मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions

Revision as of 01:14, 23 June 2023

गणित में, मॉड्यूलर रूप, एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन है जो मॉड्यूलर समूह के समूह क्रिया के संबंध में एक निश्चित प्रकार के कार्यात्मक समीकरण तथा विकास की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसीलिए मॉड्यूलर रूपों का सिद्धांत जटिल विश्लेषण से संबंधित है परंतु इस सिद्धांत का मुख्य महत्व परंपरागत रूप से संख्या सिद्धांत के साथ इसके संबंध में रहा है। अन्य क्षेत्रों जैसे कि बीजगणितीय सांस्थिति, गोलाकार गतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में भी मॉड्यूलर रूप दिखाई देते हैं।

मॉड्यूलर फलन एक ऐसा फलन है जो मॉड्यूलर समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, परंतु बिना किसी शर्त के $f (z)$ उच्च अर्ध-समष्टि में पूर्णसममितिक फलन रूप को संतुष्ट करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, मॉड्यूलर फलन मेरोमॉर्फिक फलन हैं अर्थात, वे पृथक बिंदुओं के एक समुच्चय के पूरक पर पूर्णसममितिक हैं, जो इसी फलन के ध्रुव हैं।

मॉड्यूलर रूप सिद्धांत स्वचालित रूप के अधिक सामान्य सिद्धांत की एक विशेष परिस्थिति है। ये लाइ समूहों पर परिभाषित फलन हैं जो कुछ असतत उपसमूहों की कार्रवाई के संबंध में उपयुक्त रूप से रूपांतरित होते हैं तथा मॉड्यूलर समूह $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ के उदाहरण को समान्यीकृत करते हैं। .

मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा

सामान्य रूप में,^[1] एक उपसमूह $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ परिमित सूचकांक दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप $\Gamma$ और भार $k$ एक पूर्णसममितिक फलन $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ है। उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी $\gamma \in \Gamma$ के लिए $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ समानता है^{[note 1]}
2. (वृद्धि की स्थिति) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए फलन $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ , ${\text{im}}(z)\to \infty$ के लिए बाध्य है

जहां $γ (z) =<$

[1]

[note 1]

@@ Line 9: / Line 9: @@
 == मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा ==
-सामान्य रूप में,<ref>{{Cite web|last=Lan|first=Kai-Wen|title=ऑटोमॉर्फिक बंडलों की कोहोलॉजी|url=http://www-users.math.umn.edu/~kwlan/articles/iccm-2016.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801235440/http://www-users.math.umn.edu/~kwlan/articles/iccm-2016.pdf|archive-date=1 August 2020}}</ref> एक उपसमूह दिया <math>\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> [[परिमित सूचकांक]], जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है, स्तर का एक मॉड्यूलर रूप <math>\Gamma</math> और वजन <math>k</math>एक होलोमोर्फिक फलन है <math>f:\mathcal{H} \to \mathbb{C}</math> ऊपरी अर्ध-तल से इस प्रकार कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:<blockquote>
+सामान्य रूप में,<ref>{{Cite web|last=Lan|first=Kai-Wen|title=ऑटोमॉर्फिक बंडलों की कोहोलॉजी|url=http://www-users.math.umn.edu/~kwlan/articles/iccm-2016.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801235440/http://www-users.math.umn.edu/~kwlan/articles/iccm-2016.pdf|archive-date=1 August 2020}}</ref> एक उपसमूह <math>\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> [[परिमित सूचकांक]] दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप <math>\Gamma</math> और भार <math>k</math> एक पूर्णसममितिक फलन <math>f:\mathcal{H} \to \mathbb{C}</math> है।  उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:<blockquote>
-. (ऑटोमॉर्फी कंडीशन) किसी के लिए <math>\gamma \in \Gamma</math> समानता है<ref group="note">Some authors use different conventions, allowing an additional constant depending only on <math>\gamma</math>, see e.g. https://dlmf.nist.gov/23.15#E5</ref> <math>f(\gamma(z)) = (cz + d)^k f(z)</math>
+. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी <math>\gamma \in \Gamma</math> के लिए <math>f(\gamma(z)) = (cz + d)^k f(z)</math> समानता है<ref group="note">Some authors use different conventions, allowing an additional constant depending only on <math>\gamma</math>, see e.g. https://dlmf.nist.gov/23.15#E5</ref>
-. (वृद्धि की स्थिति) किसी के लिए <math>\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> कार्यक्रम <math>(cz + d)^{-k} f(\gamma(z))</math> के लिए बाध्य है <math>\text{im}(z) \to \infty</math></blockquote> जहां <math display=inline> \gamma(z) = \frac{az+b}{cz+d} </math> और समारोह <math display=inline> \gamma </math> मैट्रिक्स से पहचाना जाता है <math display=inline>\gamma = \begin{pmatrix}
+. (वृद्धि की स्थिति) किसी <math>\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> के लिए  फलन <math>(cz + d)^{-k} f(\gamma(z))</math>, <math>\text{im}(z) \to \infty</math> के लिए बाध्य है </blockquote> जहां <math display=inline> \gamma(z) = \frac{az+b}{cz+d} </math> और फलन  <math display=inline> \gamma </math> आव्यूह <math display="inline">\gamma = \begin{pmatrix}
 a & b \\
 c & d
-\end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}).\,</math> (इस तरह के मैट्रिसेस के साथ ऐसे कार्यों की पहचान मैट्रिक्स गुणन के अनुरूप ऐसे कार्यों की संरचना का कारण बनती है।) इसके अलावा, इसे एक कस्प फॉर्म कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करता है:<ब्लॉककोट>3। (कस्पिडल हालत) किसी के लिए <math>\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> कार्यक्रम <math>(cz + d)^{-k}f(\gamma(z)) \to 0</math> जैसा <math>\text{im}(z) \to \infty</math></ब्लॉककोट>
+\end{pmatrix} \in \text{SL}_2(\mathbb{Z}).\,</math> से इस प्रकार पहचाना जाता है की आव्यूहों के साथ ऐसे फलनों की पहचान आव्यूह गुणन के अनुरूप ऐसे फलन की संरचना का कारण बनती है। इसके अतिरिक्त, इसे एक कस्प रूप कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करता है:
+. (कस्पिडल शर्त) किसी <math>\gamma \in \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> के लिए, फलन <math>(cz + d)^{-k}f(\gamma(z)) \to 0</math> इस प्रकार <math>\text{im}(z) \to \infty</math>
 === एक [[लाइन बंडल]] के अनुभागों के रूप में ===
@@ Line 26: / Line 29: @@
 :<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math>
 एक जटिल संख्या है | जटिल-मूल्यवान फलन {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} ऊपरी आधे तल पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना:
-# {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक होलोमोर्फिक फलन है {{math|'''H'''}}.
+# {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक पूर्णसममितिक फलन है {{math|'''H'''}}.
-# किसी के लिए {{math|''z'' ∈ '''H'''}} और कोई भी मैट्रिक्स {{math|SL(2, '''Z''')}} ऊपर के रूप में, हमारे पास है:
+# किसी के लिए {{math|''z'' ∈ '''H'''}} और कोई भी आव्यूह {{math|SL(2, '''Z''')}} ऊपर के रूप में, हमारे पास है:
 #:<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>
 # {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के रूप में बाध्य होना आवश्यक है {{math|''z'' → [[Imaginary unit|''i'']]∞}}.
@@ Line 34: / Line 37: @@
 * भार {{mvar|k}} आमतौर पर एक सकारात्मक पूर्णांक है।
 * विषम के लिए {{mvar|k}}, केवल शून्य फलन ही दूसरी शर्त को पूरा कर सकता है।
-*तीसरी शर्त भी ऐसा कहकर कही जाती है {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} शिखर पर होलोमोर्फिक है, एक शब्दावली जिसे नीचे समझाया गया है। स्पष्ट रूप से, स्थिति का अर्थ है कि कुछ मौजूद हैं <math> M, D > 0 </math> ऐसा है कि <math> \operatorname{Im}(z) > M \implies |f(z)| < D </math>, अर्थ <math>f</math> कुछ क्षैतिज रेखा से ऊपर बँधा हुआ है।
+*तीसरी शर्त भी ऐसा कहकर कही जाती है {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} शिखर पर पूर्णसममितिक है, एक शब्दावली जिसे नीचे समझाया गया है। स्पष्ट रूप से, स्थिति का अर्थ है कि कुछ मौजूद हैं <math> M, D > 0 </math> ऐसा है कि <math> \operatorname{Im}(z) > M \implies |f(z)| < D </math>, अर्थ <math>f</math> कुछ क्षैतिज रेखा से ऊपर बँधा हुआ है।
 * के लिए दूसरी शर्त
 ::<math>S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> : पढ़ता है
@@ Line 70: / Line 73: @@
 द्वितीय। थीटा एक-मॉड्यूलर जालक के भी कार्य करता है
-एक [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] {{mvar|L}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} द्वारा उत्पन्न एक जाली है {{mvar|n}} वैक्टर निर्धारक 1 के एक मैट्रिक्स के कॉलम बनाते हैं और इस शर्त को पूरा करते हैं कि प्रत्येक वेक्टर की लंबाई का वर्ग {{mvar|L}} एक सम पूर्णांक है। तथाकथित [[थीटा समारोह]]
+एक [[यूनिमॉड्यूलर जाली]] {{mvar|L}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} द्वारा उत्पन्न एक जाली है {{mvar|n}} वैक्टर निर्धारक 1 के एक आव्यूह के कॉलम बनाते हैं और इस शर्त को पूरा करते हैं कि प्रत्येक वेक्टर की लंबाई का वर्ग {{mvar|L}} एक सम पूर्णांक है। तथाकथित [[थीटा समारोह]]
 :<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math>
@@ Line 92: / Line 95: @@
 # एफ खुले ऊपरी आधे समष्टि एच में मेरोमोर्फिक फलन है।
-# प्रत्येक पूर्णांक [[मैट्रिक्स (गणित)]] के लिए <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> मॉड्यूलर समूह में | मॉड्यूलर समूह {{math|Γ}}, <math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)</math>.
+# प्रत्येक पूर्णांक [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] के लिए <math>\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> मॉड्यूलर समूह में | मॉड्यूलर समूह {{math|Γ}}, <math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = f(z)</math>.
 # जैसा कि ऊपर बताया गया है, दूसरी स्थिति का अर्थ है कि f आवधिक है, और इसलिए इसकी एक फूरियर श्रृंखला है। तीसरी शर्त यह है कि यह सीरीज फॉर्म की हो
 ::<math>f(z) = \sum_{n=-m}^\infty a_n e^{2i\pi nz}.</math> यह अक्सर के संदर्भ में लिखा जाता है <math>q=\exp(2\pi i z)</math> (नोम का वर्ग (गणित)), जैसा:
@@ Line 110: / Line 113: @@
 ===रीमैन सतह G\H<sup>∗</sup>===
-होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] के रूप में दिखाया जा सकता है। आमतौर पर यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है, परंतु कस्प्स नामक बिंदुओं की एक सीमित संख्या को जोड़कर इसे कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ये 'एच' की सीमा पर बिंदु हैं, यानी 'परिमेय संख्या' में ∪{∞},<ref>Here, a matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> sends ∞ to ''a''/''c''.</ref> जैसे कि एक परवलयिक तत्व है {{mvar|G}} (एक मैट्रिक्स ± 2 के निशान के साथ एक मैट्रिक्स) बिंदु को ठीक करता है। यह एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस जी \ 'एच' पैदा करता है<sup>∗</sup>. क्या अधिक है, इसे [[रीमैन सतह]] की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, जो किसी को होलो- और मेरोमोर्फिक कार्यों के बारे में बात करने की अनुमति देता है।
+होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] के रूप में दिखाया जा सकता है। आमतौर पर यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है, परंतु कस्प्स नामक बिंदुओं की एक सीमित संख्या को जोड़कर इसे कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ये 'एच' की सीमा पर बिंदु हैं, यानी 'परिमेय संख्या' में ∪{∞},<ref>Here, a matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> sends ∞ to ''a''/''c''.</ref> जैसे कि एक परवलयिक तत्व है {{mvar|G}} (एक आव्यूह ± 2 के निशान के साथ एक आव्यूह) बिंदु को ठीक करता है। यह एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस जी \ 'एच' पैदा करता है<sup>∗</sup>. क्या अधिक है, इसे [[रीमैन सतह]] की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, जो किसी को होलो- और मेरोमोर्फिक कार्यों के बारे में बात करने की अनुमति देता है।
 महत्वपूर्ण उदाहरण हैं, किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, सर्वांगसम उपसमूहों में से कोई एक
@@ Line 123: / Line 126: @@
 === परिभाषा ===
-<nowiki>के लिए एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|G}भार k का } 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है </nowiki>{{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर होलोमोर्फिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. वजन के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है।
+<nowiki>के लिए एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|G}भार k का } 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है </nowiki>{{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. वजन के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है।
 === परिणाम ===
@@ Line 157: / Line 160: @@
 अगर f पुच्छल पर होलोमॉर्फिक फलन है (q = 0 पर कोई ध्रुव नहीं है), तो इसे 'संपूर्ण मॉड्यूलर रूप' कहा जाता है।
-यदि च मेरोमोर्फिक है परंतु कस्प पर होलोमोर्फिक नहीं है, तो इसे 'गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर फॉर्म' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जे-इनवेरिएंट वजन 0 का एक गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर रूप है, और i∞ पर एक साधारण पोल है।
+यदि च मेरोमोर्फिक है परंतु कस्प पर पूर्णसममितिक नहीं है, तो इसे 'गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर फॉर्म' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जे-इनवेरिएंट वजन 0 का एक गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर रूप है, और i∞ पर एक साधारण पोल है।
 === नए रूप ===
@@ Line 170: / Line 173: @@
 मॉड्यूलर फलन शब्द के कई अन्य उपयोग हैं, इस शास्त्रीय एक के अलावा; उदाहरण के लिए, हार उपायों के सिद्धांत में, यह एक कार्य है {{math|Δ(''g'')}} संयुग्मन क्रिया द्वारा निर्धारित।
-मास रूप विश्लेषणात्मक कार्य हैं | [[लाप्लासियन]] के वास्तविक-विश्लेषणात्मक [[eigenfunction]] परंतु होलोमोर्फिक फलन होने की आवश्यकता नहीं है। कुछ कमजोर द्रव्यमान तरंग रूपों के होलोमोर्फिक भाग अनिवार्य रूप से रामानुजन के नकली थीटा कार्य हैं। समूह जो उपसमूह नहीं हैं {{math|SL(2, '''Z''')}} माना जा सकता है।
+मास रूप विश्लेषणात्मक कार्य हैं | [[लाप्लासियन]] के वास्तविक-विश्लेषणात्मक [[eigenfunction]] परंतु पूर्णसममितिक फलन होने की आवश्यकता नहीं है। कुछ कमजोर द्रव्यमान तरंग रूपों के पूर्णसममितिक भाग अनिवार्य रूप से रामानुजन के नकली थीटा कार्य हैं। समूह जो उपसमूह नहीं हैं {{math|SL(2, '''Z''')}} माना जा सकता है।
-[[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म]] 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 मैट्रिक्स के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है।
+[[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म]] 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 आव्यूह के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है।
 [[ सील मॉड्यूलर रूप ]] बड़े सहानुभूति समूहों से उसी तरह जुड़े होते हैं जैसे क्लासिकल मॉड्यूलर फॉर्म जुड़े होते हैं {{math|SL(2, '''R''')}}; दूसरे शब्दों में, वे एबेलियन विविधता से उसी अर्थ में संबंधित हैं जैसे शास्त्रीय मॉड्यूलर रूप (जिन्हें कभी-कभी बिंदु पर जोर देने के लिए अंडाकार मॉड्यूलर रूप कहा जाता है) अंडाकार वक्र से संबंधित होते हैं।

Anonymous

Search

मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions

Revision as of 01:14, 23 June 2023

Contents

मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा