एर्गोडिसिटी: Difference between revisions

गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तो[[गतिशील प्रणाली]] या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की [[कक्षा (गतिकी)|प्रक्षेपवक्र(गतिकी)]] से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। [[एर्गोडिक सिद्धांत]] एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है।

एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और [[ज्यामिति]] में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर [[ geodesic |जियोडेसिक्स]] अलग-अलग होते हैं; जब वह कई गुना [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट]] होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है।

एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा [[मिश्रण (गणित)]] की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है।

एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। प्रभावशाली रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।

एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी जगह भरते हैं, जैसे [[प्रसार|विसरण]] और [[एक प्रकार कि गति|ब्राउनियन गति]], साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, औद्योगिक प्रक्रिया मिश्रण, धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि वलय में धूल इत्यादि। ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक प्रणाली का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से शुरू होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math>

सेट <math>X</math> को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) <math>\mu</math> स्थान की प्राकृतिक वॉल्यूम <math>X</math> और इसके उप-स्थान को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}</math>, और किसी दिए गए [[सबसेट|उपसमुच्चय]] <math>A\subset X</math> का आकार <math>\mu(A)</math> है; आकार इसकी वॉल्यूम है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है <math>\mathcal{A}</math> का [[ सत्ता स्थापित | घात समुच्चय]] होना <math>X</math>; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में वॉल्यूम नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, [[बनच-तर्स्की विरोधाभास]])। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, <math>\mathcal{A}</math> मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें वॉल्यूम होता है। इसे हमेशा [[बोरेल सेट]] के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे [[ चौराहा सेट करें |प्रतिच्छेदन]], समुच्च और खुले सेटों के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया जाता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है।

प्रणाली का समय विकास मैप (गणित) द्वारा वर्णित है <math>T:X\to X</math>. कुछ उपसमुच्चय दिया <math>A\subset X</math>, इसका मैप <math>T(A)</math> सामान्य रूप से एक विकृत संस्करण होगा <math>A</math> - इसे स्क्वैश या स्ट्रेच जाता है, मोड़ा या टुकड़ों में काटा जाता है। गणितीय उदाहरणों में बेकर का मैप और [[घोड़े की नाल का नक्शा|हर्सशू मैप]] शामिल है, दोनों [[रोटी]] बनाने से प्रेरित हैं। सेट <math>T(A)</math> के समान वॉल्यूम होनी चाहिए <math>A</math>; स्क्वैशिंग/स्ट्रेचिंग से स्थान का वॉल्यूम नहीं बदलता है, केवल इसका वितरण होता है। ऐसी प्रणाली "माप-संरक्षण" (क्षेत्र-संरक्षण, वॉल्यूम-संरक्षण) है।

औपचारिक कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब कोई मैप के अंतर्गत उनके आकार को संरक्षित करने की आवश्यकता के साथ सेट की वॉल्यूम को समेटने का प्रयास करता है। समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि सामान्य तौर पर, किसी फलन के प्रांत में कई अलग-अलग बिंदु इसकी सीमा में एक ही बिंदु पर मैप कर सकते हैं; अर्थात् <math>x \ne y</math> साथ <math>T(x) = T(y)</math> हो सकता है इससे भी बदतर, एक बिंदु <math>x \in X</math> कोई आकार नहीं है। व्युत्क्रम मैप के साथ काम करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है <math>T^{-1}: \mathcal{A}\to\mathcal{A}</math>; यह किसी दिए गए उपसमुच्चय को मैप करेगा <math>A \subset X</math> उन भाग के लिए जो इसे बनाने के लिए इकट्ठे किए गए थे: ये भाग हैं <math>T^{-1}(A)\in\mathcal{A}</math>, इसमें यह महत्वपूर्ण विशेषता है कि चीजें कहां से आई हैं इसका ट्रैक न खोएं। अधिक दृढ़ता से, इसमें महत्वपूर्ण विशेषता है कि कोई भी (माप-संरक्षण) मैप <math>\mathcal{A}\to\mathcal{A}</math> किसी मैप का विलोम है <math>X\to X</math>, वॉल्यूम-संरक्षण मैप की उचित परिभाषा वह है जिसके लिए <math>\mu(A) = \mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right)</math> क्योंकि <math>T^{-1}(A)</math> सभी टुकड़ों-भागों का वर्णन <math>A</math> से आया है।

अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर सेट <math>A\in\mathcal{A}</math> अंत में सभी को भरने के लिए आता है <math>X</math> लंबे समय तक (यानी, अगर <math>T^n(A)</math> सभी के पास पहुंचता है <math>X</math> बड़े के लिए <math>n</math>), प्रणाली को [[ एर्गोडिक प्रणाली |एर्गोडिक प्रणाली]] कहा जाता है। अगर हर सेट <math>A</math> इस तरह से आचरण करता है, प्रणाली [[रूढ़िवादी प्रणाली|संरक्षी निकाय]] है, जो [[अपव्यय प्रणाली|क्षयी तंत्र]] के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय <math>A</math> अस्थिर सेट, कभी वापस नहीं किया जाता है। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। एर्गोडिक अपघटन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग।

एर्गोडिसिटी की तुलना में मिक्सिंग एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक विशेषता को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है <math>A, B</math>, और न केवल कुछ सेट के बीच <math>A</math> और <math>X</math>. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं <math>A, B\in\mathcal{A}</math>, यदि कोई पूर्णांक है तो प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है <math>N</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>A, B</math> और <math>n>N</math>, एक के पास है <math>T^n(A) \cap B \ne \varnothing</math>. यहाँ, <math>\cap</math> सेट सर्वनिष्ठ को दर्शाता है और <math>\varnothing</math> [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] है। मिश्रण की अन्य धारणाओं में मजबूत और कमजोर मिश्रण शामिल हैं, जो इस धारणा का वर्णन करते हैं कि मिश्रित पदार्थ हर जगह समान अनुपात में मिलते हैं। यह गैर-तुच्छ हो सकता है, जैसा कि चिपचिपे, चिपचिपे पदार्थों को मिलाने के व्यावहारिक अनुभव से पता चलता है।

उपरोक्त चर्चा वॉल्यूम के भौतिक अर्थ की अपील करती है। वॉल्यूम को शाब्दिक रूप से 3D स्थान का कुछ भाग होना आवश्यक नहीं है; यह कुछ अमूर्त वॉल्यूम हो सकता है। यह आम तौर पर सांख्यिकीय प्रणालियों में होता है, जहां संभाव्यता द्वारा वॉल्यूम (माप) दी जाती है। कुल वॉल्यूम प्रायिकता एक से मेल खाती है। यह पत्राचार काम करता है क्योंकि [[संभाव्यता सिद्धांत]] के सिद्धांत माप सिद्धांत के समान हैं; ये संभाव्यता [[स्वयंसिद्ध]] हैं।

वॉल्यूम का विचार बहुत सार हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी संभव कॉइन-फ्लिप्स के सेट पर विचार करें: हेड्स और टेल्स के अनंत अनुक्रमों का सेट है। इस स्थान को 1 का वॉल्यूम निर्दिष्ट करते हुए, यह स्पष्ट है कि ऐसे सभी अनुक्रमों में से आधे हेड्स से शुरू होते हैं, और आधे टेल्स से शुरू होते हैं। कोई इस वॉल्यूम को अन्य तरीकों से स्लाइस कर सकता है: कोई कह सकता है कि "मुझे पहले की परवाह नहीं है <math>n - 1</math> कॉइन-फ्लिप्स; लेकिन मैं चाहता हूँ <math>n</math> उनमें से वें हेड्स होने के लिए, और उसके बाद जो आता है उसके बारे में मुझे परवाह नहीं है। इसे सेट के रूप में लिखा जा सकता है <math>(*, \cdots, *, h, *, \cdots)</math> जहाँ <math>*</math> "परवाह मत करो" और <math>h</math> हेड्स है। इस स्थान का वॉल्यूम फिर से आधा है।

उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला  <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक उपायों का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस उपाय को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है।

'''कॉइन-फ्लिप प्रक्रिया के लिए, टाइम'''-इवोल्यूशन ऑपरेटर <math>T</math> [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है जो कहता है कि पहला सिक्का-फ्लिप फेंक दो, और बाकी को रख दो। औपचारिक रूप से, यदि <math>(x_1, x_2, \cdots)</math> सिक्का-उत्क्षेप का एक क्रम है, फिर <math>T(x_1, x_2, \cdots) = (x_2, x_3, \cdots)</math>. माप स्पष्ट रूप से शिफ्ट-इनवेरिएंट है: जब तक हम किसी सेट के बारे में बात कर रहे हैं <math>A\in\mathcal{A}</math> जहां पहला सिक्का-फ्लिप <math>x_1 = *</math> ध्यान न दें मान है, फिर वॉल्यूम है <math>\mu(A)</math> बदलना मत: <math>\mu(A) = \mu(T(A))</math>. पहले कॉइन-फ्लिप के बारे में बात करने से बचने के लिए, इसे परिभाषित करना आसान है <math>T^{-1}</math> पहली स्थिति में परवाह न करें मान डालने के रूप में: <math>T^{-1}(x_1, x_2, \cdots) = (*, x_1, x_2, \cdots)</math>. इस परिभाषा के साथ, स्पष्ट रूप से वह है <math>\mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right) = \mu(A)</math> बिना किसी बाध्यता के <math>A</math>. यह फिर से क्यों का एक उदाहरण है <math>T^{-1}</math> औपचारिक परिभाषाओं में प्रयोग किया जाता है।

उपरोक्त विकास एक यादृच्छिक प्रक्रिया, बर्नौली प्रक्रिया लेता है, और इसे माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली में परिवर्तित करता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math> समान रूपांतरण (तुल्यता, समरूपता) किसी भी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर लागू किया जा सकता है। इस प्रकार, ergodicity की एक अनौपचारिक परिभाषा यह है कि एक अनुक्रम ergodic है अगर यह सभी का दौरा करता है <math>X</math>; इस तरह के क्रम प्रक्रिया के लिए विशिष्ट हैं। दूसरा यह है कि इसके सांख्यिकीय गुणों को प्रक्रिया के एक एकल, पर्याप्त रूप से लंबे, यादृच्छिक नमूने से घटाया जा सकता है (इस प्रकार समान रूप से सभी का नमूना लेना)। <math>X</math>), या यह कि किसी प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का कोई भी संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, समान रूप से नमूने लिए गए नमूने) <math>X</math> के प्रतिनिधि हैं <math>X</math> एक पूरे के रूप में।) वर्तमान उदाहरण में, सिक्के के उत्क्षेप का एक क्रम, जहाँ आधे हेड्स हैं, और आधे टेल्स हैं, एक विशिष्ट क्रम है।

बरनौली प्रक्रिया के बारे में कई महत्वपूर्ण बातें बताई जानी हैं। यदि कोई टेल्स के लिए 0 और हेड्स के लिए 1 लिखता है, तो उसे बाइनरी अंकों के सभी अनंत तारों का सेट मिलता है। ये [[वास्तविक संख्या]]ओं के आधार-दो विस्तार के अनुरूप हैं। स्पष्ट रूप से, एक क्रम दिया <math>(x_1, x_2, \cdots)</math>, संगत वास्तविक संख्या है

बयान है कि बर्नौली प्रक्रिया एर्गोडिक है, बयान के बराबर है कि वास्तविक संख्याएं समान रूप से वितरित की जाती हैं। ऐसे सभी स्ट्रिंग्स के सेट को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: <math>\{h, t\}^\infty = \{h, t\}^\omega = \{0, 1\}^\omega = 2^\omega = 2^\mathbb{N}.</math> यह सेट [[कैंटर सेट]] है, जिसे कभी-कभी कैंटर फलन के साथ भ्रम से बचने के लिए [[कैंटर स्पेस]] कहा जाता है

कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह डी राम वक्र|पीरियड-डबलिंग फ्रैक्टल्स; [[गणितीय विश्लेषण]] में, यह विभिन्न प्रकार के प्रमेयों में प्रकट होता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए एक महत्वपूर्ण [[वॉल्ड अपघटन]] है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी [[स्थिर प्रक्रिया]] को असंबद्ध प्रक्रियाओं की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, एक निर्धारक, और दूसरा एक [[चलती औसत प्रक्रिया]] है।

[[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया एक बर्नौली योजना (एक एन-पक्षीय (और संभवतः अनुचित) [[पासा]] के साथ एक बर्नौली प्रक्रिया) के बराबर है। अन्य परिणामों में शामिल है कि प्रत्येक गैर-विघटनकारी एर्गोडिक प्रणाली [[मार्कोव ओडोमीटर]] के बराबर है, जिसे कभी-कभी एक जोड़ने वाली मशीन भी कहा जाता है क्योंकि यह प्राथमिक-विद्यालय जोड़ की तरह दिखता है, यानी आधार-एन अंक अनुक्रम लेना, एक जोड़ना और कैरी बिट्स का प्रचार करना . तुल्यता का प्रमाण बहुत सारगर्भित है; परिणाम को समझना नहीं है: प्रत्येक समय कदम पर एक जोड़कर, ओडोमीटर की हर संभव स्थिति का दौरा किया जाता है, जब तक कि यह लुढ़कता नहीं है, और फिर से शुरू होता है। इसी तरह, एर्गोडिक प्रणाली प्रत्येक राज्य का दौरा करते हैं, समान रूप से, अगले पर चलते हुए, जब तक कि वे सभी का दौरा नहीं किया जाता।

प्रणाली जो एन अक्षरों के अनुक्रम (अनंत) उत्पन्न करते हैं, प्रतीकात्मक गतिकी के माध्यम से अध्ययन किए जाते हैं। महत्वपूर्ण विशेष मामलों में परिमित प्रकार और [[सोफिक प्रणाली]] के सबशिफ्ट शामिल हैं।

एर्गोडिक शब्द आमतौर पर [[ग्रीक भाषा]] के शब्दों से लिया गया माना जाता है {{lang|el|ἔργον}} (एर्गन: काम ) और {{lang|el|ὁδός}} (होडोस: पाथ, वे), जैसा कि लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा चुना गया था जब वह [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में एक समस्या पर काम कर रहे थे।<ref>{{Harvard citations|last = Walters|year = 1982|loc = §0.1, p. 2|nb = yes}}</ref> साथ ही यह भी दावा किया जाता है कि यह एर्गोमोनोड की व्युत्पत्ति है, जिसे 1884 से अपेक्षाकृत अस्पष्ट पेपर में बोल्ट्जमैन द्वारा गढ़ा गया था। व्युत्पत्ति अन्य तरीकों से भी विवादित प्रतीत होती है।<ref>{{cite journal | last = Gallavotti | first = Giovanni | date = 1995 | title = बोल्ट्जमैन और उसके बाद की एर्गोडिसिटी, पहनावा, अपरिवर्तनीयता| journal = Journal of Statistical Physics | volume = 78 | issue = 5–6 | pages = 1571–1589 | doi        = 10.1007/BF02180143 | arxiv = chao-dyn/9403004 | bibcode = 1995JSP....78.1571G | s2cid = 17605281 }}</ref>

उदाहरण के लिए, [[शास्त्रीय भौतिकी]] में इस शब्द का तात्पर्य है कि एक प्रणाली ऊष्मप्रवैगिकी की एर्गोडिक परिकल्पना को संतुष्ट करती है,<ref name="Feller2008">{{cite book |first=William |last=Feller |title=प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय|edition=2nd |url={{google books |plainurl=y |id=OXkg-LvRgjUC |page=271}} |date=1 August 2008 |publisher=Wiley India Pvt. Limited |isbn=978-81-265-1806-7 |page=271}}</ref> प्रासंगिक राज्य स्थान [[स्थिति और गति स्थान]] है।