P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

[[Image:3-adic integers with dual colorings.svg|thumb|3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ]]गणित में, द{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी [[अभाज्य संख्या]] के लिए{{mvar|p}} परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के विस्तार से लेकर [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है {{mvar|p}}: शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में शामिल है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>

इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> हालांकि, पूर्व दृष्टि से, अर्नस्ट कुमेर|अर्नस्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या अप्रत्यक्ष रूप से निम्नलिखित का उपयोग करके की जा सकती है: {{mvar|p}}-एडिक नंबर।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र|{{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए प्राइम के लिए{{mvar|p}}, [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''_''p''}} का {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। फील्ड {{math|'''Q'''_''p''}} को [[ मीट्रिक स्थान ]] से प्राप्त एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] भी दिया जाता है, जो स्वयं पी-एडिक ऑर्डर से प्राप्त होता है|{{math|''p''}}-ऐडिक क्रम, परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]]। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में [[पूर्णता (टोपोलॉजी)|समापन (टोपोलॉजी)]] है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] [[अभिसरण अनुक्रम]] को एक बिंदु में जोड़ता है {{math|'''Q'''_''p''}}. यह वह है जो कलन के विकास की अनुमति देता है {{math|'''Q'''_''p''}}, और यह इस विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ उनकी शक्ति और उपयोगिता। वह {{mvar|p}} में{{mvar|p}}-एडिक एक वेरिएबल (गणित) है और इसे एक प्राइम (उपज, उदाहरण के लिए, 2-एडिक नंबर) या एक अन्य [[अभिव्यक्ति (गणित)]] के साथ बदला जा सकता है जो प्राइम नंबर का प्रतिनिधित्व करता है। का एडिक{{mvar|p}}-ऐडिक शब्दों में पाए जाने वाले अंत से आता है जैसे कि [[डाइएडिक अंश]] या [[ त्रिक संबंध ]]।

एक धनात्मक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार <math>r</math> एक [[श्रृंखला (गणित)]] के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है

:<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math>

कहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10.</math> इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> एक पूर्णांक है <math>a</math> ऐसा है कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k.</math> इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है <math>r'</math> जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है <math>r</math>. {{mvar|p}|p}}- एक परिमेय संख्या के आदिक विस्तार को इसी तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है <math>p</math>, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>r=p^k\tfrac n d,</math> कहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं दोनों सह अभाज्य हैं <math>p</math>, और <math>d</math> सकारात्मक है। पूर्णांक <math>k</math> है{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन <math>r</math>, निरूपित <math>v_p(r),</math> और <math>p^{-k}</math> क्या ऐसी बात है{{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान, निरूपित <math>|r|_p</math> (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लेखन शामिल है

:{{anchor|division_step}}<math>r = a\,p^k + r'</math>

कहाँ <math>a</math> एक पूर्णांक ऐसा है <math>0\le a <p,</math> और <math>r'</math> या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (वह है, <math>v_p(r')>k</math>). <math>p</math>वें>-ऐडिक विस्तार की <math>r</math> [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] है

:<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math>

उत्तरोत्तर शेषफलों पर #विभाजन_चरण विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त किया जाता है। में एक {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार, सब <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं <math>0\le a_i <p.</math>

अगर <math>r=p^k \tfrac n 1</math> साथ <math>n > 0</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस मामले में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और इसका प्रतिनिधित्व है <math>r</math> आधार-एन|आधार में-{{mvar|p}}.

अस्तित्व और गणना {{mvar|p}}-बेज़ाउट की पहचान से एक परिमेय संख्या के परिणामों का विस्तार निम्नलिखित तरीके से होता है। यदि ऊपर की तरह, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> और <math>d</math> और <math>p</math> कोप्राइम हैं, वहाँ पूर्णांक मौजूद हैं <math>t</math> और <math>u</math> ऐसा है कि <math>t d+u p=1.</math> इसलिए

फिर, का [[यूक्लिडियन विभाजन]] <math>n t</math> द्वारा <math>p</math> देता है

:<math>n t=q p+a,</math>

साथ <math>0\le a <p.</math>

यह विभाजन चरण को इस प्रकार देता है

:<math>\begin{array}{lcl}

विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> किसी के पास <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1).</math> इसका मतलब यह है <math>p</math> विभाजित <math>a_1-a_2.</math> तब से <math>0\le a_1 <p</math> और <math>0\le a_2 <p,</math> निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: <math>0\le a_1</math> और <math>a_2<p.</math> इस प्रकार, एक प्राप्त करता है <math>-p < a_1-a_2 < p,</math> और तबसे <math>p</math> विभाजित <math>a_1-a_2</math> यह वह होना चाहिए <math>a_1=a_2.</math>

{{mvar|p}|p}}-एक परिमेय संख्या का आदिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई [[अभिसरण श्रृंखला]] की परिभाषा को लागू करता है {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य।

मानक में {{mvar|p}}-ऐडिक संकेतन, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसा कि स्थितीय संकेतन में होता है#अंक प्रणाली का आधार|मानक आधार-{{mvar|p}} प्रणाली, अर्थात् आधार की शक्तियों के बाईं ओर बढ़ने के साथ। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है। वह {{mvar|p}}-परिमेय संख्या का विशेष विस्तार अंततः आवधिक कार्य है। [[बातचीत (तर्क)]], एक श्रृंखला <math display=inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> साथ <math>0\le a_i <p</math> अभिसरण (के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान) एक परिमेय संख्या के लिए [[अगर और केवल अगर]] यह अंततः आवधिक है; इस मामले में, श्रृंखला है {{mvar|p}}-उस परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। [[गणितीय प्रमाण]] दोहराए जाने वाले दशमलव के समान परिणाम के समान है।

आइए हम 5-एडिक विस्तार की गणना करें <math>\frac 13.</math> 5 के लिए बेज़ाउट की तत्समक और हर 3 है <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार

अगले चरण के लिए, विभाजित करना होगा <math>-1/3</math> (अंश के अंश में कारक 5 को अंकगणितीय बदलाव के रूप में देखा जाना चाहिए {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, और इस प्रकार यह विभाजन में शामिल नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को इससे गुणा करना <math>-1</math> देता है

:<math>-\frac 13=-2+\frac 53.</math>

पूर्णांक भाग <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा <math>5</math> प्राप्त करने के लिए <math>-2= 3-1\cdot 5,</math> दे रही है

:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.</math>

इसी तरह, एक है

:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.</math>

शेष के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है <math>3</math> [[समता (गणित)]] के लिए पाँच की शक्तियाँ, और <math>1</math> समता (गणित) शक्तियों के लिए।

या मानक 5-एडिक संकेतन में

:<math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>

[[अंडाकार]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर।

इस लेख में, एक प्रमुख संख्या दी गई है {{mvar|p}}, ए{{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला रूप की एक [[औपचारिक श्रृंखला]] है

:<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math>

जहां हर अशून्य <math>a_i</math> एक परिमेय संख्या है <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> ऐसा कि कोई नहीं <math>n_i</math> और <math>d_i</math> से विभाज्य है {{mvar|p}}.

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला एक शब्द के साथ, जिसमें इसके रूप का गुणनखंड शामिल है <math>p^k\tfrac nd,</math> साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}.

ए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है (गणित) <math>[0,p-1].</math> इतना {{mvar|p}एक परिमेय संख्या का }-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।

दो {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम समान हो {{mvar|k}}, और यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए {{math|''n'' ≥ ''k''}} उनकी आंशिक रकम के बीच का अंतर

से अधिक का आदेश है {{mvar|n}} (अर्थात, रूप की एक परिमेय संख्या है <math>p^k\tfrac ab,</math> साथ <math>k>n,</math> और {{mvar|a}} और {{mvar|b}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}).

हरएक के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला <math>S</math>, एक अनूठी सामान्यीकृत श्रृंखला है <math>N</math> ऐसा है कि <math>S</math> और <math>N</math> समकक्ष हैं। <math>N</math> का सामान्यीकरण है <math>S.</math> प्रमाण के अस्तित्व प्रमाण के समान है {{mvar|p}}-एक परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में माना जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक एकल अशून्यशब्द के साथ, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का परिमेय प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, की समानता {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक [[तुल्यता संबंध]] है, और प्रत्येक [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक सामान्यीकृत होता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।

:<math>\begin{align}

\end{align}</math>

[[ मूलांक ]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है {{mvar|p}}.

होने देना <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत हो {{mvar|p}}-एडिक सीरीज़, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है <math>[0,p-1].</math> कोई ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> व्यवस्थित करके <math>a_i=0</math> के लिए <math>0\le i <k</math> (अगर <math>k>0</math>), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ना।