P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions
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[[ | गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref> | ||
इन | |||
इन संख्याओं को पहली बार 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref> {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है। | |||
{{Ring theory sidebar}} | {{Ring theory sidebar}} | ||
अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए | अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान |मापीय]] से प्राप्त एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दी गई है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है। | ||
{{mvar|p}}-एडिक में {{mvar|p}} एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। "{{mvar|p}}-ऐडिक" का "एडिक" [[डाइएडिक अंश|डाइएडिक]] या [[ त्रिक संबंध |ट्रायडिक]] जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है। | |||
== परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार == | |||
एक धनात्मक परिमेय संख्या <math>r</math> का दशमलव प्रसार [[श्रृंखला (गणित)]] | |||
<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math> | |||
के रूप में इसका निरूपण है जहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10</math>। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> <math>a</math> एक पूर्णांक है ऐसा कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k</math>। इसे परिणाम को शेषफल <math>'r'</math> पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या <math>r</math> की भूमिका कल्पित करता है। | |||
परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या <math>p</math> दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> को विशिष्ट रूप से <math>r=p^k\tfrac n d,</math> के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों <math>p</math> के साथ सहअभाज्य हैं, और <math>d</math> धनात्मक है। पूर्णांक <math>k</math>, <math>r</math> का {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे <math>v_p(r)</math> निरूपित किया गया है, और <math>p^{-k}</math> इसका {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान है, जिसे <math>|r|_p</math> निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में | |||
:<math>r = a\,p^k + r'</math> | |||
लिखना समिलित है जहाँ <math>a</math> एक पूर्णांक है जैसे कि <math>0\le a <p,</math> और <math>r'</math> या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (अर्थात, <math>v_p(r')>k</math>)। | |||
<math>r</math> का <math>p</math>-ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|औपचारिक]] [[घातांक]] श्रृंखला | |||
<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> है। | |||
एक {{mvar|p}}-ऐडिक प्रसार में, सभी <math>a_i</math> ऐसे पूर्णांक हैं कि <math>0\le a_i <p</math> । | |||
यदि <math>n > 0</math> के साथ <math>r=p^k \tfrac n 1</math>, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-{{mvar|p}} में <math>r</math> का प्रतिनिधित्व है। | |||
परिमेय संख्या के {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार का अस्तित्व और संगणना निम्नलिखित तरीके से बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होती है। यदि, ऊपर की तरह, <math>r=p^k \tfrac n d,</math> और <math>d</math> और <math>p</math> सहअभाज्य हैं, तो ऐसे पूर्णांक <math>t</math> और <math>u</math> उपस्थित हैं कि <math>t d+u p=1</math>। इसलिए | |||
:<math>r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.</math> | :<math>r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.</math> | ||
फिर, | फिर, <math>p</math> द्वारा <math>n t</math> का [[यूक्लिडियन विभाजन]] <math>0\le a <p</math> के साथ <math>n t=q p+a</math> देता है। यह विभाजन चरण को <math>\begin{array}{lcl} | ||
साथ <math> | |||
यह विभाजन चरण को | |||
r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ | r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ | ||
& = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ | & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ | ||
\end{array}</math> | \end{array}</math> | ||
विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> किसी के पास <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1) | के रूप में देता है ताकि पुनरावृत्ति में <math>r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d</math> | ||
नई परिमेय संख्या हो। | |||
विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर <math>p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,</math> किसी के पास <math>a_1-a_2=p(s_2-s_1)</math> है। इसका मतलब यह है <math>p</math>, <math>a_1-a_2</math> को विभाजित करता है। चूंकि <math>0\le a_1 <p</math> और <math>0\le a_2 <p,</math> निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: <math>0\le a_1</math> और <math>a_2<p</math>। इस प्रकार, <math>-p < a_1-a_2 < p</math> प्राप्त होता है और चूँकि <math>p</math>, <math>a_1-a_2</math> को विभाजित करता है, इसलिए यह <math>a_1=a_2</math> होना चाहिए। | |||
परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान के साथ [[अभिसरण श्रृंखला]] की परिभाषा को लागू करता है। मानक {{mvar|p}}-ऐडिक संकेतन में, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसे मानक आधार-{{mvar|p}} प्रणाली में, अर्थात् आधार की घात को बाईं ओर बढ़ाना। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है। | |||
परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार अंततः आवधिक होता है। इसके विपरीत, <math>0\le a_i <p</math> के साथ श्रृंखला <math display="inline">\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> एक परिमेय संख्या में ({{mvar|p}}-ऐडिक पूर्ण मान के लिए) अभिसरण करती है यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस स्थिति में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार है। प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के परिणाम के समान है। | |||
=== उदाहरण === | === उदाहरण === | ||
आइए हम | आइए हम <math>\frac 13</math> के 5-एडिक विस्तार की गणना करें। विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3 <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार | ||
:<math>\frac 13= 2-\frac 53.</math> | :<math>\frac 13= 2-\frac 53.</math> | ||
अगले चरण के लिए, विभाजित करना होगा <math>-1/3</math> ( | अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा <math>-1/3</math> (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को <math>-1</math> से गुणा करने पर | ||
:<math>-\frac 13=-2+\frac 53 | :<math>-\frac 13=-2+\frac 53</math> प्राप्त होता है। | ||
पूर्णांक भाग <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, | "पूर्णांक भाग" <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, <math>-2= 3-1\cdot 5</math> प्राप्त करने के लिए <math>5</math> से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो | ||
:<math>-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,</math> | :<math>-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,</math> | ||
और | और | ||
:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2 | :<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2</math> देगा। | ||
इसी तरह, एक | इसी तरह, एक के पास | ||
:<math>-\frac 23=1-\frac 53,</math> | :<math>-\frac 23=1-\frac 53,</math> | ||
और | और | ||
:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3 | :<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3</math> है। | ||
शेष के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है <math>3</math> [[समता (गणित)]] के लिए | "शेष" के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक <math>3</math> और [[समता (गणित)|सम]] घात के लिए <math>1</math> दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन <math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math> | ||
या मानक 5-एडिक संकेतन | |||
में [[अंडाकार|दीर्घवृत्त]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर। | |||
[[अंडाकार]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर। | |||
==p-ऐडिक सीरीज== | |||
इस लेख में, एक अभाज्य संख्या {{mvar|p}} दी गई है, {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला | |||
<math>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,</math> | |||
रूप की एक [[औपचारिक श्रृंखला]] है जहां हर अशून्य <math>a_i</math> एक परिमेय संख्या <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> है जैसे कि <math>n_i</math> और <math>d_i</math> में से कोई भी {{mvar|p}} से विभाज्य नहीं है। | |||
प्रत्येक परिमेय संख्या को एक शब्द के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें <math>p^k\tfrac nd,</math> के साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों सहअभाज्य रूप {{mvar|p}} के गुणनखंड हैं। | |||
{{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है, यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक हो। तो, एक परिमेय संख्या का {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला है। | |||
{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, या {{mvar|p}}-ऐडिक क्रम एक अशून्य {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला का निम्नतम पूर्णांक {{mvar|i}} है जैसे कि <math>a_i\ne 0</math>। शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत <math>\infty</math> है। | |||
दो {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम {{mvar|k}} समान हो, और यदि प्रत्येक पूर्णांक {{math|''n'' ≥ ''k''}} के लिए उनकी आंशिक योगों के बीच का अंतर | |||
दो {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम | |||
:<math>\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i</math> | :<math>\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i</math> | ||
का क्रम {{mvar|n}} से अधिक हो (अर्थात, <math>k>n,</math> के साथ <math>p^k\tfrac ab,</math> के रूप की एक परिमेय संख्या है) और {{mvar|a}} और {{mvar|b}} दोनों {{mvar|p}} के साथ सहअभाज्य हैं)। | |||
प्रत्येक {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला <math>S</math> के लिए, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला <math>N</math> है जैसे कि <math>S</math> और <math>N</math> समकक्ष हैं। <math>N</math>, <math>S</math> का सामान्यीकरण है। प्रमाण परिमेय संख्या के {{mvar|p}}-ऐडिक विस्तार के अस्तित्व प्रमाण के समान है। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को गैर-शून्य शब्द के साथ {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का तर्कसंगत प्रतिनिधित्व है। | |||
दूसरे शब्दों में, {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला की तुल्यता एक [[तुल्यता संबंध]] है, और प्रत्येक [[तुल्यता वर्ग]] में ठीक एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला होती है। | |||
श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला को {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला में मानचित्रण करते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला की समानता के साथ संगत होते हैं। अर्थात्, {{math|~}} के साथ तुल्यता को दर्शाते हुए, यदि {{mvar|S}}, {{mvar|T}} और {{mvar|U}} शून्येतर {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला हैं जैसे कि <math>S\sim T,</math> एक में | |||
<math>\begin{align} | |||
S\pm U&\sim T\pm U,\\ | S\pm U&\sim T\pm U,\\ | ||
SU&\sim TU,\\ | SU&\sim TU,\\ | ||
1/S&\sim 1/T. | 1/S&\sim 1/T. | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> है। | ||
: | |||
इसके अतिरिक्त, {{mvar|S}} और {{mvar|T}} का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है। | इसके अतिरिक्त, {{mvar|S}} और {{mvar|T}} का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है। | ||
=== [[स्थितीय संकेतन]] === | === [[स्थितीय संकेतन]] === | ||
[[ मूलांक ]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है {{mvar|p}} | [[ मूलांक |मूलांक {{mvar|p}}]] में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है। | ||
मान लीजिए <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल <math>[0,p-1]</math> में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> अगर <math>0\le i <k</math> के लिए <math>a_i=0</math> निर्धारित करके (यदि k> 0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ कर। | |||
यदि <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में <math>a_i</math> को लगातार लिखना समिलित है, {{mvar|i}} के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार {{mvar|p}} के साथ सूचकांक : | |||