उत्पाद-रूप समाधान: Difference between revisions

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संभाव्यता सिद्धांत में, एक उत्पाद-रूप समाधान विशिष्ट उप-घटकों के साथ एक प्रणाली के कुछ मीट्रिक को निर्धारित करने के लिए समाधान का एक विशेष रूप से कुशल रूप है, जहां घटकों के संग्रह के लिए मीट्रिक को विभिन्न घटकों में मीट्रिक के [[उत्पाद (गणित)]] के रूप में लिखा जा सकता है। कैपिटल पाई नोटेशन का उपयोग करके एक उत्पाद-रूप समाधान में बीजगणितीय रूप होता है
संभाव्यता सिद्धांत में, एक उत्पाद-रूप समाधान विशिष्ट उप-घटकों के साथ एक प्रणाली के कुछ मापीय को निर्धारित करने के लिए समाधान का एक विशेष रूप हैं, जहां घटकों के संग्रह के लिए मापीय को विभिन्न घटकों के [[उत्पाद (गणित)]] के रूप में लिखा जा सकता है। कैपिटल पाई नोटेशन का उपयोग करके उत्पाद-रूप समाधान में बीजगणितीय रूप होता है
:<math>\text{P}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) = B \prod_{i=1}^n \text{P}(x_i)</math>
:<math>\text{P}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) = B \prod_{i=1}^n \text{P}(x_i)</math>
जहां B स्थिर है। इस फॉर्म के समाधान रुचिकर हैं क्योंकि वे n के बड़े मूल्यों के मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते हैं। मल्टीप्रोग्राम्ड और टाइम-शेयर्ड कंप्यूटर सिस्टम के मॉडल में प्रदर्शन मेट्रिक्स खोजने के लिए कतारबद्ध नेटवर्क में ऐसे समाधान महत्वपूर्ण हैं।
जहां B स्थिर है। इस रूप के समाधान रुचिकर हैं क्योंकि वे n के बड़े मूल्यों के मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते हैं। मल्टीप्रोग्राम्ड और टाइम-शेयर्ड कंप्यूटर सिस्टम के मॉडल में प्रदर्शन मेट्रिक्स खोजने के लिए श्रेणीबद्ध नेटवर्क में ऐसे समाधान महत्वपूर्ण हैं।


== [[संतुलन वितरण]] ==
== [[संतुलन वितरण]] ==


[[मार्कोव श्रृंखला]]ओं के संतुलन वितरण के लिए पहला उत्पाद-रूप समाधान पाया गया। तुच्छ रूप से, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (संभाव्यता सिद्धांत) उप-घटकों से बने मॉडल स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार उत्पाद-रूप समाधान प्रदर्शित करते हैं। प्रारंभ में इस शब्द का उपयोग क्यूइंग नेटवर्क में किया गया था जहां उप-घटक अलग-अलग क्यू होंगे। उदाहरण के लिए, जैक्सन का प्रमेय (कतारबद्ध सिद्धांत) | एक खुले क्यूइंग नेटवर्क के संयुक्त संतुलन वितरण को अलग-अलग क्यू के संतुलन वितरण के उत्पाद के रूप में देता है।<ref>{{Cite journal | first = James R. | last = Jackson | author-link = James R. Jackson | title = जॉबशॉप-जैसी क्यूइंग सिस्टम| year = 1963 | pages = 131&ndash;142 | volume = 10 | issue = 1 | doi = 10.1287/mnsc.10.1.131 | journal = [[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]  }}</ref> कई विस्तारों के बाद, मुख्य रूप से [[बीसीएमपी नेटवर्क]] के बारे में सोचा गया कि उत्पाद-रूप समाधान के लिए [[स्थानीय संतुलन]] एक आवश्यकता है।<ref>{{Cite journal | first1 = Richard J. | last1 = Boucherie | first2 = N. M. | last2 = van Dijk | title = सकारात्मक और नकारात्मक ग्राहकों के साथ कतारबद्ध नेटवर्क में स्थानीय संतुलन| doi = 10.1007/BF02033315 | journal = Annals of Operations Research | year = 1994 | pages = 463&ndash;492 | volume = 48 | issue = 5 | hdl = 1871/12327 | s2cid = 15599820 | url = https://research.vu.nl/en/publications/f31f9223-e306-4c35-943f-922cda73cd93 | hdl-access = free }}</ref>
[[मार्कोव श्रृंखला]]ओं के संतुलन वितरण के लिए पहला उत्पाद-रूप समाधान पाया गया। महत्त्वहीन रूप से, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (संभाव्यता सिद्धांत) उप-घटकों से बने मॉडल स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार उत्पाद-रूप समाधान प्रदर्शित करते हैं। प्रारंभ में इस शब्द का उपयोग क्यूइंग नेटवर्क में किया गया था जहां उप-घटक अलग-अलग पंक्ति होंगे। उदाहरण के लिए, जैक्सन का प्रमेय (श्रेणीबद्ध सिद्धांत) एक विवृत क्यूइंग नेटवर्क के संयुक्त संतुलन वितरण को अलग-अलग क्यू के संतुलन वितरण के उत्पाद के रूप में देता है।<ref>{{Cite journal | first = James R. | last = Jackson | author-link = James R. Jackson | title = जॉबशॉप-जैसी क्यूइंग सिस्टम| year = 1963 | pages = 131&ndash;142 | volume = 10 | issue = 1 | doi = 10.1287/mnsc.10.1.131 | journal = [[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]  }}</ref> कई विस्तारों के बाद, मुख्य रूप से [[बीसीएमपी नेटवर्क]] के बारे में सोचा गया कि उत्पाद-रूप समाधान के लिए [[स्थानीय संतुलन]] एक आवश्यकता है।<ref>{{Cite journal | first1 = Richard J. | last1 = Boucherie | first2 = N. M. | last2 = van Dijk | title = सकारात्मक और नकारात्मक ग्राहकों के साथ कतारबद्ध नेटवर्क में स्थानीय संतुलन| doi = 10.1007/BF02033315 | journal = Annals of Operations Research | year = 1994 | pages = 463&ndash;492 | volume = 48 | issue = 5 | hdl = 1871/12327 | s2cid = 15599820 | url = https://research.vu.nl/en/publications/f31f9223-e306-4c35-943f-922cda73cd93 | hdl-access = free }}</ref>


<ref>{{Cite journal | first1 = K. Mani | last1 = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | first2 = J. H., Jr | last2 = Howard | first3 = D. F. | last3 = Towsley | title = कतारबद्ध नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र और स्थानीय संतुलन| doi = 10.1145/322003.322009 | journal = [[Journal of the ACM]] | year = 1977 | pages = 250&ndash;263 | volume = 24 | issue = 2 | s2cid = 6218474 | doi-access = free }}</ref>
<ref>{{Cite journal | first1 = K. Mani | last1 = Chandy | author-link = K. Mani Chandy | first2 = J. H., Jr | last2 = Howard | first3 = D. F. | last3 = Towsley | title = कतारबद्ध नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र और स्थानीय संतुलन| doi = 10.1145/322003.322009 | journal = [[Journal of the ACM]] | year = 1977 | pages = 250&ndash;263 | volume = 24 | issue = 2 | s2cid = 6218474 | doi-access = free }}</ref>
[[Erol Gelenbe|Erol गेलेनबे]] का G-नेटवर्क मॉडल सबसे पहले दिखा कि ऐसा नहीं है। स्पाइकिंग व्यवहार जैसी बिंदु-प्रक्रिया वाले जैविक न्यूरॉन्स को मॉडल करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर उन्होंने [[ जी नेटवर्क | जी]] नेटवर्क्स के अग्रदूत को प्रस्तुत किया, इसे [[यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क]] कहा।<ref>{{cite journal | doi = 10.1162/neco.1989.1.4.502 | title = नकारात्मक और सकारात्मक संकेतों और उत्पाद प्रपत्र समाधान के साथ यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Neural Computation | volume = 1 | issue = 4 | year = 1989 | pages = 502–510 | s2cid = 207737442 }}</ref> नकारात्मक ग्राहकों को पेश करके जो अन्य ग्राहकों को नष्ट या समाप्त कर सकते हैं, उन्होंने उत्पाद फार्म नेटवर्क के परिवार को सामान्यीकृत किया।<ref>{{cite journal | doi = 10.2307/3214499 | title = नकारात्मक और सकारात्मक ग्राहकों के साथ उत्पाद-रूप कतारबद्ध नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 28 | issue = 3 | year = 1991 | pages = 656–663 | jstor = 3214499 | url = https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/351 }}</ref> फिर इसे कई चरणों में आगे बढ़ाया गया, पहले गेलेनबे के ट्रिगर्स के द्वारा जो ग्राहक हैं जो अन्य ग्राहकों को एक कतार से दूसरी कतार में ले जाने की शक्ति रखते हैं।<ref>{{cite journal | doi = 10.2307/3214781 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | year = 1993 | pages = 742–748 | jstor = 3214781 }}</ref> ग्राहक का एक और नया रूप जिसने उत्पाद के रूप को भी आगे बढ़ाया, वह था गेलेनबे का "बैच रिमूवल"।<ref>{{cite journal | doi = 10.1017/S0269964800002953 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Probability in the Engineering and Informational Sciences | volume = 7 | issue = 3 | year = 1993 | pages = 335–342 }}</ref> इसे Erol Gelenbe और Jean-Michel Fourneau द्वारा "रीसेट" नामक ग्राहक प्रकारों के साथ आगे बढ़ाया गया था, जो विफलताओं की मरम्मत का मॉडल बना सकता है: जब कोई कतार खाली अवस्था में आती है, तो (उदाहरण के लिए) एक विफलता का प्रतिनिधित्व करती है तो कतार की लंबाई वापस कूद सकती है या रीसेट हो सकती है एक मरम्मत का प्रतिनिधित्व करते हुए, एक आने वाले रीसेट ग्राहक द्वारा इसकी स्थिर-अवस्था वितरण पर "रीसेट" करें, जो मरम्मत का प्रतिनिधित्व करता है। जी-नेटवर्क्स में ये सभी पिछले प्रकार के ग्राहक एक ही नेटवर्क में मौजूद हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ग शामिल हैं, और वे सभी एक साथ अभी भी उत्पाद के रूप में समाधान में परिणत होते हैं, जो हमें पहले प्रतिवर्ती नेटवर्क से बहुत आगे ले जाते हैं।<ref>{{cite journal | doi = 10.1016/S0166-5316(02)00127-X | title = रीसेट के साथ जी-नेटवर्क| first1 = Erol | last1 = Gelenbe | first2 = Jean-Michel | last2 = Fourneau | author-link = Erol Gelenbe | journal = Performance Evaluation | volume = 49 | issue = 1 | year = 2002 | pages = 179–191 }}</ref>
[[Erol Gelenbe|Erol गेलेनबे]] का G-नेटवर्क मॉडल सबसे पहले दिखा कि ऐसा नहीं है। स्पाइकिंग व्यवहार जैसी बिंदु-प्रक्रिया वाले जैविक न्यूरॉन्स को मॉडल करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर उन्होंने [[ जी नेटवर्क | G-]] नेटवर्क्स के अग्रदूत को प्रस्तुत किया इसे [[यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क]] कहा।<ref>{{cite journal | doi = 10.1162/neco.1989.1.4.502 | title = नकारात्मक और सकारात्मक संकेतों और उत्पाद प्रपत्र समाधान के साथ यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Neural Computation | volume = 1 | issue = 4 | year = 1989 | pages = 502–510 | s2cid = 207737442 }}</ref> नकारात्मक ग्राहकों को प्रस्तुत करके जो अन्य ग्राहकों को नष्ट या समाप्त कर सकते हैं, उन्होंने उत्पाद फार्म नेटवर्क के परिवार को सामान्यीकृत किया।<ref>{{cite journal | doi = 10.2307/3214499 | title = नकारात्मक और सकारात्मक ग्राहकों के साथ उत्पाद-रूप कतारबद्ध नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 28 | issue = 3 | year = 1991 | pages = 656–663 | jstor = 3214499 | url = https://vestifm.belnauka.by/jour/article/view/351 }}</ref> फिर इसे कई चरणों में आगे बढ़ाया गया, पहले गेलेनबे के ट्रिगर्स के द्वारा जो ग्राहक हैं जो अन्य ग्राहकों को एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में ले जाने की शक्ति रखते हैं।<ref>{{cite journal | doi = 10.2307/3214781 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Journal of Applied Probability | volume = 30 | issue = 3 | year = 1993 | pages = 742–748 | jstor = 3214781 }}</ref> ग्राहक का एक और नया रूप जिसने उत्पाद के रूप को भी आगे बढ़ाया, वह था गेलेनबे का "बैच रिमूवल"।<ref>{{cite journal | doi = 10.1017/S0269964800002953 | title = ट्रिगर ग्राहक आंदोलन के साथ जी-नेटवर्क| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Probability in the Engineering and Informational Sciences | volume = 7 | issue = 3 | year = 1993 | pages = 335–342 }}</ref> इसे एरोल गेलेनबे और जीन-मिशेल फोरन्यू द्वारा "रीसेट" नामक ग्राहक प्रकारों के साथ आगे बढ़ाया गया था, जो विफलताओं की पुनर्निर्माण का मॉडल बना सकता है: जब कोई श्रेणी खाली अवस्था में आती है, तो (उदाहरण के लिए) एक विफलता का प्रतिनिधित्व करती है तो श्रेणी की लंबाई वापस कूद सकती है या रीसेट हो सकती है एक पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करते हुए एक आने वाले रीसेट ग्राहक द्वारा इसकी स्थिर-अवस्था वितरण पर "रीसेट" करें, जो पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है। G-नेटवर्क्स में ये सभी पिछले प्रकार के ग्राहक एक ही नेटवर्क में उपस्थित हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ग सम्मिलित हैं और वे सभी एक साथ अभी भी उत्पाद के रूप में समाधान में परिणत होते हैं, जो हमें पहले प्रतिवर्ती नेटवर्क से बहुत आगे ले जाते हैं।<ref>{{cite journal | doi = 10.1016/S0166-5316(02)00127-X | title = रीसेट के साथ जी-नेटवर्क| first1 = Erol | last1 = Gelenbe | first2 = Jean-Michel | last2 = Fourneau | author-link = Erol Gelenbe | journal = Performance Evaluation | volume = 49 | issue = 1 | year = 2002 | pages = 179–191 }}</ref>


उत्पाद-रूप समाधानों को कभी कभी "स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं" के रूप में वर्णित किया क्योंकि स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं।<ref name="harrison-williams">{{cite journal | doi = 10.1214/aoap/1177005704 | title = Brownian models of feedforward queueing networks: quasireversibility and product-form solutions | first1 = J. M. | last1 = Harrison | author-link = J. Michael Harrison | first2 = R. J. | last2 = Williams | journal = [[Annals of Applied Probability]] | volume = 2 | issue = 2 | year = 1992 | pages = 263–293 | citeseerx = 10.1.1.56.1572 }}</ref> [[ थोक कतार | बल्क पंक्ति]] के नेटवर्क में उत्पाद रूप समाधान भी उपस्थित हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Henderson | first1 = W. | last2 = Taylor | first2 = P. G. | doi = 10.1007/BF02411466 | title = बैच आगमन और बैच सेवाओं के साथ कतारों के नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र| journal = [[Queueing Systems]]| volume = 6 | pages = 71–87 | year = 1990 | s2cid = 30949152 }}</ref>
उत्पाद-रूप समाधानों को कभी कभी "स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं" के रूप में वर्णित किया क्योंकि स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं।<ref name="harrison-williams">{{cite journal | doi = 10.1214/aoap/1177005704 | title = Brownian models of feedforward queueing networks: quasireversibility and product-form solutions | first1 = J. M. | last1 = Harrison | author-link = J. Michael Harrison | first2 = R. J. | last2 = Williams | journal = [[Annals of Applied Probability]] | volume = 2 | issue = 2 | year = 1992 | pages = 263–293 | citeseerx = 10.1.1.56.1572 }}</ref> [[ थोक कतार | बल्क पंक्ति]] के नेटवर्क में उत्पाद रूप समाधान भी उपस्थित हैं।<ref>{{Cite journal | last1 = Henderson | first1 = W. | last2 = Taylor | first2 = P. G. | doi = 10.1007/BF02411466 | title = बैच आगमन और बैच सेवाओं के साथ कतारों के नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र| journal = [[Queueing Systems]]| volume = 6 | pages = 71–87 | year = 1990 | s2cid = 30949152 }}</ref>


जे.एम. हैरिसन और आर.जे. विलियम्स ने नोट किया कि क्लासिकल क्यूइंग नेटवर्क सिद्धांत में सफलतापूर्वक विश्लेषण किए गए सभी मॉडल एक तथाकथित उत्पाद-रूप स्थिर वितरण वाले मॉडल हैं<ref name="harrison-williams" />हाल ही में, मार्कोव प्रक्रिया बीजगणित के लिए उत्पाद-रूप समाधान प्रकाशित किए गए हैं (उदाहरण के लिए [[PEPA]] में [[RCAT]]<ref>{{Cite journal | last1 = Hillston | first1 = J. | author-link = Jane Hillston| last2 = Thomas | first2 = N. | doi = 10.1016/S0166-5316(99)00005-X | title = PEPA मॉडल के एक वर्ग के लिए उत्पाद प्रपत्र समाधान| journal = Performance Evaluation | volume = 35 | issue = 3–4 | pages = 171–192 | year = 1999 | url = https://www.pure.ed.ac.uk/ws/files/16206787/Product_form_solution_for_a_class_of_PEPA_models.pdf | hdl = 20.500.11820/13c57018-5854-4f34-a4c9-833262a71b7c | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = P. G. | author-link = Peter G. Harrison | title = मार्कोवियन प्रक्रिया बीजगणित में समय पीछे करना| doi = 10.1016/S0304-3975(02)00375-4 | url = http://pubs.doc.ic.ac.uk/rcat/ | journal = Theoretical Computer Science | volume = 290 | issue = 3 | pages = 1947–2013 | year = 2003 | access-date = 2015-08-29 | archive-url = https://web.archive.org/web/20061015010731/http://pubs.doc.ic.ac.uk/rcat/ | archive-date = 2006-10-15 | url-status = dead | doi-access = free }}</ref>) और [[स्टोकेस्टिक]] [[पेट्री नेट]]।<ref>{{Cite journal | last1 = Marin | first1 = A. | last2 = Balsamo | first2 = S. | last3 = Harrison | first3 = P. G. | author-link3 = Peter G. Harrison| doi = 10.1016/j.peva.2012.06.003 | title = संकेतों के साथ स्टोचैस्टिक पेट्री नेट का विश्लेषण| journal = Performance Evaluation | year = 2012 | volume=69 | issue = 11 | pages=551–572| hdl = 10044/1/14180 | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite book | last1 = Mairesse | first1 = J. | last2 = Nguyen | first2 = H. T. | chapter = Deficiency Zero Petri Nets and Product Form | doi = 10.1007/978-3-642-02424-5_8 | title = पेट्री नेट्स के अनुप्रयोग और सिद्धांत| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 5606 | pages = 103 | year = 2009 | isbn = 978-3-642-02423-8 | citeseerx = 10.1.1.745.1585 }}</ref> [[मार्टिन फ़िनबर्ग]] deficiency शून्य प्रमेय [[रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क]] के लिए उत्पाद-रूप स्थिर वितरण को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Anderson | first1 = D. F. | last2 = Craciun | first2 = G. | last3 = Kurtz | first3 = T. G. | doi = 10.1007/s11538-010-9517-4 | title = उत्पाद-प्रपत्र कमी शून्य रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए स्टेशनरी वितरण| journal = Bulletin of Mathematical Biology | volume = 72 | issue = 8 | pages = 1947–1970 | year = 2010 | pmid =  20306147| arxiv = 0803.3042 | s2cid = 2204856 }}</ref>
जे.एम. हैरिसन और आर.जे. विलियम्स ने सुनिश्चित किया कि क्लासिकल क्यूइंग नेटवर्क सिद्धांत में सफलतापूर्वक विश्लेषण किए गए सभी मॉडल एक तथाकथित उत्पाद-रूप स्थिर वितरण वाले मॉडल हैं<ref name="harrison-williams" />हाल ही में मार्कोव प्रक्रिया बीजगणित के लिए उत्पाद-रूप समाधान प्रकाशित किए गए हैं (उदाहरण के लिए [[PEPA]] में [[RCAT]]<ref>{{Cite journal | last1 = Hillston | first1 = J. | author-link = Jane Hillston| last2 = Thomas | first2 = N. | doi = 10.1016/S0166-5316(99)00005-X | title = PEPA मॉडल के एक वर्ग के लिए उत्पाद प्रपत्र समाधान| journal = Performance Evaluation | volume = 35 | issue = 3–4 | pages = 171–192 | year = 1999 | url = https://www.pure.ed.ac.uk/ws/files/16206787/Product_form_solution_for_a_class_of_PEPA_models.pdf | hdl = 20.500.11820/13c57018-5854-4f34-a4c9-833262a71b7c | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Harrison | first1 = P. G. | author-link = Peter G. Harrison | title = मार्कोवियन प्रक्रिया बीजगणित में समय पीछे करना| doi = 10.1016/S0304-3975(02)00375-4 | url = http://pubs.doc.ic.ac.uk/rcat/ | journal = Theoretical Computer Science | volume = 290 | issue = 3 | pages = 1947–2013 | year = 2003 | access-date = 2015-08-29 | archive-url = https://web.archive.org/web/20061015010731/http://pubs.doc.ic.ac.uk/rcat/ | archive-date = 2006-10-15 | url-status = dead | doi-access = free }}</ref>) और [[स्टोकेस्टिक]] [[पेट्री नेट]]।<ref>{{Cite journal | last1 = Marin | first1 = A. | last2 = Balsamo | first2 = S. | last3 = Harrison | first3 = P. G. | author-link3 = Peter G. Harrison| doi = 10.1016/j.peva.2012.06.003 | title = संकेतों के साथ स्टोचैस्टिक पेट्री नेट का विश्लेषण| journal = Performance Evaluation | year = 2012 | volume=69 | issue = 11 | pages=551–572| hdl = 10044/1/14180 | hdl-access = free }}</ref><ref>{{Cite book | last1 = Mairesse | first1 = J. | last2 = Nguyen | first2 = H. T. | chapter = Deficiency Zero Petri Nets and Product Form | doi = 10.1007/978-3-642-02424-5_8 | title = पेट्री नेट्स के अनुप्रयोग और सिद्धांत| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 5606 | pages = 103 | year = 2009 | isbn = 978-3-642-02423-8 | citeseerx = 10.1.1.745.1585 }}</ref> [[मार्टिन फ़िनबर्ग]] अभाव शून्य प्रमेय [[रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क]] के लिए उत्पाद-रूप स्थिर वितरण को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Anderson | first1 = D. F. | last2 = Craciun | first2 = G. | last3 = Kurtz | first3 = T. G. | doi = 10.1007/s11538-010-9517-4 | title = उत्पाद-प्रपत्र कमी शून्य रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए स्टेशनरी वितरण| journal = Bulletin of Mathematical Biology | volume = 72 | issue = 8 | pages = 1947–1970 | year = 2010 | pmid =  20306147| arxiv = 0803.3042 | s2cid = 2204856 }}</ref>
गेलेंबे का कार्य यह भी दर्शाता है कि जी-नेटवर्क्स के उत्पाद का उपयोग रैंडम न्यूरल नेटवर्क्स को स्पाइक करने के लिए किया जा सकता है, और इसके अलावा ऐसे नेटवर्कों का उपयोग परिबद्ध और निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | doi = 10.1162/neco.1993.5.1.154 | title = आवर्तक यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क में सीखना| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Neural Computation | volume = 5 | issue = 1 | year = 1993 | pages = 154–164 | s2cid = 38667978 }}</ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1109/72.737488 | pmid = 18252498 | title = यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क के साथ फ़ंक्शन सन्निकटन| first1 = Erol | last1 = Gelenbe | first2 = Zhi-Hong | last2 = Mao | first3 = Yan-Da | last3 = Li | author-link = Erol Gelenbe | journal = IEEE Transactions on Neural Networks | volume = 10 | issue = 1 | year = 1991 | pages = 3–9 | citeseerx = 10.1.1.46.7710 }}</ref>


गेलेंबे का कार्य यह भी दर्शाता है कि G-नेटवर्क्स के उत्पाद का उपयोग रैंडम न्यूरल नेटवर्क्स को स्पाइक करने के लिए किया जा सकता है और इसके अलावा ऐसे नेटवर्कों का उपयोग परिबद्ध और निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | doi = 10.1162/neco.1993.5.1.154 | title = आवर्तक यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क में सीखना| first = Erol | last = Gelenbe | author-link = Erol Gelenbe | journal = Neural Computation | volume = 5 | issue = 1 | year = 1993 | pages = 154–164 | s2cid = 38667978 }}</ref><ref>{{cite journal | doi = 10.1109/72.737488 | pmid = 18252498 | title = यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क के साथ फ़ंक्शन सन्निकटन| first1 = Erol | last1 = Gelenbe | first2 = Zhi-Hong | last2 = Mao | first3 = Yan-Da | last3 = Li | author-link = Erol Gelenbe | journal = IEEE Transactions on Neural Networks | volume = 10 | issue = 1 | year = 1991 | pages = 3–9 | citeseerx = 10.1.1.46.7710 }}</ref>






== प्रवास समय वितरण ==


पारिभाषिक शब्द प्रोडक्ट फॉर्म का उपयोग चक्रीय क्यूइंग सिस्टम में प्रवास समय वितरण को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जहां एम नोड्स पर नौकरियों द्वारा बिताया गया समय प्रत्येक नोड पर बिताए गए समय के उत्पाद के रूप में दिया जाता है।<ref>{{cite journal|title=चक्रीय घातीय कतारों में ठहराव समय वितरण के लिए उत्पाद प्रपत्र|journal=[[Journal of the ACM]]|first1=O. J.|last1=Boxma|author-link1=Onno J. Boxma|first2=F. P.|last2=Kelly|author-link2=Frank Kelly (mathematician)|first3=A. G.|last3=Konheim|volume=31|issue=1|date=January 1984|doi=10.1145/2422.322419|pages=128–133|s2cid=6770615}}</ref> 1957 में रीच ने दो M/M/1 कतारों के परिणाम को अग्रानुक्रम में दिखाया,<ref>{{Cite journal | last1 = Reich | first1 = Edgar| title = वेटिंग टाइम्स जब कतारें अग्रानुक्रम में हों| journal = The Annals of Mathematical Statistics | volume = 28 | issue = 3 | pages = 768–773 | doi = 10.1214/aoms/1177706889 | year = 1957 | doi-access = free }}</ref> बाद में इसे n M/M/1 कतारों तक विस्तारित किया गया<ref>{{Cite journal | last1 = Reich | first1 = E.| doi = 10.1214/aoms/1177704275 | title = अग्रानुक्रम में कतारों पर ध्यान दें| journal = The Annals of Mathematical Statistics | volume = 34 | pages = 338–341 | year = 1963 | doi-access = free }}</ref> और इसे [[जैक्सन नेटवर्क]] में ओवरटेक-मुक्त रास्तों पर लागू करने के लिए दिखाया गया है।<ref name="walrand" />वालरैंड और वरैया का सुझाव है कि नॉन-ओवरटेकिंग (जहां ग्राहक नेटवर्क के माध्यम से एक अलग मार्ग लेकर अन्य ग्राहकों से आगे नहीं निकल सकते हैं) परिणाम के होल्ड होने के लिए एक आवश्यक शर्त हो सकती है।<ref name="walrand">{{Cite journal | last1 = Walrand | first1 = J. | author-link1 = Jean Walrand| last2 = Varaiya | first2 = P. | title = सोजर्न टाइम्स एंड द ओवरटेकिंग कंडीशन इन जैकसोनियन नेटवर्क्स| journal = Advances in Applied Probability| volume = 12 | issue = 4 | pages = 1000–1018 | doi = 10.2307/1426753 | jstor = 1426753| year = 1980 }}</ref> मित्रानी ओवरटेकिंग के साथ कुछ सरल नेटवर्कों के लिए उचित समाधान प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि इनमें से कोई भी उत्पाद-समय के वितरण को प्रदर्शित नहीं करता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Mitrani | first1 = I. | title = संचार नेटवर्क में प्रतिक्रिया समय की समस्याएं| journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological)| volume = 47 | issue = 3 | pages = 396–406 | jstor = 2345774| year = 1985 | doi = 10.1111/j.2517-6161.1985.tb01368.x }}</ref>


संवृत नेटवर्क के लिए चाउ ने दो सर्विस नोड्स के लिए एक परिणाम दिखाया,<ref>{{cite journal|title=घातीय चक्रीय कतारों का चक्र समय वितरण|journal=[[Journal of the ACM]]|first=We-Min|last=Chow|volume=27|issue=2|date=April 1980|doi=10.1145/322186.322193|pages=281–286|s2cid=14084475}}</ref> जिसे बाद में कतारों के एक चक्र <ref>{{Cite journal | last1 = Schassberger | first1 = R. | last2 = Daduna | first2 = H. | doi = 10.1145/322358.322369 | title = घातीय कतारों के चक्र में एक राउंड ट्रिप का समय| journal = Journal of the ACM | volume = 30 | pages = 146–150 | year = 1983 | s2cid = 33401212 }}</ref> और गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। <ref>{{Cite journal | last1 = Daduna | first1 = H. | title = गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क्स में ओवरटेक-फ्री पाथ्स के लिए पैसेज टाइम्स| journal = Advances in Applied Probability | volume = 14 | issue = 3 | pages = 672–686 | doi = 10.2307/1426680 | year = 1982 | jstor = 1426680 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Kelly | first1 = F. P. | author-link= Frank Kelly (mathematician)| last2 = Pollett | first2 = P. K. | title = बंद क्यूइंग नेटवर्क में सोजर्न टाइम्स| journal = Advances in Applied Probability | volume = 15 | issue = 3 | pages = 638–656 | doi = 10.2307/1426623 | year = 1983 | jstor = 1426623 }}</ref>
== प्रवास समय वितरण ==


पारिभाषिक शब्द प्रोडक्ट फॉर्म का उपयोग चक्रीय क्यूइंग सिस्टम में प्रवास समय वितरण को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जहां M नोड्स पर नौकरियों द्वारा बिताया गया समय प्रत्येक नोड पर बिताए गए समय के उत्पाद के रूप में दिया जाता है।<ref>{{cite journal|title=चक्रीय घातीय कतारों में ठहराव समय वितरण के लिए उत्पाद प्रपत्र|journal=[[Journal of the ACM]]|first1=O. J.|last1=Boxma|author-link1=Onno J. Boxma|first2=F. P.|last2=Kelly|author-link2=Frank Kelly (mathematician)|first3=A. G.|last3=Konheim|volume=31|issue=1|date=January 1984|doi=10.1145/2422.322419|pages=128–133|s2cid=6770615}}</ref> 1957 में रीच ने दो M/M/1 श्रेणी के परिणाम को अग्रानुक्रम में दिखाया,<ref>{{Cite journal | last1 = Reich | first1 = Edgar| title = वेटिंग टाइम्स जब कतारें अग्रानुक्रम में हों| journal = The Annals of Mathematical Statistics | volume = 28 | issue = 3 | pages = 768–773 | doi = 10.1214/aoms/1177706889 | year = 1957 | doi-access = free }}</ref> बाद में इसे n M/M/1 श्रेणी तक विस्तारित किया गया<ref>{{Cite journal | last1 = Reich | first1 = E.| doi = 10.1214/aoms/1177704275 | title = अग्रानुक्रम में कतारों पर ध्यान दें| journal = The Annals of Mathematical Statistics | volume = 34 | pages = 338–341 | year = 1963 | doi-access = free }}</ref> और इसे [[जैक्सन नेटवर्क]] में ओवरटेक-मुक्त रास्तों पर लागू करने के लिए दिखाया गया है।<ref name="walrand" />वालरैंड और वरैया का सुझाव है कि नॉन-ओवरटेकिंग (जहां ग्राहक नेटवर्क के माध्यम से एक अलग मार्ग लेकर अन्य ग्राहकों से आगे नहीं निकल सकते हैं) परिणाम को रोकने के लिए एक आवश्यक शर्त हो सकती है।<ref name="walrand">{{Cite journal | last1 = Walrand | first1 = J. | author-link1 = Jean Walrand| last2 = Varaiya | first2 = P. | title = सोजर्न टाइम्स एंड द ओवरटेकिंग कंडीशन इन जैकसोनियन नेटवर्क्स| journal = Advances in Applied Probability| volume = 12 | issue = 4 | pages = 1000–1018 | doi = 10.2307/1426753 | jstor = 1426753| year = 1980 }}</ref> मित्रानी ओवरटेकिंग के साथ कुछ सरल नेटवर्कों के लिए उचित समाधान प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि इनमें से कोई भी उत्पाद-समय के वितरण को प्रदर्शित नहीं करता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Mitrani | first1 = I. | title = संचार नेटवर्क में प्रतिक्रिया समय की समस्याएं| journal = Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological)| volume = 47 | issue = 3 | pages = 396–406 | jstor = 2345774| year = 1985 | doi = 10.1111/j.2517-6161.1985.tb01368.x }}</ref>


संवृत नेटवर्क के लिए चाउ ने दो सर्विस नोड्स के लिए एक परिणाम दिखाया,<ref>{{cite journal|title=घातीय चक्रीय कतारों का चक्र समय वितरण|journal=[[Journal of the ACM]]|first=We-Min|last=Chow|volume=27|issue=2|date=April 1980|doi=10.1145/322186.322193|pages=281–286|s2cid=14084475}}</ref> जिसे बाद में श्रेणीयों के एक चक्र <ref>{{Cite journal | last1 = Schassberger | first1 = R. | last2 = Daduna | first2 = H. | doi = 10.1145/322358.322369 | title = घातीय कतारों के चक्र में एक राउंड ट्रिप का समय| journal = Journal of the ACM | volume = 30 | pages = 146–150 | year = 1983 | s2cid = 33401212 }}</ref> और गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। <ref>{{Cite journal | last1 = Daduna | first1 = H. | title = गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क्स में ओवरटेक-फ्री पाथ्स के लिए पैसेज टाइम्स| journal = Advances in Applied Probability | volume = 14 | issue = 3 | pages = 672–686 | doi = 10.2307/1426680 | year = 1982 | jstor = 1426680 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Kelly | first1 = F. P. | author-link= Frank Kelly (mathematician)| last2 = Pollett | first2 = P. K. | title = बंद क्यूइंग नेटवर्क में सोजर्न टाइम्स| journal = Advances in Applied Probability | volume = 15 | issue = 3 | pages = 638–656 | doi = 10.2307/1426623 | year = 1983 | jstor = 1426623 }}</ref>


== एक्सटेंशन ==
== विस्तार ==
 
* अनुमानित उत्पाद-रूप समाधानों की गणना स्वतंत्र सीमांत वितरणों को मानते हुए की जाती है, जो कुछ स्थितियों के अंतर्गत स्थिर वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन दे सकता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Baynat | first1 = B. | last2 = Dallery | first2 = Y. | doi = 10.1016/0166-5316(93)90017-O | title = सामान्य बंद कतारबद्ध नेटवर्क के लिए उत्पाद-रूप सन्निकटन तकनीकों का एक एकीकृत दृश्य| journal = Performance Evaluation | volume = 18 | issue = 3 | pages = 205–224 | year = 1993 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Dallery | first1 = Y. | last2 = Cao | first2 = X. R. | doi = 10.1016/0166-5316(92)90019-D | title = स्टोचैस्टिक बंद क्यूइंग नेटवर्क का परिचालन विश्लेषण| journal = Performance Evaluation | volume = 14 | pages = 43–61 | year = 1992 }}</ref>
* अनुमानित उत्पाद-रूप समाधानों की गणना स्वतंत्र सीमांत वितरणों को मानते हुए की जाती है, जो कुछ शर्तों के तहत स्थिर वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन दे सकता है।<ref>{{Cite journal | last1 = Baynat | first1 = B. | last2 = Dallery | first2 = Y. | doi = 10.1016/0166-5316(93)90017-O | title = सामान्य बंद कतारबद्ध नेटवर्क के लिए उत्पाद-रूप सन्निकटन तकनीकों का एक एकीकृत दृश्य| journal = Performance Evaluation | volume = 18 | issue = 3 | pages = 205–224 | year = 1993 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Dallery | first1 = Y. | last2 = Cao | first2 = X. R. | doi = 10.1016/0166-5316(92)90019-D | title = स्टोचैस्टिक बंद क्यूइंग नेटवर्क का परिचालन विश्लेषण| journal = Performance Evaluation | volume = 14 | pages = 43–61 | year = 1992 }}</ref>
* अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान ऐसे समाधान हैं जहां वितरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जहां शब्दों की वैश्विक अवस्था स्थान पर सीमित कार्यात्मक निर्भरता होती है, जिसका अनुमान लगाया जा सकता है।<ref>{{Cite book | last1 = Thomas | first1 = Nigel| last2 = Harrison | first2 = Peter G. | author-link2 = Peter G. Harrison| chapter = State-Dependent Rates and Semi-Product-Form via the Reversed Process | doi = 10.1007/978-3-642-15784-4_14 | title = कंप्यूटर प्रदर्शन इंजीनियरिंग| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 6342 | pages = 207 | year = 2010 | isbn = 978-3-642-15783-7 }}</ref>
* अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान ऐसे समाधान हैं जहां वितरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जहां शब्दों की वैश्विक अवस्था स्थान पर सीमित कार्यात्मक निर्भरता होती है, जिसका अनुमान लगाया जा सकता है।<ref>{{Cite book | last1 = Thomas | first1 = Nigel| last2 = Harrison | first2 = Peter G. | author-link2 = Peter G. Harrison| chapter = State-Dependent Rates and Semi-Product-Form via the Reversed Process | doi = 10.1007/978-3-642-15784-4_14 | title = कंप्यूटर प्रदर्शन इंजीनियरिंग| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 6342 | pages = 207 | year = 2010 | isbn = 978-3-642-15783-7 }}</ref>
* अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान या तो हैं
* अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान या तो  
**समाधान जो सीमांत घनत्वों का उत्पाद नहीं हैं, लेकिन सीमांत घनत्व उत्पाद-प्रकार के तरीके से वितरण का वर्णन करते हैं<ref>{{Cite journal | last1 = Debicki | first1 = K. | last2 = Dieker | first2 = A. B. | last3 = Rolski | first3 = T. | doi = 10.1287/moor.1070.0259 | title = लेवी-संचालित द्रव नेटवर्क के लिए अर्ध-उत्पाद प्रपत्र| journal = Mathematics of Operations Research | volume = 32 | issue = 3 | pages = 629–647 | year = 2007 | arxiv = math/0512119| s2cid = 16150704 }}</ref> या
**समाधान जो सीमांत घनत्वों का उत्पाद नहीं हैं, लेकिन सीमांत घनत्व उत्पाद-प्रकार के तरीके से वितरण का वर्णन करते हैं<ref>{{Cite journal | last1 = Debicki | first1 = K. | last2 = Dieker | first2 = A. B. | last3 = Rolski | first3 = T. | doi = 10.1287/moor.1070.0259 | title = लेवी-संचालित द्रव नेटवर्क के लिए अर्ध-उत्पाद प्रपत्र| journal = Mathematics of Operations Research | volume = 32 | issue = 3 | pages = 629–647 | year = 2007 | arxiv = math/0512119| s2cid = 16150704 }}</ref> या
** क्षणिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुमानित रूप जो क्षणिक क्षणों को अनुमानित करने की अनुमति देता है।<ref>{{Cite book | last1 = Angius | first1 = A. | last2 = Horváth | first2 = A. S. | last3 = Wolf | first3 = V. | doi = 10.1007/978-3-642-39408-9_3 | chapter = Approximate Transient Analysis of Queuing Networks by Quasi Product Forms | title = विश्लेषणात्मक और स्टोचैस्टिक मॉडलिंग तकनीक और अनुप्रयोग| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 7984 | pages = 22 | year = 2013 | isbn = 978-3-642-39407-2 }}</ref>
** क्षणिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुमानित रूप जो क्षणिक क्षणों को अनुमानित करने की अनुमति देता है।<ref>{{Cite book | last1 = Angius | first1 = A. | last2 = Horváth | first2 = A. S. | last3 = Wolf | first3 = V. | doi = 10.1007/978-3-642-39408-9_3 | chapter = Approximate Transient Analysis of Queuing Networks by Quasi Product Forms | title = विश्लेषणात्मक और स्टोचैस्टिक मॉडलिंग तकनीक और अनुप्रयोग| series = Lecture Notes in Computer Science | volume = 7984 | pages = 22 | year = 2013 | isbn = 978-3-642-39407-2 }}</ref>
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संभाव्यता सिद्धांत में, एक उत्पाद-रूप समाधान विशिष्ट उप-घटकों के साथ एक प्रणाली के कुछ मापीय को निर्धारित करने के लिए समाधान का एक विशेष रूप हैं, जहां घटकों के संग्रह के लिए मापीय को विभिन्न घटकों के उत्पाद (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है। कैपिटल पाई नोटेशन का उपयोग करके उत्पाद-रूप समाधान में बीजगणितीय रूप होता है

जहां B स्थिर है। इस रूप के समाधान रुचिकर हैं क्योंकि वे n के बड़े मूल्यों के मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते हैं। मल्टीप्रोग्राम्ड और टाइम-शेयर्ड कंप्यूटर सिस्टम के मॉडल में प्रदर्शन मेट्रिक्स खोजने के लिए श्रेणीबद्ध नेटवर्क में ऐसे समाधान महत्वपूर्ण हैं।

संतुलन वितरण

मार्कोव श्रृंखलाओं के संतुलन वितरण के लिए पहला उत्पाद-रूप समाधान पाया गया। महत्त्वहीन रूप से, दो या दो से अधिक स्वतंत्र (संभाव्यता सिद्धांत) उप-घटकों से बने मॉडल स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार उत्पाद-रूप समाधान प्रदर्शित करते हैं। प्रारंभ में इस शब्द का उपयोग क्यूइंग नेटवर्क में किया गया था जहां उप-घटक अलग-अलग पंक्ति होंगे। उदाहरण के लिए, जैक्सन का प्रमेय (श्रेणीबद्ध सिद्धांत) एक विवृत क्यूइंग नेटवर्क के संयुक्त संतुलन वितरण को अलग-अलग क्यू के संतुलन वितरण के उत्पाद के रूप में देता है।[1] कई विस्तारों के बाद, मुख्य रूप से बीसीएमपी नेटवर्क के बारे में सोचा गया कि उत्पाद-रूप समाधान के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है।[2]

[3] Erol गेलेनबे का G-नेटवर्क मॉडल सबसे पहले दिखा कि ऐसा नहीं है। स्पाइकिंग व्यवहार जैसी बिंदु-प्रक्रिया वाले जैविक न्यूरॉन्स को मॉडल करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर उन्होंने G- नेटवर्क्स के अग्रदूत को प्रस्तुत किया इसे यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क कहा।[4] नकारात्मक ग्राहकों को प्रस्तुत करके जो अन्य ग्राहकों को नष्ट या समाप्त कर सकते हैं, उन्होंने उत्पाद फार्म नेटवर्क के परिवार को सामान्यीकृत किया।[5] फिर इसे कई चरणों में आगे बढ़ाया गया, पहले गेलेनबे के ट्रिगर्स के द्वारा जो ग्राहक हैं जो अन्य ग्राहकों को एक श्रेणी से दूसरी श्रेणी में ले जाने की शक्ति रखते हैं।[6] ग्राहक का एक और नया रूप जिसने उत्पाद के रूप को भी आगे बढ़ाया, वह था गेलेनबे का "बैच रिमूवल"।[7] इसे एरोल गेलेनबे और जीन-मिशेल फोरन्यू द्वारा "रीसेट" नामक ग्राहक प्रकारों के साथ आगे बढ़ाया गया था, जो विफलताओं की पुनर्निर्माण का मॉडल बना सकता है: जब कोई श्रेणी खाली अवस्था में आती है, तो (उदाहरण के लिए) एक विफलता का प्रतिनिधित्व करती है तो श्रेणी की लंबाई वापस कूद सकती है या रीसेट हो सकती है एक पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करते हुए एक आने वाले रीसेट ग्राहक द्वारा इसकी स्थिर-अवस्था वितरण पर "रीसेट" करें, जो पुनर्निर्माण का प्रतिनिधित्व करता है। G-नेटवर्क्स में ये सभी पिछले प्रकार के ग्राहक एक ही नेटवर्क में उपस्थित हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ग सम्मिलित हैं और वे सभी एक साथ अभी भी उत्पाद के रूप में समाधान में परिणत होते हैं, जो हमें पहले प्रतिवर्ती नेटवर्क से बहुत आगे ले जाते हैं।[8]

उत्पाद-रूप समाधानों को कभी कभी "स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं" के रूप में वर्णित किया क्योंकि स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं।[9] बल्क पंक्ति के नेटवर्क में उत्पाद रूप समाधान भी उपस्थित हैं।[10]

जे.एम. हैरिसन और आर.जे. विलियम्स ने सुनिश्चित किया कि क्लासिकल क्यूइंग नेटवर्क सिद्धांत में सफलतापूर्वक विश्लेषण किए गए सभी मॉडल एक तथाकथित उत्पाद-रूप स्थिर वितरण वाले मॉडल हैं[9]हाल ही में मार्कोव प्रक्रिया बीजगणित के लिए उत्पाद-रूप समाधान प्रकाशित किए गए हैं (उदाहरण के लिए PEPA में RCAT[11][12]) और स्टोकेस्टिक पेट्री नेट।[13][14] मार्टिन फ़िनबर्ग अभाव शून्य प्रमेय रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए उत्पाद-रूप स्थिर वितरण को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।[15]

गेलेंबे का कार्य यह भी दर्शाता है कि G-नेटवर्क्स के उत्पाद का उपयोग रैंडम न्यूरल नेटवर्क्स को स्पाइक करने के लिए किया जा सकता है और इसके अलावा ऐसे नेटवर्कों का उपयोग परिबद्ध और निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए किया जा सकता है।[16][17]



प्रवास समय वितरण

पारिभाषिक शब्द प्रोडक्ट फॉर्म का उपयोग चक्रीय क्यूइंग सिस्टम में प्रवास समय वितरण को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जहां M नोड्स पर नौकरियों द्वारा बिताया गया समय प्रत्येक नोड पर बिताए गए समय के उत्पाद के रूप में दिया जाता है।[18] 1957 में रीच ने दो M/M/1 श्रेणी के परिणाम को अग्रानुक्रम में दिखाया,[19] बाद में इसे n M/M/1 श्रेणी तक विस्तारित किया गया[20] और इसे जैक्सन नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों पर लागू करने के लिए दिखाया गया है।[21]वालरैंड और वरैया का सुझाव है कि नॉन-ओवरटेकिंग (जहां ग्राहक नेटवर्क के माध्यम से एक अलग मार्ग लेकर अन्य ग्राहकों से आगे नहीं निकल सकते हैं) परिणाम को रोकने के लिए एक आवश्यक शर्त हो सकती है।[21] मित्रानी ओवरटेकिंग के साथ कुछ सरल नेटवर्कों के लिए उचित समाधान प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि इनमें से कोई भी उत्पाद-समय के वितरण को प्रदर्शित नहीं करता है।[22]

संवृत नेटवर्क के लिए चाउ ने दो सर्विस नोड्स के लिए एक परिणाम दिखाया,[23] जिसे बाद में श्रेणीयों के एक चक्र [24] और गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों के लिए सामान्यीकृत किया गया था। [25][26]

विस्तार

  • अनुमानित उत्पाद-रूप समाधानों की गणना स्वतंत्र सीमांत वितरणों को मानते हुए की जाती है, जो कुछ स्थितियों के अंतर्गत स्थिर वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन दे सकता है।[27][28]
  • अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान ऐसे समाधान हैं जहां वितरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जहां शब्दों की वैश्विक अवस्था स्थान पर सीमित कार्यात्मक निर्भरता होती है, जिसका अनुमान लगाया जा सकता है।[29]
  • अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान या तो
    • समाधान जो सीमांत घनत्वों का उत्पाद नहीं हैं, लेकिन सीमांत घनत्व उत्पाद-प्रकार के तरीके से वितरण का वर्णन करते हैं[30] या
    • क्षणिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुमानित रूप जो क्षणिक क्षणों को अनुमानित करने की अनुमति देता है।[31]


संदर्भ

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