P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions
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गणित में, किसी भी [[अभाज्य संख्या]] {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के [[वास्तविक संख्या|वास्तविक]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर {{mvar|p}} की उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं को [[मॉड्यूलर अंकगणित|सर्वांगसमता]] की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref> | |||
इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> | इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref> {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है। | ||
{{Ring theory sidebar}} | {{Ring theory sidebar}} | ||
अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। | अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य {{mvar|p}} के लिए, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक]] से प्राप्त [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थिति]] भी दिया जाता है, जो स्वयं {{math|''p''}}-ऐडिक क्रम से प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] है। यह मीट्रिक क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक [[कॉची अनुक्रम]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} में एक बिंदु पर [[अभिसरण अनुक्रम|अभिसरण]] करते है। यह वह है जो {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह इस विश्लेषणात्मक और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] संरचना की परस्पर क्रिया है जो {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है। | ||
{{mvar|p}}-एडिक में {{mvar|p}} एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। "{{mvar|p}}-ऐडिक" का "एडिक" | {{mvar|p}}-एडिक में {{mvar|p}} एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी [[अभिव्यक्ति (गणित)|अभिव्यक्ति]] के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। "{{mvar|p}}-ऐडिक" का "एडिक" [[डाइएडिक अंश|डाइएडिक]] या [[ त्रिक संबंध |ट्रायडिक]] जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है। | ||
== परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार == | == परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार == | ||
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== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
{{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई | {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक क्षेत्र की समाप्ति (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}) के पूरा होने का उपयोग करती हैं। | ||
{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या है। | {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या है। | ||
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* <math>\Z_p</math> की इकाई (वलय थ्योरी) मूल्यांकन शून्य की {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएं हैं। | * <math>\Z_p</math> की इकाई (वलय थ्योरी) मूल्यांकन शून्य की {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएं हैं। | ||
* यह एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श {{mvar|p}} (वलय थ्योरी) की घात द्वारा उत्पन्न होता है। | * यह एक [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श {{mvar|p}} (वलय थ्योरी) की घात द्वारा उत्पन्न होता है। | ||
* यह [[क्रुल आयाम]] वन का एक | * यह [[क्रुल आयाम]] वन का एक क्षेत्रीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श [[शून्य आदर्श]] हैं और {{mvar|p}} द्वारा उत्पन्न आदर्श, अद्वितीय [[अधिकतम आदर्श]]। | ||
* यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है। | * यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है। | ||
* यह | * यह क्षेत्रीय वलय <math>\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},</math> के वलय का समापन होना है, <math>\Z</math> प्रधान आदर्श पर जो <math>p\Z</math> का [[स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)|क्षेत्रीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)]] है। | ||
अंतिम गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ की परिभाषा प्रदान करती है जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का क्षेत्र {{mvar|p}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श पर पूर्णांकों के | अंतिम गुण {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ की परिभाषा प्रदान करती है जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या का क्षेत्र {{mvar|p}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श पर पूर्णांकों के क्षेत्रीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है। | ||
== सामयिक गुण == | == सामयिक गुण == | ||
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इसके अतिरिक्त, अगर <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> किसी के पास <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math> | इसके अतिरिक्त, अगर <math>|x|_p \ne |y|_p,</math> किसी के पास <math>|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).</math> | ||
यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मीट्रिक | यह {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को एक मीट्रिक क्षेत्र बनाता है, और यहां तक कि एक [[अल्ट्रामेट्रिक स्पेस]], <math>d_p(x,y)=|x-y|_p</math> द्वारा परिभाषित {{mvar|p}}-ऐडिक दूरी के साथ। | ||
एक मीट्रिक | एक मीट्रिक क्षेत्र के रूप में, {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक निरपेक्ष मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह {{mvar|p}}-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से निरपेक्ष मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के [[आंशिक योग|आंशिक]] योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय {{mvar|p}}-एडिक श्रृंखला)। | ||
जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math> | जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक [[खुली गेंद]] भी [[बंद गेंद]] है। अधिक सटीक, खुली गेंद <math>B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)<r\}</math> बंद गेंद <math>B_{p^{-v}}[x] =\{y\mid d_p(x,y)\le p^{-v}\},</math>के बराबर है, जहां {{mvar|v}} ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-v}< r</math>। इसी प्रकार, <math>B_r[x] = B_{p^{-w}}(x),</math> जहां {{mvar|w}} सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि <math>p^{-w}>r.</math> | ||
इसका तात्पर्य यह है कि {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या एक | इसका तात्पर्य यह है कि {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या एक क्षेत्रीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|क्षेत्रीय रूप से]] [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन]] क्षेत्र बनाते हैं, और {{mvar|p}}-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् बॉल <math>B_1[0]=B_p(0)</math>- एक [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन जगह]] बनाते हैं। | ||
== मॉड्यूलर गुण == | == मॉड्यूलर गुण == | ||
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<math>(p-1)\times 1^2 +\left(\sqrt{1-p}\right)^2 = 0 .</math></ref> {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता। | <math>(p-1)\times 1^2 +\left(\sqrt{1-p}\right)^2 = 0 .</math></ref> {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता। | ||
{{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, | {{math|[[real number|'''R''']]}} में केवल एक उचित [[बीजगणितीय विस्तार]] है: {{math|[[complex number|'''C''']]}}; दूसरे शब्दों में, यह [[द्विघात विस्तार]] पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का [[बीजगणितीय समापन]] {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}}, निरूपित <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> अनंत डिग्री है,<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Corollary 5.3.10}}</ref> वह है, {{math|'''Q'''<sub>''p''</sub>}} के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p},</math> उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Theorem 5.7.4}}</ref><ref name=C149>{{Harv|Cassels|1986|p=149}}</ref> इसकी (मीट्रिक) समापन कहलाती है {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} या {{math|Ω<sub>''p''</sub>}}.<ref name=C149/><ref name=K13>{{Harv|Koblitz|1980|p=13}}</ref> यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} बीजगणितीय रूप से बंद है।<ref name=C149/><ref>{{Harv|Gouvêa|1997|loc=Proposition 5.7.8}}</ref> तथापि इसके विपरीत {{math|'''C'''}} यह क्षेत्र [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट|क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट]] नहीं है।<ref name=K13/> | ||
{{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)। | {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} और {{math|'''C'''}} वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम {{math|'''C'''<sub>''p''</sub>}} को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न {{math|'''C'''}} के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह [[रचनात्मक प्रमाण]] नहीं है)। | ||
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क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}, किसी भी {{mvar|p}}-ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन {{math|''e''<sup> ''p''</sup> ∈ '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' ≠ 2)}}। {{math|''p'' {{=}} 2}} के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए।<ref>{{Harv|Robert|2000|loc=Section 4.1}}</ref> (इस प्रकार {{mvar|e}} के समान गुणों वाली एक संख्या - अर्थात् {{math|''e<sup>p</sup>''}} की {{mvar|p}}-वीं जड़ — सभी {{mvar|p}} के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p}</math> का सदस्य है।) | क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}}, किसी भी {{mvar|p}}-ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन {{math|''e''<sup> ''p''</sup> ∈ '''Q'''<sub>''p''</sub> (''p'' ≠ 2)}}। {{math|''p'' {{=}} 2}} के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए।<ref>{{Harv|Robert|2000|loc=Section 4.1}}</ref> (इस प्रकार {{mvar|e}} के समान गुणों वाली एक संख्या - अर्थात् {{math|''e<sup>p</sup>''}} की {{mvar|p}}-वीं जड़ — सभी {{mvar|p}} के लिए <math>\overline{\mathbf{Q}_p}</math> का सदस्य है।) | ||
== | == क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत == | ||
हेल्मुट हास के | हेल्मुट हास के क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य {{mvar|p}} के लिए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, [[द्विघात रूप|द्विघात रूपों]] द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है। | ||
== हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित == | == हेन्सेल लिफ्टिंग के साथ परिमेय अंकगणित == | ||
{{main|Hensel lifting}} | {{main|Hensel lifting}} | ||
== सामान्यीकरण और संबंधित | == सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं == | ||
वास्तविक और {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा। | वास्तविक और {{mvar|p}}-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा। | ||
मान लीजिए कि D एक [[डेडेकिंड डोमेन]] है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक [[आंशिक आदर्श]] है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम | मान लीजिए कि D एक [[डेडेकिंड डोमेन]] है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक [[आंशिक आदर्श]] है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम | ||
:<math>|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}</math> निर्धारित कर सकते हैं। | :<math>|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}</math> निर्धारित कर सकते हैं। | ||
इस निरपेक्ष मान | . |<sub>''P''</sub> के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E<sub>''P''</sub> प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान | इस निरपेक्ष मान | . |<sub>''P''</sub> के संबंध में समापन करने से क्षेत्र E<sub>''P''</sub> प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान सिद्धांत प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब [[अवशेष क्षेत्र]] D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना। | ||
उदाहरण के लिए, जब E एक [[संख्या क्षेत्र]] है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ | . |<sub>''P''</sub>. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'c<sub>''p''</sub>' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।) | उदाहरण के लिए, जब E एक [[संख्या क्षेत्र]] है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ | . |<sub>''P''</sub>. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'c<sub>''p''</sub>' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।) | ||
जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक [[वैश्विक क्षेत्र]]) होता है, जिन्हें " | जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक [[वैश्विक क्षेत्र]]) होता है, जिन्हें "क्षेत्रीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह [[एडेल रिंग|एडेल वलय्स]] और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है। | ||
p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका <math>\mathbb{T}_p</math> तक विस्तारित किया जा सकता है। <math>\mathbb{T}_p</math> से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक <math>\mathbb{Z}_p</math> हैं, सादृश्य में <math>\mathbb{R}</math> से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु <math>\mathbb{Z}</math> हैं। | p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका <math>\mathbb{T}_p</math> तक विस्तारित किया जा सकता है। <math>\mathbb{T}_p</math> से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक <math>\mathbb{Z}_p</math> हैं, सादृश्य में <math>\mathbb{R}</math> से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु <math>\mathbb{Z}</math> हैं। | ||
Revision as of 16:58, 15 May 2023
गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए p-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो p-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर p की उच्च घातांक से विभाज्य होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण p-ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है।[1] इन संख्याओं को सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था,[2] तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की p-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है।[note 1] p-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, p-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
| Algebraic structure → Ring theory Ring theory |
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Rings
Related structures
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