ड) के वर्गों कि स्थिति में भी लागू होता है। अंकगणितीय संख्याओं के स्थिति  में बताई गई आंशिक  गुणनफलों  (partial products) की विधि यहां भी लागू होती है।"
 
'''व्याख्या'''
{| class="wikitable"
!प्राचीन भारतीय संकेतन
!आधुनिक संकेतन
|-
|यदि या २ रू ४ और या ३ रू ५ क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|यदि 2x +  4  और 3x + 5 क्रमशः गुण्य और गुणक हैं,


"फिर इसके एक तरफ अज्ञात (समीकरण) को दूसरी तरफ अज्ञात से घटाया जाना चाहिए, इसी तरह अज्ञात के वर्ग और अन्य शक्तियां भी;
उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
|-
|गुणक के दो पद होते हैं, अर्थात् या ३  और रू ५
|गुणक के दो पद हैं, अर्थात् 3x और 5
|-
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(या २ रू ४)) X या ३ = याव ६ या १२


दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं को दूसरी तरफ की ज्ञात मात्राओं से घटाया जाना चाहिए।"
(या २ रू ४)) X रू ५ = या १० रू २०
|गुण्य को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।
(2x +  4) X 3x  = 6x<sup>2</sup> + 12x


निम्नलिखित दृष्टांत भास्कर II के बीजगणित से है:
(2x +  4) X 5  = 10x + 20
|-
|परिणाम जोड़ें।
गुणन परिणाम है:: याव् ६ या २२ रू २०
|परिणाम जोड़ें।


"इस प्रकार दोनों पक्ष हैं
गुणन परिणाम है: 6x<sup>2</sup> + 22x + 20
|}


हां 4 या 34● रु 72
यदि <math>ax + b</math> और <math>cx+d</math> क्रमशः गुण्य और गुणक हैं, तो उनका गुणनफल निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:


हां वा 0 या 0 रु 90
गुणक के दो पद हैं, अर्थात् cx और d। गुणक को दो स्थानों पर रखें। उन्हें गुणक के पदों से अलग से गुणा करें जैसा कि दिखाया गया है।


पूर्ण समाशोधन (समाशोधन) पर, दोनों पक्षों के अवशेष हैं
<math>(ax+b) cx = acx^2+bcx</math>


या वा 4 या 34● रु 0
<math>(ax+b)d = adx+bd</math>


हां वा 0 या 0 रु 18
परिणाम जोड़ें।


यानी, 4x<sup>2</sup> -34x= 18
गुणन परिणाम है: <math>acx^2+(bc+ad)x+bd</math>


== समीकरणों का वर्गीकरण ==
== समीकरणों का वर्गीकरण ==
ऐसा लगता है कि समीकरणों का सबसे पहला हिंदू वर्गीकरण उनकी डिग्री के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से यवत तवत कहा जाता है), द्विघात (वर्गा), घन (घाना) और द्विघात (वर्ग-वर्ग)। इसका संदर्भ लगभग 300 ईसा पूर्व के एक विहित कार्य में मिलता है। लेकिन आगे की पुष्टि के सबूत के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (एक-वर्ण-समीकरण), (2) कई अज्ञात में समीकरण (अनेक-वर्ण-समीकरण), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (भैविता) )
लगभग 300 ई.पू. के विहित कार्य में यह पाया गया है कि समीकरणों का हिंदू वर्गीकरण उनकी घातों  के अनुसार हुआ है, जैसे कि सरल (तकनीकी रूप से ''यावत्-तावत्''  कहा जाता है), द्विघात (''वर्ग''), घनीय(''घन'') और द्विघात (''वर्ग-वर्ग''))।
 
लेकिन आगे के पुष्ट प्रमाणों के अभाव में, हम इसके बारे में सुनिश्चित नहीं हो सकते। ब्रह्मगुप्त (628) ने समीकरणों को इस प्रकार वर्गीकृत किया है: (I) एक अज्ञात में समीकरण (''एक-वर्ण-समीकरण''), (2) कई अज्ञात में समीकरण (''अनेक-वर्ण-समीकरण''), और (3) अज्ञात के उत्पादों से जुड़े समीकरण (''भैविता'')।
 
एक अज्ञात में समीकरणों (''एक-वर्ण-समीकरण'') को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया जाता है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (''अव्यक्त-वर्ग-समीकरण'')।यहाँ से हमारे पास, समीकरणों को उनकी घातों के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है।


प्रथम वर्ग को फिर से दो उप वर्गों में विभाजित किया गया है, अर्थात, (i) रैखिक समीकरण, और (ii) द्विघात समीकरण (अव्यक्त-वर्ग-समिकरण)। यहाँ से हमारे पास समीकरणों को उनकी डिग्री के अनुसार वर्गीकृत करने की हमारी वर्तमान पद्धति की शुरुआत है। पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण पद्धति थोड़ी भिन्न है। उनके चार वर्ग हैं: (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण . चूँकि तृतीय वर्ग के समीकरण को हल करने की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को मध्यमाहारन (मध्यम से, "मध्य", अहारण "उन्मूलन", इसलिए अर्थ "उन्मूलन" कहा जाता है। मध्य अवधि का")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।
चतुर्वेद पृथुदकास्वामी (860) द्वारा अपनाई गई वर्गीकरण की पद्धति थोड़ी भिन्न है। उन्होंने वर्गीकृत इस प्रकार किया है : (1) एक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (2) अधिक अज्ञात के साथ रैखिक समीकरण, (3) उनकी दूसरी और उच्च घातों में एक, दो या अधिक अज्ञात के साथ समीकरण, और (4) अज्ञात के उत्पादों को शामिल करने वाले समीकरण। चूंकि तृतीय वर्ग के समीकरण के समाधान की विधि मध्य पद के उन्मूलन के सिद्धांत पर आधारित है, इसलिए उस वर्ग को ''मध्यमाहारण'' (मध्यम से, "''मध्य''", अहारण "''उन्मूलन''", इसलिए अर्थ -" मध्य अवधि का उन्मूलन" कहा जाता है।")। अन्य वर्गों के लिए, ब्रह्मगुप्त द्वारा दिए गए पुराने नामों को बरकरार रखा गया है। वर्गीकरण की इस पद्धति का अनुसरण बाद के लेखकों ने किया है।


भास्कर II तीसरे वर्ग में दो प्रकारों को अलग करता है, viz" (i) अपनी दूसरी और उच्च शक्तियों में एक अज्ञात में समीकरण और (ii) दूस