जैकोबी विधि

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में जैकोबी विधि रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है।

विवरण

चलो $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$, n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:

$$A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.$$

जब $A$ और $\mathbf {b}$ ज्ञात हैं, और $\mathbf {x}$ अज्ञात है, हम अनुमानित $\mathbf {x}$ के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश $\mathbf {x} ^{(0)}$ के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान $\mathbf {x}$ को दर्शाता है (प्रायः $\mathbf {x} _{i}^{(0)}=0$ के लिए $i=1,2,...,n$) के रूप में निरूपित करते हैं ${\mathbf{x}}^{}$