उच्च-आयामी बीजगणित: Difference between revisions

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उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य मार्गों में शामिल हैं: [[द्विश्रेणी]], द्विश्रेणियों की समरूपताएं, परिवर्तनीय श्रेणी (उर्फ, अनुक्रमित, या [[पैरामीट्रिज्ड श्रेणी]]), [[चूहे]], प्रभावी वंश, और [[समृद्ध श्रेणी]] और [[आंतरिक श्रेणी]]
उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य पथ जैसे [[द्विश्रेणी]], द्विश्रेणियों की समरूपताएं, [[परिवर्तनीय श्रेणी]] (अन्य नाम, अनुक्रमित, या [[पैरामीट्रिज्ड श्रेणी]]), [[चूहे|टोपोई]], प्रभावी अवरोहण, और [[समृद्ध श्रेणी|समृद्ध]] और [[आंतरिक श्रेणी|आंतरिक श्रेणियां]] सम्मिलित हैं।


==डबल ग्रुपॉयड==
==डबल ग्रुपॉयड==

Revision as of 08:01, 5 July 2023

गणित में, विशेष रूप से (उच्च) श्रेणी सिद्धांत, उच्च-आयामी बीजगणित वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान में अनुप्रयोग हैं, और जिसे अमूर्त बीजगणित को सामान्यीकृत किया गया है।

उच्च-आयामी श्रेणियाँ

उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम उच्च श्रेणी सिद्धांत की 2-श्रेणी की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।[1] [2][3]

इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की श्रेणी, या उत्कृष्ट-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो श्रेणी की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो अमूर्त श्रेणियों (ईटीएसी) के प्राथमिक सिद्धांत के लॉवर के सिद्धांतों की व्याख्या है।[4][5] Ll.

,[6][7] इस प्रकार, एक उत्कृष्टश्रेणी और एक उत्कृष्ट-श्रेणी, को मेटा-श्रेणी,[8] बहुश्रेणी, और बहु-ग्राफ़, k-आंशिक ग्राफ, या रंगीन ग्राफ (एक रंग आकृति देखें, और ग्राफ सिद्धांत में इसकी परिभाषा भी देखें) की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है।।

उत्कृष्टश्रेणियों को पहली बार 1970 में प्रस्तावित किया गया था,[9] और बाद में सैद्धांतिक भौतिकी (विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) और गणितीय जीव विज्ञान या गणितीय जैवभौतिकी में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया था।[10]

उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य पथ जैसे द्विश्रेणी, द्विश्रेणियों की समरूपताएं, परिवर्तनीय श्रेणी (अन्य नाम, अनुक्रमित, या पैरामीट्रिज्ड श्रेणी), टोपोई, प्रभावी अवरोहण, और समृद्ध और आंतरिक श्रेणियां सम्मिलित हैं।

डबल ग्रुपॉयड

उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, डबल समूहबद्ध एक-आयामी ग्रुपॉइड का दो आयामों में सामान्यीकरण है,[11] और बाद वाले ग्रुपॉइड को सभी उलटे तीरों, या आकारिकी के साथ एक श्रेणी का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

डबल ग्रुपॉयड का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं जैसे एएन-आयामी स्थान |उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स (या मैनिफोल्ड्स की सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है।[11] सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड्स की एक सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से एन-डायमेंशनल गैर इयूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है|एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना गैर-यूक्लिडियन हो सकती है।

डबल ग्रुपोइड्स को पहली बार 1976 में रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) द्वारा रेफरी में पेश किया गया था।[11]और इन्हें गैर-एबेलियन समूह बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनुप्रयोगों के लिए और विकसित किया गया।[12][13][14][15] एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा डबल लाई बीजगणित की है, और आर-बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा है।

नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी

नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें

अनुप्रयोग

सैद्धांतिक भौतिकी

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम श्रेणी मौजूद है।[16][17][18]और क्वांटम डबल ग्रुपॉइड[18] कोई व्यक्ति क्वांटम मौलिक समूह को 2-फंक्टर के माध्यम से परिभाषित मौलिक ग्रुपोइड्स पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी स्पैन (ग्रुपॉइड्स) के संदर्भ में क्वांटम मौलिक समूह ोइड्स (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से दिलचस्प मामले के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर 2-हिल्बर्ट का निर्माण करता है। मैनिफोल्ड्स और सह-बॉर्डिज्म के लिए रिक्त स्थान और 2-रैखिक मानचित्र। अगले चरण में, ऐसे 2-फ़ंक्शनरों के प्राकृतिक परिवर्तनों के माध्यम से कोनों के साथ सह-बॉर्डिज़्म प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, गेज समूह SU(2) के साथ, विस्तारित TQFT, या ETQFT, क्वांटम गुरुत्व के पोंज़ानो-रेग मॉडल के समतुल्य एक सिद्धांत देता है;[18]इसी तरह, तुराएव-विरो मॉडल को एसयू के प्रतिनिधित्व (गणित) के साथ प्राप्त किया जाएगाq(2). इसलिए, कोई गेज सिद्धांत के राज्य स्थान का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत के मामले में, द्वारा राज्यों पर कार्य करने वाले गेज परिवर्तन, इस मामले में, कनेक्शन हैं। क्वांटम समूहों से संबंधित समरूपता के मामले में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो क्वांटम ग्रुपॉइड की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,[16]2-वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय जो ग्रुपोइड्स की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।

यह भी देखें

  • क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र:
  • टिप्पणियाँ

    1. "दोहरी श्रेणियाँ और छद्म बीजगणित" (PDF). Archived from the original (PDF) on 2010-06-10.
    2. Brown, R.; Loday, J.-L. (1987). "Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces". Proceedings of the London Mathematical Society. 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325. doi:10.1112/plms/s3-54.1.176.
    3. Batanin, M.A. (1998). "Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories". Advances in Mathematics. 136 (1): 39–103. doi:10.1006/aima.1998.1724.
    4. Lawvere, F. W. (1964). "समुच्चयों की श्रेणी का एक प्राथमिक सिद्धांत". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 52 (6): 1506–1511. Bibcode:1964PNAS...52.1506L. doi:10.1073/pnas.52.6.1506. PMC 300477. PMID 16591243.
    5. Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ Archived 2009-08-12 at the Wayback Machine
    6. "Kryptowährungen und Physik". PlanetPhysics.
    7. Lawvere, F. W. (1969b). "नींव में जुड़ाव". Dialectica. 23 (3–4): 281–295. CiteSeerX 10.1.1.386.6900. doi:10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. Archived from the original on 2009-08-12. Retrieved 2009-06-21.
    8. "मेटाकैटेगरीज़ और सुपरकैटेगरीज़ के अभिगृहीत". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.
    9. "सुपरश्रेणी सिद्धांत". PlanetMath. Archived from the original on 2008-10-26.
    10. "गणितीय जीवविज्ञान और सैद्धांतिक बायोफिज़िक्स". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.
    11. 11.0 11.1 11.2 Brown, Ronald; Spencer, Christopher B. (1976). "डबल ग्रुपोइड्स और क्रॉस्ड मॉड्यूल". Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 17 (4): 343–362.
    12. "गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति और गैर-एबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी". PlanetPhysics. Archived from the original on 2009-08-14. Retrieved 2009-03-02.
    13. Non-Abelian Algebraic Topology book Archived 2009-06-04 at the Wayback Machine
    14. Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces
    15. Brown, Ronald; Higgins, Philip; Sivera, Rafael (2011). नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी. arXiv:math/0407275. doi:10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8.
    16. 16.0 16.1 "क्वांटम श्रेणी". PlanetMath. Archived from the original on 2011-12-01.
    17. "साहचर्य समरूपता". PlanetMath. Archived from the original on 2010-12-17.
    18. 18.0 18.1 18.2 Morton, Jeffrey (March 18, 2009). "क्वांटम ग्रुपोइड्स पर एक नोट". C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization. Theoretical Atlas.


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