सघन सम्मुच्य: Difference between revisions

Revision as of 08:35, 29 May 2023

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक A उपसमुच्चय के X में को 'घना' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु $A$ से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से $A$ के सदस्य के पास है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास एक परिमेय संख्या होती है। (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।

औपचारिक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का घनत्व के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम कार्डिनैलिटी है।^[1]

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का उपसमुच्चय $A$ को $X$ का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:

$X$ का सबसे छोटा विवृत समुच्चय स्वयं $X$ है, जो $A$ से युक्त है।
$X$ में $A$ का क्लोजर (टोपोलॉजी) $X$ के बराबर है। जो कि $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ है।
$A$ के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त है। जो कि $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$ है।
$X$ में प्रत्येक बिंदु या तो $A$ से संबंधित होता है या $A.$ का एक लिमिट प्वॉइंट है।
प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येक निकटतम (गणित) $U$ , $A;$ को प्रतिच्छेदित है। जो कि $U\cap A\neq \varnothing .$ है।
X का प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत उपसमुच्चय $A$ को प्रतिच्छेदित है और यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए $X$ पर संवृत समुच्चयों का आधार (टोपोलॉजी) है। जिससे इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येकआधार निकटतम (गणित) $B\in {\mathcal {B}}$ को $A.$ प्रतिच्छेदित करती है।

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान में घना सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब $X$ की टोपोलॉजी (संरचना) एक मीट्रिक (गणित) के द्वारा दी गयी है। $X$ में $A$ का टोपोलॉजिकल क्लोजर ${\overline {A}}$ संघ (सेट सिद्धांत) और $A$ में तत्वों के अनुक्रमों की सभी सीमाओं का समुच्चय (इसकी सीमा अंक) है।

{\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}

तब

X

में

A

घना है। यदि-

 ${\overline {A}}=X.$  यदि  $\left\{U_{n}\right\}$  एक पूर्ण मीट्रिक स्थान  $X,$  में सघन संवृत समुच्चय का एक क्रम है। तब  $X.$  में  ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$  भी घना है। यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक समान है।

उदाहरण

सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक गणनीय सेट घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं जो दर्शाती हैं कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के घने उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी स्पेस की कार्डिनैलिटी से सख्ती से छोटी हो सकती है। अपरिमेय संख्याएं एक और सघन उपसमुच्चय हैं जो दर्शाता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कई अलग करना सेट घने उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं), और उन्हें एक ही कार्डिनैलिटी का होना भी आवश्यक नहीं है। शायद इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से, परिमेय और अपरिमेय दोनों में खाली आंतरिक भाग होते हैं, यह दर्शाता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त खुला समुच्चय नहीं होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो घने खुले उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन फिर से घना और खुला होता है।^{[proof 1]} रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। लेकिन गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक घना उपसमुच्चय भी गैर-खाली होना चाहिए।

Weierstrass सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या | एक बंद अंतराल पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन $[a,b]$ एक बहुपद समारोह द्वारा वांछित के रूप में एकसमान अभिसरण हो सकता है। दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष में बहुपद कार्य सघन हैं $C [$

[1]

[proof 1]

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 मीट्रिक रिक्त स्थान  में घना सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब <math>X</math> की [[टोपोलॉजी (संरचना)]] एक [[मीट्रिक (गणित)]] के द्वारा दी गयी है। <math>X</math> में <math>A</math> का [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] <math>\overline{A}</math> [[संघ (सेट सिद्धांत)]] और <math>A</math> में तत्वों के अनुक्रमों की सभी सीमाओं का समुच्चय (इसकी सीमा अंक) है।
 <math display="block">\overline{A} = A \cup \left\{\lim_{n \to \infty} a_n : a_n \in A \text{ for all } n \in \N\right\}</math>
-तब <math>A</math> में घना है <math>X</math> अगर
+तब <math>X</math> में <math>A</math> घना है। यदि-
-  <math display="block">\overline{A} = X.</math>
+  <math display="block">\overline{A} = X.</math> यदि <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान <math>X,</math> में सघन [[ खुला सेट |संवृत समुच्चय]] का एक क्रम है। तब <math>X.</math> में <math display="inline">\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> भी घना है। यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक समान है।
-अगर <math>\left\{U_n\right\}</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन [[ खुला सेट | खुला सेट]] सेट का एक क्रम है, <math>X,</math> तब <math display="inline">\bigcap^{\infty}_{n=1} U_n</math> में भी घना है <math>X.</math> यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक है।
 == उदाहरण ==
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 == संबंधित धारणाएँ ==
-एक बिंदु <math>x</math> एक उपसमुच्चय का <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> का सीमा बिन्दु कहा जाता है <math>A</math> (में <math>X</math>) अगर हर पड़ोस <math>x</math> का एक बिंदु भी शामिल है <math>A</math> के अलावा अन्य <math>x</math> स्वयं, और का एक [[पृथक बिंदु]] <math>A</math> अन्यथा। पृथक बिंदुओं के बिना एक उपसमुच्चय को सघन-स्वयं कहा जाता है।
+एक बिंदु <math>x</math> एक उपसमुच्चय का <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> का सीमा बिन्दु कहा जाता है <math>A</math> (में <math>X</math>)  यदि हर पड़ोस <math>x</math> का एक बिंदु भी शामिल है <math>A</math> के अलावा अन्य <math>x</math> स्वयं, और का एक [[पृथक बिंदु]] <math>A</math> अन्यथा। पृथक बिंदुओं के बिना एक उपसमुच्चय को सघन-स्वयं कहा जाता है।
-उपसमुच्चय <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> कहा जाता है कहीं नहीं घना सेट (में <math>X</math>) यदि कोई पड़ोस नहीं है <math>X</math> जिस पर <math>A</math> घना है। समान रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है अगर और केवल अगर इसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है। कहीं नहीं सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग हमेशा सघन होता है। एक बंद कहीं नहीं घने सेट का पूरक एक घना खुला सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> उपसमुच्चय <math>A</math> का <math>X</math> जिसे कई कहीं नहीं के घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>X</math> अल्प समुच्चय कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं।
+उपसमुच्चय <math>A</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> कहा जाता है कहीं नहीं घना सेट (में <math>X</math>) यदि कोई पड़ोस नहीं है <math>X</math> जिस पर <math>A</math> घना है। समान रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक उपसमुच्चय कहीं भी सघन नहीं है  यदि और केवल  यदि इसके बंद होने का आंतरिक भाग खाली है। कहीं नहीं सघन सेट के पूरक का आंतरिक भाग हमेशा सघन होता है। एक बंद कहीं नहीं घने सेट का पूरक एक घना खुला सेट है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> उपसमुच्चय <math>A</math> का <math>X</math> जिसे कई कहीं नहीं के घने उपसमुच्चय के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>X</math> अल्प समुच्चय कहा जाता है। परिमेय संख्याएँ, जबकि वास्तविक संख्या में सघन हैं, वास्तविक के उपसमुच्चय के रूप में अल्प हैं।
-एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक [[बाहर की जगह]] है अगर और केवल अगर कई घने खुले सेटों का चौराहा हमेशा घना होता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलन हो। अधिक आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[ बुनियादी संख्या | बुनियादी संख्या]] κ के लिए κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है यदि इसमें κ जोड़ीदार अलग-अलग घने सेट होते हैं।
+एक गणनीय सघन उपसमुच्चय के साथ एक सामयिक स्थान को [[वियोज्य स्थान]] कहा जाता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक [[बाहर की जगह]] है  यदि और केवल  यदि कई घने खुले सेटों का चौराहा हमेशा घना होता है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[हल करने योग्य स्थान]] कहा जाता है यदि यह दो अलग-अलग घने उपसमुच्चय का मिलन हो। अधिक आम तौर पर, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को [[ बुनियादी संख्या | बुनियादी संख्या]] κ के लिए κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है यदि इसमें κ जोड़ीदार अलग-अलग घने सेट होते हैं।
 एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एक एम्बेडिंग <math>X</math> एक सघन स्थान के एक सघन उपसमुच्चय के रूप में एक सघनता (गणित) कहा जाता है <math>X.</math>
 [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] स्थान के बीच एक [[रैखिक ऑपरेटर]] <math>X</math> और <math>Y</math> सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर कहा जाता है यदि [[किसी फ़ंक्शन का डोमेन]] एक सघन उपसमुच्चय है <math>X</math> और यदि किसी फ़ंक्शन की छवि इसके भीतर समाहित है <math>Y.</math> सतत रैखिक विस्तार भी देखें।
-एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस]] है अगर और केवल अगर हर गैर-खाली खुला सेट सघन है <math>X.</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस [[सबमैक्सिमल स्पेस]] है अगर और केवल अगर हर घना सबसेट खुला है।
+एक टोपोलॉजिकल स्पेस <math>X</math> [[हाइपरकनेक्टेड स्पेस]] है  यदि और केवल  यदि हर गैर-खाली खुला सेट सघन है <math>X.</math> एक टोपोलॉजिकल स्पेस [[सबमैक्सिमल स्पेस]] है  यदि और केवल  यदि हर घना सबसेट खुला है।
-अगर <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है, फिर एक गैर-खाली सबसेट है <math>Y</math> बताया गया <math>\varepsilon</math>-घना अगर
+यदि <math>\left(X, d_X\right)</math> एक मीट्रिक स्थान है, फिर एक गैर-खाली सबसेट है <math>Y</math> बताया गया <math>\varepsilon</math>-घना  यदि
 <math display="block">\forall x \in X, \; \exists y \in Y \text{ such that } d_X(x, y) \leq \varepsilon.</math>
-तभी कोई दिखा सकता है <math>D</math> में घना है <math>\left(X, d_X\right)</math> अगर और केवल अगर यह प्रत्येक के लिए ε-घन है <math>\varepsilon > 0.</math>
+तभी कोई दिखा सकता है <math>D</math> में घना है <math>\left(X, d_X\right)</math>  यदि और केवल  यदि यह प्रत्येक के लिए ε-घन है <math>\varepsilon > 0.</math>

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