आव्यूह अपघटन: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, कुशल आव्यूह [[कलन विधि]] को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, कुशल आव्यूह [[कलन विधि]] को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।


उदाहरण के लिए, [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> को हल करते समय, आव्यूह A को एलयू अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। एलयू अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स|ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह]] U में गुणनखंड करता है। प्रणाली <math>L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}</math> तथा <math>U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}</math> मूल प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।
उदाहरण के लिए, [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> को हल करते समय, आव्यूह A को LU अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। LU अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स|ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह]] U में गुणनखंड करता है। प्रणाली <math>L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}</math> तथा <math>U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}</math> मूल प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।


इसी तरह, [[क्यूआर अपघटन]] A को QR के रूप में Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली ''Q''(''R'''''x''') = '''b''' को ''R'''''x''' = ''Q''<sup>T</sup>'''b''' = '''c''' द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली ''R''x = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूआर अपघटन [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है।
इसी तरह, [[क्यूआर अपघटन|QR अपघटन]] A को QR के रूप में Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली ''Q''(''R'''''x''') = '''b''' को ''R'''''x''' = ''Q''<sup>T</sup>'''b''' = '''c''' द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली ''R''x = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि QR अपघटन [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है।


== रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन ==
== रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन ==


=== एलयू अपघटन ===
=== LU अपघटन ===
{{main|एलयू वियोजन}}
{{main|एलयू वियोजन}}
*परंपरागत रूप से प्रयोज्य: [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग]] आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।<ref>{{Cite book|last=Lay|first=David C.|url=https://www.worldcat.org/oclc/920463015|title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|date=2016|others=Steven R. Lay, Judith McDonald|isbn=978-1-292-09223-2|edition=Fifth Global|location=Harlow|pages=142|oclc=920463015}}</ref><ref group="nb">If a non-square matrix is used, however, then the matrix ''U'' will also have the same rectangular shape as the original matrix ''A''. And so, calling the matrix ''U'' would be incorrect as the correct term would be that ''U'' is the 'row echelon form' of ''A''. Other than this, there are no differences in LU factorization for square and non-square matrices.</ref>
*परंपरागत रूप से प्रयोज्य: [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग]] आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।<ref>{{Cite book|last=Lay|first=David C.|url=https://www.worldcat.org/oclc/920463015|title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|date=2016|others=Steven R. Lay, Judith McDonald|isbn=978-1-292-09223-2|edition=Fifth Global|location=Harlow|pages=142|oclc=920463015}}</ref><ref group="nb">If a non-square matrix is used, however, then the matrix ''U'' will also have the same rectangular shape as the original matrix ''A''. And so, calling the matrix ''U'' would be incorrect as the correct term would be that ''U'' is the 'row echelon form' of ''A''. Other than this, there are no differences in LU factorization for square and non-square matrices.</ref>
* अपघटन: <math>A=LU</math>, जहां L निम्नतर [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय]] आव्यूह तथा U उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह है।
* अपघटन: <math>A=LU</math>, जहां L निम्नतर [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय]] आव्यूह तथा U उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह है।
*संबंधित: एलडीयू अपघटन <math>A=LDU</math>  है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह और D एक विकर्ण आव्यूह है।
*संबंधित: एलडीयू अपघटन <math>A=LDU</math>  है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह और D एक विकर्ण आव्यूह है।
*संबंधित: एलयूपी अपघटन <math>PA=LU</math> है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
*संबंधित: LUपी अपघटन <math>PA=LU</math> है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
*अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक एलयूपी अपघटन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में न्यूनीकृत हो जाता है।
*अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक LUP अपघटन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो LUP अपघटन में न्यूनीकृत हो जाता है।
*टिप्पणियां:एलयूपी और एलयू अपघटन रैखिक समीकरणों <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये अपघटन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह पी गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P  =  I होता है, इसलिए LU अपघटन उपस्थित होती है।
*टिप्पणियां: LUP और LU अपघटन रैखिक समीकरणों <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये अपघटन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह P गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P  =  I होता है, इसलिए LU अपघटन उपस्थित होती है।


=== एलयू न्यूनीकरण ===
=== LU न्यूनीकरण ===
{{main|एलयू न्यूनीकरण}}
{{main|LU न्यूनीकरण}}


=== ब्लॉक एलयू अपघटन ===
=== ब्लॉक LU अपघटन ===
{{main|ब्लॉक एलयू वियोजन}}
{{main|ब्लॉक LU वियोजन}}


=== श्रेणी गुणनखंडन ===
=== श्रेणी गुणनखंडन ===
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*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
*टिप्पणी: यदि <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> में सभी वास्तविक तत्व हैं।
*टिप्पणी: यदि <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> में सभी वास्तविक तत्व हैं।
*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन]] अपघटन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।
*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन|LDL अपघटन]] अपघटन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।


=== क्यूआर अपघटन ===
=== QR अपघटन ===
{{main|क्यूआर अपघटन}}
{{main|QR अपघटन}}
*इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन आव्यूह<math>A</math>
*इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन आव्यूह<math>A</math>
* अपघटन: <math>A=QR</math> जहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक]] आव्यूह है, और <math>R</math> एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है
* अपघटन: <math>A=QR</math> जहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक]] आव्यूह है, और <math>R</math> एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है
*विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक|आव्यूह श्रेणी]] का है, तो वहाँ एकल <math>R</math> उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि <math>A</math> वर्गाकार है, तो <math>Q</math> भी अद्वितीय है।
*विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक|आव्यूह श्रेणी]] का है, तो वहाँ एकल <math>R</math> उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि <math>A</math> वर्गाकार है, तो <math>Q</math> भी अद्वितीय है।
*टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरण <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि <math>Q</math> लांबिक है इसका अर्थ है कि <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math> है जिससे कि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>,  के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि <math>R</math> त्रिकोणीय आव्यूह है।
*टिप्पणी: QR अपघटन समीकरण <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि <math>Q</math> लांबिक है इसका अर्थ है कि <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math> है जिससे कि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>,  के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि <math>R</math> त्रिकोणीय आव्यूह है।


=== आरआरक्यूआर कारककरण ===
=== आरआरQR कारककरण ===
{{main|आरआरक्यूआर कारककरण}}
{{main|आरआरक्यूआर कारककरण}}


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*टिप्पणी: इस अपघटन के जटिल और वास्तविक दो संस्करण हैं।
*टिप्पणी: इस अपघटन के जटिल और वास्तविक दो संस्करण हैं।
* अपघटन (जटिल संस्करण): <math>A=QSZ^*</math> और <math>B=QTZ^*</math> जहाँ Q और Z एकात्मक मैट्रिसेस हैं, * सुपरस्क्रिप्ट संयुग्मी संक्रमण का प्रतिनिधित्व करता है और S और T ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस हैं।
* अपघटन (जटिल संस्करण): <math>A=QSZ^*</math> और <math>B=QTZ^*</math> जहाँ Q और Z एकात्मक मैट्रिसेस हैं, * सुपरस्क्रिप्ट संयुग्मी संक्रमण का प्रतिनिधित्व करता है और S और T ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस हैं।
*टिप्पणी: जटिल क्यूजेड अपघटन में, S के विकर्ण तत्वों के <math>\lambda_i = S_{ii}/T_{ii}</math> के संगत विकर्ण तत्वों के अनुपात सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू ​​​​हैं जो सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू समस्या <math>A \mathbf{v} = \lambda B \mathbf{v}</math> को हल करते हैं (जहां <math>\lambda</math> एक अज्ञात अदिश है और v एक अज्ञात अशून्य वेक्टर है)।
*टिप्पणी: जटिल QZ अपघटन में, S के विकर्ण तत्वों के <math>\lambda_i = S_{ii}/T_{ii}</math> के संगत विकर्ण तत्वों के अनुपात सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू ​​​​हैं जो सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू समस्या <math>A \mathbf{v} = \lambda B \mathbf{v}</math> को हल करते हैं (जहां <math>\lambda</math> एक अज्ञात अदिश है और v एक अज्ञात अशून्य वेक्टर है)।
* अपघटन (वास्तविक संस्करण): <math>A=QSZ^\mathsf{T}</math> और <math>B=QTZ^\mathsf{T}</math> जहाँ A, B, Q, Z, S और T केवल वास्तविक संख्या वाले आव्यूह हैं। इस स्थिति में Q और Z लाम्बिक मेट्रिसेस हैं तथा T सुपरस्क्रिप्ट स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है और S और T ब्लॉक उच्चतर त्रिकोणीय मैट्रिसेस हैं। S और T के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 या 2×2 हैं।
* अपघटन (वास्तविक संस्करण): <math>A=QSZ^\mathsf{T}</math> और <math>B=QTZ^\mathsf{T}</math> जहाँ A, B, Q, Z, S और T केवल वास्तविक संख्या वाले आव्यूह हैं। इस स्थिति में Q और Z लाम्बिक मेट्रिसेस हैं तथा T सुपरस्क्रिप्ट स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है और S और T ब्लॉक उच्चतर त्रिकोणीय मैट्रिसेस हैं। S और T के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 या 2×2 हैं।


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*इसके लिए प्रयोज्य: एम-बाय-एन आव्यूह A।
*इसके लिए प्रयोज्य: एम-बाय-एन आव्यूह A।
*ईकाई-माप-अचर एकल-मान अपघटन: <math>A=DUSV^*E</math>, जहां S स्केल-इनवेरिएंट एकल मानों का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक विकर्ण आव्यूह है, U और V एकात्मक मैट्रिसेस हैं, <math>V^*</math> V का संयुग्मित स्थानांतरण तथा धनात्मक विकर्ण मैट्रिसेस D और E है।
*ईकाई-माप-अचर एकल-मान अपघटन: <math>A=DUSV^*E</math>, जहां S स्केल-इनवेरिएंट एकल मानों का एक अद्वितीय गैर-ऋणात्मक विकर्ण आव्यूह है, U और V एकात्मक मैट्रिसेस हैं, <math>V^*</math> V का संयुग्मित स्थानांतरण तथा धनात्मक विकर्ण मैट्रिसेस D और E है।
*टिप्पणी: एसवीडी के अनुरूप है, इसके अतिरिक्त S के विकर्ण तत्व मानक एसवीडी के विपरीत यादृच्छिक ढंग से व्युत्क्रमणीय विकर्ण मैट्रिसेस द्वारा ए के बाएं और/या दाएं गुणा के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, जिसके लिए एकल मान बाएं और/या यादृच्छिक एकात्मक आव्यूहों द्वारा A का सही गुणन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।  
*टिप्पणी: एसवीडी के अनुरूप है, इसके अतिरिक्त S के विकर्ण तत्व मानक एसवीडी के विपरीत यादृच्छिक ढंग से व्युत्क्रमणीय विकर्ण मैट्रिसेस द्वारा A के बाएं और/या दाएं गुणा के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, जिसके लिए एकल मान बाएं और/या यादृच्छिक एकात्मक आव्यूहों द्वारा A का सही गुणन के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।
*टिप्पणी: मानक एसवीडी का एक विकल्प है जब A के एकात्मक परिवर्तनों के स्थान पर विकर्ण के संबंध में व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है।
*टिप्पणी: मानक एसवीडी का एक विकल्प है जब A के एकात्मक परिवर्तनों के स्थान पर विकर्ण के संबंध में व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है।
*विशिष्टता: <math>A</math>  के स्केल-इनवेरिएंट एकल मान (एस के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए) सदैव विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। विकर्ण मैट्रिसेस D और E और एकात्मक ''U'' और ''V'' सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं हैं।
*विशिष्टता: <math>A</math>  के स्केल-इनवेरिएंट एकल मान (एस के विकर्ण तत्वों द्वारा दिए गए) सदैव विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। विकर्ण मैट्रिसेस D और E और एकात्मक ''U'' और ''V'' सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं हैं।
*टिप्पणी: ''U'' और ''V'' आव्यूह एसवीडी के समान नहीं हैं।
*टिप्पणी: ''U'' और ''V'' आव्यूह SVD के समान नहीं हैं।


अनुरूप स्केल-इनवेरिएंट अपघटन अन्य आव्यूह अपघटनों से प्राप्त किए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए, स्केल-इनवेरिएंट आइगेनवैल्यू प्राप्त करने के लिए।<ref>{{citation|last=Uhlmann |first=J.K. |title=A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations |journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications |year=2018 |volume=239 |issue=2 |pages=781–800 |doi=10.1137/17M113890X }}</ref><ref>{{citation|last=Uhlmann |first=J.K. |title=A Rank-Preserving Generalized Matrix Inverse for Consistency with Respect to Similarity |journal=IEEE Control Systems Letters |issn=2475-1456 |year=2018 |volume=3 |pages=91–95 |doi=10.1109/LCSYS.2018.2854240 |arxiv=1804.07334 |s2cid=5031440 }}</ref>
अनुरूप स्केल-इनवेरिएंट अपघटन अन्य आव्यूह अपघटनों से प्राप्त किए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए, स्केल-इनवेरिएंट आइगेनवैल्यू प्राप्त करने के लिए।<ref>{{citation|last=Uhlmann |first=J.K. |title=A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations |journal=SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications |year=2018 |volume=239 |issue=2 |pages=781–800 |doi=10.1137/17M113890X }}</ref><ref>{{citation|last=Uhlmann |first=J.K. |title=A Rank-Preserving Generalized Matrix Inverse for Consistency with Respect to Similarity |journal=IEEE Control Systems Letters |issn=2475-1456 |year=2018 |volume=3 |pages=91–95 |doi=10.1109/LCSYS.2018.2854240 |arxiv=1804.07334 |s2cid=5031440 }}</ref>
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=== ध्रुवीय अपघटन ===
=== ध्रुवीय अपघटन ===
{{main|ध्रुवीय अपघटन}}
{{main|ध्रुवीय अपघटन}}
*इसके लिए प्रयोज्य: कोई जटिल वर्ग आव्यूह ए।
*इसके लिए प्रयोज्य: कोई जटिल वर्ग आव्यूह A।
* अपघटन: <math>A=UP</math> (दायां ध्रुवीय अपघटन) या <math>A=P'U</math> (बायां ध्रुवीय अपघटन), जहां U एक एकल आव्यूह है और P और P' [[सकारात्मक अर्ध निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक अर्ध निश्चित]] आव्यूह [[हर्मिटियन मेट्रिसेस]] हैं।
* अपघटन: <math>A=UP</math> (दायां ध्रुवीय अपघटन) या <math>A=P'U</math> (बायां ध्रुवीय अपघटन), जहां U एक एकल आव्यूह है और P और P' [[सकारात्मक अर्ध निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक अर्ध निश्चित]] आव्यूह [[हर्मिटियन मेट्रिसेस]] हैं।
*विशिष्टता: <math>P</math> सदैव विशिष्ट और <math>\sqrt{A^*A}</math>  के समान होता है (जो सदैव हेर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध निश्चित होता है)। अगर <math>A</math> व्युत्क्रमणीय है, तो  <math>U</math> विशिष्ट है।
*विशिष्टता: <math>P</math> सदैव विशिष्ट और <math>\sqrt{A^*A}</math>  के समान होता है (जो सदैव हेर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध निश्चित होता है)। अगर <math>A</math> व्युत्क्रमणीय है, तो  <math>U</math> विशिष्ट है।
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{{main|सिंकहॉर्न प्रमेय}}
{{main|सिंकहॉर्न प्रमेय}}
*इसके लिए प्रयोज्य: '''सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वर्ग वास्तविक आव्यूह A।'''
*इसके लिए प्रयोज्य: '''सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वर्ग वास्तविक आव्यूह A।'''
* अपघटन: <math>A=D_{1}SD_{2}</math>, जहां S [[दोगुना स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स|दोगुना प्रसंभाव्यता]] आव्यूह है तथा D<sub>1</sub> और D2 सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वास्तविक विकर्ण मैट्रिसेस हैं।
* अपघटन: <math>A=D_{1}SD_{2}</math>, जहां S [[दोगुना स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स|दोगुना प्रसंभाव्यता]] आव्यूह है तथा D<sub>1</sub> और D<sub>2</sub> सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वास्तविक विकर्ण मैट्रिसेस हैं।


=== क्षेत्रीय अपघटन ===
=== क्षेत्रीय अपघटन ===
*इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग, जटिल आव्यूह A [[संख्यात्मक सीमा|संख्यात्मक श्रेणी]] के साथ क्षेत्र <math>S_\alpha = \left\{r e^{i \theta} \in \mathbb{C} \mid r> 0, |\theta| \le \alpha < \frac{\pi}{2}\right\}</math> में समाहित है।
*इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग, जटिल आव्यूह A [[संख्यात्मक सीमा|संख्यात्मक श्रेणी]] के साथ क्षेत्र <math>S_\alpha = \left\{r e^{i \theta} \in \mathbb{C} \mid r> 0, |\theta| \le \alpha < \frac{\pi}{2}\right\}</math> में समाहित है।
* अपघटन: <math>A = CZC^*</math>, जहां C एक व्युत्क्रमणीय जटिल आव्यूह है और <math>Z = \operatorname{diag}\left(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}\right)</math> सभी  <math>\left|\theta_j\right| \le \alpha </math>. के साथ है।<ref name=Zhang2014>{{cite journal|last1=Zhang|first1=Fuzhen|title=एक मैट्रिक्स अपघटन और इसके अनुप्रयोग|journal=Linear and Multilinear Algebra|volume=63|issue=10|date=30 June 2014|pages=2033–2042|doi=10.1080/03081087.2014.933219|s2cid=19437967 |url=https://zenodo.org/record/851661}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Drury|first1=S.W.|title=Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=November 2013|volume=439|issue=10|pages=3129–3133|doi=10.1016/j.laa.2013.08.031|doi-access=free}}</ref>
* अपघटन: <math>A = CZC^*</math>, जहां C एक व्युत्क्रमणीय जटिल आव्यूह है और <math>Z = \operatorname{diag}\left(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}\right)</math> सभी  <math>\left|\theta_j\right| \le \alpha </math>. के साथ है।<ref name=Zhang2014>{{cite journal|last1=Zhang|first1=Fuzhen|title=एक मैट्रिक्स अपघटन और इसके अनुप्रयोग|journal=Linear and Multilinear Algebra|volume=63|issue=10|date=30 June 2014|pages=2033–2042|doi=10.1080/03081087.2014.933219|s2cid=19437967 |url=https://zenodo.org/record/851661}}</ref><ref>{{cite journal|last1=Drury|first1=S.W.|title=Fischer determinantal inequalities and Highamʼs Conjecture|journal=Linear Algebra and Its Applications|date=November 2013|volume=439|issue=10|pages=3129–3133|doi=10.1016/j.laa.2013.08.031|doi-access=free}}</ref>


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== सामान्यीकरण ==
== सामान्यीकरण ==
{{Expand section|1=examples and additional citations|date=December 2014}}
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एसवीडी, क्यूआर, एलयू और चॉल्स्की गुणनखंडों के एनालॉग उपस्थित हैं जो क्वासिमेट्रिक्स और सेमीमैट्रिसेस या सतत मैट्रिसेस के लिए हैं।<ref>{{harvnb|Townsend|Trefethen|2015}}</ref> एक 'क्वासिआव्यूह' एक आव्यूह की तरह एक आयताकार योजना है जिसके तत्व अनुक्रमित होते हैं किन्तु एक असतत सूचकांक को निरंतर सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी प्रकार से एक 'सेआव्यूह', दोनों सूचकांकों में सतत है। एक सेमेट्रिक्स के उदाहरण के रूप में एक अभिन्न ऑपरेटर के कर्नेल के विषय में सोच सकते हैं।
SVD, QR, LU और चॉल्स्की गुणनखंडों के एनालॉग उपस्थित हैं जो क्वासिमेट्रिक्स और सेमीमैट्रिसेस या सतत मैट्रिसेस के लिए हैं।<ref>{{harvnb|Townsend|Trefethen|2015}}</ref> एक 'क्वासिआव्यूह' एक आव्यूह की तरह एक आयताकार योजना है जिसके तत्व अनुक्रमित होते हैं किन्तु एक असतत सूचकांक को निरंतर सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी प्रकार से एक 'से आव्यूह', दोनों सूचकांकों में सतत है। एक सेमेट्रिक्स के उदाहरण के रूप में एक अभिन्न ऑपरेटर के कर्नेल के विषय में सोच सकते हैं।


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Latest revision as of 14:03, 14 June 2023

Not to be confused with बहुपद का मैट्रिक्स गुणनखंडन.

रेखीय बीजगणित के गणितीय विद्याशाखा में, आव्यूह अपघटन या आव्यूह गुणनखंड आव्यूह के गुणनफल में एक आव्यूह का गुणनखंडन है। समस्याओं के एक विशेष वर्ग के मध्य अनेक भिन्न-भिन्न आव्यूह अपघटन होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का उपयोग होता है।

उदाहरण

संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल आव्यूह कलन विधि को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय, आव्यूह A को LU अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। LU अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U में गुणनखंड करता है। प्रणाली तथा मूल प्रणाली , की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।

इसी तरह, QR अपघटन A को QR के रूप में Q लांबिक आव्यूह और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली Q(Rx) = b को Rx = QTb = c द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली Rx = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि QR अपघटन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन

LU अपघटन

Main article: एलयू वियोजन
  • परंपरागत रूप से प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।[1][nb 1]
  • अपघटन: