P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

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गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$ -ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$ -एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर $p$ की उच्च घातांक से विभाज्य होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण $p$ -ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।^[1]

इन संख्याओं को पहली बार 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था,^[2] तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को $p$ -एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।^{[note 1]} $p$ -ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, $p$ -ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए, $p$ -ऐडिक संख्याओं का क्षेत्र (गणित) $Q p$ परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र $Q p$ को मापीय से प्राप्त एक सांस्थिति भी दी गई है, जो स्वयं $p$ -ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित) है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q p$ में एक बिंदु पर अभिसरण करते है। यह वह है जो $Q p$ पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो $p$ -ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।

$p$ -एडिक में $p$ एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। " $p$ -ऐडिक" का "एडिक" डाइएडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।

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 {{short description|Number system for a prime p which extends the rationals, defining closeness differently}}
 {{DISPLAYTITLE:''p''-adic number}}
-गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
+गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
-इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में  घात श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
+इन संख्याओं को पहली बार 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
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-अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक]] से प्राप्त [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दिया जाता है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मीट्रिक क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह इस विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।
+अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान |मापीय]] से प्राप्त एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दी गई है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।
 {{mvar|p}}-एडिक में {{mvar|p}} एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।  "{{mvar|p}}-ऐडिक" का "एडिक" [[डाइएडिक अंश|डाइएडिक]] या [[ त्रिक संबंध |ट्रायडिक]] जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।
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 == परिभाषा ==
-{{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक क्षेत्र की समाप्ति (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।
+{{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मापीय क्षेत्र की समाप्ति (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।
 {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या है।
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 इसके अतिरिक्त, अगर <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> किसी के पास <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math>
-यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मीट्रिक क्षेत्र बनाता है, और यहां तक कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> द्वारा परिभाषित {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी के साथ।
+यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मापीय क्षेत्र बनाता है, और यहां तक कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> द्वारा परिभाषित {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी के साथ।
-एक मीट्रिक क्षेत्र के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक निरपेक्ष मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति  में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से निरपेक्ष मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के [[आंशिक योग|आंशिक]] योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला)।
+एक मापीय क्षेत्र के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक निरपेक्ष मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति  में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मापीय को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से निरपेक्ष मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के [[आंशिक योग|आंशिक]] योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला)।
-जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि  <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math>
+जैसा कि मापीय को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि  <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math>
 इसका तात्पर्य यह है कि {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या एक क्षेत्रीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|क्षेत्रीय रूप से]] [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन]] क्षेत्र बनाते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् बॉल <math>B_1[0]=B_p(0)</math>- एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन जगह]] बनाते हैं।
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 <math>(p-1)\times 1^2 +\left(\sqrt{1-p}\right)^2 = 0 .</math></ref> {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता।
-{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मीट्रिक) समापन कहलाती है {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} या {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> तथापि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/>
+{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मापीय रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मापीय) समापन कहलाती है {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} या {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> तथापि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/>
-{{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)।
+{{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मापीय के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)।
 अगर {{math|'''K'''}} {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} का परिमित [[गाल्वा विस्तार]] है, तो [[गाल्वा समूह]] <math>\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> [[हल करने योग्य समूह]] है। इस प्रकार, गैलोज़ समूह <math>\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)</math> [[साध्य]] है।

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