वास्तविक तत्व: Difference between revisions

Revision as of 00:01, 4 June 2023

समूह सिद्धांत में, आधुनिक बीजगणित के भीतर अनुशासन, एक तत्व $x$ एक समूह $G$ का (गणित) का वास्तविक तत्व $G$ कहा जाता है यदि यह उसी संयुग्मन वर्ग से संबंधित है जो इसके व्युत्क्रम तत्व के रूप $x^{-1}$ में है, यानी अगर कोई $g$ में $G$ साथ $x^{g}=x^{-1}$ है जहाँ $x^{g}$ $g^{-1}\cdot x\cdot g$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। ^[1] तत्व $x$ एक समूह $G$ का यदि कोई समावेशन (समूह सिद्धांत) है तो दृढ़ता से वास्तविक $t$ के साथ $x^{t}=x^{-1}$ कहा जाता है। ^[2]

समूह $G$ का एक तत्व $x$ वास्तविक है यदि और केवल यदि $G$ के सभी अभ्यावेदन $\rho$ के लिए, संबंधित आव्यूह का अनुरेख $\mathrm {Tr} (\rho (g))$ एक वास्तविक संख्या है। दूसरे शब्दों में, एक तत्व $x$ एक समूह का $G$ वास्तविक है अगर और केवल अगर $\chi (x)$ सभी $G$ का चरित्र सिद्धांत $\chi$ के लिए एक वास्तविक संख्या है। ^[3]

प्रत्येक तत्व वाले समूह को एक उभयभावी समूह कहा जाता है। हर उभयभावी समूह की एक वास्तविक चरित्र तालिका होती है। सममित समूह $S_{n}$ किसी भी घात $n$ का उभयभावी है।

गुण

पहचान तत्व के अतिरिक्त अन्य वास्तविक तत्वों वाला एक समूह आवश्यक रूप से सम क्रम (समूह सिद्धांत) का है। ^[3]

समूह $G$ के वास्तविक तत्व $x$ के लिए, $x^{g}=x^{-1}$ वाले समूह तत्वों की संख्या $\left|C_{G}(x)\right|$ के बराबर है, ^[1] जहां $C_{G}(x)$ $x$ का केंद्रक है ,

\mathrm {C} _{G}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\}

.

हर जुड़ाव दृढ़ता से वास्तविक है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक तत्व जो दो समावेशन का उत्पाद है, दृढ़ता से वास्तविक है। इसके विपरीत, प्रत्येक दृढ़ता से वास्तविक तत्व दो प्रत्यावर्तन का उत्पाद है।

अगर $x\neq e$ और $x$ में $G$ वास्तविक है और $\left|C_{G}(x)\right|$ विषम है, तो $x$ में प्रबल रूप से वास्तविक $G$ है।

विस्तारित केंद्रक

किसी तत्व का विस्तारित केंद्रक $x$ एक समूह का $G$ परिभाषित किया जाता है

\mathrm {C} _{G}^{*}(x)=\{g\in G\mid x^{g}=x\lor x^{g}=x^{-1}\},

किसी तत्व $x$ का विस्तारित केंद्रक बनाना सम्मुच्चय $\left\{x,x^{-1}\right\}$ के प्रसामान्यक के बराबर है। ^[4]

एक समूह के एक तत्व का विस्तारित केंद्रक $G$ का उपसमूह $G$ होता है। प्रत्यावर्तन या गैर-वास्तविक तत्वों के लिए, केंद्रक और विस्तारित केंद्रक समान हैं। ^[1] वास्तविक तत्व $x$ के लिए एक समूह $G$ का यह एक अंतर्विरोध नहीं है,

\left|\mathrm {C} _{G}^{*}(x):\mathrm {C} _{G}(x)\right|=2.

यह भी देखें

ब्राउर-फाउलर प्रमेय

संदर्भ

Gorenstein, Daniel (2007) [reprint of a work originally published in 1980]. Finite Groups. AMS Chelsea Publishing. ISBN 978-0821843420.
Isaacs, I. Martin (1994) [unabridged, corrected republication of the work first published by Academic Press, New York in 1976]. Character Theory of Finite Groups. Dover Publications. ISBN 978-0486680149.
Rose, John S. (2012) [unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978]. A Course on Group Theory. Dover Publications. ISBN 978-0-486-68194-8.

[FOOTNOTERose2012111-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Rose (2012), p. 111.

[FOOTNOTERose2012112-2] Rose (2012), p. 112.

[FOOTNOTEIsaacs199431-3] 3.0 ^3.1 Isaacs (1994), p. 31.

[FOOTNOTERose201286-4] Rose (2012), p. 86.

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-[[समूह सिद्धांत]] में, आधुनिक बीजगणित के भीतर एक अनुशासन, एक तत्व <math>x</math> एक समूह का (गणित) <math>G</math> का वास्तविक तत्व कहा जाता है <math>G</math> यदि यह उसी [[संयुग्मन वर्ग]] से संबंधित है जो इसके व्युत्क्रम तत्व के रूप में है <math>x^{-1}</math>, यानी अगर कोई है <math>g</math> में <math>G</math> {{nowrap begin}}साथ <math>x^g = x^{-1}</math>,{{nowrap end}} कहाँ <math>x^g</math> परिभाषित किया जाता है <math>g^{-1} \cdot x \cdot g</math>.{{sfnp|Rose|2012|p=111}} तत्व <math>x</math> एक समूह का <math>G</math> यदि कोई समावेशन (समूह सिद्धांत) है तो दृढ़ता से वास्तविक कहा जाता है <math>t</math> साथ {{nowrap begin}}<math>x^t = x^{-1}</math>.{{nowrap end}}{{sfnp|Rose|2012|p=112}}
+[[समूह सिद्धांत]] में, आधुनिक बीजगणित के भीतर अनुशासन, एक तत्व <math>x</math> एक समूह <math>G</math> का (गणित) का वास्तविक तत्व <math>G</math> कहा जाता है यदि यह उसी [[संयुग्मन वर्ग]] से संबंधित है जो इसके व्युत्क्रम तत्व के रूप <math>x^{-1}</math> में है, यानी अगर कोई  <math>g</math> में <math>G</math> {{nowrap begin}}साथ <math>x^g = x^{-1}</math>{{nowrap end}} है जहाँ <math>x^g</math> <math>g^{-1} \cdot x \cdot g</math> के रूप में परिभाषित किया जाता है। {{sfnp|Rose|2012|p=111}} तत्व <math>x</math> एक समूह <math>G</math> का यदि कोई समावेशन (समूह सिद्धांत) है तो दृढ़ता से वास्तविक <math>t</math> के साथ {{nowrap begin}}<math>x^t = x^{-1}</math>{{nowrap end}} कहा जाता है। {{sfnp|Rose|2012|p=112}}
-तत्व <math>x</math> एक समूह का <math>G</math> वास्तविक है अगर और केवल अगर सभी [[समूह प्रतिनिधित्व]] के लिए <math>\rho</math> का <math>G</math>, [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] <math>\mathrm{Tr}(\rho(g))</math> संगत आव्यूह का एक [[वास्तविक संख्या]] है। दूसरे शब्दों में, एक तत्व <math>x</math> एक समूह का <math>G</math> वास्तविक है अगर और केवल अगर <math>\chi(x)</math> सभी [[चरित्र सिद्धांत]] के लिए एक वास्तविक संख्या है <math>\chi</math> का <math>G</math>.{{sfnp|Isaacs|1994|p=31}}
+समूह <math>G</math> का एक तत्व <math>x</math> वास्तविक है यदि और केवल यदि <math>G</math> के सभी अभ्यावेदन <math>\rho</math> के लिए, संबंधित आव्यूह का अनुरेख <math>\mathrm{Tr}(\rho(g))</math> एक वास्तविक संख्या है। दूसरे शब्दों में, एक तत्व <math>x</math> एक समूह का <math>G</math> वास्तविक है अगर और केवल अगर <math>\chi(x)</math> सभी <math>G</math> का  [[चरित्र सिद्धांत]] <math>\chi</math> के लिए एक वास्तविक संख्या है। {{sfnp|Isaacs|1994|p=31}}
-प्रत्येक तत्व वाले समूह को एक उभयभावी समूह कहा जाता है। हर उभयभावी समूह की एक वास्तविक [[चरित्र तालिका]] होती है। [[सममित समूह]] <math>S_n</math> किसी भी डिग्री का <math>n</math> उभयभावी है।
+प्रत्येक तत्व वाले समूह को एक उभयभावी समूह कहा जाता है। हर उभयभावी समूह की एक वास्तविक [[चरित्र तालिका]] होती है। [[सममित समूह]] <math>S_n</math> किसी भी घात <math>n</math> का उभयभावी है।
 == गुण ==
-पहचान तत्व के अलावा अन्य वास्तविक तत्वों वाला एक समूह आवश्यक रूप से सम क्रम (समूह सिद्धांत) का है।{{sfnp|Isaacs|1994|p=31}}
+पहचान तत्व के अतिरिक्त अन्य वास्तविक तत्वों वाला एक समूह आवश्यक रूप से सम क्रम (समूह सिद्धांत) का है। {{sfnp|Isaacs|1994|p=31}}
-एक वास्तविक तत्व के लिए <math>x</math> एक समूह का <math>G</math>, समूह तत्वों की संख्या <math>g</math> {{nowrap begin}}साथ <math>x^g = x^{-1}</math>{{nowrap end}} के बराबर है <math>\left|C_G(x)\right|</math>,{{sfnp|Rose|2012|p=111}} कहाँ <math>C_G(x)</math> का [[केंद्रक]] है <math>x</math>,
+समूह <math>G</math> के वास्तविक तत्व <math>x</math> के लिए, {{nowrap begin}} <math>x^g = x^{-1}</math>{{nowrap end}} वाले समूह तत्वों की संख्या <math>\left|C_G(x)\right|</math> के बराबर है, {{sfnp|Rose|2012|p=111}} जहां <math>C_G(x)</math> <math>x</math> का [[केंद्रक]] है ,
 :<math>\mathrm{C}_G(x) = \{ g \in G\mid x^g = x \}</math>.
-हर जुड़ाव दृढ़ता से वास्तविक है। इसके अलावा, प्रत्येक तत्व जो दो समावेशन का उत्पाद है, दृढ़ता से वास्तविक है। इसके विपरीत, प्रत्येक दृढ़ता से वास्तविक तत्व दो आक्रमणों का उत्पाद है।
+हर जुड़ाव दृढ़ता से वास्तविक है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक तत्व जो दो समावेशन का उत्पाद है, दृढ़ता से वास्तविक है। इसके विपरीत, प्रत्येक दृढ़ता से वास्तविक तत्व दो प्रत्यावर्तन का उत्पाद है।
-अगर {{nowrap|<math> x \ne e</math>}} और <math>x</math> में वास्तविक है <math>G</math> और <math>\left|C_G(x)\right|</math> अजीब है, तो <math>x</math> में प्रबल रूप से वास्तविक है <math>G</math>.
+अगर {{nowrap|<math> x \ne e</math>}} और <math>x</math> में <math>G</math> वास्तविक है और <math>\left|C_G(x)\right|</math> विषम है, तो <math>x</math> में प्रबल रूप से वास्तविक <math>G</math> है।
 == विस्तारित केंद्रक ==
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 :<math>\mathrm{C}^*_G(x) = \{ g \in G\mid x^g = x \lor x^g = x^{-1} \},</math>
-किसी तत्व का विस्तारित केंद्रक बनाना <math>x</math> सेट के [[नॉर्मलाइज़र]] के बराबर {{nowrap|<math>\left\{x, x^{-1}\right\}</math>.}}{{sfnp|Rose|2012|p=86}}
+किसी तत्व <math>x</math> का विस्तारित केंद्रक बनाना सम्मुच्चय {{nowrap|<math>\left\{x, x^{-1}\right\}</math>}} के [[नॉर्मलाइज़र|प्रसामान्यक]] के बराबर है। {{sfnp|Rose|2012|p=86}}
-एक समूह के एक तत्व का विस्तारित केंद्रक <math>G</math> का उपसमूह होता है <math>G</math>. इनवोल्यूशन या गैर-वास्तविक तत्वों के लिए, केंद्रक और विस्तारित केंद्रक समान हैं।{{sfnp|Rose|2012|p=111}} वास्तविक तत्व के लिए <math>x</math> एक समूह का <math>G</math> यह एक अंतर्विरोध नहीं है,
+एक समूह के एक तत्व का विस्तारित केंद्रक <math>G</math> का उपसमूह <math>G</math> होता है। प्रत्यावर्तन या गैर-वास्तविक तत्वों के लिए, केंद्रक और विस्तारित केंद्रक समान हैं। {{sfnp|Rose|2012|p=111}} वास्तविक तत्व <math>x</math> के लिए एक समूह <math>G</math> का यह एक अंतर्विरोध नहीं है,
 :<math>\left|\mathrm{C}^*_G(x):\mathrm{C}_G(x)\right| = 2.</math>

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