एर्गोडिसिटी: Difference between revisions

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एर्गोडिक सिस्टम भौतिकी और [[ज्यामिति]] में सिस्टम की एक विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे एक सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर [[ geodesic ]]्स अलग-अलग होते हैं; जब वह मैनिफोल्ड [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्पेस को भरते हैं।

एर्गोडिक सिस्टम सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का एक ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो फ़्लिप करता है एक अच्छा सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में एक मजबूत अवधारणा [[मिश्रण (गणित)]] की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना।

एर्गोडिसिटी का उचित गणितीय सूत्रीकरण [[माप सिद्धांत]] और गतिशील प्रणालियों की औपचारिक परिभाषाओं पर और विशेष रूप से [[माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली]] की धारणा पर स्थापित किया गया है। एर्गोडिसिटी की उत्पत्ति [[सांख्यिकीय भौतिकी]] में है, जहां [[लुडविग बोल्ट्जमैन]] ने [[एर्गोडिक परिकल्पना]] तैयार की।

एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। नाटकीय रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।

एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी जगह भरते हैं, जैसे [[प्रसार]] और [[एक प्रकार कि गति]], साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, मिश्रण (प्रोसेस इंजीनियरिंग), धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि के छल्लों में धूल इत्यादि। एक ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक सिस्टम का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से शुरू होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math>

सेट <math>X</math> भरे जाने वाले कुल स्थान को समझा जाता है: मिश्रण का कटोरा, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) <math>\mu</math> अंतरिक्ष की प्राकृतिक मात्रा को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है <math>X</math> और इसके उप-स्थान। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}</math>, और किसी दिए गए [[सबसेट]] का आकार <math>A\subset X</math> है <math>\mu(A)</math>; आकार इसकी मात्रा है। भोलेपन से, कोई कल्पना कर सकता है <math>\mathcal{A}</math> का [[ सत्ता स्थापित ]] होना <math>X</math>; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि अंतरिक्ष के सभी उपसमुच्चय में मात्रा नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, [[बनच-तर्स्की विरोधाभास]])। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, <math>\mathcal{A}</math> मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें आयतन होता है। इसे हमेशा एक [[बोरेल सेट]] के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे [[ चौराहा सेट करें ]], [[ संघ स्थापित करें ]] और खुले सेटों के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया जा सकता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है।

सिस्टम का समय विकास मानचित्र (गणित) द्वारा वर्णित है <math>T:X\to X</math>. कुछ उपसमुच्चय दिया <math>A\subset X</math>, इसका नक्शा <math>T(A)</math> का एक विकृत संस्करण होगा <math>A</math> - इसे कुचला या फैलाया जाता है, मोड़ा जाता है या टुकड़ों में काटा जाता है। गणितीय उदाहरणों में बेकर का नक्शा और [[घोड़े की नाल का नक्शा]] शामिल है, दोनों [[रोटी]] बनाने से प्रेरित हैं। सेट <math>T(A)</math> के समान मात्रा होनी चाहिए <math>A</math>; स्क्वैशिंग/स्ट्रेचिंग से स्थान का आयतन नहीं बदलता है, केवल इसका वितरण होता है। ऐसी प्रणाली माप-संरक्षण (क्षेत्र-संरक्षण, आयतन-संरक्षण) है।

एक औपचारिक कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब कोई मानचित्र के अंतर्गत उनके आकार को संरक्षित करने की आवश्यकता के साथ सेट की मात्रा को समेटने का प्रयास करता है। समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि सामान्य तौर पर, किसी फ़ंक्शन के डोमेन में कई अलग-अलग बिंदु इसकी सीमा में एक ही बिंदु पर मैप कर सकते हैं; अर्थात् हो सकता है <math>x \ne y</math> साथ <math>T(x) = T(y)</math>. इससे भी बदतर, एक बिंदु <math>x \in X</math> कोई आकार नहीं है। उलटे नक्शे के साथ काम करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है <math>T^{-1}: \mathcal{A}\to\mathcal{A}</math>; यह किसी दिए गए सबसेट को मैप करेगा <math>A \subset X</math> उन पुर्जों के लिए जो इसे बनाने के लिए इकट्ठे किए गए थे: ये पुर्जे हैं <math>T^{-1}(A)\in\mathcal{A}</math>. इसमें यह महत्वपूर्ण संपत्ति है कि चीजें कहां से आई हैं इसका ट्रैक न खोएं। अधिक दृढ़ता से, इसमें महत्वपूर्ण संपत्ति है कि कोई भी (माप-संरक्षण) मानचित्र <math>\mathcal{A}\to\mathcal{A}</math> किसी मानचित्र का विलोम है <math>X\to X</math>. आयतन-संरक्षण मानचित्र की उचित परिभाषा वह है जिसके लिए <math>\mu(A) = \mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right)</math> क्योंकि <math>T^{-1}(A)</math> सभी टुकड़ों-भागों का वर्णन करता है <math>A</math> से आया।

एक अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर एक सेट <math>A\in\mathcal{A}</math> अंत में सभी को भरने के लिए आता है <math>X</math> लंबे समय तक (यानी, अगर <math>T^n(A)</math> सभी के पास पहुंचता है <math>X</math> बड़े के लिए <math>n</math>), सिस्टम को [[ एर्गोडिक प्रणाली ]] कहा जाता है। अगर हर सेट <math>A</math> इस तरह से व्यवहार करता है, प्रणाली एक [[रूढ़िवादी प्रणाली]] है, जो एक [[अपव्यय प्रणाली]] के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय <math>A</math> भटकने वाला सेट, कभी वापस नहीं किया जाना। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। हॉफ अपघटन बताता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग।

मिश्रण (गणित) एर्गोडिसिटी की तुलना में एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक संपत्ति को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है <math>A, B</math>, और न केवल कुछ सेट के बीच <math>A</math> और <math>X</math>. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं <math>A, B\in\mathcal{A}</math>, यदि कोई पूर्णांक है तो एक प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है <math>N</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>A, B</math> और <math>n>N</math>, एक के पास है <math>T^n(A) \cap B \ne \varnothing</math>. यहाँ, <math>\cap</math> सेट चौराहे को दर्शाता है और <math>\varnothing</math> [[खाली सेट]] है। मिश्रण की अन्य धारणाओं में मजबूत और कमजोर मिश्रण शामिल हैं, जो इस धारणा का वर्णन करते हैं कि मिश्रित पदार्थ हर जगह समान अनुपात में मिलते हैं। यह गैर-तुच्छ हो सकता है, जैसा कि चिपचिपे, चिपचिपे पदार्थों को मिलाने के व्यावहारिक अनुभव से पता चलता है।

{{main|Ergodic process}}

उपरोक्त चर्चा मात्रा के भौतिक अर्थ की अपील करती है। वॉल्यूम को सचमुच [[अंतरिक्ष]] का कुछ हिस्सा नहीं होना चाहिए; यह कुछ अमूर्त आयतन हो सकता है। यह आम तौर पर सांख्यिकीय प्रणालियों में होता है, जहां संभाव्यता द्वारा मात्रा (माप) दी जाती है। कुल मात्रा प्रायिकता एक से मेल खाती है। यह पत्राचार काम करता है क्योंकि [[संभाव्यता सिद्धांत]] के सिद्धांत माप सिद्धांत के समान हैं; ये संभाव्यता [[स्वयंसिद्ध]] हैं।{{citation needed|date=November 2021}}

मात्रा का विचार बहुत सार हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी संभव कॉइन-फ्लिप्स के सेट पर विचार करें: हेड्स और टेल्स के अनंत अनुक्रमों का सेट। इस स्थान को 1 का आयतन निर्दिष्ट करते हुए, यह स्पष्ट है कि ऐसे सभी अनुक्रमों में से आधे सिर से शुरू होते हैं, और आधे पूंछ से शुरू होते हैं। कोई इस वॉल्यूम को अन्य तरीकों से स्लाइस कर सकता है: कोई कह सकता है कि मुझे पहले की परवाह नहीं है <math>n - 1</math> सिक्का उछाल; लेकिन मैं चाहता हूँ <math>n</math>उनमें से वें सिर होने के लिए, और उसके बाद जो आता है उसके बारे में मुझे परवाह नहीं है। इसे सेट के रूप में लिखा जा सकता है <math>(*, \cdots, *, h, *, \cdots)</math> कहाँ <math>*</math> परवाह नहीं है और <math>h</math> सिर है। इस स्थान का आयतन फिर से आधा है।

उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। के सेट <math>h</math> या <math>t</math> में होने वाला  <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित चौराहों, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)]] पर एक [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले सिक्के-फ़्लिप। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की मात्रा है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता ]] | सिग्मा-एडिटिव माप; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक उपायों का उपयोग करती हैं। सिक्का उछालने के लिए, इस उपाय को [[बर्नौली उपाय]] कहा जाता है।

कॉइन-फ्लिप प्रक्रिया के लिए, टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर <math>T</math> [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है जो कहता है कि पहला सिक्का-फ्लिप फेंक दो, और बाकी को रख दो। औपचारिक रूप से, यदि <math>(x_1, x_2, \cdots)</math> सिक्का-फ़्लिप का एक क्रम है, फिर <math>T(x_1, x_2, \cdots) = (x_2, x_3, \cdots)</math>. माप स्पष्ट रूप से शिफ्ट-इनवेरिएंट है: जब तक हम किसी सेट के बारे में बात कर रहे हैं <math>A\in\mathcal{A}</math> जहां पहला सिक्का-फ्लिप <math>x_1 = *</math> ध्यान न दें मान है, फिर वॉल्यूम है <math>\mu(A)</math> बदलना मत: <math>\mu(A) = \mu(T(A))</math>. पहले कॉइन-फ्लिप के बारे में बात करने से बचने के लिए, इसे परिभाषित करना आसान है <math>T^{-1}</math> पहली स्थिति में परवाह न करें मान डालने के रूप में: <math>T^{-1}(x_1, x_2, \cdots) = (*, x_1, x_2, \cdots)</math>. इस परिभाषा के साथ, स्पष्ट रूप से वह है <math>\mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right) = \mu(A)</math> बिना किसी बाध्यता के <math>A</math>. यह फिर से क्यों का एक उदाहरण है <math>T^{-1}</math> औपचारिक परिभाषाओं में प्रयोग किया जाता है।

उपरोक्त विकास एक यादृच्छिक प्रक्रिया, बर्नौली प्रक्रिया लेता है, और इसे माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली में परिवर्तित करता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math> समान रूपांतरण (तुल्यता, समरूपता) किसी भी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर लागू किया जा सकता है। इस प्रकार, ergodicity की एक अनौपचारिक परिभाषा यह है कि एक अनुक्रम ergodic है अगर यह सभी का दौरा करता है <math>X</math>; इस तरह के क्रम प्रक्रिया के लिए विशिष्ट हैं। दूसरा यह है कि इसके सांख्यिकीय गुणों को प्रक्रिया के एक एकल, पर्याप्त रूप से लंबे, यादृच्छिक नमूने से घटाया जा सकता है (इस प्रकार समान रूप से सभी का नमूना लेना)। <math>X</math>), या यह कि किसी प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का कोई भी संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, समान रूप से नमूने लिए गए नमूने) <math>X</math> के प्रतिनिधि हैं <math>X</math> एक पूरे के रूप में।) वर्तमान उदाहरण में, सिक्के के फ़्लिप का एक क्रम, जहाँ आधे सिर हैं, और आधे पूंछ हैं, एक विशिष्ट क्रम है।

बरनौली प्रक्रिया के बारे में कई महत्वपूर्ण बातें बताई जानी हैं। यदि कोई पूंछ के लिए 0 और सिर के लिए 1 लिखता है, तो उसे बाइनरी अंकों के सभी अनंत तारों का सेट मिलता है। ये [[वास्तविक संख्या]]ओं के आधार-दो विस्तार के अनुरूप हैं। स्पष्ट रूप से, एक क्रम दिया <math>(x_1, x_2, \cdots)</math>, संगत वास्तविक संख्या है

बयान है कि बर्नौली प्रक्रिया एर्गोडिक है, बयान के बराबर है कि वास्तविक संख्याएं समान रूप से वितरित की जाती हैं। ऐसे सभी स्ट्रिंग्स के सेट को विभिन्न तरीकों से लिखा जा सकता है: <math>\{h, t\}^\infty = \{h, t\}^\omega = \{0, 1\}^\omega = 2^\omega = 2^\mathbb{N}.</math> यह सेट [[कैंटर सेट]] है, जिसे कभी-कभी कैंटर फ़ंक्शन के साथ भ्रम से बचने के लिए [[कैंटर स्पेस]] कहा जाता है

कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह डी राम वक्र|पीरियड-डबलिंग फ्रैक्टल्स; [[गणितीय विश्लेषण]] में, यह विभिन्न प्रकार के प्रमेयों में प्रकट होता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए एक महत्वपूर्ण [[वॉल्ड अपघटन]] है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी [[स्थिर प्रक्रिया]] को असंबद्ध प्रक्रियाओं की एक जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, एक निर्धारक, और दूसरा एक [[चलती औसत प्रक्रिया]] है।

[[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया एक बर्नौली योजना (एक एन-पक्षीय (और संभवतः अनुचित) [[पासा]] के साथ एक बर्नौली प्रक्रिया) के बराबर है। अन्य परिणामों में शामिल है कि प्रत्येक गैर-विघटनकारी एर्गोडिक प्रणाली [[मार्कोव ओडोमीटर]] के बराबर है, जिसे कभी-कभी एक जोड़ने वाली मशीन भी कहा जाता है क्योंकि यह प्राथमिक-विद्यालय जोड़ की तरह दिखता है, यानी आधार-एन अंक अनुक्रम लेना, एक जोड़ना और कैरी बिट्स का प्रचार करना . तुल्यता का प्रमाण बहुत सारगर्भित है; परिणाम को समझना नहीं है: प्रत्येक समय कदम पर एक जोड़कर, ओडोमीटर की हर संभव स्थिति का दौरा किया जाता है, जब तक कि यह लुढ़कता नहीं है, और फिर से शुरू होता है। इसी तरह, एर्गोडिक सिस्टम प्रत्येक राज्य का दौरा करते हैं, समान रूप से, अगले पर चलते हुए, जब तक कि वे सभी का दौरा नहीं किया जाता।

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