माध्य मुक्त पथ

भौतिक विज्ञान में माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान कण (जैसे कि परमाणु, अणु, या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या विशिष्ट संदर्भ में अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक निरंतर संघर्ष का परिणाम है।

प्रकीर्णन सिद्धांत

लक्ष्य का स्लैब

एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)। बीम कण को ​​​​रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, किन्तु केवल बीम कण ही ​​गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए अभिव्यक्ति देता है:

$\ell =(\sigma n)^{-1},$

जहाँ ℓ माध्य मुक्त पथ है, n प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और σ टक्कर के लिए प्रभावी क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) या क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र है।

स्लैब का क्षेत्रफल L² है और इसकी मात्रा L² dx हैस्लैब में रुकने वाले परमाणुओं की विशिष्ट संख्या सांद्रता का n गुना आयतन अर्थात n L² dx है। किसी किरण कण के उस स्लैब में रुकने की प्रायिकता, रोकने वाले परमाणुओं के कुल क्षेत्रफल को स्लैब के कुल क्षेत्रफल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:

${\mathcal {P}}({\text{stopping within }}dx)={\frac {{\text{Area}}_{\text{atoms}}}{{\text{Area}}_{\text{slab}}}}={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,$

जहाँ σ परमाणु का क्षेत्र (या अधिक औपचारिक रूप से प्रकीर्णन क्रॉस-सेक्शन) है।

बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के समान होती है, जिसे स्लैब के अंदर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:

$dI=-In\sigma \,dx.$

यह साधारण अंतर समीकरण है:

${\frac {dI}{dx}}=-In\sigma {\overset {\text{def}}{=}}-{\frac {I}{\ell }},$

जिसके समाधान को बीयर-लैंबर्ट नियम के रूप में जाना जाता है और इसका रूप $I=I_{0}e^{-x/\ell }$ है, जहां x लक्ष्य के माध्यम से किरण द्वारा तय की गई दूरी है और I₀ किरण की तीव्रता है लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले; ℓ को माध्य मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले किरण कण द्वारा तय की गई माध्य दूरी के समान होता है। इसे देखने के लिए ध्यान दें कि x और x + dx के बीच एक कण के अवशोषित होने की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है

$d{\mathcal {P}}(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.$

इस प्रकार की अपेक्षा मूल्य (या औसत, या बस अर्थ ) x है

$\langle x\rangle {\overset {\text{def}}{=}}\int _{0}^{\infty }xd{\mathcal {P}}(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .$

कणों का अंश जो स्लैब द्वारा रोका नहीं जाता (क्षीणन) संप्रेषण कहलाता है $T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }$, जहाँ x स्लैब की मोटाई के समान है।

गैसों का गतिज सिद्धांत

गैसों के गतिज सिद्धांत में, एक कण का माध्य मुक्त पथ, जैसे कि एक अणु, वह औसत दूरी है जो कण अन्य गतिमान कणों के साथ संघर्ष के बीच तय करता है। उपरोक्त व्युत्पत्ति में लक्ष्य कणों को विश्राम अवस्था में माना गया है; इसलिए, वास्तव में, सूत्र $\ell =(n\sigma )^{-1}$ यादृच्छिक स्थानों के साथ समान कणों के समूह के वेग के सापेक्ष उच्च गति $v$ के साथ एक बीम कण के लिए सूत्र रखता है। उस स्थिति में, लक्ष्य कणों की गति तुलनात्मक रूप से नगण्य होती है, इसलिए सापेक्ष वेग $v_{\rm {rel}}\approx v$ होता है।

यदि दूसरी ओर बीम कण समान कणों के साथ स्थापित संतुलन का भाग है, तो सापेक्ष वेग का वर्ग है:

$\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{\mathbf{v}}_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}}^2}=\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{{({\mathbf{v}}_1-<!--\; -\; -->{\mathbf{v}}_2)}^2}=\stackrel{}{{\mathbf{v}}_1^2+{\mathbf{v}}_2^2-<!--\; -\; -->2{\mathbf{v}}_1\cdot <!--\; \cdot \; -->}$