आव्यूह अपघटन: Difference between revisions

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[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, कुशल आव्यूह [[कलन विधि]] को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।
[[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, कुशल आव्यूह [[कलन विधि]] को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।


उदाहरण के लिए, [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> को हल करते समय, आव्यूह A को एलयू अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। एलयू अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स|ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह]] U में गुणनखंड करता है। प्रणाली <math>L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}</math> तथा <math>U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}</math> मूल प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।
उदाहरण के लिए, [[रैखिक समीकरणों की प्रणाली]] <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> को हल करते समय, आव्यूह A को LU अपघटन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। LU अपघटन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक [[ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स|ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह]] U में गुणनखंड करता है। प्रणाली <math>L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}</math> तथा <math>U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}</math> मूल प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।


इसी तरह, [[क्यूआर अपघटन]] A को QR के रूप में Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली ''Q''(''R'''''x''') = '''b''' को ''R'''''x''' = ''Q''<sup>T</sup>'''b''' = '''c''' द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली ''R''x = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूआर अपघटन [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है।
इसी तरह, [[क्यूआर अपघटन|QR अपघटन]] A को QR के रूप में Q [[ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स|लांबिक आव्यूह]] और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली ''Q''(''R'''''x''') = '''b''' को ''R'''''x''' = ''Q''<sup>T</sup>'''b''' = '''c''' द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली ''R''x = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि QR अपघटन [[संख्यात्मक रूप से स्थिर]] है।


== रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन ==
== रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित अपघटन ==


=== एलयू अपघटन ===
=== LU अपघटन ===
{{main|एलयू वियोजन}}
{{main|एलयू वियोजन}}
*परंपरागत रूप से प्रयोज्य: [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग]] आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।<ref>{{Cite book|last=Lay|first=David C.|url=https://www.worldcat.org/oclc/920463015|title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|date=2016|others=Steven R. Lay, Judith McDonald|isbn=978-1-292-09223-2|edition=Fifth Global|location=Harlow|pages=142|oclc=920463015}}</ref><ref group="nb">If a non-square matrix is used, however, then the matrix ''U'' will also have the same rectangular shape as the original matrix ''A''. And so, calling the matrix ''U'' would be incorrect as the correct term would be that ''U'' is the 'row echelon form' of ''A''. Other than this, there are no differences in LU factorization for square and non-square matrices.</ref>
*परंपरागत रूप से प्रयोज्य: [[स्क्वायर मैट्रिक्स|वर्ग]] आव्यूह A, यद्यपि आयताकार आव्यूह प्रयुक्त हो सकते हैं।<ref>{{Cite book|last=Lay|first=David C.|url=https://www.worldcat.org/oclc/920463015|title=रेखीय बीजगणित और इसके अनुप्रयोग|date=2016|others=Steven R. Lay, Judith McDonald|isbn=978-1-292-09223-2|edition=Fifth Global|location=Harlow|pages=142|oclc=920463015}}</ref><ref group="nb">If a non-square matrix is used, however, then the matrix ''U'' will also have the same rectangular shape as the original matrix ''A''. And so, calling the matrix ''U'' would be incorrect as the correct term would be that ''U'' is the 'row echelon form' of ''A''. Other than this, there are no differences in LU factorization for square and non-square matrices.</ref>
* अपघटन: <math>A=LU</math>, जहां L निम्नतर [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय]] आव्यूह तथा U उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह है।
* अपघटन: <math>A=LU</math>, जहां L निम्नतर [[त्रिकोणीय मैट्रिक्स|त्रिकोणीय]] आव्यूह तथा U उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह है।
*संबंधित: एलडीयू अपघटन <math>A=LDU</math>  है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह और D एक विकर्ण आव्यूह है।
*संबंधित: एलडीयू अपघटन <math>A=LDU</math>  है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय आव्यूह हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय आव्यूह और D एक विकर्ण आव्यूह है।
*संबंधित: एलयूपी अपघटन <math>PA=LU</math> है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
*संबंधित: LUपी अपघटन <math>PA=LU</math> है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
*अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक एलयूपी अपघटन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में न्यूनीकृत हो जाता है।
*अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक LUP अपघटन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो LUP अपघटन में न्यूनीकृत हो जाता है।
*टिप्पणियां:एलयूपी और एलयू अपघटन रैखिक समीकरणों <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की n-by-n प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये अपघटन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह पी गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P  =  I होता है, इसलिए LU अपघटन उपस्थित होती है।
*टिप्पणियां: LUP और LU अपघटन रैखिक समीकरणों <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये अपघटन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह P गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P  =  I होता है, इसलिए LU अपघटन उपस्थित होती है।


=== एलयू न्यूनीकरण ===
=== LU न्यूनीकरण ===
{{main|एलयू न्यूनीकरण}}
{{main|LU न्यूनीकरण}}


=== ब्लॉक एलयू अपघटन ===
=== ब्लॉक LU अपघटन ===
{{main|ब्लॉक एलयू वियोजन}}
{{main|ब्लॉक LU वियोजन}}


=== श्रेणी गुणनखंडन ===
=== श्रेणी गुणनखंडन ===
{{main|श्रेणी गुणनखंडन}}
{{main|श्रेणी गुणनखंडन}}
*इसके लिए प्रयोज्य: श्रेणी r के एम-बाय-एन आव्यूह A पर प्रयुक्त
*इसके लिए प्रयोज्य: श्रेणी r के एम-बाय-एन आव्यूह A पर प्रयुक्त
* अपघटन: <math>A=CF</math> है जहां C  m-by-r पूर्ण स्तंभ श्रेणी आव्यूह और F  r-by-n पूर्ण पंक्ति श्रेणी आव्यूह है
* अपघटन: <math>A=CF</math> है जहां C एम-बाय-आर पूर्ण स्तंभ श्रेणी आव्यूह और F आर-बाय-एन पूर्ण पंक्ति श्रेणी आव्यूह है
*टिप्पणी: श्रेणी गुणनखंडन का उपयोग A के मूर-पेनरोज़ छद्मविपरीत की गणना करने के लिए किया जा सकता है,<ref>{{cite journal|last1=Piziak|first1=R.|last2=Odell|first2=P. L.|title=मैट्रिसेस का फुल रैंक फैक्टराइजेशन|journal=Mathematics Magazine|date=1 June 1999|volume=72|issue=3|pages=193|doi=10.2307/2690882|jstor=2690882}}</ref> जो रैखिक प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।
*टिप्पणी: श्रेणी गुणनखंडन का उपयोग A के मूर-पेनरोज़ छद्मविपरीत की गणना करने के लिए किया जा सकता है,<ref>{{cite journal|last1=Piziak|first1=R.|last2=Odell|first2=P. L.|title=मैट्रिसेस का फुल रैंक फैक्टराइजेशन|journal=Mathematics Magazine|date=1 June 1999|volume=72|issue=3|pages=193|doi=10.2307/2690882|jstor=2690882}}</ref> जो रैखिक प्रणाली <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।


=== चोल्स्की अपघटन ===
=== चोल्स्की अपघटन ===
{{main|चोल्स्की वियोजन}}
{{main|चोल्स्की वियोजन}}
*इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग मैट्रिक्स, [[सममित मैट्रिक्स]], [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित]] आव्यूह<math>A</math>
*इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह, [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]], [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित]] आव्यूह<math>A</math>
* अपघटन: <math>A=U^*U</math>, जहाँ <math>U</math> वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
* अपघटन: <math>A=U^*U</math>, जहाँ <math>U</math> वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
*टिप्पणी: यदि आव्यूह <math>A</math> हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें <math>A=U^*U</math> के रूप में अपघटन होता है यदि <math>U</math> की विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य होने की अनुमति है
*टिप्पणी: यदि आव्यूह <math>A</math> हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें <math>A=U^*U</math> के रूप में अपघटन होता है यदि <math>U</math> की विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य होने की अनुमति है
*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की अपघटन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
*टिप्पणी: यदि <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> में सभी वास्तविक तत्व हैं।
*टिप्पणी: यदि <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> में सभी वास्तविक तत्व हैं।
*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन]] अपघटन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।
*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन|LDL अपघटन]] अपघटन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।


=== क्यूआर अपघटन ===
=== QR अपघटन ===
{{main|क्यूआर अपघटन}}
{{main|QR अपघटन}}
*इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन आव्यूह<math>A</math>
*इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन आव्यूह<math>A</math>
* अपघटन: <math>A=QR</math> जहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक]] आव्यूह है, और <math>R</math> एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है
* अपघटन: <math>A=QR</math> जहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स|एकात्मक]] आव्यूह है, और <math>R</math> एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह है
*विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक|आव्यूह श्रेणी]] का है, तो वहाँ एकल <math>R</math> उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि <math>A</math> वर्गाकार है, तो <math>Q</math> भी अद्वितीय है।
*विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक|आव्यूह श्रेणी]] का है, तो वहाँ एकल <math>R</math> उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि <math>A</math> वर्गाकार है, तो <math>Q</math> भी अद्वितीय है।
*टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरण <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि <math>Q</math> लांबिक है इसका अर्थ है कि <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math> है जिससे कि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>,  के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि <math>R</math> त्रिकोणीय आव्यूह है।
*टिप्पणी: QR अपघटन समीकरण <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि <math>Q</math> लांबिक है इसका अर्थ है कि <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math> है जिससे कि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>,  के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि <math>R</math> त्रिकोणीय आव्यूह है।


=== आरआरक्यूआर कारककरण ===
=== आरआरQR कारककरण ===
{{main|आरआरक्यूआर कारककरण}}
{{main|आरआरक्यूआर कारककरण}}


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=== ईगेन अपघटन ===
=== ईगेन अपघटन ===
{{main|ईगेन वियोजन(मैट्रिक्स)}}
{{main|ईगेन अपघटन(आव्यूह)}}
*मानावलीय अपघटन भी कहा जाता है।
*मानावलीय अपघटन भी कहा जाता है।
* इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईगेनवेक्टर (अनिवार्य रूप से नहीं कि पृथक ईगेनवैल्यू हो) के साथ वर्ग आव्यूह A ।
* इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईगेनवेक्टर (अनिवार्य रूप से नहीं कि पृथक ईगेनवैल्यू हो) के साथ वर्ग आव्यूह A ।
* अपघटन: <math>A=VDV^{-1}</math>, जहां D, A के [[eigenvalue]]s ​​​​से बना एक विकर्ण आव्यूह है, और V के कॉलम A के संगत [[eigenvector]]s हैं।
* अपघटन: <math>A=VDV^{-1}</math>, जहां D, A के [[eigenvalue]]s ​​​​से बना एक विकर्ण आव्यूह है, और V के कॉलम A के संगत [[eigenvector|ईगेनवेक्टर]] हैं।
*अस्तित्व: n -by- n मैट्रिक्स A में सदैव n (सम्मिश्र) ईगेनवैल्यू ​​​​होते हैं, जिन्हें n -by- n विकर्ण मैट्रिक्स D बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है और शून्यहीन क्रमभंग V का समरूपी मैट्रिक्स जो ईगेनवैल्यू समीकरण <math>AV=VD</math>.  <math>V</math> को संतुष्ट करता है जो कि व्युत्क्रमणीय है यदि केवल n ईगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं(अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजगणितीय बहुलता के समान [[ज्यामितीय बहुलता]] है)। इसके लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) स्थिति यह है कि सभी ईगेनवैल्यू विभिन्न हैं (इस स्थिति में ज्यामितीय और बीजगणितीय बहुलता 1 के समान हैं)।
*अस्तित्व: एन-बाय-एन आव्यूह A में सदैव n (सम्मिश्र) ईगेनवैल्यू ​​​​होते हैं, जिन्हें एन-बाय-एन विकर्ण आव्यूह D बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है और शून्यहीन क्रमभंग V का समरूपी आव्यूह जो ईगेनवैल्यू समीकरण <math>AV=VD</math>.  <math>V</math> को संतुष्ट करता है जो कि व्युत्क्रमणीय है यदि केवल n ईगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं(अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजगणितीय बहुलता के समान [[ज्यामितीय बहुलता]] है)। इसके लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) स्थिति यह है कि सभी ईगेनवैल्यू विभिन्न हैं (इस स्थिति में ज्यामितीय और बीजगणितीय बहुलता 1 के समान हैं)।
*टिप्पणी: ईगेनवेक्टरों को एकल में लंबाई होने के लिए सदैव सामान्य किया जा सकता है (ईगेनवैल्यू समीकरण की परिभाषा देखें)
*टिप्पणी: ईगेनवेक्टरों को एकल में लंबाई होने के लिए सदैव सामान्य किया जा सकता है (ईगेनवैल्यू समीकरण की परिभाषा देखें)
*टिप्पणी: प्रत्येक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य]] आव्यूह A (यानी, आव्यूह जिसके लिए <math>AA^*=A^*A</math>, कहाँ <math>A^*</math> एक संयुग्मी पारगमन है) को eigendecompose किया जा सकता है। एक सामान्य आव्यूह A (और केवल एक सामान्य आव्यूहके लिए) के लिए, eigenvectors को ऑर्थोनॉर्मल भी बनाया जा सकता है (<math>VV^*=I</math>) और eigendecomposition के रूप में पढ़ता है <math>A=VDV^*</math>. विशेष रूप से सभी एकात्मक मैट्रिक्स, [[हर्मिटियन मैट्रिक्स]], या [[तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स|तिरछा-हर्मिटियन]] आव्यूह| स्क्यू-हर्मिटियन (वास्तविक-मूल्य वाले मामले में, सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, या [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स|तिरछा-सममित]] आव्यूह| तिरछा-सममित, क्रमशः) आव्यूह सामान्य हैं और इसलिए इस संपत्ति के अधिकारी।
*टिप्पणी: प्रत्येक [[सामान्य मैट्रिक्स|सामान्य]] आव्यूह A (अर्थात, आव्यूह जिसके लिए <math>AA^*=A^*A</math>, जहाँ <math>A^*</math> एक संयुग्मी पारगमन है) ईगेन वियोजित हो सकता है। एक सामान्य आव्यूह A (और केवल एक सामान्य आव्यूह के लिए) के लिए, ईगेनवेक्टरों को ऑर्थोनॉर्मल (<math>VV^*=I</math>) भी बनाया जा सकता है और ईगेनवियोजन को <math>A=VDV^*</math> के रूप में पढ़ सकते है। विशेष रूप से सभी एकात्मक, हर्मिटियन या विषम-हर्मिटियन (वास्तविक-मूल्य स्थिति में, क्रमशः सभी ऑर्थोगोनल, सममित या विषम सममित) आव्यूह सामान्य हैं और इसलिए इस गुणधर्म के अधिकारी हैं।
*टिप्पणी: किसी भी वास्तविक सममित आव्यूह A के लिए, eigendecomposition हमेशा मौजूद होता है और इसे इस रूप में लिखा जा सकता है <math>A=VDV^\mathsf{T}</math>, जहां D और V दोनों वास्तविक-मूल्यवान हैं।
*टिप्पणी: किसी वास्तविक सममित आव्यूह A के लिए, ईगेनवियोजन सदैव उपस्थित होता है और इसे <math>A=VDV^\mathsf{T}</math> के रूप में लिखा जा सकता है, जहां D और V दोनों वास्तविक-मान हैं।
*टिप्पणी: रैखिक साधारण अंतर समीकरणों या रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान को समझने के लिए ईजेनडीकंपोजीशन उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण <math>x_{t+1}=Ax_t</math> प्रारंभिक स्थिति से शुरू <math>x_0=c</math> द्वारा हल किया जाता है <math>x_t = A^tc</math>, जो बराबर है <math>x_t = VD^tV^{-1}c</math>, जहां V और D, A के eigenvectors और eigenvalues ​​​​से बने मैट्रिसेस हैं। चूंकि D विकर्ण है, इसे शक्ति तक बढ़ा रहा है <math>D^t</math>, केवल विकर्ण पर प्रत्येक तत्व को घात t तक उठाना शामिल है। ए को पावर टी तक बढ़ाने की तुलना में यह करना और समझना बहुत आसान है, क्योंकि ए आमतौर पर विकर्ण नहीं होता है।
*टिप्पणी: रेखीय साधारण अवकल समीकरणों या रेखीय अंतर समीकरणों की प्रणाली के समाधान को समझने के लिए ईगेनवियोजन उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण <math>x_{t+1}=Ax_t</math> प्रारंभिक स्थिति <math>x_0=c</math> से प्रारंभ करके <math>x_t = A^tc</math>, द्वारा हल किया जाता है, जो <math>x_t = VD^tV^{-1}c</math>, के समान है, के ईगेनवेक्टर और ईगेनवैल्यू ​​​​से बने आव्यूह हैं। चूँकि D विकर्ण है, इसे घात <math>D^t</math> में बढ़ाने के लिए, केवल विकर्ण पर प्रत्येक तत्व को घात t तक बढ़ाना होता है। A को घात t तक बढ़ाने की तुलना में यह करना और समझना अधिक सरल है, क्योंकि A सामान्यतः विकर्ण नहीं होता है।


=== जॉर्डन अपघटन ===
=== जॉर्डन अपघटन ===
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{{main|शूर अपघटन}}
{{main|शूर अपघटन}}
* इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A
* इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A
* अपघटन (जटिल संस्करण): <math>A=UTU^*</math>, जहां U एकात्मक आव्यूहहै, <math>U^*</math> U का संयुग्मी स्थानान्तरण है, और T एक [[ऊपरी त्रिकोणीय|उच्चतर त्रिकोणीय]] आव्यूह है जिसे जटिल [[शूर रूप]] कहा जाता है जिसके विकर्ण के साथ A का ईगेन मान ​​होता है।
* अपघटन (जटिल संस्करण): <math>A=UTU^*</math>, जहां U एकात्मक आव्यूह है, <math>U^*</math> U का संयुग्मी स्थानान्तरण है, और T एक [[ऊपरी त्रिकोणीय|उच्चतर त्रिकोणीय]] आव्यूह है जिसे जटिल [[शूर रूप]] कहा जाता है जिसके विकर्ण के साथ A का ईगेन मान ​​होता है।
*टिप्पणी: यदि A एक सामान्य आव्यूह है तो T विकर्ण है और शूर अपघटन वर्णक्रमीय अपघटन के साथ मेल खाता है।
*टिप्पणी: यदि A एक सामान्य आव्यूह है तो T विकर्ण है और शूर अपघटन वर्णक्रमीय अपघटन के साथ मेल खाता है।


=== वास्तविक शूर अपघटन ===
=== वास्तविक शूर अपघटन ===
* इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A
* इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग आव्यूह A
* अपघटन: यह शूर अपघटन का एक संस्करण है जहाँ <math>V</math> और <math>S</math> केवल वास्तविक संख्याएँ होती हैं। कोई हमेशा <math>A=VSV^\mathsf{T}</math>लिख ​​सकता है जहां <math>V</math> वास्तविक लाम्बिक आव्यूह है, <math>V^\mathsf{T}</math> V का [[मैट्रिक्स स्थानान्तरण|आव्यूह स्थानान्तरण]] है, और S एक उच्चतर [[ब्लॉक मैट्रिक्स|ब्लॉक]] आव्यूह है जिसे वास्तविक शूर फॉर्म कहा जाता है। <math>S</math> के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 (जिस स्थिति में वे वास्तविक ईजेनवेल्यू ​​​​का प्रतिनिधित्व करते हैं) या 2×2 (जिस स्थिति में वे जटिल संयुग्म eigenvalue जोड़े से प्राप्त होते हैं) के होते हैं।
* अपघटन: यह शूर अपघटन का एक संस्करण है जहाँ <math>V</math> और <math>S</math> केवल वास्तविक संख्याएँ होती हैं। कोई हमेशा <math>A=VSV^\mathsf{T}</math>लिख ​​सकता है जहां <math>V</math> वास्तविक लाम्बिक आव्यूह है, <math>V^\mathsf{T}</math> V का [[मैट्रिक्स स्थानान्तरण|आव्यूह स्थानान्तरण]] है, और S एक उच्चतर [[ब्लॉक मैट्रिक्स|ब्लॉक]] आव्यूह है जिसे वास्तविक शूर फॉर्म कहा जाता है। <math>S</math> के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 (जिस स्थिति में वे वास्तविक ईजेनवेल्यू ​​​​का प्रतिनिधित्व करते हैं) या 2×2 (जिस स्थिति में वे जटिल संयुग्म ईजेनवेल्यू जोड़े से प्राप्त होते हैं) के होते हैं।


=== क्यूजेड अपघटन ===
=== क्यूजेड अपघटन ===
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*टिप्पणी: इस अपघटन के जटिल और वास्तविक दो संस्करण हैं।
*टिप्पणी: इस अपघटन के जटिल और वास्तविक दो संस्करण हैं।
* अपघटन (जटिल संस्करण): <math>A=QSZ^*</math> और <math>B=QTZ^*</math> जहाँ Q और Z एकात्मक मैट्रिसेस हैं, * सु