उच्च-आयामी बीजगणित

गणित में, विशेष रूप से (उच्च) श्रेणी सिद्धांत, उच्च-आयामी बीजगणित वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन है। इसमें नॉनबेलियन बीजगणितीय सीन विज्ञान में अनुप्रयोग हैं, और जिसे अमूर्त बीजगणित को सामान्यीकृत किया गया है।

उच्च-आयामी श्रेणियाँ

Main article: श्रेणी सिद्धांत § उच्च-आयामी श्रेणियां

उच्च आयामी बीजगणित को परिभाषित करने की दिशा में पहला कदम उच्च श्रेणी सिद्धांत की 2-श्रेणी की अवधारणा है, इसके बाद दोहरी श्रेणी की अधिक 'ज्यामितीय' अवधारणा है।

इस प्रकार एक उच्च स्तरीय अवधारणा को श्रेणियों की श्रेणी, या उत्कृष्ट-श्रेणी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो श्रेणी की धारणा को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करती है - जिसे किसी भी संरचना के रूप में माना जाता है जो अमूर्त श्रेणियों (ईटीएसी) के प्राथमिक सिद्धांत के लॉवर के सिद्धांतों की व्याख्या है। Ll.

, इस प्रकार, एक उत्कृष्टश्रेणी और एक उत्कृष्ट-श्रेणी, को मेटा-श्रेणी, बहुश्रेणी, और बहु-ग्राफ़, k-आंशिक ग्राफ, या रंगीन ग्राफ (एक रंग आकृति देखें, और ग्राफ सिद्धांत में इसकी परिभाषा भी देखें) की अवधारणाओं के प्राकृतिक विस्तार के रूप में माना जा सकता है।।

उत्कृष्टश्रेणियों को पहली बार 1970 में शुरू की गईं, और बाद में सैद्धांतिक भौतिकी (विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) और गणितीय जीव विज्ञान या गणितीय जीव विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए विकसित किया गया। उच्च-आयामी बीजगणित में अन्य मार्गों में शामिल हैं: द्विश्रेणी, द्विश्रेणियों की समरूपताएं, परिवर्तनीय श्रेणी (उर्फ, अनुक्रमित, या पैरामीट्रिज्ड श्रेणी), चूहे, प्रभावी वंश, और समृद्ध श्रेणी और आंतरिक श्रेणी।

डबल ग्रुपॉयड

Main article: double groupoid

उच्च-आयामी बीजगणित (एचडीए) में, डबल समूहबद्ध एक-आयामी ग्रुपॉइड का दो आयामों में सामान्यीकरण है, और बाद वाले ग्रुपॉइड को सभी उलटे तीरों, या आकारिकी के साथ एक श्रेणी का एक विशेष मामला माना जा सकता है।

डबल ग्रुपॉयड का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं जैसे एएन-आयामी स्थान |उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स (या मैनिफोल्ड्स की सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड्स) के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जाता है। सामान्य तौर पर, मैनिफोल्ड्स की एक सूची|एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से एन-डायमेंशनल गैर इयूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है|एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस, लेकिन जिसकी वैश्विक संरचना गैर-यूक्लिडियन हो सकती है।

डबल ग्रुपोइड्स को पहली बार 1976 में रोनाल्ड ब्राउन (गणितज्ञ) द्वारा रेफरी में पेश किया गया था।और इन्हें गैर-एबेलियन समूह बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनुप्रयोगों के लिए और विकसित किया गया। एक संबंधित, 'दोहरी' अवधारणा डबल लाई बीजगणित की है, और आर-बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा है।

नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी

नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी देखें

अनुप्रयोग

सैद्धांतिक भौतिकी

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम श्रेणी मौजूद है।और क्वांटम डबल ग्रुपॉइड कोई व्यक्ति क्वांटम मौलिक समूह को 2-फंक्टर के माध्यम से परिभाषित मौलिक ग्रुपोइड्स पर विचार कर सकता है, जो किसी को द्विश्रेणी स्पैन (ग्रुपॉइड्स) के संदर्भ में क्वांटम मौलिक समूह ोइड्स (क्यूएफजी) के भौतिक रूप से दिलचस्प मामले के बारे में सोचने की अनुमति देता है, और फिर 2-हिल्बर्ट का निर्माण करता है। मैनिफोल्ड्स और सह-बॉर्डिज्म के लिए रिक्त स्थान और 2-रैखिक मानचित्र। अगले चरण में, ऐसे 2-फ़ंक्शनरों के प्राकृतिक परिवर्तनों के माध्यम से कोनों के साथ सह-बॉर्डिज़्म प्राप्त होता है। तब एक दावा किया गया था कि, गेज समूह SU(2) के साथ, विस्तारित TQFT, या ETQFT, क्वांटम गुरुत्व के पोंज़ानो-रेग मॉडल के समतुल्य एक सिद्धांत देता है;इसी तरह, तुराएव-विरो मॉडल को एसयू के प्रतिनिधित्व (गणित) के साथ प्राप्त किया जाएगा_q(2). इसलिए, कोई गेज सिद्धांत के राज्य स्थान का वर्णन कर सकता है - या कई प्रकार के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) और स्थानीय क्वांटम भौतिकी, समरूपता द्वारा दिए गए परिवर्तन समूह के संदर्भ में, उदाहरण के लिए गेज सिद्धांत के मामले में, द्वारा राज्यों पर कार्य करने वाले गेज परिवर्तन, इस मामले में, कनेक्शन हैं। क्वांटम समूहों से संबंधित समरूपता के मामले में, कोई ऐसी संरचनाएं प्राप्त करेगा जो क्वांटम ग्रुपॉइड की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं,2-वेक्टर रिक्त स्थान के बजाय जो ग्रुपोइड्स की प्रतिनिधित्व श्रेणियां हैं।

यह भी देखें

• Timeline of category theory and related mathematics
• Higher category theory
• Ronald Brown
• Lie algebroid
• Double groupoid
• Anabelian geometry
• Noncommutative geometry
• Categorical algebra
• Grothendieck's Galois theory
• Grothendieck topology
• Topological dynamics
• Categorical dynamics
• Crossed module
• Pseudoalgebra

क्वांटम भौतिकी में अनुप्रयोग के क्षेत्र:

• Quantum Algebraic Topology
• Quantum geometry
• Quantum gravity
• Quantum group
• Topological quantum field theory
• Local quantum field theory

अग्रिम पठन

• Brown, R.; Higgins, P.J.; Sivera, R. (2011). Nonabelian Algebraic Topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids. Vol. Tracts Vol 15. European Mathematical Society. arXiv:math/0407275. doi:10.4171/083. ISBN 978-3-03719-083-8. (Downloadable PDF available)
• Brown, R.; Mosa, G.H. (1999). "Double categories, thin structures and connections". Theory and Applications of Categories. 5: 163–175. CiteSeerX 10.1.1.438.8991.
• Brown, R. (2002). Categorical Structures for Descent and Galois Theory. Fields Institute.
• Brown, R. (1987). "From groups to groupoids: a brief survey" (PDF). Bulletin of the London Mathematical Society. 19 (2): 113–134. CiteSeerX 10.1.1.363.1859. doi:10.1112/blms/19.2.113. hdl:10338.dmlcz/140413. This give some of the history of groupoids, namely the origins in work of Heinrich Brandt on quadratic forms, and an indication of later work up to 1987, with 160 references.
• Brown, Ronald (2018). "Higher Dimensional Group Theory". groupoids.org.uk. Bangor University. A web article with many references explaining how the groupoid concept has led to notions of higher-dimensional groupoids, not available in group theory, with applications in homotopy theory and in group cohomology.
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