P-ऐडिक संख्या: Difference between revisions

Revision as of 20:46, 5 May 2023

3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ

गणित में, द $p$ -ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $p$ परिमेय संख्या प्रणाली के विस्तार से लेकर वास्तविक संख्या और जटिल संख्या प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$ -एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च घातांक से विभाज्य होता है $p$ : शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है $p$ -ऐडिक नंबर मॉड्यूलर अंकगणितीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में समिलित है।^[1]

इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था,^[2] हालांकि, पूर्व दृष्टि से, अर्नस्ट कुमेर|अर्नस्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या अप्रत्यक्ष रूप से निम्नलिखित का उपयोग करके की जा सकती है: $p$ -एडिक नंबर।^{[note 1]} $p}$ -ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र| $p$ -ऐडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए प्राइम के लिए $p$ , क्षेत्र (गणित) $Q p$ का $p$ -ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं का एक पूर्ण स्थान है। फील्ड $Q p$ को मीट्रिक स्थान से प्राप्त एक टोपोलॉजिकल स्पेस भी दिया जाता है, जो स्वयं पी-एडिक ऑर्डर से प्राप्त होता है| $p$ -ऐडिक क्रम, परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित)। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में समापन (टोपोलॉजी) है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम अभिसरण अनुक्रम को एक बिंदु में जोड़ता है $Q p$ . यह वह है जो कलन के विकास की अनुमति देता है $Q p$ , और यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो देता है $p$ -ऐडिक संख्या प्रणालियाँ उनकी शक्ति और उपयोगिता। वह $p$ में $p$ -एडिक एक वेरिएबल (गणित) है और इसे एक प्राइम (उपज, उदाहरण के लिए, 2-एडिक नंबर) या एक अन्य अभिव्यक्त�

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 {{short description|Number system for a prime p which extends the rationals, defining closeness differently}}
 {{DISPLAYTITLE:''p''-adic number}}
-[[Image:3-adic integers with dual colorings.svg|thumb|3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ]]गणित में, द{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी [[अभाज्य संख्या]] के लिए{{mvar|p}} परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के विस्तार से लेकर [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है {{mvar|p}}: शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में शामिल है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
+[[Image:3-adic integers with dual colorings.svg|thumb|3-एडिक पूर्णांक, उनके पोंट्रीगिन दोहरे समूह पर चयनित संबंधित वर्णों के साथ]]गणित में, द{{mvar|p}}-ऐडिक संख्या प्रणाली किसी भी [[अभाज्य संख्या]] के लिए{{mvar|p}} परिमेय [[संख्या प्रणाली]] के विस्तार से लेकर [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] प्रणाली तक परिमेय संख्याओं के सामान्य [[अंकगणित]] को एक अलग तरीके से विस्तारित करता है। निकटता या पूर्ण मूल्य की अवधारणा की वैकल्पिक व्याख्या के द्वारा विस्तार प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो {{mvar|p}}-एडिक नंबरों को करीब माना जाता है जब उनका अंतर उच्च [[घातांक]] से वि[[भाज्य]] होता है {{mvar|p}}: शक्ति जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण सक्षम बनाता है {{mvar|p}}-ऐडिक नंबर [[मॉड्यूलर अंकगणित]]ीय जानकारी को इस तरह से एनकोड करने के लिए जो [[संख्या सिद्धांत]] में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में निकलता है - उदाहरण के लिए, [[एंड्रयू विल्स]] द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण में समिलित है।<ref>{{Harv|Gouvêa|1994|pp=203–222}}</ref>
 इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में [[कर्ट हेन्सेल]] द्वारा वर्णित किया गया था,<ref>{{Harv|Hensel|1897}}</ref> हालांकि, पूर्व दृष्टि से, अर्नस्ट कुमेर|अर्नस्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की व्याख्या अप्रत्यक्ष रूप से निम्नलिखित का उपयोग करके की जा सकती है: {{mvar|p}}-एडिक नंबर।<ref group="note">Translator's introduction, [https://books.google.com/books?id=Qxte2mhlEOYC&pg=PA35 page 35]: "Indeed, with hindsight it becomes apparent that a [[discrete valuation]] is behind Kummer's concept of ideal numbers."{{Harv|Dedekind|Weber|2012|p=35}}</ref>  {{mvar|p}|p}}-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, पी-एडिक विश्लेषण का क्षेत्र|{{mvar|p}}-ऐडिक विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन का एक वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।
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 एक धनात्मक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार <math>r</math> एक [[श्रृंखला (गणित)]] के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है
 :<math>r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},</math>
-कहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10.</math> इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> एक पूर्णांक है <math>a</math> ऐसा है कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k.</math> इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है <math>r'</math> जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है <math>r</math>. {{mvar|p}|p}}- एक परिमेय संख्या के आदिक विस्तार को इसी तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है <math>p</math>, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>r=p^k\tfrac n d,</math> कहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं दोनों सह अभाज्य हैं <math>p</math>, और <math>d</math> सकारात्मक है। पूर्णांक <math>k</math> है{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन <math>r</math>, निरूपित <math>v_p(r),</math> और <math>p^{-k}</math> क्या ऐसी बात है{{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान, निरूपित <math>|r|_p</math> (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लेखन शामिल है
+कहाँ <math>k</math> एक पूर्णांक है और प्रत्येक <math>a_i</math> भी एक [[पूर्णांक]] है जैसे कि <math>0\le a_i <10.</math> इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: <math>r=\tfrac n d</math> एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>10^k\le r <10^{k+1},</math> एक पूर्णांक है <math>a</math> ऐसा है कि <math>0< a <10,</math> और <math>r = a\,10^k +r',</math> साथ <math>r'<10^k.</math> इस परिणाम को शेषफल पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है <math>r'</math> जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या की भूमिका ग्रहण करता है <math>r</math>. {{mvar|p}|p}}- एक परिमेय संख्या के आदिक विस्तार को इसी तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन एक अलग विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या दी गई है <math>p</math>, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या <math>r</math> के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है <math>r=p^k\tfrac n d,</math> कहाँ <math>k</math> एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, <math>n</math> और <math>d</math> सह अभाज्य पूर्णांक हैं दोनों सह अभाज्य हैं <math>p</math>, और <math>d</math> सकारात्मक है। पूर्णांक <math>k</math> है{{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन <math>r</math>, निरूपित <math>v_p(r),</math> और <math>p^{-k}</math> क्या ऐसी बात है{{mvar|p}}-ऐडिक निरपेक्ष मान, निरूपित <math>|r|_p</math> (मूल्यांकन बड़ा होने पर पूर्ण मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लेखन समिलित है
 :{{anchor|division_step}}<math>r = a\,p^k + r'</math>
 कहाँ <math>a</math> एक पूर्णांक ऐसा है <math>0\le a <p,</math> और <math>r'</math> या तो शून्य है, या एक परिमेय संख्या है जैसे कि <math>|r'|_p < p^{-k}</math> (वह है, <math>v_p(r')>k</math>). <math>p</math>वें>-ऐडिक विस्तार की <math>r</math> [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] है
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 === उदाहरण ===
-आइए हम 5-एडिक विस्तार की गणना करें <math>\frac 13.</math> 5 के लिए बेज़ाउट की तत्समक और हर 3 है <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
+आइए हम <math>\frac 13</math> के 5-एडिक विस्तार की गणना करें।  विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3  <math>2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1</math> है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
 :<math>\frac 13= 2-\frac 53.</math>
-अगले चरण के लिए, विभाजित करना होगा <math>-1/3</math> (अंश के अंश में कारक 5 को अंकगणितीय बदलाव के रूप में देखा जाना चाहिए {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन, और इस प्रकार यह विभाजन में शामिल नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को इससे गुणा करना <math>-1</math> देता है
+अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा <math>-1/3</math> (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को  {{mvar|p}}-ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को <math>-1</math> से गुणा करने पर
-:<math>-\frac 13=-2+\frac 53.</math>
+:<math>-\frac 13=-2+\frac 53</math> प्राप्त होता है।
-पूर्णांक भाग <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा <math>5</math> प्राप्त करने के लिए <math>-2= 3-1\cdot 5,</math> दे रही है
+"पूर्णांक भाग" <math>-2</math> सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, <math>-2= 3-1\cdot 5</math> प्राप्त करने के लिए <math>5</math> से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो
 :<math>-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,</math>
 और
-:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2.</math>
+:<math>\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2</math> देगा।
-इसी तरह, एक है
+इसी तरह, एक के पास
 :<math>-\frac 23=1-\frac 53,</math>
 और
-:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3.</math>
+:<math>\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3</math> है।
-शेष के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है <math>3</math> [[समता (गणित)]] के लिए पाँच की शक्तियाँ, और <math>1</math> समता (गणित) शक्तियों के लिए।
+"शेष" के रूप में <math>-\tfrac 13</math> पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक <math>3</math> और [[समता (गणित)|सम]] घात के लिए <math>1</math> दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन <math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>
-या मानक 5-एडिक संकेतन में
-:<math>\frac 13= \ldots 1313132_5 </math>
+में [[अंडाकार|दीर्घवृत्त]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर।
-[[अंडाकार]] के साथ <math> \ldots </math> बाएं हाथ की ओर।
 ==p-ऐडिक सीरीज==
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 जहां हर अशून्य  <math>a_i</math> एक परिमेय संख्या है <math>a_i=\tfrac {n_i}{d_i},</math> ऐसा कि कोई नहीं <math>n_i</math> और <math>d_i</math> से विभाज्य है {{mvar|p}}.
-प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला एक शब्द के साथ, जिसमें इसके रूप का गुणनखंड शामिल है <math>p^k\tfrac nd,</math> साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}.
+प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रंखला एक शब्द के साथ, जिसमें इसके रूप का गुणनखंड समिलित है <math>p^k\tfrac nd,</math> साथ {{mvar|n}} और {{mvar|d}} दोनों साथ coprime {{mvar|p}}.
 ए {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है (गणित) <math>[0,p-1].</math> इतना {{mvar|p}एक परिमेय संख्या का }-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला।
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 होने देना <math display = inline>\sum_{i=k}^\infty a_i p^i</math> एक सामान्यीकृत हो {{mvar|p}}-एडिक सीरीज़, यानी प्रत्येक <math>a_i</math> अंतराल में एक पूर्णांक है <math>[0,p-1].</math> कोई ऐसा मान सकता है <math>k\le 0</math> व्यवस्थित करके <math>a_i=0</math> के लिए <math>0\le i <k</math> (अगर <math>k>0</math>), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ना।
-अगर <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में लिखना शामिल है <math>a_i</math> लगातार, के घटते मूल्यों द्वारा आदेश दिया गया {{mvar|i}}, अक्सर साथ {{mvar|p}} दाईं ओर एक अनुक्रमणिका के रूप में दिखाई दे रहा है:
+अगर <math>k\ge 0,</math> स्थितीय संकेतन में लिखना समिलित है <math>a_i</math> लगातार, के घटते मूल्यों द्वारा आदेश दिया गया {{mvar|i}}, अक्सर साथ {{mvar|p}} दाईं ओर एक अनुक्रमणिका के रूप में दिखाई दे रहा है:
 :<math>\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p</math>
 तो, #example की गणना से पता चलता है
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 == परिभाषा ==
-की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं {{mvar|p}}-एडिक नंबर। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में पेश की गई अवधारणाओं के अलावा कोई अन्य गणितीय अवधारणाएँ शामिल नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन रिंग के एक रिंग के समापन होने का उपयोग करती हैं (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक स्थान का समापन होना (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}).
+की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं {{mvar|p}}-एडिक नंबर। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में पेश की गई अवधारणाओं के अलावा कोई अन्य गणितीय अवधारणाएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन रिंग के एक रिंग के समापन होने का उपयोग करती हैं (देखें {{slink||''p''-adic integers}}), एक मीट्रिक स्थान का समापन होना (देखें {{slink||Topological properties}}), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें {{slink||Modular properties}}).
 ए {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|p}}-ऐडिक श्रृंखला। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक अक्सर कहता है कि एक सामान्यीकृत {{mvar|p}}-ऐडिक श्रेणी दर्शाती है a {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या, यह कहने के बजाय कि यह एक है {{mvar|p}}-ऐडिक संख्या।

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