प्रत्यवस्थान गुणांक

25 छवियों प्रति सेकंड पर स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव के साथ कैप्चर की गई उछलती गेंद: वायु प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए, एक बाउंस की ऊँचाई के अनुपात का वर्गमूल, पूर्ववर्ती बाउंस की ऊंचाई के अनुपात का वर्गमूल गेंद/सतह प्रभाव के लिए पुनर्स्थापना का गुणांक देता है।

बहाली का गुणांक (सीओआर, जिसे 'ई द्वारा भी दर्शाया गया है), टक्कर के बाद दो वस्तुओं के बीच प्रारंभिक सापेक्ष गति का अनुपात है। यह आम तौर पर 0 से 1 तक होता है जहां 1 एक लोचदार टक्कर होगी। एक पूरी तरह से अप्रत्यास्थ टक्कर में 0 का गुणांक होता है, लेकिन 0 मान का पूरी तरह से अयोग्य होना जरूरी नहीं है। इसे लीब रिबाउंड कठोरता परीक्षण में मापा जाता है, जिसे COR के 1000 गुना के रूप में व्यक्त किया जाता है, लेकिन यह परीक्षण के लिए केवल एक वैध COR है, न कि परीक्षण की जा रही सामग्री के लिए एक सार्वभौमिक COR के रूप में।

घूर्णी गतिज ऊर्जा, प्लास्टिक विरूपण, और गर्मी के लिए प्रारंभिक गतिज ऊर्जा खो जाने के कारण मूल्य लगभग हमेशा 1 से कम होता है। यह 1 से अधिक हो सकता है यदि रासायनिक प्रतिक्रिया से टकराव के दौरान ऊर्जा लाभ होता है, घूर्णी ऊर्जा में कमी होती है, या अन्य आंतरिक ऊर्जा में कमी होती है जो टक्कर के बाद के वेग में योगदान करती है।

$${\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity before collision}}\right|}}$$

गणित का विकास सर आइजैक न्यूटन ने 1687 में किया था। इसे न्यूटन का प्रायोगिक नियम भी कहते हैं।

अधिक विवरण

प्रभाव की रेखा - यह वह रेखा है जिसके साथ 'ई' परिभाषित किया गया है या टकराने वाली सतहों के बीच स्पर्शरेखा प्रतिक्रिया बल की अनुपस्थिति में, इस रेखा के साथ पिंडों के बीच प्रभाव के बल को साझा किया जाता है। टकराने वाले पिंडों के संपर्क में सतहों की जोड़ी के सामान्य सामान्य के साथ प्रभाव के दौरान निकायों के बीच भौतिक संपर्क के दौरान। इसलिए 'ई' को आयाम रहित एक आयामी पैरामीटर के रूप में परिभाषित किया गया है।

=== ई के लिए मूल्यों की श्रेणी - एक स्थिर === के रूप में माना जाता है

'ई' आमतौर पर 0 और 1 के बीच एक सकारात्मक, वास्तविक संख्या होती है:

• 'e = 0': यह एक पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर है | पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर है।
• '0 <e <1': यह वास्तविक दुनिया की एक अप्रत्यास्थ टक्कर है, जिसमें कुछ गतिज ऊर्जा नष्ट हो जाती है।
• 'e = 1': यह एक पूरी तरह से लोचदार टक्कर है, जिसमें कोई गतिज ऊर्जा नष्ट नहीं होती है, और वस्तुएं एक दूसरे से उसी सापेक्ष गति से उछलती हैं जिसके साथ वे संपर्क करते हैं।
• 'e < 0': शून्य से कम एक COR एक टकराव का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें वस्तुओं के पृथक्करण वेग की दिशा (संकेत) समापन वेग के समान होती है, जिसका अर्थ है कि वस्तुएं पूरी तरह से उलझे बिना एक दूसरे से गुजरती हैं। इसे संवेग का अपूर्ण स्थानांतरण भी माना जा सकता है। इसका एक उदाहरण एक छोटी, सघन वस्तु हो सकती है जो किसी बड़े, कम सघन वस्तु से होकर गुजरती है - जैसे, एक लक्ष्य से गुजरने वाली गोली।
• 'e> 1': यह एक टक्कर का प्रतिनिधित्व करेगा जिसमें ऊर्जा जारी होती है, उदाहरण के लिए, nitrocellulose बिलियर्ड बॉल्स प्रभाव के बिंदु पर सचमुच विस्फोट कर सकते हैं। साथ ही, हाल के कुछ लेखों में सुपररेलास्टिक टकरावों का वर्णन किया गया है जिसमें यह तर्क दिया गया है कि तिरछी टक्करों के एक विशेष मामले में कॉर एक से अधिक मान ले सकता है। ये घटनाएँ घर्षण के कारण पलटाव प्रक्षेपवक्र के परिवर्तन के कारण होती हैं। ऐसे संघट्टों में किसी प्रकार के विस्फोट में गतिज ऊर्जा मुक्त होती है। यह संभव है कि $e=\infty$ एक कठोर प्रणाली के एक पूर्ण विस्फोट के लिए।

जोड़ी गई वस्तुएं

कॉर टकराव में वस्तुओं की एक जोड़ी की संपत्ति है, एक वस्तु नहीं। यदि कोई दी गई वस्तु दो अलग-अलग वस्तुओं से टकराती है, तो प्रत्येक टक्कर का अपना COR होगा। जब किसी वस्तु को पुनर्स्थापन के गुणांक के रूप में वर्णित किया जाता है, जैसे कि यह किसी दूसरी वस्तु के संदर्भ के बिना एक आंतरिक संपत्ति थी, तो इसे समान क्षेत्रों के बीच या पूरी तरह से कठोर दीवार के बीच माना जाता है।

एक पूरी तरह से कठोर दीवार संभव नहीं है, लेकिन लोच के बहुत छोटे मापांक के साथ गोले के सीओआर की जांच करने पर स्टील ब्लॉक द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है। अन्यथा, कॉर अधिक जटिल तरीके से टकराव के वेग के आधार पर बढ़ेगा और फिर गिरेगा।

ऊर्जा और संवेग के संरक्षण के साथ संबंध

एक आयामी टकराव में, दो प्रमुख सिद्धांत हैं: ऊर्जा का संरक्षण (यदि टक्कर पूरी तरह से लोचदार है तो गतिज ऊर्जा का संरक्षण) और (रैखिक) संवेग का संरक्षण। तीसरा समीकरण निकाला जा सकता है इन दोनों में से, जो ऊपर बताए अनुसार पुनर्स्थापन समीकरण है। समस्याओं को हल करते समय, तीन में से किन्हीं दो समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है। पुनर्स्थापन समीकरण का उपयोग करने का लाभ यह है कि यह कभी-कभी समस्या को हल करने का अधिक सुविधाजनक तरीका प्रदान करता है।

होने देना $m_{1}$, $m_{2}$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का द्रव्यमान क्रमशः हो। होने देना $u_{1}$, $u_{2}$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का क्रमशः प्रारंभिक वेग हो। होने देना $v_{1}$, $v_{2}$ वस्तु 1 और वस्तु 2 का क्रमशः अंतिम वेग हो।

$${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$$

पहले समीकरण से,

$$m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)$$

$$m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

दूसरे समीकरण से,

$$m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)$$

विभाजन के बाद,

$$u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$$

$$u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$$

$${\frac {\left|v_{1}-v_{2}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1$$

उपरोक्त समीकरण पुनर्स्थापन समीकरण है, और पुनर्स्थापन का गुणांक 1 है, जो एक पूरी तरह से लोचदार टक्कर है।

खेल उपकरण

See also: Bouncing ball § Sport regulations

पतले चेहरे वाले गोल्फ क्लब ड्राइवर एक ट्रैम्पोलिन प्रभाव का उपयोग करते हैं जो फ्लेक्सिंग और संग्रहीत ऊर्जा के बाद के रिलीज के परिणामस्वरूप अधिक दूरी की ड्राइव बनाता है जो गेंद को अधिक आवेग प्रदान करता है। यूएसजीए (अमेरिका की गवर्निंग गोल्फिंग बॉडी) परीक्षण करती है COR के लिए ड्राइवर और ऊपरी सीमा को 0.83 पर रखा है। कॉर क्लबहेड गति की दरों का एक कार्य है और क्लबहेड गति में वृद्धि के रूप में कम हो जाता है। रिपोर्ट में COR की रेंज 0.845 से 90 मील प्रति घंटे से कम से कम 0.797 से 130 मील प्रति घंटे तक है। उपर्युक्त ट्रैम्पोलिन प्रभाव यह दर्शाता है क्योंकि यह टक्कर के समय को बढ़ाकर टक्कर के तनाव की दर को कम करता है। एक लेख के अनुसार (टेनिस टेनिस का बल्ला में COR को संबोधित करते हुए), [f] या बेंचमार्क शर्तें, सभी रैकेट के लिए उपयोग किए जाने वाले पुनर्स्थापन का गुणांक 0.85 है, जो स्ट्रिंग तनाव और फ्रेम की कठोरता के चर को समाप्त करता है जो पुनर्स्थापना के गुणांक से जोड़ या घटा सकता है। . अंतर्राष्ट्रीय टेबल टेनिस महासंघ निर्दिष्ट करता है कि गेंद को 30.5 सेमी की ऊंचाई से एक मानक स्टील ब्लॉक पर गिराए जाने पर 24-26 सेमी उछलेगा, जिससे 0.887 से 0.923 का सीओआर होगा। एक बास्केटबॉल के COR को यह कहते हुए निर्दिष्ट किया जाता है कि गेंद 1800 मिमी की ऊंचाई से गिराए जाने पर 960 और 1160 मिमी के बीच की ऊंचाई तक उछलेगी, जिसके परिणामस्वरूप 0.73–0.80 के बीच एक COR होगा।

समीकरण

दो वस्तुओं, वस्तु A और वस्तु B को शामिल करने वाली एक आयामी टक्कर के मामले में, पुनर्स्थापना का गुणांक इस प्रकार दिया जाता है:

$$C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$$

कहाँ:

• $v_{\text{a}}$ प्रभाव के बाद वस्तु A की अंतिम गति है
• $v_{\text{b}}$ प्रभाव के बाद वस्तु B की अंतिम गति है
• $u_{\text{a}}$ प्रभाव से पहले वस्तु A की प्रारंभिक गति है
• $u_{\text{b}}$ प्रभाव से पहले वस्तु B की प्रारंभिक गति है

यद्यपि $C_{R}$ वस्तुओं के द्रव्यमान पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अंतिम वेग द्रव्यमान-निर्भर हैं। कठोर पिंडों के दो- और तीन-आयामी टकरावों के लिए, उपयोग किए जाने वाले वेग संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा रेखा/तल के लंबवत घटक होते हैं, अर्थात प्रभाव की रेखा के साथ।

किसी स्थिर लक्ष्य से उछलती हुई वस्तु के लिए, $C_{R}$ प्रभाव के बाद वस्तु की गति और प्रभाव से पहले की गति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$C_{R}={\frac {v}{u}},$$

कहाँ

• $v$ प्रभाव के बाद वस्तु की गति है
• $u$ प्रभाव से पहले वस्तु की गति है

ऐसे मामले में जहां घर्षण बल की उपेक्षा की जा सकती है और वस्तु को क्षैतिज सतह पर आराम से गिरा दिया जाता है, यह इसके बराबर है:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {h}{H}}},$$

कहाँ

• $h$ उछाल ऊंचाई है
• $H$ ड्रॉप ऊंचाई है

पुनर्स्थापन के गुणांक को एक माप के रूप में माना जा सकता है कि जब कोई वस्तु किसी सतह से उछलती है तो यांत्रिक ऊर्जा किस हद तक संरक्षित होती है। किसी वस्तु के स्थिर लक्ष्य से उछलने की स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में परिवर्तन, ई_p, प्रभाव के दौरान अनिवार्य रूप से शून्य है; इस प्रकार, $C_{R}$ गतिज ऊर्जा, ई के बीच एक तुलना है_kप्रभाव से ठीक पहले वस्तु का प्रभाव के तुरंत बाद वस्तु का:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$$

ऐसे मामलों में जहां घर्षण बलों की उपेक्षा की जा सकती है (इस विषय पर लगभग हर छात्र प्रयोगशाला), और वस्तु को एक क्षैतिज सतह पर आराम से गिरा दिया जाता है, ऊपर ई के बीच तुलना के बराबर है_p बाउंस ऊंचाई पर वस्तु के साथ ड्रॉप ऊंचाई पर। इस मामले में, ई में परिवर्तन_k शून्य है (प्रभाव के दौरान वस्तु अनिवार्य रूप से आराम पर है और बाउंस के शीर्ष पर भी आराम पर है); इस प्रकार:

$$C_{R}={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$$

प्रभाव के बाद गति

लोचदार कणों के बीच टकराव के समीकरणों को सीओआर का उपयोग करने के लिए संशोधित किया जा सकता है, इस प्रकार इनलेस्टिक टकरावों पर भी लागू होता है, और बीच में हर संभावना होती है।

$$v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

और

$$v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$$

कहाँ

• $v_{\text{a}}$ प्रभाव के बाद पहली वस्तु का अंतिम वेग है
• $v_{\text{b}}$ प्रभाव के बाद दूसरी वस्तु का अंतिम वेग है
• $u_{\text{a}}$ प्रभाव से पहले पहली वस्तु का प्रारंभिक वेग है
• $u_{\text{b}}$ प्रभाव से पहले दूसरी वस्तु का प्रारंभिक वेग है
• $m_{\text{a}}$ पहली वस्तु का द्रव्यमान है
• $m_{\text{b}}$ दूसरी वस्तु का द्रव्यमान है

व्युत्पत्ति

उपरोक्त समीकरणों को कॉर की परिभाषा और गति के संरक्षण के कानून (जो सभी टकरावों के लिए है) द्वारा गठित समीकरणों की प्रणाली के विश्लेषणात्मक समाधान से प्राप्त किया जा सकता है। ऊपर से संकेतन का उपयोग करना $u$ टक्कर से पहले वेग का प्रतिनिधित्व करता है और $v$ के बाद, उपज:

$${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}$$

संवेग संरक्षण समीकरण को हल करना $v_{\text{a}}$ और के लिए बहाली के गुणांक की परिभाषा $v_{\text{b}}$ पैदावार:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

अगला, के लिए पहले समीकरण में प्रतिस्थापन $v_{\text{b}}$ और फिर के लिए हल करना $v_{\text{a}}$ देता है:

$${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$$

एक समान व्युत्पत्ति के लिए सूत्र प्राप्त होता है $v_{\text{b}}$.

=== ऑब्जेक्ट आकार और ऑफ-सेंटर टकराव === के कारण कॉर भिन्नता जब टकराने वाली वस्तुओं में गति की दिशा नहीं होती है जो उनके गुरुत्वाकर्षण के केंद्र और प्रभाव के बिंदु के अनुरूप होती है, या यदि उस बिंदु पर उनकी संपर्क सतहें उस रेखा के लंबवत नहीं होती हैं, तो कुछ ऊर्जा जो पोस्ट के लिए उपलब्ध होती -टकराव वेग अंतर रोटेशन और घर्षण के लिए खो जाएगा। कंपन और परिणामी ध्वनि के लिए ऊर्जा हानि आमतौर पर नगण्य होती है।

विभिन्न सामग्रियों को टकराना और व्यावहारिक माप

जब एक नरम वस्तु एक कठिन वस्तु से टकराती है, तो टक्कर के बाद के वेग के लिए उपलब्ध अधिकांश ऊर्जा नरम वस्तु में जमा हो जाएगी। सीओआर इस बात पर निर्भर करेगा कि गर्मी और प्लास्टिक विरूपण को खोए बिना संपीड़न में ऊर्जा को संग्रहित करने में नरम वस्तु कितनी कुशल है। एक रबर की गेंद एक कांच की गेंद की तुलना में कंक्रीट से बेहतर उछाल देगी, लेकिन ग्लास-ऑन-ग्लास का सीओआर रबर-ऑन-रबर की तुलना में बहुत अधिक है क्योंकि रबड़ में कुछ ऊर्जा संपीड़ित होने पर गर्मी में खो जाती है। जब एक रबर की गेंद एक कांच की गेंद से टकराती है, तो COR पूरी तरह से रबर पर निर्भर करेगा। इस कारण से, टक्कर के लिए समान सामग्री नहीं होने पर सामग्री के सीओआर का निर्धारण करना अधिक कठिन सामग्री का उपयोग करके किया जाता है।

चूंकि कोई पूरी तरह से कठोर सामग्री नहीं है, धातु और चीनी मिट्टी की चीज़ें जैसे कठोर सामग्रियों में समान क्षेत्रों के बीच टकराव पर विचार करके सैद्धांतिक रूप से निर्धारित किया गया है। व्यवहार में, एक 2-बॉल न्यूटन के पालने को नियोजित किया जा सकता है लेकिन इस तरह की व्यवस्था जल्दी से नमूनों का परीक्षण करने के लिए अनुकूल नहीं है।

लीब रिबाउंड हार्डनेस टेस्ट कॉर के निर्धारण से संबंधित एकमात्र सामान्य रूप से उपलब्ध परीक्षण है। यह टंगस्टन कार्बाइड की नोक का उपयोग करता है, जो उपलब्ध सबसे कठिन पदार्थों में से एक है, जिसे एक विशिष्ट ऊंचाई से परीक्षण के नमूनों पर गिराया जाता है। लेकिन टिप का आकार, प्रभाव का वेग, और टंगस्टन कार्बाइड सभी चर हैं जो 1000 * COR के संदर्भ में व्यक्त किए गए परिणाम को प्रभावित करते हैं। यह उस सामग्री के लिए एक वस्तुनिष्ठ COR नहीं देता है जो परीक्षण से स्वतंत्र है।

भौतिक गुणों (लोचदार मोडुली, रियोलॉजी), प्रभाव की दिशा, घर्षण के गुणांक और प्रभावकारी निकायों के चिपकने वाले गुणों पर निर्भरता में बहाली के गुणांक का एक व्यापक अध्ययन विलर्ट (2020) में पाया जा सकता है।

भौतिक गुणों से भविष्यवाणी करना

सीओआर एक भौतिक संपत्ति नहीं है क्योंकि यह सामग्री के आकार और टकराव की बारीकियों के साथ बदलती है, लेकिन भौतिक गुणों और प्रभाव के वेग से इसकी भविष्यवाणी की जा सकती है जब टक्कर की बारीकियों को सरल बनाया जाता है। घूर्णी और घर्षण नुकसान की जटिलताओं से बचने के लिए, हम गोलाकार वस्तुओं की एक समान जोड़ी के आदर्श मामले पर विचार कर सकते हैं, ताकि उनके द्रव्यमान और सापेक्ष वेग के केंद्र सभी एक पंक्ति में हों।

धातु और मिट्टी के पात्र (लेकिन रबर और प्लास्टिक नहीं) जैसी कई सामग्रियों को पूरी तरह से लोचदार माना जाता है जब प्रभाव के दौरान उनकी उपज शक्ति तक नहीं पहुंचती है। प्रभाव ऊर्जा सैद्धांतिक रूप से केवल लोचदार संपीड़न के वसंत-प्रभाव में संग्रहीत होती है और इसका परिणाम e = 1 होता है। लेकिन यह केवल 0.1 m/s से 1 m/s से कम वेग पर लागू होता है। इलास्टिक रेंज को उच्च वेगों से पार किया जा सकता है क्योंकि सभी गतिज ऊर्जा प्रभाव के बिंदु पर केंद्रित होती है। विशेष रूप से, उपज शक्ति आमतौर पर संपर्क क्षेत्र के हिस्से में पार हो जाती है, लोचदार क्षेत्र में नहीं रहने से प्लास्टिक विरूपण के लिए ऊर्जा खो जाती है। इसे ध्यान में रखते हुए, निम्नलिखित प्रारंभिक प्रभाव ऊर्जा के प्रतिशत का अनुमान लगाकर सीओआर का अनुमान लगाता है जो प्लास्टिक विरूपण में खो नहीं गया। लगभग, यह विभाजित करता है कि सामग्री का एक आयतन कितनी आसानी से संपीड़न में ऊर्जा को संग्रहीत कर सकता है ($1/{\text{elastic modulus}}$) यह इलास्टिक रेंज में कितनी अच्छी तरह रह सकता है ($1/{\text{yield strength}}$):

$$\%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}$$

किसी दिए गए भौतिक घनत्व और वेग के लिए इसका परिणाम होता है:

$${\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$$

एक उच्च उपज शक्ति सामग्री के अधिक संपर्क मात्रा को उच्च ऊर्जा पर लोचदार क्षेत्र में रहने की अनुमति देती है। एक कम लोचदार मॉड्यूलस प्रभाव के दौरान एक बड़े संपर्क क्षेत्र को विकसित करने की अनुमति देता है ताकि संपर्क बिंदु पर सतह के नीचे ऊर्जा को बड़ी मात्रा में वितरित किया जा सके। यह उपज शक्ति को पार होने से रोकने में मदद करता है।

एक अधिक सटीक सैद्धांतिक विकास लोचदार टक्कर (धातुओं के लिए 0.1 m/s से अधिक) और बड़े स्थायी प्लास्टिक विरूपण (100 m/s से कम) की तुलना में धीमी गति से मध्यम वेग पर COR की भविष्यवाणी करते समय सामग्री का वेग और घनत्व भी महत्वपूर्ण होता है। अवशोषित होने के लिए कम ऊर्जा की आवश्यकता के कारण एक कम वेग गुणांक को बढ़ाता है। एक कम घनत्व का अर्थ यह भी है कि कम प्रारंभिक ऊर्जा को अवशोषित करने की आवश्यकता होती है। द्रव्यमान के बजाय घनत्व का उपयोग किया जाता है क्योंकि संपर्क क्षेत्र पर प्रभावित मात्रा के आयतन के साथ गोले का आयतन रद्द हो जाता है। इस प्रकार, गोले की त्रिज्या गुणांक को प्रभावित नहीं करती है। विभिन्न आकारों के लेकिन एक ही सामग्री के टकराने वाले गोले की एक जोड़ी का गुणांक नीचे जैसा ही होता है, लेकिन इससे गुणा किया जाता है ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$ इन चार चरों को मिलाकर, एक गेंद को उसी सामग्री की सतह पर गिराए जाने पर पुनर्स्थापना के गुणांक का एक सैद्धांतिक अनुमान लगाया जा सकता है।

• ई = बहाली का गुणांक
• एस_y = गतिशील उपज शक्ति (गतिशील लोचदार सीमा)
• ई' = प्रभावी लोचदार मापांक
• ρ = घनत्व
• v = प्रभाव पर वेग
• μ = प्वासों का अनुपात

$$e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}$$

$$E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$$

यह समीकरण वास्तविक कॉर को अधिक अनुमानित करता है। धातुओं के लिए, यह तब लागू होता है जब v लगभग 0.1 m/s और 100 m/s के बीच होता है और सामान्य तौर पर जब:

$$0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$$

धीमे वेग पर COR उपरोक्त समीकरण से अधिक है, सैद्धांतिक रूप से e = 1 तक पहुँचता है जब उपरोक्त अंश कम होता है $10^{-6}$ एमएस। यह 1 मीटर (v = 4.5 m/s) गिराए गए ठोस क्षेत्रों के लिए पुनर्स्थापना का निम्नलिखित सैद्धांतिक गुणांक देता है। 1 से अधिक मान इंगित करते हैं कि समीकरण में त्रुटियाँ हैं। डायनेमिक यील्ड स्ट्रेंथ के बजाय यील्ड स्ट्रेंथ का इस्तेमाल किया गया।

Metals and Ceramics:	Predicted COR, e
silicon	1.79
Alumina	0.45 to 1.63
silicon nitride	0.38 to 1.63
silicon carbide	0.47 to 1.31
highest amorphous metal	1.27
tungsten carbide	0.73 to 1.13
stainless steel	0.63 to 0.93
magnesium alloys	0.5 to 0.89
titanium alloy grade 5	0.84
aluminum alloy 7075-T6	0.75
glass (soda-lime)	0.69
glass (borosilicate)	0.66
nickel alloys	0.15 to 0.70
zinc alloys	0.21 to 0.62
cast iron	0.3 to 0.6
copper alloys	0.15 to 0.55
titanium grade 2	0.46
tungsten	0.37
aluminum alloys 3003 6061, 7075-0	0.35
zinc	0.21
nickel	0.15
copper	0.15
aluminum	0.1
lead	0.08

प्लास्टिक और रबड़ के लिए सीओआर उनके वास्तविक मूल्यों से अधिक है क्योंकि वे संपीड़न के दौरान गर्म होने के कारण धातु, कांच और सिरेमिक के रूप में आदर्श रूप से लोचदार व्यवहार नहीं करते हैं। तो निम्नलिखित केवल पॉलिमर की रैंकिंग के लिए एक गाइड है।

पॉलिमर (धातुओं और सिरेमिक की तुलना में कम करके आंका गया):

• पॉलीब्यूटाडाइन (गोल्फ बॉल शेल)
• ब्यूटाइल रबर
• ईवा
• सिलिकॉन इलास्टोमर्स
• पॉली कार्बोनेट
• नायलॉन
• पॉलीथीन
• टेफ्लान
• पॉलीप्रोपाइलीन
• एबीएस
• ऐक्रेलिक
• पालतू
• पॉलीस्टाइनिन
• पीवीसी

धातुओं के लिए गति की सीमा जिस पर यह सिद्धांत लागू हो सकता है वह लगभग 0.1 से 5 मीटर/सेकंड है जो 0.5 मिमी से 1.25 मीटर की गिरावट है (पृष्ठ 366).

यह भी देखें

• उछलती गेंद
• टक्कर
• भिगोना क्षमता
• लचीलापन (सामग्री विज्ञान)

संदर्भ

Works cited

• Cross, Rod (2006). "The bounce of a ball" (PDF). Physics Department, University of Sydney, Australia. Retrieved 16 January 2008. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
• Walker, Jearl (2011). Fundamentals Of Physics (9th ed.). David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. ISBN 978-0-470-56473-8.

बाहरी संबंध

• Wolfram Article on COR
• Bennett & Meepagala (2006). "Coefficients of Restitution". The Physics Factbook.
• Chris Hecker's physics introduction
• "Getting an extra bounce" by Chelsea Wald
• FIFA Quality Concepts for Footballs – Uniform Rebound
• Bowley, Roger (2009). "Coefficient of Restitution". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.