डिरिचलेट L-फलन

गणित में, डिरिचलेट L-श्रृंखला फॉर्म का एक फंक्शन (फलन) है।

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.$

जहां $\chi$ एक डिरिचलेट वर्ण है और एक जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष स्तिथि है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन कहा जाता है और L(s, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन फ़ंक्शंस का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी शामिल है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि s = 1 पर L(s, χ) गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, एल-फ़ंक्शन संपूर्ण होता है।

यूलर उत्पाद

चूंकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसके एल-फ़ंक्शन को पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर उत्पाद के रूप में भी लिखा जा सकता है:

$L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-\chi (p)p^{-s}\right)^{-1}{\text{ for }}{\text{Re}}(s)>1,$

जहां उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

आदिम वर्ण

एल-फ़ंक्शन के बारे में परिणाम अक्सर अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि चरित्र को आदिम माना जाता है, हालांकि परिणाम आमतौर पर छोटी जटिलताओं के साथ अप्रभावी वर्णों तक बढ़ाए जा सकते हैं। यह एक आदिम चरित्र के बीच संबंध के कारण है $\chi$ और आदिम चरित्र $\chi ^{\star }$ जो इसे प्रेरित करता है:

$\chi (n)={\begin{cases}\chi ^{\star }(n),&\mathrm {if} \gcd(n,q)=1\\0,&\mathrm {if} \gcd(n,q)\neq 1\end{cases}}$

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर उत्पाद का एक अनुप्रयोग संबंधित एल-फ़ंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:

$L(s,\chi )=L(s,\chi ^{\star })\prod _{p\,|\,q}\left(1-{\frac {\chi ^{\star }(p)}{p^{s}}}\right)$

(यह सूत्र विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी s के लिए मान्य है, भले ही यूलर उत्पाद केवल तभी मान्य है जब Re(s) > 1.) सूत्र से पता चलता है कि χ का L-फ़ंक्शन आदिम चरित्र के L-फ़ंक्शन के बराबर है जो χ को प्रेरित करता है, जो केवल कारकों की एक सीमित संख्या से गुणा होता है। एक विशेष मामले के रूप में, मुख्य चरित्र का एल-फ़ंक्शन $\chi _{0}$ मॉड्यूलो क्यू को रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$L(s,\chi _{0})=\zeta (s)\prod _{p\,|\,q}(1-p^{-s})$

कार्यात्मक समीकरण

डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखने का एक तरीका प्रदान करता है। कार्यात्मक समीकरण के मान से संबंधित है $L(s,\chi )$ के मूल्य के लिए $L(1-s,{\overline {\chi }})$. मान लीजिए कि χ एक आदिम वर्ण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. कार्यात्मक समीकरण को व्यक्त करने का एक तरीका यह है::$L(s,\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}(\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->})2^s{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}^{s-<!--\; -\; -->1}{q}^{1/2-<!--\; -\; -->s}\sin <!--\; \; -->\left(\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}(s+a)\right)\mathrm{\Gamma <!--\; \Gamma \; -->}(1-<!--\; -\; -->s)L($