रफ़ सेट: Difference between revisions

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===निश्चयता===
===निश्चयता===
सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे विषयों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर परिभाषित नहीं है। जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन समान हो (अर्थात, सीमा खाली हो),  <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math>, विशेषता सेट <math>P</math> पर निश्चित है। अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष विषयों को भिन्न कर सकते हैं:
सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे विषयों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर परिभाषित नहीं है। जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन समान हो (अर्थात, सीमा खाली हो),  <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, पुनः लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math>, विशेषता सेट <math>P</math> पर निश्चित है। अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष विषयों को भिन्न कर सकते हैं:


* <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math> है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट <math>P</math> पर ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके विषय में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तु ऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट <math>X</math>से बाहर कर सकते हैं।
* <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math> है। इसका तात्पर्य है कि विशेषता सेट <math>P</math> पर ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके विषय में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तु ऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट <math>X</math>से बाहर कर सकते हैं।
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रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट  <math>P</math> एवं सेट <math>Q</math>, एवं पूछताछ करें कि उनके मध्य किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, एवं तुल्यता वर्ग <math>Q</math> द्वारा द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math> प्रेरित होते हैं।
रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट  <math>P</math> एवं सेट <math>Q</math>, एवं पूछताछ करें कि उनके मध्य किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, एवं तुल्यता वर्ग <math>Q</math> द्वारा द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math> प्रेरित होते हैं।


<math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, जहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से दिया गया समतुल्य वर्ग <math>Q</math>है। फिर, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है,
<math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, जहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से दिया गया समतुल्य वर्ग <math>Q</math>है। पुनः, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है,


:<math>
:<math>
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अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math>में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।   
अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं <math>P</math> द्वारा जोड़ते हैं। <math>{\underline P}Q_i</math> यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर हैं<sub>,</sub> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से <math>Q_i</math> पहचाना जा सकता है। सभी समतुल्य वर्गों <math>[x]_Q</math>में जोड़ा गया , उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो विशेषता सेट <math>P</math> पर आधारित है,  विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से <math>Q</math> वर्गीकृत किया जा सकता है, इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के अंदर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math> मूल्यों को जानना पर्याप्त है।   


निर्भरता पर विचार करने का सहज, विधिप्रेरित विभाजन <math>Q</math> को लेना है, लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट <math>C</math> का उपयोग करना चाहते हैं, यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर <math>P</math> पर करता है ; यदि <math>P</math> इसका परिणाम व्यर्थ एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण <math>C</math>होता है , तब <math>Q</math> पर <math>P</math> निर्भर नहीं है।
निर्भरता पर विचार करने का सहज, विधिप्रेरित विभाजन <math>Q</math> को लेना है, लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट <math>C</math> का उपयोग करना चाहते हैं, यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर <math>P</math> पर करता है; यदि <math>P</math> इसका परिणाम व्यर्थ एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण <math>C</math>होता है , तब <math>Q</math> पर <math>P</math> निर्भर नहीं है।


इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट <math>Q</math> की कार्यात्मक निर्भरता विशेषता सेट पर <math>P</math> की डिग्री को व्यक्त करता है। विशेषता निर्भरता की इस धारणा का विशेषता निर्भरता की अधिक पारंपरिक सूचना-सैद्धांतिक (अर्थात, एंट्रोपिक) धारणाओं के संबंध पर कई स्रोतों (उदाहरण के लिए, पावलक, वोंग, एवं ज़िआर्को 1988; याओ एवं याओ 2002; वोंग, ज़िआर्को) , एवं ये 1986, क्वाफाफौ एवं बौसौफ 2000) में विचार की गई है ।
इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट <math>Q</math> की कार्यात्मक निर्भरता विशेषता सेट पर <math>P</math> की डिग्री को व्यक्त करता है। विशेषता निर्भरता की इस धारणा का विशेषता निर्भरता की अधिक पारंपरिक सूचना-सैद्धांतिक (अर्थात, एंट्रोपिक) धारणाओं के संबंध पर कई स्रोतों (उदाहरण के लिए, पावलक, वोंग, एवं ज़िआर्को 1988; याओ एवं याओ 2002; वोंग, ज़िआर्को) , एवं ये 1986, क्वाफाफौ एवं बौसौफ 2000) में विचार की गई है ।
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===एलईआरएस नियम प्रेरण प्रणाली===
===एलईआरएस नियम प्रेरण प्रणाली===


डेटा सिस्टम LERS (रफ सेट्स पर आधारित उदाहरणों से सीखना) ग्राज़ीमाला-बुसे (1997) असंगत डेटा से नियम उत्पन्न कर सकता है, अर्थात , परस्पर विरोधी वस्तुओं वाला डेटा। दो वस्तुएँ परस्पर विरोधी होती हैं जब वे सभी विशेषताओं के समान मूल्यों की विशेषता रखती हैं, किन्तुवे विभिन्न अवधारणाओं (वर्गों) से संबंधित होती हैं। एलईआरएस अन्य अवधारणाओं के साथ टकराव में सम्मिलित अवधारणाओं के लिए निचले एवं ऊपरी अनुमानों की गणना करने के लिए रफ सेट सिद्धांत का उपयोग करता है।
डेटा सिस्टम एलईआरएस (रफ सेट्स पर आधारित उदाहरणों से सीखना) ग्राज़ीमाला-बुसे (1997) असंगत डेटा अर्थात, परस्पर विरोधी वस्तुओं वाला डेटा से नियम उत्पन्न कर सकता है। दो वस्तुएँ परस्पर विरोधी होती हैं जब वे सभी विशेषताओं के समान मूल्यों की विशेषता रखती हैं, किन्तु वे विभिन्न अवधारणाओं (वर्गों) से संबंधित होती हैं। एलईआरएस अन्य अवधारणाओं के साथ विवधा में सम्मिलित अवधारणाओं के लिए निचले एवं ऊपरी अनुमानों की गणना करने के लिए रफ सेट सिद्धांत का उपयोग करता है।


अवधारणा के निचले सन्निकटन से प्रेरित नियम निश्चित रूप से अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए ऐसे नियमों को निश्चित कहा जाता है। दूसरी ओर, अवधारणा के ऊपरी सन्निकटन से प्रेरित नियम संभवतः अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए इन नियमों को संभव कहा जाता है। नियम प्रेरण के लिए LERS तीन एल्गोरिदम का उपयोग करता है: LEM1, LEM2, एवं IRIM।
अवधारणा के निचले सन्निकटन से प्रेरित नियम निश्चित रूप से अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए ऐसे नियमों को निश्चित कहा जाता है। दूसरी ओर, अवधारणा के ऊपरी सन्निकटन से प्रेरित नियम संभवतः अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए इन नियमों को संभव कहा जाता है। नियम प्रेरण के लिए एलईआरएस तीन एल्गोरिदम एलईएम1, एलईएम2, एवं आईआरआईएम का उपयोग करता है।


LERS का LEM2 एल्गोरिदम प्रायः नियम प्रेरण के लिए उपयोग किया जाता है एवं इसका उपयोग न केवल LERS में बल्कि अन्य प्रणालियों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, RSES (बज़ान एट अल। (2004) में। LEM2 विशेषता-मूल्य जोड़े के शोध स्थान की शोध करता है। इसका इनपुट डेटा सेट एक अवधारणा का निचला या ऊपरी सन्निकटन है, इसलिए इसका इनपुट डेटा सेट हमेशा सुसंगत होता है। सामान्यतः, LEM2 एक स्थानीय कवरिंग की गणना करता है एवं फिर इसे एक नियम सेट में परिवर्तित करता है। हम LEM2 एल्गोरिथ्म का वर्णन करने के लिए कुछ परिभाषाएँ उद्धृत करेंगे।
एलईआरएस का एलईएम2 एल्गोरिदम प्रायः नियम प्रेरण के लिए उपयोग किया जाता है एवं इसका उपयोग न केवल एलईआरएस में बल्कि अन्य प्रणालियों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, आरएसईएस (बज़ान एट अल (2004) में किया जाता है। एलईएम2 विशेषता-मूल्य जोड़े के शोध स्थान की शोध करता है। इसका इनपुट डेटा सेट अवधारणा का निचला या ऊपरी सन्निकटन है, इसलिए इसका इनपुट डेटा सेट हमेशा सुसंगत होता है। सामान्यतः, एलईएम2 स्थानीय कवरिंग की गणना करता है एवं पुनः इसे नियम सेट में परिवर्तित करता है। हम एलईएम2 एल्गोरिथ्म का वर्णन करने के लिए कुछ परिभाषाएँ उद्धृत करेंगे।


LEM2 एल्गोरिथ्म एक विशेषता-मूल्य जोड़ी ब्लॉक के विचार पर आधारित है। होने देना <math>X</math> निर्णय-मूल्य जोड़ी द्वारा दर्शाई गई अवधारणा का एक अन्य-रिक्त निचला या ऊपरी सन्निकटन हो <math>(d, w)</math>. तय करना <math>X</math> एक सेट पर निर्भर करता है <math>T</math> विशेषता-मूल्य जोड़े का <math>t = (a, v)</math> यदि एवं केवल अगर
एलईएम2 एल्गोरिथ्म विशेषता-मूल्य जोड़ी ब्लॉक के विचार पर आधारित है। होने देना <math>X</math> निर्णय-मूल्य जोड़ी द्वारा दर्शाई गई अवधारणा का अन्य-रिक्त निचला या ऊपरी सन्निकटन हो <math>(d, w)</math>. तय करना सेट <math>X</math>पर निर्भर करता है, <math>T</math> विशेषता-मूल्य जोड़े का <math>t = (a, v)</math> यदि केवल  


: <math>\emptyset \neq [T] = \bigcap_{t \in T} [t] \subseteq X.</math>
: <math>\emptyset \neq [T] = \bigcap_{t \in T} [t] \subseteq X</math> है।
तय करना <math>T</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>T</math> एवं कोई उचित उपसमुच्चय नहीं <math>S</math> का <math>T</math> ऐसा उपस्थित है <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>S</math>. होने देना <math>\mathbb{T}</math> विशेषता-मूल्य युग्मों के अन्य-रिक्त सेटों का एक अन्य-रिक्त संग्रह बनें। तब <math>\mathbb{T}</math> का स्थानीय आवरण है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तें पूर्ण होती हैं:
<math>T</math> का न्यूनतम परिसर है <math>X</math> यदि केवल यदि <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>T</math> एवं कोई उचित उपसमुच्चय नहीं <math>S</math> का <math>T</math> ऐसा उपस्थित है <math>X</math> पर निर्भर करता है <math>S</math>. होने देना <math>\mathbb{T}</math> विशेषता-मूल्य युग्मों के अन्य-रिक्त सेटों का एक अन्य-रिक्त संग्रह बनें। तब <math>\mathbb{T}</math> का स्थानीय आवरण है <math>X</math> यदि एवं केवल यदि निम्नलिखित तीन शर्तें पूर्ण होती हैं:


प्रत्येक सदस्य <math>T</math> का <math>\mathbb{T}</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math>,
प्रत्येक सदस्य <math>T</math> का <math>\mathbb{T}</math> का एक न्यूनतम परिसर है <math>X</math>,
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: <math>\mathbb{T}</math> न्यूनतम है, अर्थात , <math>\mathbb{T}</math> सदस्यों की संभावित संख्या सबसे कम है।
: <math>\mathbb{T}</math> न्यूनतम है, अर्थात , <math>\mathbb{T}</math> सदस्यों की संभावित संख्या सबसे कम है।


हमारी नमूना सूचना प्रणाली के लिए, LEM2 निम्नलिखित नियमों को प्रेरित करेगा:
हमारी नमूना सूचना प्रणाली के लिए, एलईएम2 निम्नलिखित नियमों को प्रेरित करेगा:


:<math>
:<math>

Revision as of 11:32, 6 July 2023

कंप्यूटर विज्ञान में, रफ सेट, जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में क्रिस्प सेट (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है।

सूचना प्रणाली संरचना

सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक के लिए है। मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है लग सकता है। सूचना तालिका मान से निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए एवं आपत्ति ब्रह्मांड में होता है। किसी के साथ संबद्ध तुल्यता संबंध है है।

संबंध ए कहा जाता है - अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है एवं द्वारा दर्शाया गया है (या ).

यदि , तब