स्टैक (गणित): Difference between revisions
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{{short description|Generalisation of a sheaf; a fibered category that admits effective descent}} | {{short description|Generalisation of a sheaf; a fibered category that admits effective descent}} | ||
गणित में | गणित में स्टैक या 2-शेफ सामान्यतौर पर एक [[शीफ (गणित)]] है जो संग्रह के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग [[ वंश सिद्धांत | वंश सिद्धांत]] के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है और जब [[ ठीक मोडुली स्पेस | उत्कृष्ट मोडुली स्पेस]] स्थित नहीं होते हैं तो उत्कृष्ट मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है। | ||
वंश [[वंश सिद्धांत|सिद्धांत]] का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] पर [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]]) को [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक]] आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है, ज्यादातर सामान्य संग्रह-अप में प्रतिबंधों को [[पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)]] से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक [[रेशेदार श्रेणी|तंतुमय श्रेणी]] है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य ''आधार'' श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है। | |||
== सिंहावलोकन == | == सिंहावलोकन == | ||
बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो [[योजना (गणित)]] और बीजगणितीय स्पेस को सामान्यीकृत करते हैं और मोडुली स्पेस का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं: | |||
योजनाएं ⊆ बीजगणितीय स्पेस ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक। | |||
{{harvtxt|एडिडिन|2003}} और {{harvtxt|फैंटेची|2001}} स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं, {{harvtxt|गोमेज़|2001}}, {{harvtxt|ओल्सन|2007}} और {{harvtxt|विस्टोली|2005}} अधिक विस्तृत परिचय देते हैं और {{harvtxt|लॉमोन एंड| मोरेट-बेली |2000}} अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है। | |||
== प्रेरणा और इतिहास == | == प्रेरणा और इतिहास == | ||
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quote=La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher. | quote=La conclusion pratique à laquelle je suis arrivé dès maintenant, c'est que chaque fois que en vertu de mes critères, une variété de modules (ou plutôt, un schéma de modules) pour la classification des variations (globales, ou infinitésimales) de certaines structures (variétés complètes non singulières, fibrés vectoriels, etc.) ne peut exister, malgré de bonnes hypothèses de platitude, propreté, et non singularité éventuellement, la raison en est seulement l'existence d'automorphismes de la structure qui empêche la technique de descente de marcher. | ||
|source=Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5.}} | |source=Grothendieck's letter to Serre, 1959 Nov 5.}} | ||
स्टैक की अवधारणा का मूल {{harvtxt|ग्रोथेंडिक|1959}}में प्रभावी अन्वय डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि स्पेस के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। स्टैक के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस स्थित नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है। | |||
1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में | |||
{{harvtxt| | स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले {{harvtxt|ममफोर्ड|1965}} ने गोलाकार वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले {{harvs|txt|last=जिराउड|year1=1966|year2=1971}}द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द {{harvtxt|डेलिग्ने एंड| ममफोर्ड|1969}} द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में प्रस्तुत किया गया था। इस लेख में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी प्रस्तुत किए जिसे उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब सामान्यतौर पर {{harvs|txt|author-link=Michael Artin|last=आर्टिन|year=1974}} द्वारा प्रस्तुत किए गए सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है। | ||
समूह | समूह फलन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्थिरिकारी हैं, तो योजनाओं के बीच [[श्रेणीबद्ध भागफल]] उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा। | ||
उसी तरह | उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि स्पेस ज्यादातर योजनाओं के बजाय स्टैक के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि स्पेस निर्माण ज्यादातर प्रश्न में वस्तुओं का मानकीकरण करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिए[[भागफल ढेर|समूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते]] है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
=== | === निराकार स्टैक === | ||
श्रेणी <math>c</math> के फ़ंक्टर वाली श्रेणी <math>C</math> को <math>C</math> के ऊपर एक तंतुयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए <math>F:X\to Y</math> में <math>C</math> और कोई वस्तु <math>y</math> का <math>c</math> प्रतिबिंब के साथ <math>Y</math> एक पुलबैक है <math>f:x\to y</math> <math>y</math> द्वारा <math>F</math> इसका मतलब प्रतिबिंब के साथ एक आकृतिवाद <math>F</math> है जैसे कि कोई आकारिकी <math>g:z\to y</math> प्रतिबिंब के साथ <math>G=F\circ H</math> के रूप में गिना जा सकता है <math>g=f\circ h</math> एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा <math>h:z\to x</math> में <math>c</math> फ़ंक्टर <math>h</math> को <math>H</math> से मानचित्र करता है। तत्व <math>x = F^*y</math> का पुलबैक <math>y</math> के साथ <math>F</math> कहा जाता है और विहित समरूपता तक अद्वितीय है। | |||
श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर '[[ prestack | प्रीस्टैक]] ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से (F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक के गुणों के रूप में आवश्यकता होती है। | |||
श्रेणी | श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी c के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह c पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक वंश मूल डेटा प्रभावी है। एक 'वंश तिथि' में सामान्य तौर पर वर्ग V द्वारा C की वस्तु V का आवरण <sub>i होता है</sub> पर तंतु में तत्व xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है वंश तिथि को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से प्रतिबिंब V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं। | ||
स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में 'स्टैक' या (2,1)-शेफ' कहा जाता है अगर ग्रुपोइड्स में भी तंतु होता है, जिसका अर्थ है कि इसके तंतु (c की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं। | |||
=== बीजगणितीय स्टैक === | |||
{{Main|मुख्य लेख: बीजगणितीय स्टैक}} | |||
बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) स्थान पर ग्रुपोइड्स ''X'' में एक स्टैक है, जैसे कि ''X'' का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और X के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक निर्विघ्ऩ प्रक्षेपण स्थित है। | |||
आकारिकी ''Y''<math>\rightarrow</math> स्टैक का एक X प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि प्रत्येक आकारिकी S के लिए <math>\rightarrow</math> X से (स्टैक से जुड़े) X तक [[फाइबर उत्पाद|तंतु उत्पाद]] y ×<sub>''XS''</sub> एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े स्टैक) के लिए समरूप (आइसोमोर्फिक) है। स्टैक के 'तंतु उत्पाद' को सामान्य [[सार्वभौमिक संपत्ति]] का उपयोग करके परिभाषित किया गया है और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को [[2-यात्रा]] के लिए परिवर्तित करती है, अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें। | |||
विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी <math>\Delta:\mathfrak{X} \to \mathfrak{X}\times\mathfrak{X}</math> अगर बीजगणितीय स्पेस के किसी भी जोड़ी के लिए <math>X,Y \to \mathfrak{X}</math> उनके तंतु उत्पाद <math>X\times_{\mathfrak{X}}Y</math> का प्रतिनिधित्व योग्य है। | |||
==== बीजगणितीय | डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक ''X'' है, जैसे कि एक योजना से ''X'' तक ईटेल अनुमान है, सामान्यतौर पर डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है। | ||
बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे | |||
==== बीजगणितीय स्टैक की स्थानीय संरचना ==== | |||
बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे रूप के स्थानीय भागफल स्टैक हैं <math>[\text{Spec}(A)/G]</math> जहाँ <math>G</math> एक आसान बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह साबित हुआ कि<ref>{{Cite journal|last1=Alper|first1=Jarod|last2=Hall|first2=Jack|last3=Rydh|first3=David|date=2020|title=A Luna étale slice theorem for algebraic stacks|jstor=10.4007/annals.2020.191.3.1|journal=Annals of Mathematics|volume=191|issue=3|pages=675–738|doi=10.4007/annals.2020.191.3.1|issn=0003-486X|hdl=10150/641331|s2cid=3225788|hdl-access=free}}</ref> एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय स्टैक <math>\mathfrak{X}</math> बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार <math>k</math> जिनके स्थिरिकारी एफ़िन हैं और <math>x \in \mathfrak{X}(k)</math> रैखिक रूप से आसान स्थिरिकारी समूह के साथ एक चिकना और संवृत बिंदु <math>G_x</math>है, GIT भागफल का एटेल आकारिता <math>(U,u) \to (N_x//G_x, 0)</math> उपस्थित है, जहाँ <math>N_x = (J_x/J_x^2)^\vee</math>, जैसे कि आरेख<blockquote><math>\begin{matrix} | |||
([W/G_x],w) & \to & ([N_x/G_x],0) \\ | ([W/G_x],w) & \to & ([N_x/G_x],0) \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
(U,u) & \to & (N_x//G_x,0) | (U,u) & \to & (N_x//G_x,0) | ||
\end{matrix}</math></blockquote>कार्तीय है | \end{matrix}</math></blockquote>कार्तीय है और एक ईटेल आकारिकी <blockquote> <math>f:([W/G_x], w) \to (\mathfrak{X},x)</math> उपस्थित है</blockquote><math>w</math> और <math>x</math> पर स्थिरिकारी समूहों की समरूपता को प्रेरित करना हैं। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
=== | === प्राथमिक उदाहरण === | ||
* | * प्रत्येक शीफ़ <math>\mathcal{F}:C^{op} \to Sets</math> श्रेणी से <math>C</math> ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ विहित रूप से स्टैक में बदल दिया जा सकता है। किसी वस्तु के लिए <math>X \in \text{Ob}(C)</math> संग्रह के स्थान में <math>\mathcal{F}(X)</math> एक समूह है जिसकी वस्तुएं <math>\mathcal{F}(X)</math> के तत्व हैं और तीर पहचान रूपवाद हैं। | ||
* | * वस्तुतः मान लें कि <math>h</math> एक प्रतिपरिवर्ती कारक है | ||
: | :<math>h: (Sch/S)^{op} \to Sets</math> | ||
: | :फ़ंक्टर ग्रोथेंडिक निम्नलिखित <math>H</math> श्रेणी निर्धारित करता है | ||
: # | : # वस्तु <math>(X\to S, x)</math> एक जोड़ी है जो योजना <math>X</math> से मिलकर <math>(Sch/S)^{op}</math> और एक तत्व <math>x \in h(X)</math> है। | ||
: # | : # आकारिकी <math>(X\to S, x) \to (Y\to S,y)</math> एक आकारिकी से मिलकर बनता है <math>\phi:X \to Y</math> में <math>(Sch/S)</math> जैसे कि <math>h(\phi)(y) = x</math> | ||
: | : अन्यमनस्क कारक के माध्यम से <math>p:H \to (Sch/S)</math> श्रेणी <math>H</math> एक तंतुयुक्त श्रेणी <math>(Sch/S)</math> समाप्त हो गई है उदाहरण के लिए, अगर <math>X</math> एक योजना <math>(Sch/S)</math> हैं, तो यह प्रतिपरिवर्ती कारक <math>h = \operatorname{Hom}(-, X)</math> निर्धारित करता है और तंतुयुक्त श्रेणी X से स्टैक संबंधित हैं। स्टैक (या प्रीस्टैक) निर्माण के एक प्रकार के रूप में बनाया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-सघन विकर्ण वाली कोई भी योजना <math>X</math> अर्ध-सघन विकर्ण योजना से जुड़ा <math>X</math>बीजगणितीय स्टैक है। | ||
=== वस्तुओं का | === वस्तुओं का स्टैक === | ||
* | *[[ समूह ढेर | समूह स्टैक]]। | ||
*[[वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक]]: | *[[वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक|सदिश बंडलों का मोडुली स्टैक]]: सदिश बंडलों की श्रेणी V→S संस्थानिक स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V→S से W→T तक आकारिकी में S से T और V से W तक निरंतर मानचित्र होते हैं, (तंतु पर रैखिक) ऐसा कि स्पष्ट वर्ग आवागमन करता है। स्थिति यह है कि यह एक तंतुयुक्त श्रेणी है क्योंकि कोई संस्थानिक स्पेस के निरंतर मानचित्रों पर सदिश बंडलों के पुलबैक ले सकता है और डिसेंट डेटम प्रभावी होने की स्थिति का अनुसरण करता है क्योंकि कोई सदिश बंडलों को एक साथ जोड़कर स्थान पर सदिश बंडल का निर्माण कर सकता है। | ||
* योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत | * योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत स्टैकों का स्टैक ([[ fpqc-टोपोलॉजी |fpqc-सांस्थिति]] और अशक्त सांस्थिति के संबंध में) | ||
* | *आधारभूत योजना पर एफ़िन योजनाओं का स्टैक (फिर से fpqc सांस्थिति या अशक्त के संबंध में) | ||
=== | === स्टैक के साथ निर्माण === | ||
==== | ==== स्टैक उद्धरण ==== | ||
यदि <math>X</math> एक योजना <math>(Sch/S)</math> है और <math>G</math> पर कार्य करने वाली एक सहज समूह योजना <math>X</math> है फिर [[भागफल बीजगणितीय ढेर|भागफल बीजगणितीय स्टैक]]<math>[X/G]</math>है,<ref>{{Citation |last=Heinloth |first=Jochen |title=Lectures on the Moduli Stack of Vector Bundles on a Curve |date=January 29, 2009 |publication-date=2010 |work=Affine Flag Manifolds and Principal Bundles |pages=123–153 |place=Basel |publisher=Springer Basel |doi=10.1007/978-3-0346-0288-4_4 |isbn=978-3-0346-0287-7}}</ref> एक योजना <math>Y \to S</math> के समूह के लिए <math>G</math>-टॉर्स ओवर <math>S</math>-योजना <math>Y</math> के साथ <math>G</math>-समतुल्य नक्शे <math>X</math> के साथ स्पष्ट रूप से एक स्पेस दिए गए <math>X</math> के साथ <math>G</math>-स्पेस दिया गया है, तो स्टैक <math>[X/G]</math> पुलबैक आरेखों के समूह के लिए <math>[X/G](Y) = \begin{Bmatrix} | |||
Z & \xrightarrow{\Phi} & X \\ | Z & \xrightarrow{\Phi} & X \\ | ||
\downarrow & & \downarrow \\ | \downarrow & & \downarrow \\ | ||
Y & \xrightarrow{\phi} & [X/G] | Y & \xrightarrow{\phi} & [X/G] | ||
\end{Bmatrix}</math> | \end{Bmatrix}</math>जहाँ <math>\Phi</math> एक <math>G</math> समरूप रूपांतर है और <math>Z \to Y</math>एक प्रमुख <math>G</math>-बंडल हैं। इस श्रेणी में आकृतिवाद केवल आरेखों के रूपात्मकता है जहाँ दाहिनी ओर के तीर बराबर हैं और बाईं ओर के तीर प्रमुख <math>G</math>-बंडल के आकारिकी हैं। | ||
==== | ==== स्टैक का | ||