रफ़ सेट: Difference between revisions
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{{Short description|Approximation of a mathematical set}} | {{Short description|Approximation of a mathematical set}} | ||
[[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला | [[कंप्यूटर विज्ञान]] में, [[फजी सेट|'''रफ सेट''']], जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में [[ कुरकुरा सेट |क्रिस्प सेट]] (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं। | ||
==परिभाषाएँ== | ==परिभाषाएँ== | ||
निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण | निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है। | ||
===सूचना प्रणाली | ===सूचना प्रणाली संरचना=== | ||
<math>I = (\mathbb{U},\mathbb{A})</math> सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां <math> \mathbb{U}</math> वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, <math> \mathbb{A}</math> ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक<math>I:\mathbb{U} \rightarrow V_a</math> के लिए <math>a \in \mathbb{A}</math> है। <math>V_a</math> मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है <math>a</math> लग सकता है। सूचना तालिका मान <math>a(x)</math> से <math>V_a</math>निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए <math>a</math> एवं आपत्ति <math>x</math> ब्रह्मांड में <math>\mathbb{U}</math> होता है। किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> संबद्ध तुल्यता संबंध है <math>\mathrm{IND}(P)</math> है। | |||
किसी के साथ <math>P \subseteq \mathbb{A}</math> | |||
:<math> | :<math> | ||
\mathrm{IND}(P) = \left\{(x,y) \in \mathbb{U}^2 \mid \forall a \in P, a(x)=a(y)\right\} | \mathrm{IND}(P) = \left\{(x,y) \in \mathbb{U}^2 \mid \forall a \in P, a(x)=a(y)\right\} | ||
</math> | </math> | ||
संबंध <math>\mathrm{IND}(P)</math> ए कहा जाता है <math>P</math>- अविवेकपूर्ण संबंध. का विभाजन <math>\mathbb{U}</math> के सभी समतुल्य वर्गों का एक परिवार है <math>\mathrm{IND}(P)</math> एवं द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbb{U}/\mathrm{IND}(P)</math> (या <math>\mathbb{U}/P</math>). | |||
यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> | यदि <math>(x,y)\in \mathrm{IND}(P)</math>, तब <math>x</math> एवं <math>y</math> गुणों के आधार पर अप्रभेद्य (या अप्रभेद्य) हैं <math>P</math> . | ||
के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>. | के समतुल्य वर्ग <math>P</math>-अविवेकी संबंध निरूपित किया जाता है <math>[x]_P</math>. | ||
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\{O_{9}\} \end{cases} | \{O_{9}\} \end{cases} | ||
</math> | </math> | ||
इस प्रकार, प्रथम तुल्यता वर्ग के | इस प्रकार, प्रथम तुल्यता वर्ग के अंदर दो वस्तुएँ, <math>\{O_{1},O_{2}\}</math>, उपलब्ध विशेषताओं एवं दूसरे समतुल्य वर्ग के अंदर तीन वस्तुओं <math>\{O_{3},O_{7},O_{10}\}</math> के आधार पर उन्हें भिन्न नहीं किया जा सकता है, शेष पाँच वस्तुएँ अन्य सभी वस्तुओं से भिन्न हैं। | ||
यह स्पष्ट है कि भिन्न-भिन्न विशेषता उपसमुच्चय चयन सामान्यतः भिन्न-भिन्न अविवेकपूर्णता वर्गों को | यह स्पष्ट है कि भिन्न-भिन्न विशेषता उपसमुच्चय चयन सामान्यतः भिन्न-भिन्न अविवेकपूर्णता वर्गों को उत्पन करती है। उदाहरण के लिए, यदि विशेषता <math>P =\{ P_{1}\}</math> अकेले चयनित होने पर, हमें निम्नलिखित, अधिक मोटे, तुल्यता-वर्ग संरचना प्राप्त होती है: | ||
:<math> | :<math> | ||
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===रफ़ सेट की परिभाषा=== | ===रफ़ सेट की परिभाषा=== | ||
<math>X \subseteq \mathbb{U}</math> लक्ष्य सेट हो जिसे हम विशेषता उपसमुच्चय का उपयोग करके प्रस्तुत करना चाहते हैं <math>P</math>; अर्थात्, हमें बताया गया है कि वस्तुओं का सेट <math>X</math> इसमें एकल वर्ग सम्मिलित है, एवं हम विशेषता उपसमुच्चय द्वारा प्रेरित समतुल्य वर्गों का उपयोग करके इस वर्ग (अर्थात, इस उपसमुच्चय) को व्यक्त करना चाहते हैं <math>P</math>. सामान्य रूप में, <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सेट में उन वस्तुओं को सम्मिलित एवं बाहर किया जा सकता है जो विशेषताओं के आधार पर अप्रभेद्य <math>P</math> हैं। | |||
उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, | उदाहरण के लिए, निर्धारित लक्ष्य पर विचार करें <math>X = \{O_{1},O_{2},O_{3},O_{4}\}</math>, एवं विशेषता उपसमुच्चय दें <math>P = \{P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}\}</math>, सुविधाओं का पूरा उपलब्ध सेट है। सेट <math>X</math> सटीक रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता, क्योंकि <math>[x]_P,</math> में वस्तुएं <math>\{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math> अविवेकी हैं, इस प्रकार, किसी भी सेट <math>X</math> का प्रतिनिधित्व करने की कोई विधि नहीं है, जिसमें <math>O_{3}</math> सम्मिलित है किन्तु <math>O_{7}</math> एवं <math>O_{10}</math>वस्तुओं को छोड़ देता है। | ||
चूँकि, लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> केवल उसमें उपस्थित जानकारी का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है <math>P</math> का निर्माण करके <math>P</math>-निचला एवं <math>P</math>-ऊपरी सन्निकटन <math>X</math> अनुमान लगाया जा सकता है, | |||
:<math> | :<math> | ||
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====ऊपरी सन्निकटन | '''निचला सन्निकटन एवं सकारात्मक क्षेत्र''' <math>P</math> निचला सन्निकटन, या सकारात्मक क्षेत्र, सभी समतुल्य वर्गों का मिलन<math>[x]_P</math> है जो लक्ष्य निर्धारित द्वारा समाहित हैं (अर्थात, इसके उपसमूह हैं), उदाहरण में, <math>{\underline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\}</math>, दो समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जो निर्धारित लक्ष्य में समाहित है। निचला सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट<math>\mathbb{U}/P</math> है, जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) लक्ष्य निर्धारित से <math>X</math> संबंधित रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। | ||
====ऊपरी सन्निकटन एवं ऋणात्मक क्षेत्र==== <math>P</math>वें>-ऊपरी सन्निकटन सभी समतुल्य वर्गों का मिलन है <math>[x]_P</math> जिनका लक्ष्य निर्धारित के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है - उदाहरण में, <math>{\overline P}X = \{O_{1}, O_{2}\} \cup \{O_{4}\} \cup \{O_{3}, O_{7}, O_{10}\}</math>, तीन समतुल्य वर्गों का मिलन <math>[x]_P</math> जिनका निर्धारित लक्ष्य के साथ अन्य-रिक्त प्रतिच्छेदन है। ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है <math>\mathbb{U}/P</math> जिसे सकारात्मक रूप से (अर्थात, स्पष्ट रूप से) पूरक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता (<math>\overline X</math>) निर्धारित लक्ष्य का <math>X</math>. दूसरे शब्दों में, ऊपरी सन्निकटन वस्तुओं का पूरा सेट है जो संभवतः लक्ष्य सेट के सदस्य हैं <math>X</math>. | |||
सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से खारिज किया जा सकता है। | सेट <math>\mathbb{U}-{\overline P}X</math> इसलिए नकारात्मक क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें वस्तुओं का समूह सम्मिलित है जिन्हें लक्ष्य सेट के सदस्यों के रूप में निश्चित रूप से खारिज किया जा सकता है। | ||
====सीमा क्षेत्र==== | ====सीमा क्षेत्र==== | ||
सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित के सदस्यों के रूप में न तो खारिज किया जा सकता है | सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित के सदस्यों के रूप में न तो खारिज किया जा सकता है एवं न ही खारिज किया जा सकता है <math>X</math>. | ||
संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन एक रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन एक उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। (ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं।) के परिप्रेक्ष्य से <math>\mathbb{U}/P</math>, निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो | संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन एक रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन एक उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। (ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं।) के परिप्रेक्ष्य से <math>\mathbb{U}/P</math>, निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो अन्य-शून्य संभावना (संभावना> 0) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं। | ||
====रफ़ सेट==== | ====रफ़ सेट==== | ||
टुपल <math>\langle{\underline P}X,{\overline P}X\rangle</math> निचले | टुपल <math>\langle{\underline P}X,{\overline P}X\rangle</math> निचले एवं ऊपरी सन्निकटन से बना रफ सेट कहलाता है; इस प्रकार, एक रफ सेट दो क्रिस्प सेटों से बना होता है, जिनमें से एक लक्ष्य सेट की निचली सीमा का प्रतिनिधित्व करता है <math>X</math>, एवं दूसरा लक्ष्य निर्धारित की ऊपरी सीमा का प्रतिनिधित्व करता है <math>X</math>. | ||
सेट के रफ-सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math> निम्नलिखित द्वारा दिया जा सकता है (पावलक 1991): | सेट के रफ-सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math> निम्नलिखित द्वारा दिया जा सकता है (पावलक 1991): | ||
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\alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |} | \alpha_{P}(X) = \frac{\left | {\underline P}X \right |} {\left | {\overline P}X \right |} | ||
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अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी | अर्थात्, किसी न किसी सेट प्रतिनिधित्व की सटीकता <math>X</math>, <math>\alpha_{P}(X)</math>, <math>0 \leq \alpha_{P}(X) \leq 1</math>, उन वस्तुओं की संख्या का अनुपात है जिन्हें सकारात्मक रूप से रखा जा सकता है <math>X</math> उन वस्तुओं की संख्या तक जिन्हें संभवतः रखा जा सकता है <math>X</math> - यह इस बात का माप प्रदान करता है कि रफ सेट लक्ष्य सेट के कितनी करीब है। स्पष्ट रूप से, जब ऊपरी एवं निचले सन्निकटन बराबर होते हैं (अर्थात, सीमा क्षेत्र खाली होता है), तो <math>\alpha_{P}(X) = 1</math>, एवं सन्निकटन एकदम सही है; दूसरे चरम पर, जब भी निचला सन्निकटन खाली होता है, सटीकता शून्य होती है (ऊपरी सन्निकटन के आकार की परवाह किए बिना)। | ||
====उद्देश्य विश्लेषण==== | ====उद्देश्य विश्लेषण==== | ||
रफ सेट सिद्धांत कई तरीकों में से एक है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] | रफ सेट सिद्धांत कई तरीकों में से एक है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक तरीकों की तुलना में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत का उपयोग करने का एक महत्वपूर्ण अंतर एवं एक अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का एक उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है (पावलक एट अल। 1995)। अन्य तरीकों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है - इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा के अंदरप्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है (डंटश एवं गेडिगा 1995) ). रफ सेट सिद्धांत के हालिया अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है। | ||
===निश्चयता=== | ===निश्चयता=== | ||
सामान्यतः, ऊपरी | सामान्यतः, ऊपरी एवं निचले सन्निकटन समान नहीं होते हैं; ऐसे मामलों में, हम कहते हैं कि लक्ष्य निर्धारित है <math>X</math> विशेषता सेट पर अपरिभाषित या मोटे तौर पर परिभाषित नहीं है <math>P</math>. जब ऊपरी एवं निचला सन्निकटन बराबर हो (अर्थात, सीमा खाली हो), <math>{\overline P}X = {\underline P}X</math>, फिर लक्ष्य निर्धारित किया गया <math>X</math> विशेषता सेट पर निश्चित है <math>P</math>. हम अपरिभाषितता के निम्नलिखित विशेष मामलों को भिन्न कर सकते हैं: | ||
* तय करना <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> | * तय करना <math>X</math> यदि आंतरिक रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X \neq \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, किन्तुऐसी वस्तुएं हैं जिन्हें हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकते हैं <math>X</math>. | ||
* तय करना <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> | * तय करना <math>X</math> यदि बाह्य रूप से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X \neq \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी वस्तुएं हैं जिनके बारे में हम निश्चित हो सकते हैं कि वे लक्ष्य निर्धारित से संबंधित हैं <math>X</math>, किन्तुऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. | ||
* तय करना <math>X</math> यदि पूरी तरह से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> | * तय करना <math>X</math> यदि पूरी तरह से अपरिभाषित है <math>{\underline P}X = \emptyset</math> एवं <math>{\overline P}X = \mathbb{U}</math>. इसका मतलब है कि विशेषता सेट पर <math>P</math>, ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसके बारे में हम निश्चित हो सकें कि वह लक्ष्य निर्धारित से संबंधित है <math>X</math>, एवं ऐसी कोई वस्तु नहीं है जिसे हम निश्चित रूप से सेट से बाहर कर सकें <math>X</math>. इस प्रकार, विशेषता सेट पर <math>P</math>, हम यह तय नहीं कर सकते कि कोई वस्तु इसका सदस्य है या नहीं <math>X</math>. | ||
===रिडक्ट | ===रिडक्ट एवं कोर=== | ||
एक रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की तुलना में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूरी तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है। | एक रोचक सवाल यह है कि क्या सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य तालिका) में ऐसी विशेषताएं हैं जो अन्य विशेषताओं की तुलना में समतुल्य वर्ग संरचना में दर्शाए गए ज्ञान के लिए अधिक महत्वपूर्ण हैं। प्रायः, हमें आश्चर्य होता है कि क्या विशेषताओं का एक उपसमूह है, जो अपने आप में, डेटाबेस में ज्ञान को पूरी तरह से चित्रित कर सकता है; ऐसे विशेषता सेट को रिडक्ट कहा जाता है। | ||
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विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>. | विशेषता सेट <math>\{P_3,P_4,P_5\}</math> एक कमी है क्योंकि इनमें से किसी भी विशेषता को समाप्त करने से तुल्यता-वर्ग संरचना का पतन हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>[x]_{\mathrm{RED}} \neq [x]_P</math>. | ||
किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना (अर्थात , ज्ञान) को संरक्षित करते हैं। उपरोक्त उदाहरण सूचना प्रणाली में, एक | किसी सूचना प्रणाली की कमी अद्वितीय नहीं है: विशेषताओं के कई उपसमूह हो सकते हैं जो सूचना प्रणाली में व्यक्त समतुल्य-वर्ग संरचना (अर्थात , ज्ञान) को संरक्षित करते हैं। उपरोक्त उदाहरण सूचना प्रणाली में, एक एवं कमी है <math>\{P_1,P_2,P_5\}</math>, समान तुल्यता-वर्ग संरचना का निर्माण करता है <math>[x]_P</math>. | ||
गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, | गुणों का वह सेट जो सभी रिडक्ट्स के लिए सामान्य है, कोर कहलाता है: कोर उन गुणों का सेट है जो हर रिडक्ट के पास होता है, एवं इसलिए इसमें ऐसे गुण होते हैं जिन्हें तुल्यता-वर्ग के पतन के बिना सूचना प्रणाली से हटाया नहीं जा सकता है संरचना। कोर को आवश्यक विशेषताओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है - आवश्यक, अर्थात , श्रेणी संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए। उदाहरण में, ऐसी एकमात्र विशेषता है <math>\{P_5\}</math>; अन्य विशेषताओं में से किसी एक को समतुल्य-वर्ग संरचना को नुकसान पहुंचाए बिना अकेले हटाया जा सकता है, एवं इसलिए ये सभी डिस्पेंसेबल हैं। चूँकि, हटा रहा हूँ <math>\{P_5\}</math> अपने आप में तुल्यता-वर्ग संरचना बदल जाती है, एवं इस प्रकार <math>\{P_5\}</math> इस सूचना प्रणाली का अपरिहार्य गुण है, एवं इसलिए इसका मूल है। | ||
कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो। | कोर का खाली होना संभव है, जिसका अर्थ है कि कोई अपरिहार्य विशेषता नहीं है: ऐसी सूचना प्रणाली में किसी भी एक विशेषता को समतुल्य-वर्ग संरचना में बदलाव किए बिना हटाया जा सकता है। ऐसे मामलों में, कोई आवश्यक या आवश्यक विशेषता नहीं है जो वर्ग संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक हो। | ||
===विशेषता निर्भरता=== | ===विशेषता निर्भरता=== | ||
डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। सामान्यतः, यह ये स्थिर रिश्ते हैं जो आगे की जांच की गारंटी देंगे, | डेटाबेस विश्लेषण या डेटा अधिग्रहण के सबसे महत्वपूर्ण पहलुओं में से एक विशेषता निर्भरता की खोज है; अर्थात्, हम यह पता लगाना चाहते हैं कि कौन से चर किस अन्य चर से दृढ़ता से संबंधित हैं। सामान्यतः, यह ये स्थिर रिश्ते हैं जो आगे की जांच की गारंटी देंगे, एवं जो अंततः भविष्य कहनेवाला मॉडलिंग में उपयोगी होंगे। | ||
रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> | रफ सेट सिद्धांत में, निर्भरता की धारणा को बहुत सरलता से परिभाषित किया गया है। आइए हम विशेषताओं के दो (असंबद्ध) सेट लें, सेट करें <math>P</math> एवं सेट करें <math>Q</math>, एवं पूछताछ करें कि उनके बीच किस स्तर की निर्भरता प्राप्त होती है। प्रत्येक विशेषता सेट एक (अविवेकी) तुल्यता वर्ग संरचना को प्रेरित करता है, तुल्यता वर्ग प्रेरित होते हैं <math>P</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_P</math>, एवं तुल्यता वर्ग द्वारा प्रेरित <math>Q</math> द्वारा दिए गए <math>[x]_Q</math>. | ||
होने देना <math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, कहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से एक दिया गया समतुल्य वर्ग है <math>Q</math>. फिर, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है | होने देना <math>[x]_Q = \{Q_1, Q_2, Q_3, \dots, Q_N \}</math>, कहाँ <math>Q_i</math> विशेषता सेट द्वारा प्रेरित समतुल्य-वर्ग संरचना से एक दिया गया समतुल्य वर्ग है <math>Q</math>. फिर, विशेषता सेट की निर्भरता <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>, <math>\gamma_{P}(Q)</math>, द्वारा दिया गया है | ||
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अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं द्वारा जोड़ते हैं <math>P</math>, अर्थात।, <math>{\underline P}Q_i</math>. यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, मनमाने सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता पर सेट हैं <math>P</math> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से पहचाना जा सकता है <math>Q_i</math>. सभी समतुल्य वर्गों में जोड़ा गया <math>[x]_Q</math>, उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो - विशेषता सेट पर आधारित है <math>P</math> - विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है <math>Q</math>. इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के भीतर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के मूल्यों को जानना पर्याप्त है <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math>. | अर्थात् प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए <math>Q_i</math> में <math>[x]_Q</math>, हम इसके निचले सन्निकटन के आकार को विशेषताओं द्वारा जोड़ते हैं <math>P</math>, अर्थात।, <math>{\underline P}Q_i</math>. यह सन्निकटन (जैसा कि ऊपर है, मनमाने सेट के लिए <math>X</math>) उन वस्तुओं की संख्या है जो विशेषता पर सेट हैं <math>P</math> लक्ष्य निर्धारित से संबंधित के रूप में सकारात्मक रूप से पहचाना जा सकता है <math>Q_i</math>. सभी समतुल्य वर्गों में जोड़ा गया <math>[x]_Q</math>, उपरोक्त अंश वस्तुओं की कुल संख्या का प्रतिनिधित्व करता है जो - विशेषता सेट पर आधारित है <math>P</math> - विशेषताओं द्वारा प्रेरित वर्गीकरण के अनुसार सकारात्मक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है <math>Q</math>. इसलिए निर्भरता अनुपात ऐसी वर्गीकृत वस्तुओं के अनुपात (संपूर्ण ब्रह्मांड के भीतर) को व्यक्त करता है। निर्भरता <math>\gamma_{P}(Q)</math> सूचना प्रणाली में ऐसी वस्तुओं के अनुपात के रूप में व्याख्या की जा सकती है जिसके लिए विशेषताओं के मूल्यों को जानना पर्याप्त है <math>P</math> में विशेषताओं के मान निर्धारित करने के लिए <math>Q</math>. | ||
निर्भरता पर विचार करने का एक | निर्भरता पर विचार करने का एक एवं, सहज, विधिप्रेरित विभाजन को लेना है <math>Q</math> लक्ष्य वर्ग के रूप में <math>C</math>, एवं विचार करें <math>P</math> लक्ष्य वर्ग के पुनर्निर्माण के लिए हम जिस विशेषता सेट का उपयोग करना चाहते हैं <math>C</math>. यदि <math>P</math> पूर्णतः पुनर्निर्माण कर सकता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पूर्णतः निर्भर करता है <math>P</math>; यदि <math>P</math> इसका परिणाम खराब एवं संभवतः यादृच्छिक पुनर्निर्माण होता है <math>C</math>, तब <math>Q</math> पर निर्भर नहीं है <math>P</math> बिलकुल। | ||
इस प्रकार, निर्भरता का यह माप विशेषता सेट की कार्यात्मक (अर्थात , नियतात्मक) निर्भरता की डिग्री को व्यक्त करता है <math>Q</math> विशेषता सेट पर <math>P</math>; यह सममित नहीं है. विशेषता निर्भरता की इस धारणा का विशेषता निर्भरता की अधिक पारंपरिक सूचना-सैद्धांतिक (अर्थात , एंट्रोपिक) धारणाओं के संबंध पर कई स्रोतों में विचार की गई ह | |||