दूरी सहसंबंध: Difference between revisions

सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, '''दूरी सहसंबंध या दूरी सहसंयोजक''', यादृच्छिक के दो युग्मित यादृच्छिक सदिश के बीच निर्भरता का एक माप है। जनसंख्या सहसंबंध गुणांक शून्य है यदि और केवल यदि यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र है। इस प्रकार, दूरी सहसंबंध दो यादृच्छिक चर या यादृच्छिक सदिश के बीच रैखिक और गैर-रेखीय संबंधों को मापता है। यह पियर्सन के सहसंबंध के विपरीत है, जो केवल दो यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का आकलन कर सकता है।

दूरी सहसंबंध का उपयोग क्रमपरिवर्तन परीक्षण के साथ निर्भरता का [[सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण|सांख्यिकीय परीक्षण]] करने के लिए किया जा सकता है। पहले दो यादृच्छिक सदिश के बीच दूरी सहसंबंध ([[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन]] दूरी आव्यूह के पुन: केंद्रित होने सहित) की गणना करता है और फिर इस मान की तुलना डेटा के कई क्रमपरिवर्तनों के दूरी सहसंबंधों से करता है।[[Image:Distance Correlation Examples.svg|thumb|upright=1.8|right|प्रत्येक सेट के लिए x और y के दूरी सहसंबंध गुणांक के साथ (x, y) बिंदुओं के कई सेट। सहसंबंध पर ग्राफ की तुलना करें]]

निर्भरता का संरचनात्मक माप, [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|पियर्सन]] [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|सहसंबंध गुणांक]], <ref>{{harvs|nb|last=Pearson|year=1895a|year2=1895b}}</ref> दो चर के बीच एक रैखिक संबंध के लिए मुख्य संवेदनशील है। दूरी सहसंबंध 2005 में गैबोर जे द्वारा पेश किया गया था। पियर्सन के सहसंबंध के इस घाटे को दूर करने के लिए कई व्याख्यानों में स्ज़ेकली, अर्थात् यह निर्भर चर के लिए आसानी से शून्य हो सकता है। सहसंबंध = 0 ( असंबद्धता ) स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है जबकि दूरी सहसंबंध = 0 स्वतंत्रता का अर्थ है। दूरी सहसंबंध पर पहला परिणाम 2007 और 2009 में प्रकाशित हुआ था।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}}{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} यह प्रचारित किया गया था कि दूरी सहसंयोजक ब्राउनियन सहसंयोजक के समान है।{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} ये माप ऊर्जा दूरी के उदाहरण हैं।

दूरी सहसंबंध कई अन्य मात्राओं से लिया गया है जो इसके विनिर्देशन में उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से: '''दूरी विचरण''', '''दूरी मानक''' '''विचलन''', और '''दूरी सहसंयोजक'''। ये मात्राएं पियर्सन गुणक सहसंबंध गुणांक के विनिर्देशन में संबंधित नामों के साथ सामान्य क्षणों के समान भूमिका निभाती हैं।

आइए हम दृष्टांत दूरी की परिभाषा के साथ प्रारंभ करें। मान लें (''X_k'', ''Y_k''), ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' वास्तविक मूल्यवान या सदिश मूल्यवान यादृच्छिक चर की एक युग्म से [[सांख्यिकीय नमूना|सांख्यिकीय दृष्टांत]] (''X'', ''Y'') हो। सबसे पहले, ''n'' दूरी की आव्यूह द्वारा ''n'' की गणना करें (''a_j''_{, ''k''}) और (''b_j''_{, ''k''}) जिसमें सभी युग्मन दूरी हैं।

जहां || ⋅ || यूक्लिडियन मानक को दर्शाता है। फिर सभी दोगुनी केंद्रित दूरी लें

जहां <math>\textstyle \overline{a}_{j\cdot}</math> j-वें पंक्ति का माध्य है, <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot k}</math> k-वें स्तंभ का माध्य है, और <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot\cdot}</math> {{math|''X''}} नमूने की दूरी आव्यूह का भव्य माध्य है। {{math|''b''}} मानों के लिए अंकन समान है। (केंद्रित दूरियों (''A_j''_{, ''k''}) और (''B_j''_,''k'') के आव्यूहों में सभी पंक्तियों और सभी स्तंभों का योग शून्य होता है।) वर्गित दृष्टांत दूरी सहप्रसरण (एक अदिश राशि) केवल गुणनों ''A_j''_{, ''k''} ''B_j''_{, ''k''}: का अंकगणितीय औसत है:

सांख्यिकीय ''T_n'' = ''n'' dCov²_''n''(''X'', ''Y'') यादृच्छिक आयामों में यादृच्छिक सदिश की स्वतंत्रता का सुसंगत बहुभिन्नरूपी परीक्षण निर्धारित करता है। कार्यान्वयन के लिए R के लिए ऊर्जा पैकेज में dcov.test फलन देखें।<sup>{{sfn|Rizzo|Székely|2021}}

'''दूरी सहप्रसरण''' के जनसंख्या मान को उसी पद्धति पर परिभाषित किया जा सकता है। मान X यादृच्छिक चर है जो संभाव्यता वितरण μ के साथ p-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है और Y को एक यादृच्छिक चर होने देता है जो एक q-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है संभाव्यता वितरण ν के साथ, और मान लीजिए कि X और Y की सीमित अपेक्षाएँ हैं। लिखें

कोई दर्शा सकता है कि यह निम्नलिखित परिभाषा के समतुल्य है:

जहां '''''E''''' अपेक्षित मान दर्शाता है, और <math>\textstyle (X, Y),</math> <math>\textstyle (X', Y'),</math> और <math>\textstyle (X'',Y'')</math> स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं। प्राथमिक यादृच्छिक चर <math>\textstyle (X', Y')</math> और <math>\textstyle (X'',Y'')</math> निरूपित

चर की स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (iid) प्रतियां <math>X</math> और <math>Y</math> और इसी तरह iid हैं।{{sfn|Székely|Rizzo|2014|p=11}} दूरी [[सहप्रसरण]] को पारम्परिक पियर्सन सहप्रसरण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, सीओवी, इस प्रकार है:

यह पहचान दर्शाती है कि दूरी सहप्रसरण दूरियों के सहप्रसरण के समान नहीं है, {{nowrap|cov({{norm|''X'' − ''X' ''}}, {{norm|''Y'' − ''Y' '' }}}})। यह शून्य हो सकता है भले ही X और Y स्वतंत्र न हों।

वैकल्पिक रूप से, दूरी के सहसंयोजक को यादृच्छिक चर के संयुक्त विशेषता फलन और उनके सीमांत विशेषता कार्यों के गुणन के बीच की दूरी के निर्धारित L² मानक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:<ref name=SR2009a>{{harvnb|Székely|Rizzo|2009a|p=1249}}, Theorem 7, (3.7).</ref>  

जहां <math>\varphi_{X,Y}(s,t)</math>और <math>\varphi_{Y}(t)</math> क्रमशः {{nowrap|(''X'', ''Y''),}} ''X'' और ''Y'' के विशिष्ट फलन हैं, ''p, q, X'' और ''Y'' के यूक्लिडियन आयाम को दर्शाते हैं, और इस प्रकार ''s'' और ''t'',और ''c_p'', ''c_q'' स्थिरांक हैं। भार फलन <math>({c_p c_q}{|s|_p^{1+p} |t|_q^{1+q}})^{-1}</math> समतुल्य और घूर्णन अपरिवर्तनीय मापों को ऐसे पैमाने पर गुणा करने के लिए चुना गया है जो आश्रित चर के लिए शून्य की ओर नहीं जाता है।<ref name=SR2009a/>{{sfn|Székely|Rizzo|2012}} अभिलाक्षणिक फलन परिभाषा की एक व्याख्या यह है कि चर ''e^isX'' और ''e^itY'' द्वारा दी गई विभिन्न अवधियों के साथ ''X'' और ''Y'' का चक्रीय निरूपण है, और व्यंजक {{nowrap|''ϕ''_{''X'', ''Y''}(''s'', ''t'') − ''ϕ''_''X''(''s'') ''ϕ''_''Y''(''t'')}} विशेषता फलन के अंश में दूरी सहप्रसरण की परिभाषा केवल ''e^isX'' और ''e^itY'' वर्गीय सहसंयोजक है। विशेषता फलन परिभाषा स्पष्ट रूप से दिखाती है कि dCov²(''X'', ''Y'') = 0 यदि और केवल ''X'' और ''Y'' स्वतंत्र हैं।

=== दूरी विचरण और दूरी मानक विस्थापन ===

दूरी ''विचरण दूरी'' के सहसंयोजक का विशेष स्तिथि है जब दो चर समान होते हैं। दूरी विचरण का जनसंख्या मूल्य वर्गमूल है

जहाँ <math>X</math>, <math>X'</math>, और <math>X''</math> [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] हैं, <math>\operatorname{E}</math> [[अपेक्षित मूल्य]] को दर्शाता है, और <math>f^2(\cdot)=(f(\cdot))^2</math> फलन के लिए <math>f(\cdot)</math>, जैसे, <math>\operatorname{E}^2[\cdot] = (\operatorname{E}[\cdot])^2</math>।

दृष्टांत दूरी प्रसरण का वर्गमूल है

जो 1912 में प्रारम्भ किए गए [[कॉनराड गिन्नी|कोराडो गिन्नी]] के औसत अंतर का संबंध है (लेकिन गिन्नी केंद्रित दूरी) के साथ काम नहीं करती थी।{{sfn|Gini|1912}}

दो यादृच्छिक चर के ''दूरी सहसंबंध''{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} उनकी दूरी मानक विचलन के गुणन द्वारा उनकी ''दूरी के सहसंयोजक'' को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दूरी सहसंबंध वर्गमूल है:

और दृष्टांत दूरी सहसंबंध को उपरोक्त जनसंख्या गुणांक के लिए दृष्टांत दूरी सहप्रसरण और दूरी प्रसरण को प्रतिस्थापित करके परिभाषित किया गया है।

दृष्टांत दूरी सहसंबंध की आसान गणना के लिए ''R'' के लिए ऊर्जा पैकेज में डीसीओआर फलन देखें।{{sfn|Rizzo|Székely|2021}}  

यह पियर्सन के सहसंबंध के विपरीत है, जो ऋणात्मक हो सकता है।

|<math>\operatorname{dCor}_n(X,Y) = 1</math> तात्पर्य है कि रैखिक उप-स्थानों के आयामों द्वारा प्रायोजित {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} नमूने क्रमशः लगभग निश्चित रूप से समान हैं और यदि हम मानते हैं कि ये उप-स्थान समान हैं, तो इस उप-स्थान में <math>Y = A + b\,\mathbf{C}X</math> f या कुछ सदिश {{mvar|A}}, अदिश {{mvar|b}}, और [[ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स]] <math>\mathbf{C}</math>।

|<math>\operatorname{dCov}(X,Y)\geq0</math> और <math>\operatorname{dCov}_n(X,Y)\geq0</math>;

सभी स्थिर सदिशों के लिए <math>a_1, a_2</math>, अदिश <math>b_1, b_2</math>, और ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स<math>\mathbf{C}_1, \mathbf{C}_2</math>.

|यदि यादृच्छिक सदिश <math>(X_1, Y_1)</math> and <math>(X_2, Y_2)</math> फिर स्वतंत्र हैं

समानता यदि और केवल यदि ही मान्य है <math>X_1</math> and <math>Y_1</math> दोनों स्थिरांक हैं, या <math>X_2</math> और <math>Y_2</math> दोनों स्थिरांक हैं, या <math>X_1, X_2, Y_1, Y_2</math> पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं।

|<math>\operatorname{dCov}(X,Y) = 0</math> यदि और केवल यदि {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} स्वतन्त्र हैं।

यह अंतिम गुण केंद्रित दूरियों के साथ काम करने का सबसे महत्वपूर्ण प्रभाव है।

सांख्यिकी <math>\operatorname{dCov}^2_n(X,Y)</math> का पक्षपाती अनुमानक है <math>\operatorname{dCov}^2(X,Y)</math> X और Y की स्वतंत्रता के अंतर्गत है। {{sfn|Székely|Rizzo|2009b}}

|<math>\operatorname{dVar}(X) = 0</math> यदि और केवल यदि <math>X = \operatorname{E}[X]</math> लगभग निश्चित रूप से।

|<math>\operatorname{dVar}_n(X) = 0</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक दृष्टांत अवलोकन समान है।

|<math>\operatorname{dVar}(A + b\,\mathbf{C}\,X) = |b|\operatorname{dVar}(X)</math> सभी स्थिर सदिशों के लिए {{mvar|A}}, scalars {{mvar|b}}, और ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स <math>\mathbf{C}</math>.

|If {{mvar|X}} और {{mvar|Y}} फिर स्वतंत्र हैं <math>\operatorname{dVar}(X + Y) \leq\operatorname{dVar}(X) + \operatorname{dVar}(Y)</math>.

यूक्लिडियन दूरी की घात को सम्मिलित करने के लिए दूरी सहप्रसरण को सामान्यीकृत किया जा सकता है।  

फिर प्रत्येक के लिए <math>0<\alpha<2</math>, <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं अगर और केवल अगर <math>\operatorname{dCov}^2(X, Y; \alpha) = 0</math>। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह लक्षण वर्णन प्रतिपादक के लिए नहीं है <math>\alpha=2</math>; इस स्तिथि में द्विचर के लिए <math>(X, Y)</math>, <math>\operatorname{dCor}(X, Y; \alpha=2)</math> पियर्सन सहसंबंध का एक नियतात्मक कार्य है।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} अगर <math>a_{k,\ell}</math> और <math>b_{k,\ell}</math> हैं <math>\alpha</math> संबंधित दूरियों की घात, <math>0<\alpha\leq2</math>, तब <math>\alpha</math> दृष्टांत दूरी सहप्रसरण को ऋणात्मक संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

कोई विस्तार कर सकता है <math>\operatorname{dCov}</math> [[ मीट्रिक स्थान |मापीय स्थान]] के लिए | मापीय-स्पेस-वैल्यू [[यादृच्छिक चर]] <math>X</math> और <math>Y</math>: अगर <math>X</math> कानून है <math>\mu</math> मापीय के साथ एक मापीय स्थान में <math>d</math>, फिर परिभाषित करें <math>a_\mu(x):= \operatorname{E}[d(X, x)]</math>, <math>D(\mu) := \operatorname{E}[a_\mu(X)]</math>, और (प्रदान किया गया <math>a_\mu</math> परिमित है, अर्थात्, <math>X</math> पहला क्षण परिमित है), <math>d_\mu(x, x') := d(x, x')-a_\mu(x)-a_\mu(x')+D(\mu)</math>. तो अगर <math>Y</math> कानून है <math>\nu</math> (परिमित पहले क्षण के साथ संभावित रूप से भिन्न मापीय स्थान में), परिभाषित करें