आव्यूह अपघटन: Difference between revisions

Revision as of 11:19, 5 June 2023

रेखीय बीजगणित के गणितीय विद्याशाखा में, आव्यूह वियोजन या आव्यूह गुणनखंड आव्यूह के गुणनफल में एक आव्यूह का गुणनखंडन है। समस्याओं के एक विशेष वर्ग के मध्य अनेक भिन्न-भिन्न मैट्रिक्स अपघटन होते हैं, जिनमें से प्रत्येक का उपयोग होता है।

उदाहरण

संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल आव्यूह कलन विधि को प्रयुक्त करने के लिए विभिन्न वियोजन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ को हल करते समय, आव्यूह A को एलयू वियोजन के माध्यम से वियोजित किया जा सकता है। एलयू वियोजन एक आव्यूह को निम्न त्रिकोणीय आव्यूह L और एक ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह U में गुणनखंड करता है। प्रणाली $L(U\mathbf {x} )=\mathbf {b}$ तथा $U\mathbf {x} =L^{-1}\mathbf {b}$ मूल प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ , की तुलना में हल करने के लिए निम्न योग और गुणा की आवश्यकता होती है, यद्यपि अयथार्थ अंकगणित जैसे फ्लोटिंग पॉइंट में अर्थपूर्णता से अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है ।

इसी तरह, क्यूआर वियोजन A को QR के रूप में Q लांबिक आव्यूह और R ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह के रूप में व्यक्त करता है। प्रणाली Q(Rx) = b को Rx = Q^Tb = c द्वारा हल किया जाता है और प्रणाली Rx = c को 'पुनः प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर (समाधानकर्ता) का उपयोग करने के लिए आवश्यक योग और गुणा की संख्या प्रायः दोगुनी है, किन्तु अयथार्थ अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि क्यूआर वियोजन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों के समाधान से संबंधित वियोजन

एलयू वियोजन

परंपरागत रूप से प्रयोज्य: वर्ग मैट्रिक्स A, यद्यपि आयताकार मैट्रिक्स प्रयुक्त हो सकते हैं।^[1]^{[nb 1]}
वियोजन: $A=LU$ , जहां L निम्नतर त्रिकोणीय मैट्रिक्स तथा U उच्चतर त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
संबंधित: एलडीयू वियोजन $A=LDU$ है, जहाँ L विकर्ण निम्नतर त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, U विकर्ण पर उच्चतर त्रिकोणीय मैट्रिक्स और D एक विकर्ण मैट्रिक्स है।
संबंधित: एलयूपी वियोजन $PA=LU$ है, जहां L निम्नतर त्रिकोणीय, U ऊपरी त्रिकोणीय तथा P क्रमचय आव्यूह है।
अस्तित्व: किसी भी वर्ग आव्यूह A के लिए एक एलयूपी वियोजन उपस्थित है। जब P तत्समक आव्यूह है, तो एलयूपी वियोजन एलयू वियोजन में न्यूनीकृत हो जाता है।
टिप्पणियां:एलयूपी और एलयू वियोजन रैखिक समीकरणों $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ . की n-by-n प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं। ये वियोजन आव्यूह के रूप में गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। आव्यूह पी गाऊसी उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति विनिमय का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गाऊसी उन्मूलन किसी भी पंक्ति विनिमय की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P = I होता है, इसलिए LU वियोजन उपस्थित होती है।

एलयू न्यूनीकरण

ब्लॉक एलयू वियोजन

श्रेणी गुणनखंडन

इसके लिए प्रयोज्य: श्रेणी r के एम-बाय-एन आव्यूह A पर प्रयुक्त
वियोजन: $A=CF$ है जहां C m-by-r पूर्ण स्तंभ श्रेणी आव्यूह और F r-by-n पूर्ण पंक्ति श्रेणी आव्यूह है
टिप्पणी: श्रेणी गुणनखंडन का उपयोग A के मूर-पेनरोज़ छद्मविपरीत की गणना करने के लिए किया जा सकता है,^[2] जो रैखिक प्रणाली $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

चोल्स्की वियोजन

इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स $A$
वियोजन: $A=U^{*}U$ , जहाँ $U$ वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स $A$ हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें $A=U^{*}U$ के रूप में वियोजन होता है यदि $U$ की विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य होने की अनुमति है
विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की वियोजन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
टिप्पणी: यदि $A$ वास्तविक और सममित है, $U$ में सभी वास्तविक तत्व हैं।
टिप्पणी: एक विकल्प एलडीएल अपघटन वियोजन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।

क्यूआर अपघटन

इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स $A$
वियोजन: $A=QR$ जहाँ $Q$ एम-बाय-एम आकार का एक एकात्मक मैट्रिक्स है, और $R$ एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि $A$ पूर्ण मैट्रिक्स श्रेणी का है, तो वहाँ एकल $R$ उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि $A$ वर्गाकार है, तो $Q$ भी अद्वितीय है।
टिप्पणी: क्यूआर वियोजन समीकरण $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ . की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि $Q$ लांबिक है इसका अर्थ है कि

[1]

[nb 1]

[2]

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 {{main|चोल्स्की वियोजन}}
 *इसके लिए प्रयोज्य: वर्ग मैट्रिक्स, [[सममित मैट्रिक्स]], [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] मैट्रिक्स <math>A</math>
-* अपघटन: <math>A=U^*U</math>, कहाँ <math>U</math> वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
+* वियोजन: <math>A=U^*U</math>, जहाँ <math>U</math> वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
-*टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स <math>A</math> हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें फॉर्म का अपघटन होता है <math>A=U^*U</math> यदि की विकर्ण प्रविष्टियाँ <math>U</math> शून्य होने की अनुमति है
+*टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स <math>A</math> हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें <math>A=U^*U</math> के रूप में वियोजन होता है यदि <math>U</math> की विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य होने की अनुमति है
-*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोलस्की अपघटन अद्वितीय है। हालांकि, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मामले में यह अद्वितीय नहीं है।
+*विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोल्स्की वियोजन अद्वितीय है। यद्यपि, घनात्मक अर्ध-निश्चित स्थितियों में यह अद्वितीय नहीं है।
-*टिप्पणी: अगर <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> सभी वास्तविक तत्व हैं
+*टिप्पणी: यदि <math>A</math> वास्तविक और सममित है, <math>U</math> में सभी वास्तविक तत्व हैं।
-*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन]] है, जो वर्गमूल निकालने से बच सकता है।
+*टिप्पणी: एक विकल्प [[एलडीएल अपघटन]] वियोजन है, जो वर्गमूल निष्कर्षण से परिवर्जन कर सकता है।
 === क्यूआर अपघटन ===
 {{main|क्यूआर अपघटन}}
-*इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए
+*इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स <math>A</math>
-* अपघटन: <math>A=QR</math> कहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] है, और <math>R</math> आकार m-by-n का त्रिकोणीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स है
+* वियोजन: <math>A=QR</math> जहाँ <math>Q</math> एम-बाय-एम आकार का एक [[एकात्मक मैट्रिक्स]] है, और <math>R</math> एम-बाय-एन आकार का ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
-*विशिष्टता: सामान्य तौर पर यह अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक]] का है, तो एकल मौजूद है <math>R</math> जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व हों। अगर <math>A</math> वर्गाकार भी है <math>Q</math> निराला है।
+*विशिष्टता: सामान्यतः यह अद्वितीय नहीं है, किन्तु यदि <math>A</math> पूर्ण [[मैट्रिक्स रैंक|मैट्रिक्स श्रेणी]] का है, तो वहाँ एकल <math>R</math> उपस्थित है जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व है। यदि <math>A</math> वर्गाकार है, तो <math>Q</math> भी अद्वितीय है।
-*टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. यह तथ्य कि <math>Q</math> ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मतलब है <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math>, ताकि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math> के बराबर है <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>, जिसे हल करना बहुत आसान है <math>R</math> त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।
+*टिप्पणी: क्यूआर वियोजन समीकरण <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>. की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है। यह तथ्य कि <math>Q</math> लांबिक है इसका अर्थ है कि <math>Q^{\mathrm{T}}Q=I</math> है जिससे कि <math>A \mathbf{x} = \mathbf{b}</math>, <math>R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}</math>,  के समान है, जिसे हल करना अधिक सरल है क्योंकि <math>R</math> त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।
 === आरआरक्यूआर कारककरण ===
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 {{main|इंटरपोलेटिव अपघटन}}
-== eigenvalues और संबंधित अवधारणाओं के आधार पर अपघटन ==
+== ईगेनवैल्यू और संबंधित अवधारणाओं के आधार पर वियोजन ==
-=== आइगेनडीकंपोजीशन ===
+=== ईगेन वियोजन ===
-{{main|Eigendecomposition (matrix)}}
+{{main|ईगेन वियोजन(मैट्रिक्स)}}
-*स्पेक्ट्रल अपघटन (मैट्रिक्स) भी कहा जाता है।
+*मानावलीय वियोजन भी कहा जाता है।
-* इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टरों के साथ वर्ग मैट्रिक्स ए (जरूरी नहीं कि अलग-अलग ईजेनवेल्यूज)।
+* इसके लिए प्रयोज्य: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईगेनवेक्टर के साथ वर्ग मैट्रिक्स ए (जरूरी नहीं कि अलग-अलग ईजेनवेल्यूज)।
 * अपघटन: <math>A=VDV^{-1}</math>, जहां D, A के [[eigenvalue]]s से बना एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और V के कॉलम A के संगत [[eigenvector]]s हैं।
 *अस्तित्व: एक n-by-n मैट्रिक्स A में हमेशा n (जटिल) eigenvalues होते हैं, जिन्हें n-by-n विकर्ण मैट्रिक्स D और गैर-स्तंभ V के संगत मैट्रिक्स बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है। आइगेनवैल्यू समीकरण को संतुष्ट करता है <math>AV=VD</math>.  <math>V</math> व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल अगर एन ईजेनवेक्टर [[रैखिक स्वतंत्रता]] हैं (अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजीय बहुलता के बराबर [[ज्यामितीय बहुलता]] है)। ऐसा होने के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि सभी ईगेनवैल्यू अलग-अलग हैं (इस मामले में ज्यामितीय और [[बीजगणितीय बहुलता]] 1 के बराबर हैं)

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