एकसमान अभिसरण: Difference between revisions

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विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, समान अभिसरण बिंदुवार अभिसरण से अधिक प्रबल कार्यों के अभिसरण का एक विधि है। कार्य का एक क्रम <math>(f_n)</math> सेट <math>E</math> पर कार्य डोमेन के रूप में एक सीमित कार्य <math>f</math> में समान रूप से परिवर्तित होता है, यदि कोई इच्छानुसार से छोटी सकारात्मक संख्या <math>\epsilon</math> दी गई हो, तो एक संख्या <math>N</math> पाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक कार्य <math>f_N, f_{N+1},f_{N+2},\ldots</math> <math>E</math> में प्रत्येक बिंदु <math>x</math> पर <math>f</math> से <math>\epsilon</math> से अधिक भिन्न नहीं है। अनौपचारिक विधि से वर्णित है, यदि <math>f_n</math> समान रूप से <math>f</math> में परिवर्तित होता है, तो वह दर जिस पर<math>f_n(x)</math>, <math>f(x)</math> तक पहुंचता है निम्नलिखित अर्थों में अपने संपूर्ण डोमेन में "समान" है: यह दिखाने के लिए कि <math>f_n(x)</math>समान रूप से एक निश्चित दूरी <math>f(x)</math>के अंदर आता है, हमें प्रश्न में <math>\epsilon</math> का मान जानने की आवश्यकता नहीं है — प्रश्न में <math>x\in E</math> का एक ही मान पाया जा सकता है -<math>N=N(\epsilon)</math> का एक ही मान पाया जा सकता है से स्वतंत्र, जैसे कि <math>n\geq N</math> चुनने से यह सुनिश्चित हो जाएगा कि <math>f_n(x)</math> सभी <math>x\in E</math> के लिए <math>f(x)</math> के <math>\epsilon</math> के अंदर है। इसके विपरीत, <math>f_n</math> से <math>f</math> का बिंदुवार अभिसरण केवल यह आश्वासन देता है कि पहले से दिए गए किसी भी <math>x\in E</math> के लिए, हम <math>N=N(\epsilon, x)</math> पा सकते हैं (अथार्त , <math>N</math>, <math>x</math> के मान पर निर्भर हो सकता है) जैसे कि, उस विशेष <math>x</math> के लिए,<math>f_n(x)</math> <math>\epsilon</math> के अंतर्गत आता है <math>f(x)</math> का जब भी <math>n\geq N</math> (एक अलग x को बिंदुवार अभिसरण के लिए एक अलग N की आवश्यकता होती है)।
 
विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, समान अभिसरण बिंदुवार अभिसरण से अधिक प्रबल कार्यों के अभिसरण का एक विधि है। कार्य का एक क्रम <math>(f_n)</math> सेट <math>E</math> पर कार्य डोमेन के रूप में एक सीमित कार्य <math>f</math> में समान रूप से परिवर्तित होता है, यदि कोई इच्छानुसार से छोटी सकारात्मक संख्या <math>\epsilon</math> दी गई हो, तो एक संख्या <math>N</math> पाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक कार्य <math>f_N, f_{N+1},f_{N+2},\ldots</math> <math>E</math> में प्रत्येक बिंदु <math>x</math> पर <math>f</math> से <math>\epsilon</math> से अधिक भिन्न नहीं है। अनौपचारिक विधि से वर्णित है, यदि <math>f_n</math> समान रूप से <math>f</math> में परिवर्तित होता है, तो वह दर जिस पर<math>f_n(x)</math>, <math>f(x)</math> तक पहुंचता है निम्नलिखित अर्थों में अपने संपूर्ण डोमेन में "समान" है: यह दिखाने के लिए कि <math>f_n(x)</math>समान रूप से एक निश्चित दूरी <math>f(x)</math>के अंदर आता है, हमें प्रश्न में <math>\epsilon</math> का मान जानने की आवश्यकता नहीं है — प्रश्न में <math>x\in E</math> का एक ही मान पाया जा सकता है -<math>N=N(\epsilon)</math> का एक ही मान पाया जा सकता है से स्वतंत्र, जैसे कि <math>n\geq N</math> चुनने से यह सुनिश्चित हो जाएगा कि <math>f_n(x)</math> सभी <math>x\in E</math> के लिए <math>f(x)</math> के <math>\epsilon</math> के अंदर है। इसके विपरीत, <math>f_n</math> से <math>f</math> का बिंदुवार अभिसरण केवल यह आश्वासन देता है कि पहले से दिए गए किसी भी <math>x\in E</math> के लिए, हम <math>N=N(\epsilon, x)</math> पा सकते हैं (अथार्त , <math>N</math>, <math>x</math> के मान पर निर्भर हो सकता है) जैसे कि, उस विशेष <math>x</math> के लिए,<math>f_n(x)</math> <math>\epsilon</math> के अंतर्गत आता है <math>f(x)</math> का जब भी <math>n\geq N</math> (एक अलग x को बिंदुवार अभिसरण के लिए एक अलग N की आवश्यकता होती है)।


कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने आए। यह अवधारणा, जिसे पहली बार कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, महत्वपूर्ण है क्योंकि कार्यों <math>f_n</math> के कई गुण, जैसे निरंतरता, रीमैन इंटीग्रेबिलिटी, और, अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ, भिन्नता, अभिसरण होने पर सीमा <math>f</math> में स्थानांतरित हो जाते हैं एक समान है, किंतु जरूरी नहीं कि अभिसरण एक समान न हो।
कैलकुलस के इतिहास में आरंभ में समान अभिसरण और बिंदुवार अभिसरण के बीच अंतर को पूरी तरह से सराहा नहीं गया था, जिससे दोषपूर्ण तर्क के उदाहरण सामने आए। यह अवधारणा, जिसे पहली बार कार्ल वीयरस्ट्रैस द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, महत्वपूर्ण है क्योंकि कार्यों <math>f_n</math> के कई गुण, जैसे निरंतरता, रीमैन इंटीग्रेबिलिटी, और, अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ, भिन्नता, अभिसरण होने पर सीमा <math>f</math> में स्थानांतरित हो जाते हैं एक समान है, किंतु जरूरी नहीं कि अभिसरण एक समान न हो।
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हम पहले वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए समान अभिसरण को परिभाषित करते हैं | वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन, चूँकि अवधारणा को [[मीट्रिक स्थान]] और अधिक सामान्यतः [[एकसमान स्थान]] (यूनिफ़ॉर्म कन्वर्जेंस या सामान्यीकरण देखें) के लिए कार्य मैपिंग के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।
हम पहले वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए समान अभिसरण को परिभाषित करते हैं | वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन, चूँकि अवधारणा को [[मीट्रिक स्थान]] और अधिक सामान्यतः [[एकसमान स्थान]] (यूनिफ़ॉर्म कन्वर्जेंस या सामान्यीकरण देखें) के लिए कार्य मैपिंग के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।


मान लीजिए कि <math>E</math> एक समुच्चय है और <math>(f_n)_{n \in \N}</math> उस पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक क्रम है। हम कहते हैं कि अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> , <math>E</math> पर सीमा <math>f: E \to \R</math> के साथ समान रूप से अभिसरण है यदि प्रत्येक <math>\epsilon > 0,</math> के लिए, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>n \geq N</math> के लिए और सभी <math>x \in E</math> के लिए है  
मान लीजिए कि <math>E</math> एक समुच्चय है और <math>(f_n)_{n \in \N}</math> उस पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक क्रम है। हम कहते हैं कि अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> , <math>E</math> पर सीमा <math>f: E \to \R</math> के साथ समान रूप से अभिसरण है यदि प्रत्येक <math>\epsilon > 0,</math> के लिए, एक प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित है जैसे कि सभी <math>n \geq N</math> के लिए और सभी <math>x \in E</math> के लिए है  


:<math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.</math>
:<math>|f_n(x)-f(x)|<\epsilon.</math>
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:यह इंगित करने के लिए कि अभिसरण एक समान है। (इसके विपरीत, क्रियाविशेषण के बिना E पर अभिव्यक्ति <math>f_n\to f</math> को <math>E</math> पर बिंदुवार अभिसरण के रूप में लिया जाता है: सभी <math> x \in E </math>, <math>f_n(x)\to f(x)</math> के लिए <math>n\to\infty</math> के रूप में है।
:यह इंगित करने के लिए कि अभिसरण एक समान है। (इसके विपरीत, क्रियाविशेषण के बिना E पर अभिव्यक्ति <math>f_n\to f</math> को <math>E</math> पर बिंदुवार अभिसरण के रूप में लिया जाता है: सभी <math> x \in E </math>, <math>f_n(x)\to f(x)</math> के लिए <math>n\to\infty</math> के रूप में है।


चूँकि <math>\R</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, कॉची मानदंड का उपयोग समान अभिसरण के लिए समकक्ष वैकल्पिक सूत्रीकरण देने के लिए किया जा सकता है: <math>(f_n)_{n\in\N}</math>} <math>E</math>पर समान रूप से अभिसरण करता है (पिछले अर्थ में) यदि और केवल तभी यदि प्रत्येक <math> \epsilon > 0 </math> के लिए, ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित होता है
चूँकि <math>\R</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, कॉची मानदंड का उपयोग समान अभिसरण के लिए समकक्ष वैकल्पिक सूत्रीकरण देने के लिए किया जा सकता है: <math>(f_n)_{n\in\N}</math>} <math>E</math>पर समान रूप से अभिसरण करता है (पिछले अर्थ में) यदि और केवल तभी यदि प्रत्येक <math> \epsilon > 0 </math> के लिए, ऐसी कोई प्राकृतिक संख्या <math>N</math> उपस्थित होता है


:<math>x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon</math>.
:<math>x\in E, m,n\geq N \implies |f_m(x)-f_n(x)|<\epsilon</math>.
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:<math>f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0</math>.
:<math>f_n\rightrightarrows f\iff d(f_n,f) \to 0</math>.


अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> को स्थानीय रूप से सीमा <math>f</math> के साथ समान रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि <math>E </math> एक मीट्रिक स्थान है और <math>x\in E</math> में प्रत्येक के लिए, एक<math>r > 0</math> उपस्थित है जैसे कि <math>(f_n)</math> समान रूप से <math>B(x,r)\cap E.</math> पर अभिसरण करता है। यह स्पष्ट है कि एक समान अभिसरण का तात्पर्य स्थानीय समान अभिसरण से है, जिसका तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण से है।
अनुक्रम <math>(f_n)_{n \in \N}</math> को स्थानीय रूप से सीमा <math>f</math> के साथ समान रूप से अभिसरण कहा जाता है यदि <math>E </math> एक मीट्रिक स्थान है और <math>x\in E</math> में प्रत्येक के लिए, एक<math>r > 0</math> उपस्थित है जैसे कि <math>(f_n)</math> समान रूप से <math>B(x,r)\cap E.</math> पर अभिसरण करता है। यह स्पष्ट है कि एक समान अभिसरण का तात्पर्य स्थानीय समान अभिसरण से है, जिसका तात्पर्य बिंदुवार अभिसरण से है।


=== टिप्पणियाँ ===
=== टिप्पणियाँ ===
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== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
<math>x \in [0,1)</math> के लिए, एक समान अभिसरण का एक मूल उदाहरण इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम <math>(1/2)^{x+n}</math>समान रूप से अभिसरण करता है, जबकि <math>x^n</math>नहीं करता. विशेष रूप से, मान लें कि <math>\epsilon=1/4</math> x के मान की परवाह किए बिना, <math>n \geq 2</math> होने पर प्रत्येक फ़ंक्शन<math>(1/2)^{x+n}</math> <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है। दूसरी ओर,<math>x^n</math><math>n</math> के लगातार बढ़ते मानों पर केवल <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है जब <math>x</math>के मानों को 1 के समीप और समीप चुना जाता है (नीचे और अधिक गहराई से समझाया गया है)।
<math>x \in [0,1)</math> के लिए, एक समान अभिसरण का एक मूल उदाहरण इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: अनुक्रम <math>(1/2)^{x+n}</math>समान रूप से अभिसरण करता है, जबकि <math>x^n</math>नहीं करता. विशेष रूप से, मान लें कि <math>\epsilon=1/4</math> x के मान की परवाह किए बिना, <math>n \geq 2</math> होने पर प्रत्येक फ़ंक्शन<math>(1/2)^{x+n}</math> <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है। दूसरी ओर,<math>x^n</math><math>n</math> के लगातार बढ़ते मानों पर केवल <math>1/4</math> से कम या उसके समान होता है जब <math>x</math>के मानों को 1 के समीप और समीप चुना जाता है (नीचे और अधिक गहराई से समझाया गया है)।


एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]]
एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]]
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कार्य के अनुक्रम का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो किसी फ़ंक्शन <math>f</math> में बिंदुवार रूप से परिवर्तित होता है लेकिन समान रूप से नहीं। इसे दिखाने के लिए, हम पहले देखते हैं कि <math>(f_n)</math> की बिंदुवार सीमा <math>n\to\infty</math>के रूप में फ़ंक्शन <math>f</math> है, जो द्वारा दिया गया है
कार्य के अनुक्रम का एक उत्कृष्ट उदाहरण है जो किसी फ़ंक्शन <math>f</math> में बिंदुवार रूप से परिवर्तित होता है लेकिन समान रूप से नहीं। इसे दिखाने के लिए, हम पहले देखते हैं कि <math>(f_n)</math> की बिंदुवार सीमा <math>n\to\infty</math>के रूप में फ़ंक्शन <math>f</math> है, जो द्वारा दिया गया है


: <math>f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} </math>
: <math>f(x) = \lim_{n\to \infty} f_n(x) = \begin{cases} 0, & x \in [0,1); \\ 1, & x=1. \end{cases} </math>
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:<math>\left| \frac{z^n}{n!}\right| \le \frac{|z|^n}{n!} \le \frac{R^n}{n!}</math>
:<math>\left| \frac{z^n}{n!}\right| \le \frac{|z|^n}{n!} \le \frac{R^n}{n!}</math>
और <math>M_n=\tfrac{R^n}{n!}.</math>
और <math>M_n=\tfrac{R^n}{n!}.</math>


यदि <math>\sum_{n=0}^{\infty}M_n</math> अभिसरण है, तो एम-परीक्षण यह प्रमाणित करता है कि मूल श्रृंखला समान रूप से अभिसरण है।
यदि <math>\sum_{n=0}^{\infty}M_n</math> अभिसरण है, तो एम-परीक्षण यह प्रमाणित करता है कि मूल श्रृंखला समान रूप से अभिसरण है।
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* स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों के लिए स्थानीय समान अभिसरण और कॉम्पैक्ट अभिसरण मेल खाते हैं।
* स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों के लिए स्थानीय समान अभिसरण और कॉम्पैक्ट अभिसरण मेल खाते हैं।
* मीट्रिक रिक्त स्थान पर निरंतर कार्यों का एक क्रम, छवि मीट्रिक स्थान पूर्ण होने के साथ, समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह [[समान रूप से कॉची अनुक्रम]] है।
* मीट्रिक रिक्त स्थान पर निरंतर कार्यों का एक क्रम, छवि मीट्रिक स्थान पूर्ण होने के साथ, समान रूप से अभिसरण होता है यदि और केवल यदि यह [[समान रूप से कॉची अनुक्रम]] है।
* यदि <math>S</math> एक [[ सघन स्थान ]] अंतराल (या सामान्यतः एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस) है, और <math> (f_n)</math> एक [[ एकरस ]] अनुक्रम है (अर्थ)। <math> f_n(x) \leq f_{n+1}(x)</math> बिंदुवार सीमा के साथ निरंतर कार्यों के सभी n और x) के लिए <math> f</math> जो निरंतर भी है, तो अभिसरण आवश्यक रूप से एक समान है (दीनी का प्रमेय)। यदि <math> S</math> समान अभिसरण की भी आश्वासन है एक सघन अंतराल है और <math>(f_n)</math> एक समसंगति अनुक्रम है जो बिंदुवार परिवर्तित होता है।
* यदि <math>S</math> एक [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] अंतराल (या सामान्यतः एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस) है, और <math> (f_n)</math> एक [[ एकरस |एकरस]] अनुक्रम है (अर्थ)। <math> f_n(x) \leq f_{n+1}(x)</math> बिंदुवार सीमा के साथ निरंतर कार्यों के सभी n और x) के लिए <math> f</math> जो निरंतर भी है, तो अभिसरण आवश्यक रूप से एक समान है (दीनी का प्रमेय)। यदि <math> S</math> समान अभिसरण की भी आश्वासन है एक सघन अंतराल है और <math>(f_n)</math> एक समसंगति अनुक्रम है जो बिंदुवार परिवर्तित होता है।


== अनुप्रयोग ==
== अनुप्रयोग ==
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यह प्रमेय "{{math|&epsilon;/3}} ट्रिक" द्वारा सिद्ध किया गया है, और यह इस ट्रिक का आदर्श उदाहरण है: किसी दी गई असमानता (ε) को साबित करने के लिए, कोई 3 असमानताएं ({{math|&epsilon;/3}}) उत्पन्न करने के लिए निरंतरता और समान अभिसरण की परिभाषाओं का उपयोग करता है। और फिर वांछित असमानता उत्पन्न करने के लिए उन्हें त्रिकोण असमानता के माध्यम से जोड़ता है।
यह प्रमेय "{{math|&epsilon;/3}} ट्रिक" द्वारा सिद्ध किया गया है, और यह इस ट्रिक का आदर्श उदाहरण है: किसी दी गई असमानता (ε) को साबित करने के लिए, कोई 3 असमानताएं ({{math|&epsilon;/3}}) उत्पन्न करने के लिए निरंतरता और समान अभिसरण की परिभाषाओं का उपयोग करता है। और फिर वांछित असमानता उत्पन्न करने के लिए उन्हें त्रिकोण असमानता के माध्यम से जोड़ता है।


यह प्रमेय वास्तविक और फूरियर विश्लेषण के इतिहास में एक महत्वपूर्ण है, क्योंकि 18वीं सदी के कई गणितज्ञों की सहज समझ थी कि निरंतर कार्यों का एक क्रम सदैव एक निरंतर कार्य में परिवर्तित होता है। ऊपर दी गई छवि एक प्रति-उदाहरण दिखाती है, और कई असंतत फ़ंक्शन, वास्तव में, निरंतर कार्यों की फूरियर श्रृंखला के रूप में लिखे जा सकते हैं। यह गलत प्रमाणित कि निरंतर कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा निरंतर है (मूल रूप से निरंतर कार्यों की अभिसरण श्रृंखला के संदर्भ में कहा गया है) को कॉची के गलत प्रमेय के रूप में जाना जाता है। समान सीमा प्रमेय से पता चलता है कि सीमा कार्य में निरंतरता के संरक्षण को सुनिश्चित करने के लिए अभिसरण, समान अभिसरण का एक प्रबल रूप आवश्यक है।
यह प्रमेय वास्तविक और फूरियर विश्लेषण के इतिहास में एक महत्वपूर्ण है, क्योंकि 18वीं सदी के कई गणितज्ञों की सहज समझ थी कि निरंतर कार्यों का एक क्रम सदैव एक निरंतर कार्य में परिवर्तित होता है। ऊपर दी गई छवि एक प्रति-उदाहरण दिखाती है, और कई असंतत फ़ंक्शन, वास्तव में, निरंतर कार्यों की फूरियर श्रृंखला के रूप में लिखे जा सकते हैं। यह गलत प्रमाणित कि निरंतर कार्यों के अनुक्रम की बिंदुवार सीमा निरंतर है (मूल रूप से निरंतर कार्यों की अभिसरण श्रृंखला के संदर्भ में कहा गया है) को कॉची के गलत प्रमेय के रूप में जाना जाता है। समान सीमा प्रमेय से पता चलता है कि सीमा कार्य में निरंतरता के संरक्षण को सुनिश्चित करने के लिए अभिसरण, समान अभिसरण का एक प्रबल रूप आवश्यक है।


अधिक स्पष्ट रूप से, यह प्रमेय बताता है कि [[समान रूप से निरंतर]] कार्यों की एक समान सीमा समान रूप से निरंतर होती है; [[स्थानीय रूप से सघन]] स्थान के लिए, निरंतरता स्थानीय समान निरंतरता के समान है, और इस प्रकार निरंतर कार्यों की एक समान सीमा निरंतर है।
अधिक स्पष्ट रूप से, यह प्रमेय बताता है कि [[समान रूप से निरंतर]] कार्यों की एक समान सीमा समान रूप से निरंतर होती है; [[स्थानीय रूप से सघन]] स्थान के लिए, निरंतरता स्थानीय समान निरंतरता के समान है, और इस प्रकार निरंतर कार्यों की एक समान सीमा निरंतर है।


===विभिन्नता के लिए===
===विभिन्नता के लिए===
यदि S एक अंतराल है और सभी फ़ंक्शन <math>f_n</math> अवकलनीय हैं और एक सीमा <math>f</math> में परिवर्तित होते हैं, तो अनुक्रम <math>f'_n</math> की सीमा लेकर व्युत्पन्न फ़ंक्शन <math>f'</math> को निर्धारित करना अक्सर वांछनीय होता है। चूँकि , यह सामान्य रूप से संभव नहीं है: यथार्त अभिसरण एक समान हो, सीमा फ़ंक्शन को विभेदित करने की आवश्यकता नहीं है (यथार्त अनुक्रम में हर जगह-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन सम्मिलित हों, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन देखें), और यथार्त यह विभेदक हो, का व्युत्पन्न सीमा फलन को डेरिवेटिव की सीमा के समान होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए समान सीमा <math>f_n\rightrightarrows f\equiv 0</math> के साथ <math>f_n(x) = n^{-1/2}{\sin(nx)}</math> पर विचार करें। स्पष्टतः,<math>f'</math> भी समान रूप से शून्य है। चूँकि कार्यों के अनुक्रम के व्युत्पन्न द्वारा दिए गए हैं <math>f'_n(x)=n^{1/2}\cos nx,</math> और अनुक्रम <math>f'_n</math> <math>f',</math> या यहां तक कि किसी भी फ़ंक्शन में परिवर्तित नहीं होता है भिन्न-भिन्न कार्यों के अनुक्रम की सीमा और डेरिवेटिव के अनुक्रम की सीमा के बीच संबंध सुनिश्चित करने के लिए, डेरिवेटिव के अनुक्रम का एक समान अभिसरण और कम से कम एक बिंदु पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण आवश्यक है:<ref>Rudin, Walter (1976). ''[[iarchive:PrinciplesOfMathematicalAnalysis|Principles of Mathematical Analysis]]'' 3rd edition, Theorem 7.17.  McGraw-Hill: New York.</ref>
यदि S एक अंतराल है और सभी फ़ंक्शन <math>f_n</math> अवकलनीय हैं और एक सीमा <math>f</math> में परिवर्तित होते हैं, तो अनुक्रम <math>f'_n</math> की सीमा लेकर व्युत्पन्न फ़ंक्शन <math>f'</math> को निर्धारित करना अक्सर वांछनीय होता है। चूँकि , यह सामान्य रूप से संभव नहीं है: यथार्त अभिसरण एक समान हो, सीमा फ़ंक्शन को विभेदित करने की आवश्यकता नहीं है (यथार्त अनुक्रम में हर जगह-विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन सम्मिलित हों, वीयरस्ट्रैस फ़ंक्शन देखें), और यथार्त यह विभेदक हो, का व्युत्पन्न सीमा फलन को डेरिवेटिव की सीमा के समान होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए समान सीमा <math>f_n\rightrightarrows f\equiv 0</math> के साथ <math>f_n(x) = n^{-1/2}{\sin(nx)}</math> पर विचार करें। स्पष्टतः,<math>f'</math> भी समान रूप से शून्य है। चूँकि कार्यों के अनुक्रम के व्युत्पन्न द्वारा दिए गए हैं <math>f'_n(x)=n^{1/2}\cos nx,</math> और अनुक्रम <math>f'_n</math> <math>f',</math> या यहां तक कि किसी भी फ़ंक्शन में परिवर्तित नहीं होता है भिन्न-भिन्न कार्यों के अनुक्रम की सीमा और डेरिवेटिव के अनुक्रम की सीमा के बीच संबंध सुनिश्चित करने के लिए, डेरिवेटिव के अनुक्रम का एक समान अभिसरण और कम से कम एक बिंदु पर कार्यों के अनुक्रम का अभिसरण आवश्यक है:<ref>Rudin, Walter (1976). ''[[iarchive:PrinciplesOfMathematicalAnalysis|Principles of Mathematical Analysis]]'' 3rd edition, Theorem 7.17.  McGraw-Hill: New York.</ref>
:यदि <math>(f_n)</math> <math>[a,b]</math> पर भिन्न-भिन्न कार्यों का एक क्रम है, जैसे कि कुछ <math>x_0\in[a,b]</math> के लिए <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math> मौजूद है (और परिमित है) और अनुक्रम <math>(f'_n)</math>समान रूप से <math>[a,b]</math> पर अभिसरण करता है, फिर <math>f_n</math> समान रूप से <math>[a,b]</math> पर एक फ़ंक्शन <math>f</math> में परिवर्तित हो जाता है, और <math>x \in [a, b]</math> के लिए <math> f'(x) = \lim_{n\to \infty} f'_n(x)</math> होता है  
:यदि <math>(f_n)</math> <math>[a,b]</math> पर भिन्न-भिन्न कार्यों का एक क्रम है, जैसे कि कुछ <math>x_0\in[a,b]</math> के लिए <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x_0)</math> मौजूद है (और परिमित है) और अनुक्रम <math>(f'_n)</math>समान रूप से <math>[a,b]</math> पर अभिसरण करता है, फिर <math>f_n</math> समान रूप से <math>[a,b]</math> पर एक फ़ंक्शन <math>f</math> में परिवर्तित हो जाता है, और <math>x \in [a, b]</math> के लिए <math> f'(x) = \lim_{n\to \infty} f'_n(x)</math> होता है  


===अभिन्नता के लिए===
===अभिन्नता के लिए===
इसी तरह, कोई भी अधिकांशतः इंटीग्रल और सीमा प्रक्रियाओं का आदान-प्रदान करना चाहता है। रीमैन इंटीग्रल के लिए, यह तब किया जा सकता है जब एकसमान अभिसरण मान लिया जाए:
इसी तरह, कोई भी अधिकांशतः इंटीग्रल और सीमा प्रक्रियाओं का आदान-प्रदान करना चाहता है। रीमैन इंटीग्रल के लिए, यह तब किया जा सकता है जब एकसमान अभिसरण मान लिया जाए:
: यदि <math>(f_n)_{n=1}^\infty</math> एक कॉम्पैक्ट अंतराल <math>I</math> पर परिभाषित रीमैन इंटीग्रेबल कार्य का एक क्रम है जो सीमा <math> f</math> के साथ समान रूप से अभिसरण करता है, फिर <math> f</math>रीमैन इंटीग्रेबल है और इसके अभिन्न अंग की गणना इसके <math> f_n</math> अभिन्नों की सीमा के रूप में की जा सकती है : <math display="block">\int_I f = \lim_{n\to\infty}\int_I f_n.</math>
: यदि <math>(f_n)_{n=1}^\infty</math> एक कॉम्पैक्ट अंतराल <math>I</math> पर परिभाषित रीमैन इंटीग्रेबल कार्य का एक क्रम है जो सीमा <math> f</math> के साथ समान रूप से अभिसरण करता है, फिर <math> f</math>रीमैन इंटीग्रेबल है और इसके अभिन्न अंग की गणना इसके <math> f_n</math> अभिन्नों की सीमा के रूप में की जा सकती है : <math display="block">\int_I f = \lim_{n\to\infty}\int_I f_n.</math>
वास्तव में, एक अंतराल पर बंधे हुए कार्यों के एक समान रूप से अभिसरण वर्ग के लिए, ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स सीमा फ़ंक्शन के ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स में परिवर्तित हो जाते हैं। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, <math>f_n</math> का ग्राफ़ f के ग्राफ़ के ε के अंदर होता है, और इसलिए <math>f_n</math> का ऊपरी योग और निचला योग प्रत्येक <math>\varepsilon |I|</math> के अंदर होता है। क्रमशः <math>f</math> के ऊपरी और निचले योग के मान में परिवर्तित होता है ।
वास्तव में, एक अंतराल पर बंधे हुए कार्यों के एक समान रूप से अभिसरण वर्ग के लिए, ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स सीमा फ़ंक्शन के ऊपरी और निचले रीमैन इंटीग्रल्स में परिवर्तित हो जाते हैं। ऐसा इसलिए होता है, क्योंकि पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए, <math>f_n</math> का ग्राफ़ f के ग्राफ़ के ε के अंदर होता है, और इसलिए <math>f_n</math> का ऊपरी योग और निचला योग प्रत्येक <math>\varepsilon |I|</math> के अंदर होता है। क्रमशः <math>f</math> के ऊपरी और निचले योग के मान में परिवर्तित होता है ।


इस संबंध में अधिक प्रबल प्रमेय, जिनके लिए बिंदुवार अभिसरण से अधिक की आवश्यकता नहीं होती है, प्राप्त किए जा सकते हैं यदि कोई रीमैन इंटीग्रल को छोड़ देता है और इसके बजाय लेबेस्ग एकीकरण का उपयोग करता है।                                                                     
इस संबंध में अधिक प्रबल प्रमेय, जिनके लिए बिंदुवार अभिसरण से अधिक की आवश्यकता नहीं होती है, प्राप्त किए जा सकते हैं यदि कोई रीमैन इंटीग्रल को छोड़ देता है और इसके बजाय लेबेस्ग एकीकरण का उपयोग करता है।                                                                     
===विश्लेषणात्मकता के लिए===
===विश्लेषणात्मकता के लिए===
मोरेरा के प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि यदि विश्लेषणात्मक कार्य कार्य का अनुक्रम जटिल विमान के क्षेत्र एस में समान रूप से परिवर्तित होता है, तो सीमा एस में विश्लेषणात्मक है। यह उदाहरण दर्शाता है कि जटिल कार्य वास्तविक कार्यों की तुलना में अधिक अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं, क्योंकि वास्तविक अंतराल पर विश्लेषणात्मक कार्यों की एकसमान सीमा को विभेदित करने की भी आवश्यकता नहीं है (वीयरस्ट्रैस कार्य देखें)।
मोरेरा के प्रमेय का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि यदि विश्लेषणात्मक कार्य कार्य का अनुक्रम जटिल विमान के क्षेत्र एस में समान रूप से परिवर्तित होता है, तो सीमा एस में विश्लेषणात्मक है। यह उदाहरण दर्शाता है कि जटिल कार्य वास्तविक कार्यों की तुलना में अधिक अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं, क्योंकि वास्तविक अंतराल पर विश्लेषणात्मक कार्यों की एकसमान सीमा को विभेदित करने की भी आवश्यकता नहीं है (वीयरस्ट्रैस कार्य देखें)।
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'''<ब्लॉककोट>'''
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मान लीजिए x<sub>0</sub> समुच्चय E में समाहित है और प्रत्येक ''f<sub>n</sub>'' ''x''<sub>0</sub> पर सतत है। यदि <math display="inline"> f = \sum_{n=1}^\infty f_n</math> E पर समान रूप से अभिसरण करता है तो E में ''x''<sub>0</sub> पर f निरंतर है। मान लीजिए कि <math>E = [a, b]</math> और प्रत्येक ''f<sub>n</sub>'' E पर पूर्णांक है। यदि <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty f_n</math> पर समान रूप से अभिसरण करता है तो f , E पर पूर्णांक है और f<sub>n</sub> के अभिन्नों की श्रृंखला f<sub>n</sub> की श्रृंखला के अभिन्न अंग के समान है।
मान लीजिए x<sub>0</sub> समुच्चय E में समाहित है और प्रत्येक ''f<sub>n</sub>'' ''x''<sub>0</sub> पर सतत है। यदि <math display="inline"> f = \sum_{n=1}^\infty f_n</math> E पर समान रूप से अभिसरण करता है तो E में ''x''<sub>0</sub> पर f निरंतर है। मान लीजिए कि <math>E = [a, b]</math> और प्रत्येक ''f<sub>n</sub>'' E पर पूर्णांक है। यदि <math display="inline">\sum_{n=1}^\infty f_n</math> पर समान रूप से अभिसरण करता है तो f , E पर पूर्णांक है और f<sub>n</sub> के अभिन्नों की श्रृंखला f<sub>n</sub> की श्रृंखला के अभिन्न अंग के समान है।


==लगभग एकसमान अभिसरण==
==लगभग एकसमान अभिसरण==
यदि कार्य का डोमेन एक माप स्थान ई है तो लगभग समान अभिसरण की संबंधित धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। हम कहते हैं कि कार्य का अनुक्रम <math>(f_n)</math> E पर लगभग समान रूप से अभिसरण करता है यदि प्रत्येक <math>\delta > 0</math> के लिए एक मापने योग्य सेट <math>E_\delta</math> उपस्थित है जिसका माप <math>\delta</math> से कम है जैसे कि कार्य का अनुक्रम <math>(f_n)</math> <math>E \setminus E_\delta</math> पर समान रूप से अभिसरण करता है। दूसरे शब्दों में, लगभग एकसमान अभिसरण का मतलब है कि इच्छानुसार से छोटे माप के सेट हैं जिनके लिए कार्यों का क्रम उनके पूरक पर समान रूप से परिवर्तित होता है।
यदि कार्य का डोमेन एक माप स्थान ई है तो लगभग समान अभिसरण की संबंधित धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। हम कहते हैं कि कार्य का अनुक्रम <math>(f_n)</math> E पर लगभग समान रूप से अभिसरण करता है यदि प्रत्येक <math>\delta > 0</math> के लिए एक मापने योग्य सेट <math>E_\delta</math> उपस्थित है जिसका माप <math>\delta</math> से कम है जैसे कि कार्य का अनुक्रम <math>(f_n)</math> <math>E \setminus E_\delta</math> पर समान रूप से अभिसरण करता है। दूसरे शब्दों में, लगभग एकसमान अभिसरण का मतलब है कि इच्छानुसार से छोटे माप के सेट हैं जिनके लिए कार्यों का क्रम उनके पूरक पर समान रूप से परिवर्तित होता है।


ध्यान दें कि अनुक्रम के लगभग एक समान अभिसरण का अर्थ यह नहीं है कि अनुक्रम [[लगभग हर जगह]] समान रूप से अभिसरण करता है जैसा कि नाम से अनुमान लगाया जा सकता है। चूँकि, ईगोरोव का प्रमेय यह आश्वासन देता है कि एक सीमित माप स्थान पर, कार्यों का एक क्रम जो बिंदुवार अभिसरण को परिवर्तित करता है या [[लगभग हर जगह अभिसरण]] भी एक ही सेट पर लगभग समान रूप से अभिसरण करता है।
ध्यान दें कि अनुक्रम के लगभग एक समान अभिसरण का अर्थ यह नहीं है कि अनुक्रम [[लगभग हर जगह]] समान रूप से अभिसरण करता है जैसा कि नाम से अनुमान लगाया जा सकता है। चूँकि, ईगोरोव का प्रमेय यह आश्वासन देता है कि एक सीमित माप स्थान पर, कार्यों का एक क्रम जो बिंदुवार अभिसरण को परिवर्तित करता है या [[लगभग हर जगह अभिसरण]] भी एक ही सेट पर लगभग समान रूप से अभिसरण करता है।

Latest revision as of 18:30, 10 July 2023


विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, समान अभिसरण बिंदुवार अभिसरण से अधिक प्रबल कार्यों के अभिसरण का एक विधि है। कार्य का एक क्रम सेट पर कार्य डोमेन के रूप में एक सीमित कार्य में समान रूप से परिवर्तित होता है, यदि कोई इच्छानुसार से छोटी सकारात्मक संख्या दी गई हो, तो एक संख्या पाया जा सकता है जैसे कि प्रत्येक कार्य में प्रत्येक बिंदु पर से से अधिक भिन्न नहीं है। अनौपचारिक विधि से वर्णित है, यदि समान रूप से में परिवर्तित होता है, तो वह दर जिस पर