असमानता (गणित)

This article is about relations "greater than" and "less than". For the relation "not equal", see Inequation.

"Less than" and "Greater than" redirect here. For the symbol <, see less-than sign. For the symbol >, see greater-than sign. For the song, see Less Than (song).

"≪" redirects here. Not to be confused with Absolute continuity of measures.

रैखिक प्रोग्रामिंग के व्यवहार्य क्षेत्रों को असमानताओं के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है।

गणित में, असमानता एक ऐसा संबंध है जो दो संख्याओं या अन्य गणितीय अभिव्यक्तियों के बीच एक गैर-समान तुलना करता है।इसका उपयोग अक्सर उनके आकार से संख्या रेखा पर दो संख्याओं की तुलना करने के लिए किया जाता है।विभिन्न प्रकार की असमानताओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई अलग -अलग सूचनाएं हैं:

• संकेतन a < b का अर्थ है कि a, b से छोटा है।
• संकेतन a > b का अर्थ है कि a, b से बड़ा है।

या तो मामले में, ए बी के बराबर नहीं है।इन संबंधों को 'सख्त असमानताओं' के रूप में जाना जाता है, का अर्थ है कि ए सख्ती से कम या कड़ाई से बी से अधिक है।समतुल्यता को बाहर रखा गया है।

सख्त असमानताओं के विपरीत, दो प्रकार के असमानता संबंध हैं जो सख्त नहीं हैं:

• संकेतन a ≤ b या a ⩽ b का अर्थ है कि a 'b से कम या बराबर' b (या, समतुल्य, अधिकांश b पर, या b से अधिक नहीं) है।
• संकेतन a ⩾ b या a ⩾ b का अर्थ है कि a 'b से अधिक या बराबर' b (या, समतुल्य, कम से कम b, या b से कम नहीं) से अधिक है।

'से अधिक नहीं' संबंध भी एक a ≯ b द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, एक स्लैश द्वारा द्विभाजित से अधिक के लिए प्रतीक, नहीं। से कम नहीं 'के लिए भी यही सच है।

संकेतन a ≠ B का मतलब है कि a, b के बराबर नहीं है। इस असमानता को कभी-कभी सख्त असमानता का एक रूप माना जाता है।यह नहीं कहता है कि एक दूसरे से अधिक है, इसके लिए a और b को ऑर्डर किए गए सेट के सदस्य होने की भी आवश्यकता नहीं है।

इंजीनियरिंग विज्ञान में, नोटेशन का कम औपचारिक उपयोग यह बताना है कि आमतौर पर परिमाण के कई आदेशों द्वारा एक मात्रा दूसरे से बहुत अधिक है।

• संकेतन a ≪ b का मतलब है कि a, b से बहुत कम है।
• संकेतन a ≫ b का मतलब है कि a, b से बहुत अधिक है।
• इसका तात्पर्य यह है कि अनुमान की सटीकता पर कम प्रभाव के साथ कम मूल्य की उपेक्षा की जा सकती है (जैसे कि भौतिकी में अल्ट्रारिलेटिविस्टिक सीमा का मामला)।

उपरोक्त सभी मामलों में, एक-दूसरे को प्रतिबिम्बित करने वाले कोई भी दो प्रतीक सममित होते हैं, a < b, b > a समकक्ष हैं, आदि।

संख्या रेखा पर गुण

असमानताएं निम्नलिखित गुणों द्वारा नियंत्रित होती हैं।इन सभी गुणों को भी पकड़ लिया जाता है यदि सभी गैर-सख्त असमानताओं (≤ और) को उनकी संगत सख्त असमानताओं (<और>) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और-एक फ़ंक्शन को लागू करने के मामले में-मोनोटोनिक फ़ंक्शन सख्ती से मोनोटोनिक कार्यों तक सीमित होते हैं।

कॉनवर्स

संबंध ⩽ और ⩾ एक -दूसरे के रूप में हैं, जिसका अर्थ है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a और b ,

a ≤ b और b ≥ a समतुल्य हैं।

ट्रांजिटिविटी

असमानता की सकर्मक संपत्ति बताती है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a, b, c, यदि a ≤ b और b ≤ c, तो a ≤ c। यदि कोई भी परिसर एक सख्त असमानता है, तो निष्कर्ष एक सख्त असमानता है:

यदि a ≤ b और b <c, तो a <c।

यदि a <b और b ≤ c, तो a <c।

जोड़ और घटाव

यदि x <y, तो x + a <y + a।

सामान्य स्थिरांक c को एक असमानता के दोनों पक्षों में जोड़ा या घटाया जा सके। तो, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए a, b, c:

यदि एक a ≤ b, तो a + c ≤ b + c और a - c ≤ b - c।

दूसरे शब्दों में, असमानता संबंध इसके अलावा (या घटाव) के तहत संरक्षित है और वास्तविक संख्याएं इसके अलावा एक आदेशित समूह हैं।

गुणा और विभाजन

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यदि x <y और a> 0, तो ax <ay।

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यदि x <y और a <0, तो ax> ay।

गुणन और विभाजन से निपटने वाले गुण बताते हैं कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए, a, b और गैर-शून्य c:

यदि a ≤ b और C> 0 है, तो ac≤bc और a/c ≤ b/c।

यदि a ≤ b और C <0 है, तो ac ≥ bc और a/c ≥ b/c।

दूसरे शब्दों में, असमानता संबंध को सकारात्मक स्थिरांक के साथ गुणा और विभाजन के तहत संरक्षित किया जाता है, लेकिन जब एक लेकिन जब एक नकारात्मक स्थिरांक शामिल होता है तो इसे उलट दिया जाता है।।आम तौर पर, यह एक आदेशित क्षेत्र के लिए लागू होता है।अधिक जानकारी के लिए, आदेशित किए गए फ़ील्ड देखें।

योज्य व्युत्क्रम

योज्य व्युत्क्रम की विशेषता बताती है कि किसी भी वास्तविक संख्या a और b के लिए:

यदि एक a≤ b, तो −a ≥ −b।

गुणक व्युत्क्रम

यदि दोनों संख्याएँ धनात्मक हैं, तो गुणात्मक व्युत्क्रमों के बीच असमानता का संबंध मूल संख्याओं के बीच के विपरीत है।विशेष रूप से, किसी भी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं के लिए a और b जो दोनों धनात्मक (या दोनों नकारात्मक) हैं:

यदि a≤b, तो 1/a ≥ 1/b।

a और b के संकेतों के सभी मामलों को श्रृंखलित संकेतन में भी निम्नानुसार लिखा जा सकता है,

यदि 0 <a ≤ b, तो 1 /a ≥ 1/b > 0।

यदि a ≤ b <0, तो 0> 1/a ≥ 1/b।

यदि a <0 <b, तो 1/a <0 < 1/b।

दोनों पक्षों को एक फ़ंक्शन लागू करना

Y = ln x का ग्राफ

एकदिष्ट फलन की परिभाषा के अनुसार,असमानता के संबंध को तोड़े बिना एक असमानता के दोनों किनारों पर लागू किया जा सकता है (बशर्ते कि दोनों अभिव्यक्ति उस फ़ंक्शन के डोमेन में हों)।हालांकि, एक असमानता के दोनों किनारों पर एकदिष्ट फलन से घटते कार्य को लागू करने का मतलब है कि असमानता संबंध उलट हो जाएगा।योज्य व्युत्क्रम के लिए नियम, और धनात्मक संख्या के लिए गुणक उलटा, दोनों एक एकदिष्ट फलन के रूप से घटते कार्य को लागू करने के उदाहरण हैं।

यदि असमानता सख्त है (ए <बी, ए> बी) और कार्य कड़ाई से एकदिष्ट है, तो असमानता सख्त बनी हुई है।यदि इनमें से केवल एक स्थितियां सख्त हैं, तो परिणामी असमानता गैर-सख्ती है।वास्तव में, योज्य और गुणक व्युत्क्रमों के नियम दोनों एक सख्ती से एकदिष्ट रूप से घटने वाले फलन को लागू करने के उदाहरण हैं।

इस नियम के कुछ उदाहरण हैं:

• एक असमानता के दोनों किनारों को एक घात n> 0 (= −n <0) के लिए उठाना, जब a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ।

0 ≤ a ≤ b ⇔ a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ≥ 0।

• एक असमानता के दोनों किनारों पर प्राकृतिक लघुगणक लेना, जब a और b धनात्मक वास्तविक संख्याएं हैं:

0 <a ≤ b ⇔ ln (a) ≤ ln (b)।

0 <a <b ⇔ ln (a) <ln (b)।

(यह सच है क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक एक सतर्कता से बढ़ता कार्य है।)

औपचारिक परिभाषाएँ और सामान्यीकरण

A (गैर-सख्ती) आंशिक आदेश एक द्विआधारी संबंध है, जो एक सेट P पर है, जो रिफ्लेक्टिव, एंटीसिमेट्रिक और सकर्मक है।यानी, सभी a, b, और c में P के लिए, यह तीन निम्नलिखित खंडों को संतुष्ट करना चाहिए:

1. ए (ए (रिफ्लेक्सिटी)
2. यदि ≤ b और b ≤ a, तो a = b (एंटीसिमेट्री)
3. यदि ≤ b और b ≤ c, तो a (c (संक्रमण)

आंशिक आदेश के साथ एक सेट को 'आंशिक रूप से आदेशित सेट' कहा जाता है।वे बहुत ही बुनियादी स्वयंसिद्ध हैं जिन्हें हर तरह के आदेश को संतुष्ट करना पड़ता है।एक सेट पी पर आदेशों की अन्य परिभाषाओं के लिए मौजूद अन्य स्वयंसिद्ध शामिल हैं:

1. पी में प्रत्येक ए और बी के लिए, एक ≤ बी या बी (ए (कुल क्रम)।
2. पी में सभी ए और बी के लिए, जिसके लिए ए <बी, पी में एक सी है जैसे कि ए <सी <बी (घने क्रम)।
3. ऊपरी बाउंड के साथ पी के प्रत्येक गैर-खाली सबसेट में पी (कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति) में कम से कम ऊपरी बाउंड (सुप्रीम) होता है।

ऑर्डर किए गए फ़ील्ड

Main article: Ordered field

If (f, +, ×) एक फ़ील्ड है और of f पर कुल ऑर्डर है, तो (f, +, ×, ≤) को 'ऑर्डर किए गए फ़ील्ड' कहा जाता है यदि और केवल अगर:

• A ≤ B का अर्थ है A + C ≤ B + C;
• 0 ≤ ए और 0 ≤ b का तात्पर्य 0 × a × b है।

दोनों ('q', +, ×, and) और ('r', +, ×, ≤) को ऑर्डर किया जाता है, लेकिन are को ('C', +, ×, ≤) बनाने के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है।खेत,क्योंकि −1 मैं का वर्ग है और इसलिए सकारात्मक होगा।

एक आदेशित क्षेत्र होने के अलावा, 'आर' में कम से कम-ऊँचा-बाध्य संपत्ति भी है।वास्तव में, 'आर' को उस गुणवत्ता के साथ एकमात्र आदेशित क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

जंजीर संकेतन

अंकन ऊपर की गई संपत्ति, यह भी इस प्रकार है कि ।उपरोक्त कानूनों द्वारा, कोई तीनों शब्दों में एक ही संख्या को जोड़ या घटाया जा सकता है, या सभी तीन शब्दों को एक ही नॉनज़ेरो नंबर से गुणा या विभाजित कर सकता है और सभी असमानताओं को उलट सकता है यदि यह संख्या नकारात्मक है।इसलिए, उदाहरण के लिए, C' ' -' 'E' '।

इस संकेतन को किसी भी संख्या में सामान्यीकृत किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, ए ₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n means that a_i ≤ a_i+1 for i = 1, 2, ..., n − 1. By transitivity, this condition is equivalent to a_i ≤ a_jकिसी भी 1 ≤ i ≤ j ≤ n के लिए।

जंजीर संकेतन का उपयोग करके असमानताओं को हल करते समय, स्वतंत्र रूप से शर्तों का मूल्यांकन करना संभव है और कभी -कभी आवश्यक है।उदाहरण के लिए, असमानता को हल करने के लिए 4x <2x + 1 ≤ 3x + 2, अतिरिक्त या घटाव के माध्यम से असमानता के किसी एक हिस्से में एक्स को अलग करना संभव नहीं है।इसके बजाय, असमानताओं को स्वतंत्र रूप से हल किया जाना चाहिए, क्रमशः x <1/2 और x −11 की उपज, जिसे अंतिम समाधान −1 ≤ x <1/2 में जोड़ा जा सकता है।

कभी -कभी, जंजीर संकेतन का उपयोग अलग -अलग दिशाओं में असमानताओं के साथ किया जाता है, जिस स्थिति में अर्थ आसन्न शब्दों के बीच असमानताओं का तार्किक संयोजन है।उदाहरण के लिए, एक ज़िगज़ैग पोज़िट की परिभाषित सम्मेलन एक के रूप में लिखा गया है₁ < a₂ > a₃ < a₄ > a₅ < a₆> ...मिश्रित जंजीर संकेतन का उपयोग अधिक बार संगत संबंधों के साथ किया जाता है, जैसे <, =,,।उदाहरण के लिए, a <b = c ≤ d का अर्थ है कि a <b, b = c, और c ≤ d।यह संकेतन कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं जैसे पायथन में मौजूद है।इसके विपरीत, प्रोग्रामिंग भाषाओं में जो तुलनात्मक परिणामों के प्रकार पर एक ऑर्डर प्रदान करते हैं, जैसे कि सी, यहां तक कि सजातीय श्रृंखलाओं का भी पूरी तरह से अलग अर्थ हो सकता है।

तेज असमानताएं

एक असमानता को तेज कहा जाता है यदि इसे आराम नहीं किया जा सकता है और अभी भी सामान्य रूप से मान्य है।औपचारिक रूप से, एक सार्वभौमिक रूप से परिमाणित असमानता φ को तेज कहा जाता है, अगर प्रत्येक वैध सार्वभौमिक रूप से मात्रा निर्धारित असमानता के लिए, अगर, अगर ψ ⇒ φ होल्ड्स, फिर ψ ⇔ φ इसके अलावा।उदाहरण के लिए, असमानता ∀a ∈ ℝ. a² ≥ 0 तेज है, जबकि असमानता ∀a ∈ ℝ. a² ≥ −1 तेज नहीं है।

साधन के बीच असमानताएं

See also: Inequality of arithmetic and geometric means

साधनों के बीच कई असमानताएं हैं।उदाहरण के लिए, किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए₁, a₂, …, a_nअपने पास H ≤ G ≤ A ≤ Q, कहाँ पे

---

$H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}$

(अनुकूल माध्य), ---

$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$

(जियोमेट्रिक माध्य), ---

$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$

(अंकगणित औसत), ---

$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$

(द्विघात माध्य)।

Cauchy -Schwarz असमानता

See also: Cauchy–Schwarz inequality

Cauchy -Schwarz असमानता में कहा गया है कि सभी वैक्टर U और V के लिए एक आंतरिक उत्पाद स्थान के लिए यह सच है कि यह सच है

$|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,$

कहाँ पे $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ आंतरिक उत्पाद है।आंतरिक उत्पादों के उदाहरणों में वास्तविक और जटिल डॉट उत्पाद शामिल हैं;यूक्लिडियन स्पेस आर मेंⁿमानक आंतरिक उत्पाद के साथ, Cauchy -Schwarz असमानता है

${\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_i{v}_i\right)}^2\le <!--\; \le \; -->\left(\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{u}_i^2\right)(\underset{i=}{\overset{}{\sum <!--\; \sum \; -->}}$