भारतीय संख्या प्रणाली: Difference between revisions
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== परिचय == | == परिचय == | ||
अंक हमारे जीवन में आवश्यक हैं। हमारे दिन-प्रतिदिन के लेन-देन में संख्याओं के साथ गिनना आवश्यक है।हमारे देश की जनसँख्या कितनी है?महामारी से कितने सदस्य प्रभावित हैं? शहर में तापमान क्या है? दोनों शहरों के बीच की दूरी कितनी है? दैनिक आवश्यक वस्तुओं की कीमत क्या है? ये हमारे जीवन के हिस्से के रूप में आने वाले प्रश्न हैं। इन सवालों के जवाब संख्या में ही होंगे। | अंक हमारे जीवन में आवश्यक हैं। हमारे दिन-प्रतिदिन के लेन-देन में संख्याओं के साथ गिनना आवश्यक है।हमारे देश की जनसँख्या कितनी है? महामारी से कितने सदस्य प्रभावित हैं? शहर में तापमान क्या है? दोनों शहरों के बीच की दूरी कितनी है? दैनिक आवश्यक वस्तुओं की कीमत क्या है? ये हमारे जीवन के हिस्से के रूप में आने वाले प्रश्न हैं। इन सवालों के जवाब [[संख्या]] में ही होंगे। | ||
आइए देखें कि ये संख्याएँ क्या हैं और इनकी उत्पत्ति कैसे हुई? | आइए देखें कि ये संख्याएँ क्या हैं और इनकी उत्पत्ति कैसे हुई? | ||
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== भारतीय अंक == | == भारतीय अंक == | ||
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भारत का हजारों साल | भारत का एक बहुत प्राचीन इतिहास है जो हजारों साल पुराना है।<ref>"भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन,2021. <nowiki>ISBN 978-81-951757-2-7</nowiki>।"(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1. Samskrit Promotion Foundation. 2021. <nowiki>ISBN 978-81-951757-2-7</nowiki>.)</ref> उन दिनों संस्कृत का ही प्रयोग होता था। | ||
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जब यूनानियों के पास असंख्य (10<sup>4</sup>) से अधिक संप्रदायों के लिए कोई शब्दावली नहीं थी और रोमनों के पास सहस्त्र(10<sup>3</sup>) से अधिक नहीं थी, तब तक भारत में अठारह विशिष्ट संप्रदाय (10<sup>18</sup>)<ref>"जवाहरलाल नेहरू, डिस्कवरी ऑफ इंडिया। नई दिल्ली: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस। पृष्ठ। 116."(JAWAHARLAL NEHRU , The Discovery of India. New Delhi: Oxford University Press. p. 116.)</ref>के साथ स्वतंत्र रूप से व्यवहार कर लिया था । आधुनिक समय में भी, किसी अन्य राष्ट्र की अंक भाषा उतनी वैज्ञानिक और परिपूर्ण नहीं है जितनी कि हिंदुओं की। | |||
यजुर्वेद [[संहिता]] (वाजसनेयी) में अंकों के संप्रदायों की निम्नलिखित सूची दी गई है: एक (1), दशा (10), शता (100), सहस्र (1000), आयुत (10,000), नियुत (100,000), प्रायुत (1,000,000) ), अर्बुद (10,000,000), न्यर्बुद (100,000,000), समुद्र (1,000,000,000), मध्य (10,000,000,000), अंत (100,000,000,000), परार्ध (1,000,000,000,000)। | |||
एक ही सूची तैत्तिरीय संहिता में दो स्थानों पर मिलती है। | एक ही सूची तैत्तिरीय संहिता में दो स्थानों पर मिलती है।<ref>"दत्ता, विभूतिभूषण; नारायण सिंह, अवधेश (1962)। हिंदू गणित का इतिहास। मुंबई: एशिया पब्लिशिंग हाउस।"(Datta, Bibhutibhusan; Narayan Singh, Avadhesh (1962). History of Hindu Mathematics. Mumbai: Asia Publishing House.)</ref> | ||
== दशमलव स्थानीय मान प्रणाली == | == दशमलव स्थानीय मान प्रणाली == | ||
[[File:Values of digits in the Decimal numeral system-es.svg|thumb|248x248px|दशमलव स्थान मान प्रणाली]] | [[File:Values of digits in the Decimal numeral system-es.svg|thumb|248x248px|दशमलव स्थान मान प्रणाली]] | ||
[[आर्यभट्ट|आर्यभट]] स्थानीय मान प्रणाली की व्याख्या करने के लिए '''स्थानत स्थानं दशगुणं स्यात्''<nowiki/>' वाक्यांश का उपयोग करता है। इसका अर्थ है "एक स्थान से दूसरे स्थान की संख्या पूर्ववर्ती संख्या से दस गुना है।" स्थानीय मान प्रणाली को समझने के लिए, अंक जब दाएं से बाएं रखे जाते हैं तो एक निश्चित स्थान | [[आर्यभट्ट|आर्यभट]] स्थानीय मान प्रणाली की व्याख्या करने के लिए '''स्थानत स्थानं दशगुणं स्यात्''<nowiki/>' वाक्यांश का उपयोग करता है। इसका अर्थ है "एक स्थान से दूसरे स्थान की संख्या पूर्ववर्ती संख्या से दस गुना है।" स्थानीय मान प्रणाली को समझने के लिए, अंक जब दाएं से बाएं रखे जाते हैं तो एक निश्चित स्थान ग्रहण कर लेते हैं। दायें से शुरू करते हुए, पहला अंक पहले स्थान पर होगा, दूसरा अंक दूसरे स्थान पर, तीसरा अंक तीसरे स्थान पर रहेगा और इसी तरह। दूसरे स्थान से आगे प्रत्येक स्थान का मान दस बढ़ जाता है। अत: दाहिनी ओर से एक स्थान की दूरी पर रखे गए प्रत्येक अंक का मान दस गुना बढ़ जाता है। चूंकि अंकों का मान दस से बढ़ जाता है, इसलिए इसे 'दशमलव' स्थानीय मान प्रणाली कहा जाता है। | ||
उदाहरण के लिए संख्या 567 पर विचार करें जो 500 + 60 +7 = 5 X 100 + 6 X 10 + 7 X 1 के बराबर है। | उदाहरण के लिए संख्या 567 पर विचार करें जो 500 + 60 +7 = 5 X 100 + 6 X 10 + 7 X 1 के बराबर है। | ||
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आर्यभट प्रथम (499) स्थिति के नामों पर कहते हैं "''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), ''दश'' (10<sup>1</sup> दस), ''शत'' (10<sup>2</sup> सौ), ''सहस्र'' (10<sup>3</sup> हजार), ''आयुत'' (10<sup>4</sup> दस हजार), ''नियुत (''10<sup>5</sup> सौ हजार) ), ''प्रायुत'' (10<sup>6</sup> मिलियन), '' | [[आर्यभट्ट|आर्यभट]] प्रथम (499) स्थिति के नामों पर कहते हैं "''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), ''दश'' (10<sup>1</sup> दस), ''शत'' (10<sup>2</sup> सौ), ''सहस्र'' (10<sup>3</sup> हजार), ''आयुत'' (10<sup>4</sup> दस हजार), ''नियुत (''10<sup>5</sup> सौ हजार) ), ''प्रायुत'' (10<sup>6</sup> मिलियन), ''कोटि'' (10<sup>7</sup> दस मिलियन), ''अर्बुद'' (10<sup>8</sup> सौ मिलियन) और ''वृंदा'' (10<sup>9</sup> हजार मिलियन) क्रमशः एक स्थान से दूसरे स्थान पर पिछले दस गुना हैं"। | ||
श्रीधर (750) ने निम्नलिखित नाम दिए हैं: ''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), '' | [[श्रीधर]] (750) ने निम्नलिखित नाम दिए हैं: ''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), ''दश'' (10<sup>1</sup> दस), ''शत'' (10<sup>2</sup> सौ), ''सहस्र'' (10<sup>3</sup> हजार), ''आयुत'' (10<sup>4</sup> दस हजार), ''लाख'' (10<sup>5</sup> लाख), ''प्रायुत'' (10<sup>6</sup> दस लाख),''कोटि'' (10<sup>7</sup> करोड़), ''अर्बुद'' (10<sup>8</sup> दस करोड़), ''अब्जा'' (10<sup>9</sup> सौ करोड़), ''खर्व'' (10<sup>10</sup> हजार करोड़), ''निखर्व'' (10<sup>11</sup> दस हजार करोड़), ''महासरोजा'' (10<sup>12</sup> एक लाख करोड़),''शङ्कु'' (10<sup>13</sup>दस लाख करोड़), ''सरिता-पति'' (10<sup>14</sup> करोड़ करोड़), ''अंत्य'' (10<sup>15</sup> दस करोड़ करोड़), ''मध्य'' (10<sup>16</sup> सौ करोड़ करोड़), ''परार्ध'' (10<sup>17</sup> हजार करोड़ करोड़)। | ||
[[महावीर]] (850) चौबीस स्थान प्रदान करते हैं: ''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), ''दशा'' (10<sup>1</sup> दस), ''शता'' (10<sup>2</sup> सौ), ''सहस्र'' (10<sup>3</sup> हजार), ''दशा-सहस्र'' (10<sup>4</sup> दस हजार), ''लाख'' (10<sup>5</sup> लाख), ''दश-लक्ष'' (10<sup>6</sup> दस लाख), '' | [[महावीर]] (850) चौबीस स्थान प्रदान करते हैं: ''एक'' (10<sup>0</sup> इकाई), ''दशा'' (10<sup>1</sup> दस), ''शता'' (10<sup>2</sup> सौ), ''सहस्र'' (10<sup>3</sup> हजार), ''दशा-सहस्र'' (10<sup>4</sup> दस हजार), ''लाख'' (10<sup>5</sup> लाख), ''दश-लक्ष'' (10<sup>6</sup> दस लाख), ''कोटि'' (10<sup>7</sup> करोड़), ''दश-कोटि'' (10<sup>8</sup> दस करोड़), ''शता-कोटि'' (10<sup>9</sup> सौ करोड़), ''अर्बुद'' (10<sup>10</sup> हजार करोड़), ''न्यर्बुद'' (10<sup>11</sup> दस हजार करोड़), ''खरवा'' ( 10<sup>12</sup> एक लाख करोड़), ''महाखर्व'' (10<sup>13</sup> दस लाख करोड़), ''पद्म'' (10<sup>14</sup> करोड़ करोड़), ''महा-पद्म'' (10<sup>15</sup> दस करोड़ करोड़), ''क्षोणि'' (10<sup>16</sup> सौ करोड़ करोड़), ''महा-क्षोणि'' (10<sup>17</sup> हजार करोड़ रुपये) करोड़), शङ्क(10<sup>18</sup>), ''महा-शङ्क'' (10<sup>19</sup>), ''क्षिति'' (10<sup>20</sup>), ''महा-क्षिति''(10<sup>21</sup>), ''क्षोभ'' (10<sup>22</sup>), ''महा-क्षोभ'' (10<sup>23</sup>)। | ||
== हिंदू महाकाव्यों में संख्यकिन प्रणाली == | |||
भारत के विभिन्न प्राचीन महाकाव्य साहित्य (इतिहास) में संख्या की विभिन्न प्रणालियाँ पाई जाती हैं। निम्न तालिका वाल्मीकि रामायण में प्रयुक्त एक ऐसी प्रणाली देती है।<ref>"वाल्मीकि रामायण - युद्ध कांड, अध्याय (सर्ग) 28, (श्लोक 33-38)"["[http://valmikiramayan.pcriot.com/utf8/yuddha/sarga28/yuddha_28_frame.htm Valmiki Ramayana - Yuddha Kanda, Chapter (Sarga) 28,(Verses 33 – 38)"]]</ref> | |||
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!Indian Notation | |||
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Notation | |||
!Indian System | |||
|- | |||
|एक (''eka'') | |||
|<small>1</small> | |||
|10<sup>0</sup> | |||
|एक | |||
|- | |||
|दश (''daśa'') | |||
|<small>10</small> | |||
|10<sup>1</sup> | |||
|दस | |||
|- | |||
|शत (''śata'') | |||
|<small>100</small> | |||
|10<sup>2</sup> | |||
|एक सौ | |||
|- | |||
|सहस्र (''sahasra'') | |||
|<small>1,000</small> | |||
|10<sup>3</sup> | |||
|एक हजार | |||
|- | |||
|लक्ष (''lakṣa'') | |||
|<small>1,00,000</small> | |||
|10<sup>5</sup> | |||
|एक लाख | |||
|- | |||
|कोटि (''koṭi'') | |||
|<small>1,00,000 ''śata''</small> | |||
|10<sup>7</sup> | |||
|एक करोड़ | |||
|- | |||
|शङ्कु (''śaṅku'') | |||
|<small>1,00,000 ''koṭi''</small> | |||
|10<sup>12</sup> | |||
|एक लाख करोड़ | |||
|- | |||
|महाशङ्कु (''mahāśaṅku'') | |||
|<small>1,00,000 ''śaṅku''</small> | |||
|10<sup>17</sup> | |||
|एक हजार करोड़ करोड़ | |||
|- | |||
|वृन्द (''vr̥nda'') | |||
|<small>1,00,000 ''mahāśaṅku''</small> | |||
|10<sup>22</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|महावृन्द (''mahāvr̥nda'') | |||
|<small>1,00,000 ''vr̥nda''</small> | |||
|10<sup>27</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|पद्म (''padma'') | |||
|<small>1,00,000 ''mahāvr̥nda''</small> | |||
|10<sup>32</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|महापद्म (''mahāpadma'') | |||
|<small>1,00,000 ''padma''</small> | |||
|10<sup>37</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|खर्व (''kharva'') | |||
|<small>1,00,000 ''mahāpadma''</small> | |||
|10<sup>42</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|महाखर्व (''mahākharva'') | |||
|<small>1,00,000 ''kharva''</small> | |||
|10<sup>47</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|समुद्र (''samudra'') | |||
|<small>1,00,000 ''mahākharva''</small> | |||
|10<sup>52</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|ओघ (''ogha'') | |||
|<small>1,00,000 ''samudra''</small> | |||
|10<sup>57</sup> | |||
| | |||
|- | |||
|महौघ (''mahaugha'') | |||
|<small>1,00,000 ''ogha''</small> | |||
|10<sup>62</sup> | |||
| | |||
|} | |||
== बाहरी संपर्क == | == बाहरी संपर्क == | ||
* [http://Decimal Number System Decimal Number System] | |||
* [https://www.isical.ac.in/~amartya/decimalsystem_springeronline%20(1).pdf Indian Numerals] | |||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
| Line 107: | Line 209: | ||
== संदर्भ == | == संदर्भ == | ||
<references /> | <references /> | ||
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[[Category:अंकगणित]] | [[Category:अंकगणित]] | ||
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Latest revision as of 09:49, 18 October 2022
Indian Number System | |
|---|---|
 |
परिचय
अंक हमारे जीवन में आवश्यक हैं। हमारे दिन-प्रतिदिन के लेन-देन में संख्याओं के साथ गिनना आवश्यक है।हमारे देश की जनसँख्या कितनी है? महामारी से कितने सदस्य प्रभावित हैं? शहर में तापमान क्या है? दोनों शहरों के बीच की दूरी कितनी है? दैनिक आवश्यक वस्तुओं की कीमत क्या है? ये हमारे जीवन के हिस्से के रूप में आने वाले प्रश्न हैं। इन सवालों के जवाब संख्या में ही होंगे।
आइए देखें कि ये संख्याएँ क्या हैं और इनकी उत्पत्ति कैसे हुई?
पहले अंक से गिनती शुरू होती है। 'शून्य' एक संख्या है जो अंक 'एक' से पहले आती है।
0 से 9 तक की जिन संख्याओं को हम गिनने के लिए उपयोग करते हैं उनका एक दिलचस्प इतिहास है।
भारतीय अंक
भारत का एक बहुत प्राचीन इतिहास है जो हजारों साल पुराना है।[1] उन दिनों संस्कृत का ही प्रयोग होता था।
| अंक | संस्कृत नाम | अंक | संस्कृत नाम |
|---|---|---|---|
| 1 | एकम् | 10+1 = 11 | एकादश |
| 2 | द्वे | 10+5 = 15 | पञ्चदश |
| 3 | त्रीणि | 10+10 =20 | विंशतिः |
| 4 | चत्वारि | 50 | पञ्चाशत् |
| 5 | पञ्च | 100 | शतम् |
| 6 | षट् | ||
| 7 | सप्त | ||
| 8 | अष्ट | ||
| 9 | नव | ||
| 10 | दश |
जब यूनानियों के पास असंख्य (104) से अधिक संप्रदायों के लिए कोई शब्दावली नहीं थी और रोमनों के पास सहस्त्र(103) से अधिक नहीं थी, तब तक भारत में अठारह विशिष्ट संप्रदाय (1018)[2]के साथ स्वतंत्र रूप से व्यवहार कर लिया था । आधुनिक समय में भी, किसी अन्य राष्ट्र की अंक भाषा उतनी वैज्ञानिक और परिपूर्ण नहीं है जितनी कि हिंदुओं की।
यजुर्वेद संहिता (वाजसनेयी) में अंकों के संप्रदायों की निम्नलिखित सूची दी गई है: एक (1), दशा (10), शता (100), सहस्र (1000), आयुत (10,000), नियुत (100,000), प्रायुत (1,000,000) ), अर्बुद (10,000,000), न्यर्बुद (100,000,000), समुद्र (1,000,000,000), मध्य (10,000,000,000), अंत (100,000,000,000), परार्ध (1,000,000,000,000)।
एक ही सूची तैत्तिरीय संहिता में दो स्थानों पर मिलती है।[3]
दशमलव स्थानीय मान प्रणाली
आर्यभट स्थानीय मान प्रणाली की व्याख्या करने के लिए 'स्थानत स्थानं दशगुणं स्यात्' वाक्यांश का उपयोग करता है। इसका अर्थ है "एक स्थान से दूसरे स्थान की संख्या पूर्ववर्ती संख्या से दस गुना है।" स्थानीय मान प्रणाली को समझने के लिए, अंक जब दाएं से बाएं रखे जाते हैं तो एक निश्चित स्थान ग्रहण कर लेते हैं। दायें से शुरू करते हुए, पहला अंक पहले स्थान पर होगा, दूसरा अंक दूसरे स्थान पर, तीसरा अंक तीसरे स्थान पर रहेगा और इसी तरह। दूसरे स्थान से आगे प्रत्येक स्थान का मान दस बढ़ जाता है। अत: दाहिनी ओर से एक स्थान की दूरी पर रखे गए प्रत्येक अंक का मान दस गुना बढ़ जाता है। चूंकि अंकों का मान दस से बढ़ जाता है, इसलिए इसे 'दशमलव' स्थानीय मान प्रणाली कहा जाता है।
उदाहरण के लिए संख्या 567 पर विचार करें जो 500 + 60 +7 = 5 X 100 + 6 X 10 + 7 X 1 के बराबर है।
| 5 | 6 | 7 |
| ↑ | ↑ | ↑ |
| सैकड़ों | दसियों | इकाइयों |
आर्यभट प्रथम (499) स्थिति के नामों पर कहते हैं "एक (100 इकाई), दश (101 दस), शत (102 सौ), सहस्र (103 हजार), आयुत (104 दस हजार), नियुत (105 सौ हजार) ), प्रायुत (106 मिलियन), कोटि (107 दस मिलियन), अर्बुद (108 सौ मिलियन) और वृंदा (109 हजार मिलियन) क्रमशः एक स्थान से दूसरे स्थान पर पिछले दस गुना हैं"।
श्रीधर (750) ने निम्नलिखित नाम दिए हैं: एक (100 इकाई), दश (101 दस), शत (102 सौ), सहस्र (103 हजार), आयुत (104 दस हजार), लाख (105 लाख), प्रायुत (106 दस लाख),कोटि (107 करोड़), अर्बुद (108 दस करोड़), अब्जा (109 सौ करोड़), खर्व (1010 हजार करोड़), निखर्व (1011 दस हजार करोड़), महासरोजा (1012 एक लाख करोड़),शङ्कु (1013दस लाख करोड़), सरिता-पति (1014 करोड़ करोड़), अंत्य (1015 दस करोड़ करोड़), मध्य (1016 सौ करोड़ करोड़), परार्ध (1017 हजार करोड़ करोड़)।
महावीर (850) चौबीस स्थान प्रदान करते हैं: एक (100 इकाई), दशा (101 दस), शता (102 सौ), सहस्र (103 हजार), दशा-सहस्र (104 दस हजार), लाख (105 लाख), दश-लक्ष (106 दस लाख), कोटि (107 करोड़), दश-कोटि (108 दस करोड़), शता-कोटि (109 सौ करोड़), अर्बुद (1010 हजार करोड़), न्यर्बुद (1011 दस हजार करोड़), खरवा ( 1012 एक लाख करोड़), महाखर्व (1013 दस लाख करोड़), पद्म (1014 करोड़ करोड़), महा-पद्म (1015 दस करोड़ करोड़), क्षोणि (1016 सौ करोड़ करोड़), महा-क्षोणि (1017 हजार करोड़ रुपये) करोड़), शङ्क(1018), महा-शङ्क (1019), क्षिति (1020), महा-क्षिति(1021), क्षोभ (1022), महा-क्षोभ (1023)।
हिंदू महाकाव्यों में संख्यकिन प्रणाली
भारत के विभिन्न प्राचीन महाकाव्य साहित्य (इतिहास) में संख्या की विभिन्न प्रणालियाँ पाई जाती हैं। निम्न तालिका वाल्मीकि रामायण में प्रयुक्त एक ऐसी प्रणाली देती है।[4]
| Name | Indian Notation | Power
Notation |
Indian System |
|---|---|---|---|
| एक (eka) | 1 | 100 | एक |
| दश (daśa) | 10 | 101 | दस |
| शत (śata) | 100 | 102 | एक सौ |
| सहस्र (sahasra) | 1,000 | 103 | एक हजार |
| लक्ष (lakṣa) | 1,00,000 | 105 | एक लाख |
| कोटि (koṭi) | 1,00,000 śata | 107 | एक करोड़ |
| शङ्कु (śaṅku) | 1,00,000 koṭi | 1012 | एक लाख करोड़ |
| महाशङ्कु (mahāśaṅku) | 1,00,000 śaṅku | 1017 | एक हजार करोड़ करोड़ |
| वृन्द (vr̥nda) | 1,00,000 mahāśaṅku | 1022 | |
| महावृन्द (mahāvr̥nda) | 1,00,000 vr̥nda | 1027 | |
| पद्म (padma) | 1,00,000 mahāvr̥nda | 1032 | |
| महापद्म (mahāpadma) | 1,00,000 padma | 1037 | |
| खर्व (kharva) | 1,00,000 mahāpadma | 1042 | |
| महाखर्व (mahākharva) | 1,00,000 kharva | 1047 | |
| समुद्र (samudra) | 1,00,000 mahākharva | 1052 | |
| ओघ (ogha) | 1,00,000 samudra | 1057 | |
| महौघ (mahaugha) | 1,00,000 ogha | 1062 |
बाहरी संपर्क
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ "भारतीय गणितम के लिए एक प्राइमर, भारतीय-गणित-प्रवेश- भाग -1। संस्कृत प्रमोशन फाउंडेशन,2021. ISBN 978-81-951757-2-7।"(A Primer to Bhāratīya Gaṇitam , Bhāratīya-Gaṇita-Praveśa- Part-1. Samskrit Promotion Foundation. 2021. ISBN 978-81-951757-2-7.)
- ↑ "जवाहरलाल नेहरू, डिस्कवरी ऑफ इंडिया। नई दिल्ली: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस। पृष्ठ। 116."(JAWAHARLAL NEHRU , The Discovery of India. New Delhi: Oxford University Press. p. 116.)
- ↑ "दत्ता, विभूतिभूषण; नारायण सिंह, अवधेश (1962)। हिंदू गणित का इतिहास। मुंबई: एशिया पब्लिशिंग हाउस।"(Datta, Bibhutibhusan; Narayan Singh, Avadhesh (1962). History of Hindu Mathematics. Mumbai: Asia Publishing House.)
- ↑ "वाल्मीकि रामायण - युद्ध कांड, अध्याय (सर्ग) 28, (श्लोक 33-38)"["Valmiki Ramayana - Yuddha Kanda, Chapter (Sarga) 28,(Verses 33 – 38)"]
