जैकोबी विधि: Difference between revisions

Latest revision as of 08:50, 13 June 2023

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में जैकोबी विधि रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है।

विवरण

चलो $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ , n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:

A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{} \end{matrix}

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विवरण

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Iterative method used to solve a linear system of equations}}
+{{Short description|Iterative method used to solve a linear system of equations}}[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में '''जैकोबी विधि''' रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है।
-{{Distinguish|Jacobi eigenvalue algorithm}}
-[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में जैकोबी विधि  रैखिक समीकरणों के पूरी तरह से विकर्ण  प्रभावी प्रणाली के समाधान को  निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है। प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा  जाता है। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरण न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है।
 == विवरण ==
-चलो <math>A\mathbf x = \mathbf b</math> n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:<math display="block">A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>
+चलो <math>A\mathbf x = \mathbf b</math>, n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:<math display="block">A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>
-जब <math>A</math> और <math>\mathbf b</math> ज्ञात हैं, और <math>\mathbf x</math> अज्ञात है, हम अनुमानित <math>\mathbf x</math> के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश <math>\mathbf x^{(0)}</math> के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान को दर्शाता है <math>\mathbf x</math> (अक्सर <math>\mathbf x^{(0)}_i=0</math> के लिए <math>i=1,2,...,n</math>). हम निरूपित करते हैं <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> के-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में <math>\mathbf{x}</math>, और <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> का अगला (या k+1) पुनरावृत्ति है <math>\mathbf{x}</math>.
+जब <math>A</math> और <math>\mathbf b</math> ज्ञात हैं, और <math>\mathbf x</math> अज्ञात है, हम अनुमानित <math>\mathbf x</math> के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश <math>\mathbf x^{(0)}</math> के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान <math>\mathbf x</math> को दर्शाता है  (प्रायः <math>\mathbf x^{(0)}_i=0</math> के लिए <math>i=1,2,...,n</math>) के रूप में  निरूपित करते हैं <math>\mathbf{x}^{(k)}</math>को <math>\mathbf{x}</math> के k-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में निरुपित करते है, और <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> का अगला पुनरावृत्ति ( k+1)  है .
 === मैट्रिक्स आधारित सूत्र ===
-तब A को एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:<math display="block">A=D+L+U \qquad \text{where} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है
+तब A को एक विकर्ण घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:<math display="block">A=D+L+U \qquad \text{where} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है
 :<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} (\mathbf{b} - (L+U) \mathbf{x}^{(k)}). </math>
@@ Line 16: / Line 13: @@
 === तत्व-आधारित सूत्र ===
-प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र <math>i</math> इस प्रकार है:<math display="block"> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\quad i=1,2,\ldots,n. </math>की गणना <math>x_i^{(k+1)}</math> में प्रत्येक तत्व की आवश्यकता है <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> खुद को छोड़कर। गॉस-सीडेल पद्धति के विपरीत, हम अधिलेखित नहीं कर सकते <math>x_i^{(k)}</math> साथ <math>x_i^{(k+1)}</math>, क्योंकि शेष गणना के लिए उस मान की आवश्यकता होगी। भंडारण की न्यूनतम मात्रा आकार n के दो वैक्टर हैं।
+प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र <math>i</math> इस प्रकार है:<math display="block"> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\quad i=1,2,\ldots,n. </math><math>x_i^{(k+1)}</math> की गणना के लिए स्वयं को छोड़कर <math>\mathbf{x}^{(k)}</math>में प्रत्येक अवयव की आवश्यकता होती है। गॉस-सीडेल विधि के विपरीत, हम <math>x_i^{(k)}</math> को <math>x_i^{(k+1)}</math> के साथ अधिलेखित नहीं कर सकते क्योंकि शेष गणना के लिए उस मान की आवश्यकता होगी।           भंडारण की न्यूनतम मात्रा आकार n के दो वैक्टर हैं।
 == एल्गोरिथम ==
@@ Line 38: / Line 35: @@
 == अभिसरण ==
-मानक अभिसरण स्थिति (किसी पुनरावृत्त विधि के लिए) तब होती है जब पुनरावृत्ति मैट्रिक्स का [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] 1 से कम होता है:
+मानक अभिसरण स्थिति (किसी पुनरावृत्त विधि के लिए) तब होती है जब पुनरावृत्ति आव्यूह का [[वर्णक्रमीय त्रिज्या]] 1 से कम होता है:
 :<math>\rho(D^{-1}(L+U)) < 1. </math>
-अभिसरण की विधि के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि मैट्रिक्स ए सख्ती से या अनियमित रूप से तिरछे प्रभावशाली मैट्रिक्स है। सख्त पंक्ति विकर्ण प्रभुत्व का अर्थ है कि प्रत्येक पंक्ति के लिए, विकर्ण पद का निरपेक्ष मान अन्य पदों के निरपेक्ष मानों के योग से अधिक है:
+अभिसरण की विधि के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि मैट्रिक्स A अलघुकरणीय रूप से विकर्ण प्रमुख है। यथार्थ पंक्ति विकर्ण प्रमुख का अर्थ है कि प्रत्येक पंक्ति के लिए विकर्ण पद का निरपेक्ष मान अन्य पदों के निरपेक्ष मानों के योग से अधिक हो :
 :<math>\left | a_{ii} \right | > \sum_{j \ne i} {\left | a_{ij} \right |}. </math>
 जैकोबी पद्धति कभी-कभी अभिसरण करती है, भले ही ये शर्तें संतुष्ट न हों।
-ध्यान दें कि जैकोबी विधि प्रत्येक सममित [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स]] के लिए अभिसरण नहीं करती है। उदाहरण के लिए,
+ध्यान दें कि जैकोबी विधि प्रत्येक सममित [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] के लिए अभिसरण नहीं करती है। उदाहरण के लिए,
 <math display="block">
 A =
@@ Line 69: / Line 66: @@
 === उदाहरण 1 ===
-फॉर्म की एक रैखिक प्रणाली <math>Ax=b</math> प्रारंभिक अनुमान के साथ <math>x^{(0)}</math> द्वारा दिया गया है
+एक रैखिक प्रणाली <math>Ax=b</math> प्रारंभिक अनुमान के साथ <math>x^{(0)}</math> द्वारा दिया गया है
 :<math> A=
@@ Line 86: / Line 83: @@
 \\
          \end{bmatrix} .</math>
-हम समीकरण का उपयोग करते हैं <math> x^{(k+1)}=D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})</math>, ऊपर वर्णित, अनुमान लगाने के लिए <math>x</math>. सबसे पहले, हम समीकरण को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से लिखते हैं <math>D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)}) = Tx^{(k)} + C</math>, कहाँ <math>T=-D^{-1}(L+U)</math> और <math>C = D^{-1}b</math>. ज्ञात मूल्यों से
+<math>x</math> का अनुमान लगाने के लिए हम ऊपर वर्णित समीकरण <math> x^{(k+1)}=D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)})</math> का उपयोग करते हैं | सबसे पहले हम हम ज्ञात मानों से <math>T=-D^{-1}(L+U)</math>और <math>C = D^{-1}b</math> समीकरण को अधिक सुविधाजनक रूप में फिर से समीकरण को <math>D^{-1}(b - (L+U)x^{(k)}) = Tx^{(k)} + C</math> लिखते हैं |
 <math display=block> D^{-1}=
        \begin{bmatrix}
@@ Line 163: / Line 160: @@
 .143 \\
          \end{bmatrix} .</math>
-अगला पुनरावृत्ति उपज देता है
+अगला पुनरावृत्ति निम्न है
 <math display=block> x^{(2)}=
        \begin{bmatrix}
@@ Line 218: / Line 215: @@
 \end{align}
 </math>
-प्राप्त सन्निकटनों का उपयोग करते हुए, पुनरावृत्त प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि वांछित सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती। निम्नलिखित पाँच पुनरावृत्तियों के बाद अनुमानित समाधान हैं।
+प्राप्त सन्निकटनों का उपयोग करते हुए, पुनरावृत्त प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाता है जब तक कि वांछित सटीकता प्राप्त नहीं हो जाती। निम्नलिखित पाँच पुनरावृत्तियों के बाद अनुमानित हल हैं।
 {| class="wikitable" border="1"
@@ Line 252: / Line 249: @@
 | 1.02135
 |}
-व्यवस्था का सटीक समाधान है {{math|(1,&nbsp;2,&nbsp;&minus;1,&nbsp;1)}}.
+व्यवस्था का सटीक हल {{math|(1,&nbsp;2,&nbsp;&minus;1,&nbsp;1)}} है |
-=== पायथन उदाहरण ===
+=== पायथन उदहारण ===
- import numpy as np
-<blockquote>
-  ITERATION_LIMIT = 1000
-</blockquote>
- initialize the matrix
 <blockquote>
- A = np.array([[10., -1., 2., 0.],
+#import numpy as np
+#ITERATION_LIMIT = 1000
+## initialize the matrix
+#A = np.array([[10., -1., 2., 0.],
+#[-1., 11., -1., 3.],
+# [2., -1., 10., -1.],
+# [0.0, 3., -1., 8.]])
+## initialize the RHS vector
+#b = np.array([6., 25., -11., 15.])
+## prints the system
+#print("System:")
+#for i in range(A.shape[0]):
+# row = [f"{A[i, j]}*x{j + 1}" for j in range(A.shape[1])]
+#print(f'{" + ".join(row)} = {b[i]}')
+#print()
+#x = np.zeros_like(b)
+#for it_count in range(ITERATION_LIMIT):
+# if it_count != 0:
+#print(f"Iteration {it_count}: {x}")
+#x_new = np.zeros_like(x)
+#for i in range(A.shape[0]):
+#s1 = np.dot(A[i, :i], x[:i])
+#s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:])
+#x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]
+#if x_new[i] == x_new[i-1]:
+#break
+# if np.allclose(x, x_new, atol=1e-10, rtol=0.):
+# break
+#x = x_new
+#print("Solution: ")
+#print(x)
+# error = np.dot(A, x) - b
+#print("Error:")
+#print(error)
 </blockquote>
-              [-1., 11., -1., 3.],
-              [2., -1., 10., -1.],
-              [0.0, 3., -1., 8.]])
- initialize the RHS vector
+==भारित जैकोबी विधि==
-<blockquote>
- b = np.array([6., 25., -11., 15.])
-</blockquote>
- prints the system
-<blockquote>
- print("System:") for i in range(A.shape[0]):
-</blockquote>
-    row = [f"{A[i, j]}*x{j + 1}" for j in range(A.shape[1])]
-    print(f'{" + ".join(row)} = {b[i]}')
-<blockquote>
- print() x = np.zeros_like(b) for it_count in range(ITERATION_LIMIT):
-</blockquote>
-    if it_count != 0:
-        print(f"Iteration {it_count}: {x}")
-    x_new = np.zeros_like(x)
-    for i in range(A.shape[0]):
-        s1 = np.dot(A[i, :i], x[:i])
-        s2 = np.dot(A[i, i + 1:], x[i + 1:])
-        x_new[i] = (b[i] - s1 - s2) / A[i, i]
-        if x_new[i] == x_new[i-1]:
-          break
-    if np.allclose(x, x_new, atol=1e-10, rtol=0.):
-        break
-    x = x_new
-<blockquote>
- print("Solution: ") print(x) error = np.dot(A, x) - b print("Error:") print(error)
-</blockquote>
-== भारित जैकोबी विधि ==
+भारित जैकोबी पुनरावृत्ति, पुनरावृत्ति की गणना करने के लिए एक पैरामीटर <math>\omega</math> का उपयोग करता है
-भारित जैकोबी पुनरावृत्ति एक पैरामीटर का उपयोग करता है <math>\omega</math> पुनरावृत्ति की गणना करने के लिए
 :<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = \omega D^{-1} (\mathbf{b} - (L+U) \mathbf{x}^{(k)}) + \left(1-\omega\right)\mathbf{x}^{(k)}</math>
-साथ <math>\omega = 2/3</math> सामान्य पसंद होने के नाते।<ref>{{cite book|last=Saad|first=Yousef|author-link=Yousef Saad|title=विरल रेखीय प्रणालियों के लिए पुनरावर्ती तरीके|edition=2nd|year=2003|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=0898715342|page=[https://archive.org/details/iterativemethods0000saad/page/414 414]|url=https://archive.org/details/iterativemethods0000saad/page/414}}</ref>
+<math>\omega = 2/3</math>  के साथ अत्यधिक उपयोग होने के कारण <ref>{{cite book|last=Saad|first=Yousef|author-link=Yousef Saad|title=विरल रेखीय प्रणालियों के लिए पुनरावर्ती तरीके|edition=2nd|year=2003|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|isbn=0898715342|page=[https://archive.org/details/iterativemethods0000saad/page/414 414]|url=https://archive.org/details/iterativemethods0000saad/page/414}}</ref> संबंध <math> L + U = A - D </math> से इसे <math> \mathbf{x}^{(k+1)} = \omega D^{-1} \mathbf{b} + \left( I - \omega D^{-1} A \right) \mathbf{x}^{(k)} </math> के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
-संबंध से <math> L + U = A - D </math>, इसे इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
+:.
-:<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = \omega D^{-1} \mathbf{b} + \left( I - \omega D^{-1} A \right) \mathbf{x}^{(k)} </math>.
-=== सममित सकारात्मक निश्चित मामले में अभिसरण ===
+===सममित सकारात्मक निश्चित मामले में अभिसरण===
-मामले में कि सिस्टम मैट्रिक्स <math> A </math> सममित सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स का है | सकारात्मक-निश्चित प्रकार कोई अभिसरण दिखा सकता है।
+इस मामले में कि सिस्टम [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|आव्यूह]] <math> A </math> सममित सकारात्मक-निश्चित प्रकार का है, कोई अभिसरण दिखा सकता है।
-होने देना <math> C=C_\omega = I-\omega D^{-1}A </math> पुनरावृत्ति मैट्रिक्स हो।
+माना  <math> C=C_\omega = I-\omega D^{-1}A </math> पुनरावृति मैट्रिक्स हो और फिर <math>
-फिर, अभिसरण की गारंटी है
-:<math>
 \rho(C_\omega) < 1
    \quad \Longleftrightarrow \quad
 < \omega < \frac{2}{\lambda_\text{max} (D^{-1}A)} \,,
-</math> कहाँ <math> \lambda_\text{max} </math> अधिकतम eigenvalue है।
+</math> के लिए अभिसरण की गारंटी दी जाती है, जहां <math> \lambda_\text{max} </math>अधिकतम एगेनवैल्यू  है|
-किसी विशेष विकल्प के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या को कम किया जा सकता है <math> \omega = \omega_\text{opt} </math> निम्नलिखित नुसार
+<math> \omega = \omega_\text{opt} </math> के अनुसार किसी विशेष विकल्प के लिए वर्णक्रमीय त्रिज्या को कम किया जा सकता है |
 <math display="block">
 \min_\omega \rho (C_\omega) = \rho (C_{\omega_\text{opt}}) = 1-\frac{2}{\kappa(D^{-1}A)+1}
@@ Line 323: / Line 313: @@
    \omega_\text{opt} := \frac{2}{\lambda_\text{min}(D^{-1}A)+\lambda_\text{max}(D^{-1}A)} \,,
 </math>
-कहाँ <math> \kappa </math> स्थिति संख्या#मैट्रिसेस है।
+जंहा एक <math> \kappa </math> स्थिति संख्या [[सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|आव्यूह]] है।
-== यह भी देखें ==
+==यह भी देखें==
 * गॉस-सीडेल विधि
-* लगातार अति-विश्राम
+*लगातार अति-विश्राम
-* इटरेटिव मेथड # लीनियर सिस्टम | इटरेटिव मेथड § लीनियर सिस्टम
+*इटरेटिव मेथड # लीनियर सिस्टम | इटरेटिव मेथड § लीनियर सिस्टम
 *विश्वास प्रचार#गाऊसी विश्वास प्रसार .28GaBP.29
-* [[मैट्रिक्स विभाजन]]
+*[[मैट्रिक्स विभाजन]]
-== संदर्भ ==
+==संदर्भ==
 {{Reflist}}
@@ Line 339: / Line 329: @@
 ==बाहरी संबंध==
 * {{CFDWiki|name=Jacobi_method}}
-* {{MathWorld|urlname=JacobiMethod|title=Jacobi method|author=Black, Noel|author2=Moore, Shirley|author3= Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp}}
+*{{MathWorld|urlname=JacobiMethod|title=Jacobi method|author=Black, Noel|author2=Moore, Shirley|author3= Weisstein, Eric W.|name-list-style=amp}}
-* [http://www.math-linux.com/spip.php?article49 Jacobi Method from www.math-linux.com]
+*[http://www.math-linux.com/spip.php?article49 Jacobi Method from www.math-linux.com]
 {{Numerical linear algebra}}
 {{Authority control}}
-[[Category: संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] [[Category: स्यूडोकोड के उदाहरण वाले लेख]] [[Category: आराम (पुनरावृत्ति के तरीके)]] [[Category: लेख उदाहरण के साथ पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) कोड]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 23/05/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
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+[[Category:Pages with script errors]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:आराम (पुनरावृत्ति के तरीके)]]
+[[Category:लेख उदाहरण के साथ पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) कोड]]
+[[Category:संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]]
+[[Category:स्यूडोकोड के उदाहरण वाले लेख]]