सघन सम्मुच्य: Difference between revisions

Revision as of 22:48, 28 May 2023

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक A उपसमुच्चय के X में को 'घना' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु $A$ से संबंधित है या फिर $A$ के सदस्य के है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।

औपचारिक रूप से, $A$ में घना है $X$ यदि सबसे छोटा बंद सेट $X$ युक्त $A$ है $X$ अपने आप।^[1] density एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ के सघन उपसमुच्चय की कम से कम प्रमुखता है $X.$

परिभाषा

उपसमुच्चय $A$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ ए कहा जाता हैdense subset का $X$ यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी संतुष्ट है: <ओल>

का सबसे छोटा बंद सेट

X

युक्त

A

है

X

खुद।

का क्लोजर (टोपोलॉजी)।

A

में

X

के बराबर है

X.

वह है,

\operatorname {cl} _{X}A=X.

</ली>

के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक (टोपोलॉजी)।

A

खाली है। वह है,

\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .

</ली>

हर बिंदु में

X

या तो का है

A

या का एक सीमा बिंदु है

A.

</ली>

प्रत्येक के लिए

x\in X,

हर पड़ोस (गणित)

U

का

x

चौराहा (सेट सिद्धांत)

A;

वह है,

U\cap A\neq \varnothing .

</ली> <ली>

A

के प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमुच्चय को प्रतिच्छेद करता है

X.

</ली> <ली></ली> </ओल> और अगर

{\mathcal {B}}

टोपोलॉजी के लिए खुले सेटों का आधार (टोपोलॉजी) है

X

तो इस सूची को शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: <ओल प्रारंभ = 7>

प्रत्येक के लिए

x\in X,

प्रत्येक basic पड़ोस (गणित)

B\in {\mathcal {B}}

का

x

चौराहा (सेट सिद्धांत)

A.

</ली> <ली>

A

हर गैर-खाली को काटता है

B\in {\mathcal {B}}.

</ली> </ अल>

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की टोपोलॉजी (संरचना)। $X$ एक मीट्रिक (गणित), टोपोलॉजिकल क्लोजर द्वारा दिया जाता है ${\overline {A}}$ का $A$ में $X$ का संघ (सेट सिद्धांत) है $A$ और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान $A$ (इसकी सीमा अंक),

{\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}

तब

A

में घना है

X

अगर

 ${\overline {A}}=X.$

अगर $\left\{U_{n}\right\}$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन खुला सेट सेट का एक क्रम है, $X,$ तब $intersection Underscript n equals 1 Overscript normal infinity Endscripts upper U Subscript n$

[1]

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 {{Short description|Subset whose closure is the whole space}}{{Refimprove|date=February 2010}}
-[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] एक्स के एक उपसमुच्चय को एक्स में 'घना' कहा जाता है यदि एक्स का प्रत्येक बिंदु या तो ए से संबंधित है या फिर मनमाने ढंग से ए के सदस्य के करीब है - उदाहरण के लिए, [[तर्कसंगत संख्या]]एँ [[वास्तविक संख्या]]ओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या या तो एक परिमेय संख्या होती है या इसके पास एक परिमेय संख्या होती है ([[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] देखें)।
+[[टोपोलॉजी]] और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] ''X'' के एक ''A'' उपसमुच्चय के ''X में को''  'घना' कहा जाता है। यदि  X का प्रत्येक बिंदु <math>A</math>  से संबंधित है या फिर  <math>A</math>  के सदस्य के  है। उदाहरण के लिए, [[तर्कसंगत संख्या]]एँ [[वास्तविक संख्या]]ओं का सघन उपसमुच्चय होती  ([[डायोफैंटाइन सन्निकटन]] देखें)।
 औपचारिक रूप से, <math>A</math> में घना है <math>X</math> यदि सबसे छोटा [[बंद सेट]] <math>X</math> युक्त <math>A</math> है <math>X</math> अपने आप।<ref name="CEIT">{{Citation|last=Steen|first=L. A.|last2=Seebach|first2=J. A.|title=Counterexamples in Topology|publisher=Dover|year=1995|isbn=0-486-68735-X|title-link=Counterexamples in Topology}}</ref> {{visible anchor|density}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> के सघन उपसमुच्चय की कम से कम [[प्रमुखता]] है <math>X.</math>
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 == उदाहरण ==
-सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक [[गणनीय सेट]] घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं जो दर्शाती हैं कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के घने उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी स्पेस की कार्डिनैलिटी से सख्ती से छोटी हो सकती है। [[अपरिमेय संख्या]]एं एक और सघन उपसमुच्चय हैं जो दर्शाता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कई [[अलग करना सेट]] घने उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं), और उन्हें एक ही कार्डिनैलिटी का होना भी आवश्यक नहीं है। शायद इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से, परिमेय और अपरिमेय दोनों में खाली आंतरिक भाग होते हैं, यह दर्शाता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त खुला समुच्चय नहीं होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो घने खुले उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन फिर से घना और खुला होता है।<ref group=proof>Suppose that <math>A</math> and <math>B</math> are dense open subset of a topological space <math>X.</math> If <math>X = \varnothing</math> then the conclusion that the open set <math>A \cap B</math> is dense in <math>X</math> is immediate, so assume otherwise. Let <math>U</math> is a non-empty open subset of <math>X,</math> so it remains to show that <math>U \cap (A \cap B)</math> is also not empty. Because <math>A</math> is dense in <math>X</math> and <math>U</math> is a non-empty open subset of <math>X,</math> their intersection <math>U \cap A</math> is not empty. Similarly, because <math>U \cap A</math> is a non-empty open subset of <math>X</math> and <math>B</math> is dense in <math>X,</math> their intersection <math>U \cap A \cap B</math> is not empty. <math>\blacksquare</math></ref> रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। लेकिन गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक घना उपसमुच्चय भी गैर-खाली होना चाहिए।
+सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक [[गणनीय सेट]] घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं जो दर्शाती हैं कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के घने उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी स्पेस की कार्डिनैलिटी से सख्ती से छोटी हो सकती है। [[अपरिमेय संख्या]]एं एक और सघन उपसमुच्चय हैं जो दर्शाता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कई [[अलग करना सेट]] घने उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं), और उन्हें एक ही कार्डिनैलिटी का होना भी आवश्यक नहीं है। शायद इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से, परिमेय और अपरिमेय दोनों में खाली आंतरिक भाग होते हैं, यह दर्शाता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त खुला समुच्चय नहीं होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो घने खुले उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन फिर से घना और खुला होता है।<ref group="proof">Suppose that <math>A</math> and <math>B</math> are dense open subset of a topological space <math>X.</math> If <math>X = \varnothing</math> then the conclusion that the open set <math>A \cap B</math> is dense in <math>X</math> is immediate, so assume otherwise. Let <math>U</math> is a non-empty open subset of <math>X,</math> so it remains to show that <math>U \cap (A \cap B)</math> is also not empty. Because <math>A</math> is dense in <math>X</math> and <math>U</math> is a non-empty open subset of <math>X,</math> their intersection <math>U \cap A</math> is not empty. Similarly, because <math>U \cap A</math> is a non-empty open subset of <math>X</math> and <math>B</math> is dense in <math>X,</math> their intersection <math>U \cap A \cap B</math> is not empty. <math>\blacksquare</math></ref> रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। लेकिन गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक घना उपसमुच्चय भी गैर-खाली होना चाहिए।
 Weierstrass सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या | एक [[बंद अंतराल]] पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन <math>[a, b]</math> एक बहुपद समारोह द्वारा वांछित के रूप में [[एकसमान अभिसरण]] हो सकता है। दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष में बहुपद कार्य सघन हैं <math>C[a, b]</math> अंतराल पर निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों की <math>[a, b],</math> सर्वोच्च मानदंड से लैस।

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