मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions

Latest revision as of 09:53, 28 June 2023

गणित में, मॉड्यूलर रूप, एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन है जो मॉड्यूलर समूह के समूह क्रिया के संबंध में एक निश्चित प्रकार के कार्यात्मक समीकरण तथा विकास की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसीलिए मॉड्यूलर रूपों का सिद्धांत जटिल विश्लेषण से संबंधित है परंतु इस सिद्धांत का मुख्य महत्व परंपरागत रूप से संख्या सिद्धांत के साथ इसके संबंध में रहा है। अन्य क्षेत्रों जैसे कि बीजगणितीय सांस्थिति, गोलाकार गतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में भी मॉड्यूलर रूप दिखाई देते हैं।

मॉड्यूलर फलन एक ऐसा फलन है जो मॉड्यूलर समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, परंतु बिना किसी शर्त के $f (z)$ उच्च अर्ध-समष्टि में पूर्णसममितिक फलन रूप को संतुष्ट करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, मॉड्यूलर फलन मेरोमॉर्फिक फलन हैं अर्थात, वे पृथक बिंदुओं के एक समुच्चय के पूरक पर पूर्णसममितिक हैं, जो इसी फलन के ध्रुव हैं।

मॉड्यूलर रूप सिद्धांत स्वचालित रूप के अधिक सामान्य सिद्धांत की एक विशेष परिस्थिति है। ये लाइ समूहों पर परिभाषित फलन हैं जो कुछ असतत उपसमूहों की कार्रवाई के संबंध में उपयुक्त रूप से रूपांतरित होते हैं तथा मॉड्यूलर समूह $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ के उदाहरण को समान्यीकृत करते हैं। .

मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा

सामान्य रूप में,^[1] एक उपसमूह $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ परिमित सूचकांक दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप $\Gamma$ और भार $k$ एक पूर्णसममितिक फलन $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ है। उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी $\gamma \in \Gamma$ के लिए $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ समानता है^{[note 1]}
2. (वृद्धि की स्थिति) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए फलन $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ , ${\text{im}}(z)\to \infty$ के लिए बाध्य है

जहां ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

[1]

[note 1]

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      \Gamma(N) &= \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \text{SL}(2, \mathbf{Z}) : c \equiv b \equiv 0, a \equiv d \equiv 1 \pmod{N} \right\}.
 \end{align}</math>
-जी के लिए = जी<sub>0</sub>(और न {{math|Γ(''N'')}}, रिक्त स्थान G\'H' और G\'H'<sup>∗</sup> को Y से दर्शाया गया है<sub>0</sub>(एन) और एक्स<sub>0</sub>(एन) और वाई (एन), एक्स (एन), क्रमशः।
+जी के लिए = जी<sub>0</sub>(और न {{math|Γ(''N'')}}, रिक्त स्थान G\'H' और G\'H'<sup>∗</sup> को Y<sub>0</sub> से और एक्स<sub>0</sub>(एन) और वाई (एन), एक्स (एन) दर्शाया गया है।
-G\'H' की ज्यामिति<sup>∗</sup> को G के लिए [[मौलिक डोमेन]] का अध्ययन करके समझा जा सकता है, अर्थात उपसमुच्चय D ⊂ 'H' जैसे कि D, की प्रत्येक कक्षा को काटता है {{mvar|G}}-H पर ठीक एक बार क्रिया और इस प्रकार कि ''D'' का बंद होना सभी कक्षाओं से मिलता है। उदाहरण के लिए, ''G''\H का [[जीनस (गणित)|जीनस]] की गणना की जा सकती है।<ref>{{Citation | last1=Gunning | first1=Robert C. | title=Lectures on modular forms | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | year=1962 | volume=48}}, p. 13</ref>
+G\'H' की ज्यामिति<sup>∗</sup> को G के लिए [[मौलिक डोमेन|मौलिक क्षेत्र]] का अध्ययन करके समझा जा सकता है, अर्थात उपसमुच्चय D ⊂ 'H' जैसे कि D, की प्रत्येक कक्षा को काटता है {{mvar|G}}-H पर ठीक एक बार क्रिया और इस प्रकार कि ''D'' का बंद होना सभी कक्षाओं से मिलता है। उदाहरण के लिए, ''G''\H का [[जीनस (गणित)|जीनस]] की गणना की जा सकती है।<ref>{{Citation | last1=Gunning | first1=Robert C. | title=Lectures on modular forms | publisher=[[Princeton University Press]] | series=Annals of Mathematics Studies | year=1962 | volume=48}}, p. 13</ref>
 === परिभाषा ===
-<nowiki>के लिए एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|G}भार k का } 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है </nowiki>{{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. भार के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है।
+के लिए एक मॉड्यूलर रूप G भार k का 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है {{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. भार के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है।
 === परिणाम ===
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 === लाइन बंडल ===
-उस स्थिति की तुलना लाभप्रद रूप से की जा सकती है जो [[ प्रक्षेपण स्थान ]] P(V) पर फ़ंक्शंस की खोज में उत्पन्न होती है: उस समुच्चयिंग में, कोई व्यक्ति वेक्टर समष्टि V पर फ़ंक्शंस F को आदर्श रूप से पसंद करेगा जो v ≠ 0 के निर्देशांक में बहुपद हैं V और सभी गैर-शून्य c के लिए समीकरण F(cv) = F(v) को संतुष्ट करें। दुर्भाग्य से, केवल ऐसे कार्य स्थिरांक हैं। यदि हम भाजक (बहुपद के बजाय तर्कसंगत कार्य) की अनुमति देते हैं, तो हम एफ को एक ही डिग्री के दो सजातीय कार्य बहुपदों का अनुपात मान सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, हम बहुपदों के साथ बने रह सकते हैं और c पर निर्भरता को ढीला कर सकते हैं, F(cv) = c दे सकते हैं<sup>के</सुप>एफ(वी). समाधान तब डिग्री के सजातीय बहुपद हैं {{mvar|k}}. एक ओर, ये प्रत्येक k के लिए एक परिमित आयामी सदिश स्थान बनाते हैं, और दूसरी ओर, यदि हम k को भिन्न होने देते हैं, तो हम सभी परिमेय कार्यों के निर्माण के लिए अंश और हर का पता लगा सकते हैं जो वास्तव में अंतर्निहित प्रक्षेप्य स्थान P पर कार्य करते हैं (वी)।
+उस स्थिति की तुलना लाभप्रद रूप से की जा सकती है जो [[ प्रक्षेपण स्थान |प्रक्षेपण स्थान]] P(V) पर फलन की खोज में उत्पन्न होती है: उस समुच्चयिंग में, कोई व्यक्ति सदिश समष्टि V पर फलन F को आदर्श रूप से पसंद करेगा जो v ≠ 0 के निर्देशांक में बहुपद हैं V और सभी गैर-शून्य c के लिए समीकरण F(cv) = F(v) को संतुष्ट करें। दुर्भाग्य से, केवल ऐसे कार्य स्थिरांक हैं। यदि हम भाजक (बहुपद के बजाय तर्कसंगत कार्य) की अनुमति देते हैं, तो हम एफ को एक ही डिग्री के दो सजातीय कार्य बहुपदों का अनुपात मान सकते हैं। वैकल्पिक रूप से, हम बहुपदों के साथ बने रह सकते हैं और c पर निर्भरता को ढीला कर सकते हैं, F(cv) = c दे सकते हैं<sup>. समाधान तब डिग्री के सजातीय बहुपद हैं {{mvar|k}}. एक ओर, ये प्रत्येक k के लिए एक परिमित आयामी सदिश स्थान बनाते हैं, और दूसरी ओर, यदि हम k को भिन्न होने देते हैं, तो हम सभी परिमेय कार्यों के निर्माण के लिए अंश और हर का पता लगा सकते हैं जो वास्तव में अंतर्निहित प्रक्षेप्य स्थान P पर कार्य करते हैं।
 कोई पूछ सकता है, चूंकि सजातीय बहुपद वास्तव में पी (वी) पर कार्य नहीं करते हैं, वे ज्यामितीय रूप से क्या बोल रहे हैं? [[बीजगणितीय ज्यामिति]] | बीजगणितीय-ज्यामितीय उत्तर यह है कि वे एक [[शीफ (गणित)]] के खंड हैं (इस मामले में कोई [[वेक्टर बंडल]] भी कह सकता है)। मॉड्यूलर रूपों के साथ स्थिति बिल्कुल समान है।
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 इस ज्यामितीय दिशा से मॉड्यूलर रूपों को भी लाभप्रद रूप से संपर्क किया जा सकता है, क्योंकि अण्डाकार वक्रों के मापांक स्थान पर लाइन बंडलों के खंड होते हैं।
-== मॉड्यूलर रूपों के छल्ले ==
+== मॉड्यूलर रूपों के चक्र ==
-{{Main|Ring of modular forms}}
+{{Main|मॉडुलर रूपों के चक्र}}
-एक उपसमूह के लिए {{math|Γ}} की {{math|SL(2, '''Z''')}}, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के मॉड्यूलर रूपों द्वारा उत्पन्न श्रेणीबद्ध अंगूठी है {{math|Γ}}. दूसरे शब्दों में, यदि {{math|M<sub>k</sub>(Γ)}} भार के मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी हो {{mvar|k}}, फिर के मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी {{math|Γ}} ग्रेडेड रिंग है <math>M(\Gamma) = \bigoplus_{k > 0} M_k(\Gamma)</math>.
+किसी उपसमूह के लिए {{math|Γ}} की {{math|SL(2, '''Z''')}}, मॉड्यूलर रूपों की चक्र के मॉड्यूलर रूपों द्वारा उत्पन्न श्रेणीबद्ध चक्र है {{math|Γ}}. दूसरे शब्दों में, यदि {{math|M<sub>k</sub>(Γ)}} भार के मॉड्यूलर रूपों की चक्र {{mvar|k}} हो , फिर के मॉड्यूलर रूपों की चक्र {{math|Γ}} श्रेणीगत चक्र है <math>M(\Gamma) = \bigoplus_{k > 0} M_k(\Gamma)</math>.
-के सर्वांगसम उपसमूहों के मॉड्यूलर रूपों के छल्ले {{math|SL(2, '''Z''')}} पियरे डेलिग्ने और [[माइकल रैपोपोर्ट]] के परिणाम के कारण अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं। मॉड्यूलर रूपों के ऐसे छल्ले अधिकतम 6 भार में उत्पन्न होते हैं और संबंध अधिकतम 12 भार में उत्पन्न होते हैं जब सर्वांगसम उपसमूह में गैर-शून्य विषम भार वाले मॉड्यूलर रूप होते हैं, और संबंधित सीमाएँ 5 और 10 होती हैं जब कोई गैर-शून्य विषम भार मॉड्यूलर रूप नहीं होता है .
+के सर्वांगसम उपसमूहों के मॉड्यूलर रूपों के चक्र {{math|SL(2, '''Z''')}} पियरे डेलिग्ने और [[माइकल रैपोपोर्ट]] के परिणाम के कारण अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं। मॉड्यूलर रूपों के ऐसे चक्र अधिकतम 6 भार में उत्पन्न होते हैं और संबंध अधिकतम 12 भार में उत्पन्न होते हैं जब सर्वांगसम उपसमूह में गैर-शून्य विषम भार वाले मॉड्यूलर रूप होते हैं, और संबंधित सीमाएँ 5 और 10 होती हैं जब कोई गैर-शून्य विषम भार मॉड्यूलर रूप नहीं होता है .
-अधिक आम तौर पर, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के जेनरेटर के भार और मनमाने ढंग से फ्यूचियन समूहों के लिए इसके संबंधों पर सीमा के सूत्र हैं।
+अधिक आम तौर पर, मॉड्यूलर रूपों की चक्र के जेनरेटर के भार और मनमाने ढंग से फ्यूचियन समूहों के लिए इसके संबंधों पर सीमा के सूत्र हैं।
 == प्रकार ==
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 === नए रूप ===
-{{Main|Atkin–Lehner theory}}
+{{Main|अटकीं सिद्धांत}}
 एटकिन-लेहनर सिद्धांत मॉड्यूलर रूपों का एक उप-स्थान है<ref>{{Cite web|last=Mocanu|first=Andreea|title=Atkin-Lehner Theory of <math>\Gamma_1(N)</math>-Modular Forms|url=https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200731204425/https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|archive-date=31 July 2020}}</ref> एक निश्चित भार का <math>N</math> जिसका निर्माण कम भार के मॉड्यूलर रूपों से नहीं किया जा सकता है <math>M</math> डिवाइडिंग <math>N</math>. अन्य रूपों को पुराने रूप कहा जाता है। इन पुराने रूपों का निर्माण निम्नलिखित अवलोकनों का उपयोग करके किया जा सकता है: यदि <math>M \mid N</math> तब <math>\Gamma_1(N) \subseteq \Gamma_1(M)</math> मॉड्यूलर रूपों का उल्टा समावेशन देना <math>M_k(\Gamma_1(M)) \subseteq M_k(\Gamma_1(N))</math>.
 === पुच्छल रूप ===
-{{Main|Cusp form}}
+{{Main|कस्प रूप}}
 पुच्छल रूप इसकी फूरियर श्रृंखला में एक शून्य स्थिर गुणांक वाला एक मॉड्यूलर रूप है। इसे पुच्छल रूप इसलिए कहा जाता है क्योंकि रूप सभी किनारों पर लुप्त हो जाता है।
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 द्रव्यमान रूप विश्लेषणात्मक फलन हैं। यह [[लाप्लासियन]] के वास्तविक-विश्लेषणात्मक [[eigenfunction|ऐगेन फलन]] के रूप मे प्रदर्शित होता हैं परंतु पूर्णसममितिक फलन होने की आवश्यकता नहीं है। कुछ कमजोर द्रव्यमान तरंग रूपों के पूर्णसममितिक भाग अनिवार्य रूप से रामानुजन के नकली थीटा फलन हैं। समूह जो उपसमूह नहीं हैं {{math|SL(2, '''Z''')}} माना जा सकता है।
-[[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म]] 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 आव्यूह के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है।
+[[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म|हिल्बर्ट मॉड्यूलर]] रूप 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 आव्यूह के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है।
 [[ सील मॉड्यूलर रूप ]] बड़े सहानुभूति समूहों से उसी तरह जुड़े होते हैं जैसे क्लासिकल मॉड्यूलर फॉर्म जुड़े होते हैं {{math|SL(2, '''R''')}}; दूसरे शब्दों में, वे एबेलियन विविधता से उसी अर्थ में संबंधित हैं जैसे पारंपरिक मॉड्यूलर रूप (जिन्हें कभी-कभी बिंदु पर जोर देने के लिए अंडाकार मॉड्यूलर रूप कहा जाता है) अंडाकार वक्र से संबंधित होते हैं।
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