स्टैक (गणित): Difference between revisions

वंश [[वंश सिद्धांत|सिद्धांत]] का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] पर [[वेक्टर बंडल]]) को [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक]] आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है। ज्यादातर सामान्य सेट-अप में प्रतिबंधों को [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]] से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक [[रेशेदार श्रेणी|तंतुमय श्रेणी]] है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य ''आधार'' श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

समूह फंक्शन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्टेबलाइजर्स हैं, तो योजनाओं के बीच [[श्रेणीबद्ध भागफल]] उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा।

एक श्रेणी <math>c</math> के फ़ंक्टर वाली श्रेणी  <math>C</math> को <math>C</math> के ऊपर एक तंतुयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए <math>F:X\to Y</math> में <math>C</math> और कोई वस्तु <math>y</math> का <math>c</math> प्रतिबिंब के साथ <math>Y</math> (फ़ंक्टर के नीचे) एक पुलबैक है <math>f:x\to y</math>  <math>y</math> द्वारा <math>F</math> इसका मतलब प्रतिबिंब के साथ एक आकृतिवाद <math>F</math> है जैसे कि कोई आकारिकी <math>g:z\to y</math> प्रतिबिंब के साथ <math>G=F\circ H</math> के रूप में गिना जा सकता है <math>g=f\circ h</math> एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा <math>h:z\to x</math> में <math>c</math>  फ़ंक्टर <math>h</math> को <math>H</math> से मानचित्र करता है। तत्व <math>x = F^*y</math> का पुलबैक <math>y</math> साथ <math>F</math> कहा जाता है और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर '[[ prestack | प्रीस्टैक]] ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए और प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y, ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से होम(F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक की संपत्ति के रूप में आवश्यकता होती है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी c के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह c पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट मूल डेटा प्रभावी है। एक 'डिसेंट डेटम' में सामान्य तौर पर वर्ग V द्वारा C की वस्तु V का आवरण _{i होता है}  पर तंतु में तत्व xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है डिसेंट डेटम को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से प्रतिबिंब V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं।

स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में 'स्टैक' या (2,1)-शेफ' कहा जाता है अगर यह ग्रुपोइड्स में भी तंतु होता है, जिसका अर्थ है कि इसके तंतु (c की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं।

एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) साइट पर ग्रुपोइड्स ''X'' में एक स्टैक है, जैसे कि ''X'' का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और एक्स के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक निर्विघ्ऩ प्रक्षेपण मौजूद है .

एक आकारिकी ''Y''<math>\rightarrow</math> स्टैक का एक्स 'प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि, प्रत्येक आकारिकी एस के लिए <math>\rightarrow</math> एक्स से (स्टैक से जुड़े) ,एक्स तक, [[फाइबर उत्पाद|तंतु उत्पाद]] वाई ×_''X''एस एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े स्टैक) के लिए आइसोमोर्फिक है। स्टैक के 'तंतु उत्पाद' को सामान्य [[सार्वभौमिक संपत्ति]] का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को [[2-यात्रा]] की आवश्यकता के लिए परिवर्तित करती है। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी <math>\Delta:\mathfrak{X} \to \mathfrak{X}\times\mathfrak{X}</math> प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर बीजगणितीय स्पेस के किसी भी जोड़ी के लिए <math>X,Y \to \mathfrak{X}</math>, उनके तंतु उत्पाद <math>X\times_{\mathfrak{X}}Y</math> प्रतिनिधित्व योग्य है।

एक Deligne–Mumford स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक ''X'' है, जैसे कि एक स्कीम से ''X'' तक एक ईटेल अनुमान है। मोटे तौर पर बोलते हुए, Deligne-Mumford स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है, जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे फॉर्म के स्थानीय भागफल स्टैक हैं <math>[\text{Spec}(A)/G]</math> कहाँ <math>G</math> एक रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह मामला साबित हुआ:<ref>{{Cite journal|last1=Alper|first1=Jarod|last2=Hall|first2=Jack|last3=Rydh|first3=David|date=2020|title=A Luna étale slice theorem for algebraic stacks|jstor=10.4007/annals.2020.191.3.1|journal=Annals of Mathematics|volume=191|issue=3|pages=675–738|doi=10.4007/annals.2020.191.3.1|issn=0003-486X|hdl=10150/641331|s2cid=3225788|hdl-access=free}}</ref> एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय स्टैक दिया <math>\mathfrak{X}</math> एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का <math>k</math> जिनके स्टेबलाइजर्स एफ़िन हैं, और <math>x \in \mathfrak{X}(k)</math> रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइजर समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु <math>G_x</math>, GIT भागफल का एक Étale morphism उपस्थित है <math>(U,u) \to (N_x//G_x, 0)</math>, जहाँ <math>N_x = (J_x/J_x^2)^\vee</math>, जैसे कि आरेख<blockquote><math>\begin{matrix}

\end{matrix}</math></blockquote>कार्तीय है, और एक ईटेल आकारिकी <blockquote> मौजूद है<math>f:([W/G_x], w) \to (\mathfrak{X},x)</math></blockquote><math>w</math> और <math>x</math>.पर स्टेबलाइज़र समूहों के एक समरूपता को प्रेरित करना।

* हर शीफ़ <math>\mathcal{F}:C^{op} \to Sets</math> एक श्रेणी से <math>C</math> ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ कैनोनिक रूप से स्टैक में बदल दिया जा सकता है। किसी वस्तु के लिए <math>X \in \text{Ob}(C)</math>, एक सेट के बजाय <math>\mathcal{F}(X)</math> एक समूह है जिसकी वस्तुएं <math>\mathcal{F}(X)</math> के तत्व हैं और तीर पहचान रूपवाद हैं।

* अधिक ठोस रूप से, मान लें कि <math>h</math> एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर है

:<ब्लॉककोट><math>h: (Sch/S)^{op} \to Sets</math></ब्लॉककोट>

:फिर, यह फ़ंक्टर ग्रोथेंडिक निम्नलिखित श्रेणी <math>H</math> निर्धारित करता है

: # एक वस्तु एक जोड़ी है <math>(X\to S, x)</math> एक योजना से मिलकर <math>X</math> में <math>(Sch/S)^{op}</math> और एक तत्व <math>x \in h(X)</math>

: # एक आकारिकी <math>(X\to S, x) \to (Y\to S,y)</math> एक आकारिकी से मिलकर बनता है <math>\phi:X \to Y</math> में <math>(Sch/S)</math> जैसे कि <math>h(\phi)(y) = x</math>.

: भुलक्कड़ कारक के माध्यम से <math>p:H \to (Sch/S)</math>, श्रेणी <math>H</math> एक तंतुयुक्त श्रेणी खत्म हो गई है <math>(Sch/S)</math>. उदाहरण के लिए, अगर <math>X</math> में एक योजना है <math>(Sch/S)</math>, तो यह प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर निर्धारित करता है <math>h = \operatorname{Hom}(-, X)</math> और इसी तंतुयुक्त श्रेणी है{{vanchor|stack associated to ''X''|stack associated to a scheme}}. स्टैक (या प्रीस्टैक) इस निर्माण के एक प्रकार के रूप में बनाया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-कॉम्पैक्ट विकर्ण वाली कोई भी स्कीम <math>X</math> क्वैसी-कॉम्पैक्ट विकर्ण योजना से जुड़ा एक बीजगणितीय स्टैक है <math>X</math>

*एक [[ समूह ढेर | समूह स्टैक]] ।

*[[वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक]]: वेक्टर बंडलों की श्रेणी V→S संस्थानिक स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V→S से W→T तक एक आकारिकी में S से T और V से W तक निरंतर मानचित्र होते हैं। (तंतु पर रैखिक) ऐसा कि स्पष्ट वर्ग आवागमन करता है। शर्त यह है कि यह एक तंतुयुक्त श्रेणी है क्योंकि कोई संस्थानिक स्पेस के निरंतर मानचित्रों पर वेक्टर बंडलों के पुलबैक ले सकता है, और एक डिसेंट डेटम प्रभावी होने की स्थिति का अनुसरण करता है क्योंकि कोई वेक्टर बंडलों को एक साथ जोड़कर एक स्पेस पर वेक्टर बंडल का निर्माण कर सकता है।

* योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत स्टैकों का स्टैक ([[ fpqc-टोपोलॉजी | fpqc-सांस्थिति]] और कमजोर सांस्थिति के संबंध में)

*एक आधार योजना पर एफ़िन योजनाओं का स्टैक (फिर से fpqc सांस्थिति या एक कमजोर के संबंध में)