फलनिक समीकरण: Difference between revisions

Revision as of 21:36, 24 June 2023

गणित में, एक कार्यात्मक समीकरण ^[1]^[2]^{[irrelevant citation]} व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या कई कार्य अज्ञात (गणित) के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलन समीकरण हैं। हालांकि, एक अधिक प्रतिबंधित अर्थ का अक्सर उपयोग किया जाता है, जहां एक कार्यात्मक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फ़ंक्शन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन हैं लघुगणक#लक्षण लघुगणक क्रियात्मक समीकरण द्वारा उत्पाद सूत्र द्वारा अभिलक्षणन $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ यदि अज्ञात फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फ़ंक्शन को आम तौर पर अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है, और, इस मामले में, एक कार्यात्मक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है . इस प्रकार कार्यात्मक समीकरण शब्द का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक कार्यों और जटिल कार्यों के लिए किया जाता है। इसके अलावा, समाधान के लिए अक्सर एक सहज कार्य माना जाता है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना, अधिकांश कार्यात्मक समीकरणों में बहुत अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक ऐसा फलन है जो फलनात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मूल्य $f(1)=1.$ ऐसे कई कार्य हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, लेकिन गामा फ़ंक्शन अद्वितीय है जो पूरे जटिल विमान में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य करता है $x$ वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय)।

उदाहरण

पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं पर कार्यों में कार्यात्मक समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें शब्दों के सूचकांक के बीच के अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्याओं को परिभाषित करने वाला पुनरावर्तन संबंध, $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ , कहाँ पे $F_{0}=0$ तथा $F_{1}=1$
$f(x+P)=f(x)$ , जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है

$f(x)=f(-x)$ , जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $f(x)=-f(-x)$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है

$f(f(x))=g(x)$ , जो फलन g के कार्यात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ , सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ , सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!$ (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)
$f ((x + y)$

[1]

[2]

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 * फलनिक समीकरण <math display="block">
 f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
-</math> [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] से संतुष्ट है।{{cn|date=March 2022}} राजधानी {{math|Γ}} गामा समारोह को दर्शाता है।
+</math> [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] से संतुष्ट है।{{cn|date=March 2022}} कैपिटल {{math|Γ}} गामा फलन को दर्शाता है।
-* गामा फलन निम्नलिखित तीन समीकरणों की प्रणाली का अनूठा हल है:{{cn|date=March 2022}}
+* गामा फलन तीन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का अद्वितीय हल है:{{cn|date=March 2022}}
 **<math>f(x)={f(x+1) \over x}</math>
 **<math>f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)</math>
-**<math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math>{{spaces|10}}(लियोनहार्ड यूलर|यूलर का परावर्तन सूत्र)
+**<math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math>{{spaces|10}}(यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
-* कार्यात्मक समीकरण <math display="block">f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math> कहाँ पे {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} [[पूर्णांक]] संतोषजनक हैं <math>ad - bc = 1</math>, अर्थात। <math>
+* फलनिक समीकरण <math display="block">f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>जहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} [[पूर्णांक]] हैं जो <math>ad - bc = 1</math>,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात <math>
-\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, परिभाषित करता है {{mvar|f}} आदेश का एक [[मॉड्यूलर रूप]] होना {{mvar|k}}.
+\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, {{mvar|f}}  को क्रम {{mvar|k}} का एक [[मॉड्यूलर रूप]] परिभाषित करता है।.
 एक विशेषता यह है कि ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरण{{clarify|reason=Which examples does this refer to?|date=March 2022}} आम में हिस्सा यह है कि, प्रत्येक मामले में, दो या दो से अधिक ज्ञात कार्य (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चर के जोड़, कभी-कभी पहचान कार्य) अज्ञात कार्यों के तर्क के अंदर होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।{{citation needed|date=March 2022}}

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