P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>

इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''_''p''}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''_''p''}} को [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक]] से प्राप्त [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दिया जाता है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मीट्रिक क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''_''p''}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''_''p''}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह इस विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।  

एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>r</math> का दशमलव प्रसार [[श्रृंखला (गणित)]] <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math> के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10</math>। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि  <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> <math>a</math> एक पूर्णांक है ऐसा कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k</math>। इस परिणाम को शेषफल <math>'r'</math> पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या <math>r</math> की भूमिका ग्रहण करता है।  

परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या <math>p</math> दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> को विशिष्ट रूप से <math>r=p^k\tfrac n d,</math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों <math>p</math> के साथ सहअभाज्य हैं, और <math>d</math> धनात्मक है। पूर्णांक <math>k</math>, <math>r</math> का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे <math>v_p(r)</math> निरूपित किया गया है, और  <math>p^{-k}</math> इसका {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान है, जिसे  <math>|r|_p</math> निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर निरपेक्ष मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में  

<math>r</math> का <math>p</math>-ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक]] [[घातांक]] श्रृंखला <math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> है। एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रसार में, सभी <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं कि <math>0\le a_i <p</math> ।

यदि <math>r=p^k \tfrac n 1</math> के साथ <math>n > 0</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-{{mvar|p}} में <math>r</math> का प्रतिनिधित्व है।

परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान के साथ [[अभिसरण श्रृंखला]] की परिभाषा को लागू करता है। मानक {{mvar|p}}-ऐडिक संकेतन में, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसे मानक आधार-{{mvar|p}} प्रणाली में, अर्थात् आधार की घात को बाईं ओर बढ़ाना। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है।

परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार अंततः आवधिक कार्य है। इसके विपरीत, <math>0\le a_i <p</math> के साथ श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> एक परिमेय संख्या में ({{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान के लिए) अभिसरण करती है यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस स्थिति में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार है। प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के समान परिणाम के समान है।

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक शब्द के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें <math>p^k\tfrac nd,</math> के साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों सहअभाज्य रूप {{mvar|p}} के गुणनखंड समिलित हैं।

{{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक है। तो, एक परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला है।

मान लीजिए  <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत  {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> को <math>0\le i <k</math> के लिए <math>a_i=0</math> उत्पन्न करके (यदि के> 0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ दिया जाए।

यदि <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में <math>a_i</math> को लगातार लिखना समिलित है, {{mvar|i}} के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार {{mvar|p}} के साथ एक अनुक्रमणिका :

{{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक क्षेत्र की समाप्ति (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।

{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या है।

{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन {{mvar|p}}-एडिक संख्या पर निरपेक्ष मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है:  {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य एक अशून्य  {{mvar|p}}-एडिक संख्या v का

जहां <math>v_p(x)</math> {{mvar|x}} का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है। <math>0</math> का निरपेक्ष {{mvar|p}}-ऐडिक मान  <math>|0|_p = 0</math> है। यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है चूँकि प्रत्येक {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के लिए  

यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मीट्रिक क्षेत्र बनाता है, और यहां तक ​​कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> द्वारा परिभाषित {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी के साथ।

एक मीट्रिक क्षेत्र के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक निरपेक्ष मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति  में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से निरपेक्ष मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के [[आंशिक योग|आंशिक]] योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला)।

जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि  <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math>

{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''_''p''}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''_''p''}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मीट्रिक) समापन कहलाती है {{math|'''C'''_''p''}} या {{math|Ω_''p''}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''_''p''}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> तथापि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/>

{{math|'''C'''_''p''}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''_''p''}} को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)।

इस निरपेक्ष मान | . |_''P''  के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E_''P''  प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान सिद्धांत प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब [[अवशेष क्षेत्र]] D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।

उदाहरण के लिए, जब E एक [[संख्या क्षेत्र]] है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ | . |_''P''. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'c_''p''' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)

{{DEFAULTSORT:P-Adic Number}}[[Category: क्षेत्र (गणित)]] [[Category: संख्या सिद्धांत]] [[Category: पी-एडिक नंबर | पी-एडिक नंबर ]]