एर्गोडिसिटी: Difference between revisions

गणित में, '''एर्गोडिसिटी''' इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तो [[गतिशील प्रणाली]] या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की [[कक्षा (गतिकी)|प्रक्षेपवक्र(गतिकी)]] से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। [[एर्गोडिक सिद्धांत]] एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है।

एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और [[ज्यामिति]] में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, अर्थात अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर [[ geodesic |जियोडेसिक्स]] अलग-अलग होते हैं; जब वह मैनिफोल्ड्स [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट]] होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है।

एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा [[मिश्रण (गणित)]] की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है।

एर्गोडिसिटी भौतिकी और गणित में व्यापक सेटिंग्स में होती है। इन सभी सेटिंग्स को एक सामान्य गणितीय विवरण द्वारा एकीकृत किया जाता है, जो कि माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली का है। समतुल्य रूप से, प्रसम्भाव्‍य प्रक्रम के संदर्भ में एर्गोडिसिटी को समझा जा सकता है। प्रभावशाली रूप से भिन्न संकेतन और भाषा का उपयोग करने के बावजूद वे एक ही हैं।

सेट <math>X</math> को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) <math>\mu</math> स्थान की प्राकृतिक वॉल्यूम <math>X</math> और इसके उप-स्थान को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}</math>, और किसी दिए गए [[सबसेट|उपसमुच्चय]] <math>A\subset X</math> का आकार <math>\mu(A)</math> है; आकार इसकी वॉल्यूम है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है <math>\mathcal{A}</math> का [[ सत्ता स्थापित | घात समुच्चय]] होना <math>X</math>; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में वॉल्यूम नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, [[बनच-तर्स्की विरोधाभास]])। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, <math>\mathcal{A}</math> मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें वॉल्यूम होता है। इसे हमेशा [[बोरेल सेट]] के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे [[ चौराहा सेट करें |प्रतिच्छेदन]], समुच्च और खुले सेटों के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया जाता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है।

प्रणाली का समय विकास मैप (गणित) द्वारा वर्णित है <math>T:X\to X</math>. कुछ उपसमुच्चय दिया <math>A\subset X</math>, इसका मैप <math>T(A)</math> सामान्य रूप से एक विकृत संस्करण होगा <math>A</math> - इसे स्क्वैश या स्ट्रेच जाता है, मोड़ा या टुकड़ों में काटा जाता है। गणितीय उदाहरणों में बेकर का मैप और [[घोड़े की नाल का नक्शा|हर्सशू मैप]] सम्मिलित है, दोनों [[रोटी]] बनाने से प्रेरित हैं। सेट <math>T(A)</math> के समान वॉल्यूम होनी चाहिए <math>A</math>; स्क्वैशिंग/स्ट्रेचिंग से स्थान का वॉल्यूम नहीं बदलता है, केवल इसका वितरण होता है। ऐसी प्रणाली "माप-संरक्षण" (क्षेत्र-संरक्षण, वॉल्यूम-संरक्षण) है।

औपचारिक कठिनाई तब उत्पन्न होती है जब कोई मैप के अंतर्गत उनके आकार को संरक्षित करने की आवश्यकता के साथ सेट की वॉल्यूम को समेटने का प्रयास करता है। समस्या उत्पन्न होती है, क्योंकि सामान्य तौर पर, किसी फलन के प्रांत में कई अलग-अलग बिंदु इसकी सीमा में एक ही बिंदु पर मैप कर सकते हैं; अर्थात् <math>x \ne y</math> साथ <math>T(x) = T(y)</math> हो सकता है इससे भी बदतर, एक बिंदु <math>x \in X</math> कोई आकार नहीं है। व्युत्क्रम मैप के साथ काम करके इन कठिनाइयों से बचा जा सकता है <math>T^{-1}: \mathcal{A}\to\mathcal{A}</math>; यह किसी दिए गए उपसमुच्चय को मैप करेगा <math>A \subset X</math> उन भाग के लिए जो इसे बनाने के लिए इकट्ठे किए गए थे: ये भाग हैं <math>T^{-1}(A)\in\mathcal{A}</math>, इसमें यह महत्वपूर्ण विशेषता है कि चीजें कहां से आई हैं इसका ट्रैक न खोएं। अधिक दृढ़ता से, इसमें महत्वपूर्ण विशेषता है कि कोई भी (माप-संरक्षण) मैप <math>\mathcal{A}\to\mathcal{A}</math> किसी मैप का विपरीत है <math>X\to X</math>, वॉल्यूम-संरक्षण मैप की उचित परिभाषा वह है जिसके लिए <math>\mu(A) = \mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right)</math> क्योंकि <math>T^{-1}(A)</math> सभी टुकड़ों-भागों का वर्णन <math>A</math> से आया है।

एर्गोडिसिटी की तुलना में मिक्सिंग एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक विशेषता को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है <math>A, B</math>, और न केवल कुछ सेट के बीच <math>A</math> और <math>X</math>. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं <math>A, B\in\mathcal{A}</math>, यदि कोई पूर्णांक है तो प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है <math>N</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>A, B</math> और <math>n>N</math>, एक के पास है <math>T^n(A) \cap B \ne \varnothing</math>. यहाँ, <math>\cap</math> सेट सर्वनिष्ठ को दर्शाता है और <math>\varnothing</math> [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] है। मिश्रण की अन्य धारणाओं में मजबूत और कमजोर मिश्रण सम्मिलित हैं, जो इस धारणा का वर्णन करते हैं कि मिश्रित पदार्थ हर स्थान समान अनुपात में मिलते हैं। यह गैर-तुच्छ हो सकता है, जैसा कि चिपचिपे, चिपचिपे पदार्थों को मिलाने के व्यावहारिक अनुभव से पता चलता है।

उपरोक्त चर्चा वॉल्यूम के भौतिक अर्थ की अपील करती है। वॉल्यूम को शाब्दिक रूप से 3D स्थान का कुछ भाग होना आवश्यक नहीं है; यह कुछ अमूर्त वॉल्यूम हो सकता है। यह आमतौर पर सांख्यिकीय प्रणालियों में होता है, जहां संभाव्यता द्वारा वॉल्यूम (माप) दी जाती है। कुल वॉल्यूम प्रायिकता एक से मेल खाती है। यह पत्राचार काम करता है क्योंकि [[संभाव्यता सिद्धांत]] के सिद्धांत माप सिद्धांत के समान हैं; ये संभाव्यता [[स्वयंसिद्ध]] हैं।

वॉल्यूम का विचार बहुत सार हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी संभव कॉइन-फ्लिप्स के सेट पर विचार करें: हेड्स और टेल्स के अनंत अनुक्रमों का सेट है। इस स्थान को 1 का वॉल्यूम निर्दिष्ट करते हुए, यह स्पष्ट है कि ऐसे सभी अनुक्रमों में से आधे हेड्स से प्रारंभ होते हैं, और आधे टेल्स से प्रारंभ होते हैं। कोई इस वॉल्यूम को अन्य तरीकों से स्लाइस कर सकता है: कोई कह सकता है कि "मुझे पहले की परवाह नहीं है <math>n - 1</math> कॉइन-फ्लिप्स; लेकिन मैं चाहता हूँ <math>n</math> उनमें से वें हेड्स होने के लिए, और उसके बाद जो आता है उसके बारे में मुझे परवाह नहीं है। इसे सेट के रूप में लिखा जा सकता है <math>(*, \cdots, *, h, *, \cdots)</math> जहाँ <math>*</math> "परवाह मत करो" और <math>h</math> हेड्स है। इस स्थान का वॉल्यूम फिर से आधा है।

उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला  <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अतिरिक्त सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक माप का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस माप को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है।

कॉइन-फ्लिप प्रक्रिया के लिए, टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर <math>T</math> [[शिफ्ट ऑपरेटर]] है जो कहता है कि "पहले कॉइन-फ्लिप फेंक दो, और बाकी को रखो"। औपचारिक रूप से, यदि <math>(x_1, x_2, \cdots)</math> कॉइन-फ्लिप का एक क्रम है, फिर <math>T(x_1, x_2, \cdots) = (x_2, x_3, \cdots)</math>. माप स्पष्ट रूप से शिफ्ट-इनवेरिएंट है: जब तक हम किसी सेट के बारे में बात कर रहे हैं <math>A\in\mathcal{A}</math> जहां पहला कॉइन-फ्लिप <math>x_1 = *</math> ध्यान न दें मान है, फिर वॉल्यूम है <math>\mu(A)</math> नहीं बदलता है: <math>\mu(A) = \mu(T(A))</math> पहले कॉइन-फ्लिप के बारे में बात करने से बचने के लिए, इसे परिभाषित करना आसान है <math>T^{-1}</math> पहली स्थिति में "परवाह न करें" मान डालने के रूप में: <math>T^{-1}(x_1, x_2, \cdots) = (*, x_1, x_2, \cdots)</math>. इस परिभाषा के साथ, स्पष्ट रूप से वह है <math>\mu\mathord\left(T^{-1}(A)\right) = \mu(A)</math> बिना किसी बाध्यता के <math>A</math>। यह फिर से क्यों का उदाहरण है <math>T^{-1}</math> औपचारिक परिभाषाओं में प्रयोग किया जाता है।

उपरोक्त विकास यादृच्छिक प्रक्रिया, बर्नौली प्रक्रिया लेता है, और इसे माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली में परिवर्तित करता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math> वही रूपांतरण (तुल्यता, समरूपता) किसी भी स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर लागू किया जा सकता है। इस प्रकार, एर्गोडिसिटी की अनौपचारिक परिभाषा यह है कि अनुक्रम एर्गोडिक है यदि यह सभी का दौरा करता है <math>X</math>; इस तरह के क्रम प्रक्रिया के लिए विशिष्ट हैं। दूसरा यह है कि इसके सांख्यिकीय गुणों को प्रक्रिया के एकल, पर्याप्त रूप से लंबे, यादृच्छिक नमूने से घटाया जा सकता है (इस प्रकार समान रूप से सभी का नमूना लेना)। <math>X</math>), या यह कि किसी प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का कोई भी संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व करता है (अर्थात, समान रूप से नमूने लिए गए नमूने) <math>X</math> के प्रतिनिधि हैं <math>X</math> एक पूरे के रूप में।) वर्तमान उदाहरण में, कॉइन-फ्लिप का एक क्रम, जहाँ आधे हेड्स हैं, और आधे टेल्स हैं, विशिष्ट क्रम है।

यह खंड सांख्यिकीय यांत्रिकी में क्षुद्रता की समीक्षा करता है। भौतिकी में एर्गोडिसिटी की परिभाषाओं के लिए उपयुक्त सेटिंग के रूप में वॉल्यूम की उपरोक्त अमूर्त परिभाषा आवश्यक है। [[तरल]], [[गैस]], या [[प्लाज्मा (भौतिकी)]], या परमाणुओं या [[कण]] के अन्य संग्रह के कंटेनर पर विचार करें। कण-कण <math>x_i</math> की 3D स्थिति और 3D वेग है, और इस प्रकार छह संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है: छह-आयामी स्थान में बिंदु <math>\mathbb{R}^6.</math> यदि हैं <math>N</math> प्रणाली में इन कणों की, एक पूर्ण विवरण की आवश्यकता है <math>6N</math> नंबर। कोई भी प्रणाली केवल एक बिंदु है <math>\mathbb{R}^{6N}.</math> भौतिक प्रणाली सब कुछ नहीं है <math>\mathbb{R}^{6N}</math>, बिल्कुल; यदि यह चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई का बॉक्स है <math>W\times H\times L</math> तो एक बिंदु अंदर है <math>\left(W \times H \times L \times \mathbb{R}^3\right)^N.</math>न ही वेग अनंत हो सकते हैं: उन्हें कुछ संभाव्यता माप द्वारा बढ़ाया जाता है, उदाहरण के लिए बोल्ट्जमैन-गिब्स गैस के लिए उपाय करते हैं। कोई नहीं-कम, के लिए <math>N</math> [[अवोगाद्रो संख्या]] के करीब, यह स्पष्ट रूप से बहुत बड़ी स्थान है। इस स्थान को कैनोनिकल सामुदायिक कहा जाता है।

भौतिक प्रणाली को एर्गोडिक कहा जाता है यदि प्रणाली का कोई प्रतिनिधि बिंदु अंततः प्रणाली की संपूर्ण वॉल्यूम का दौरा करने के लिए आता है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, इसका तात्पर्य है कि कोई भी परमाणु न केवल बॉक्स के प्रत्येक भाग पर जाता है <math>W \times H \times L</math> समान संभावना के साथ, लेकिन यह ऐसा हर संभव वेग के साथ करता है, उस वेग के लिए बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दी गई संभावना के साथ (इसलिए, उस माप के संबंध में समान) करता है। एर्गोडिक परिकल्पना में कहा गया है कि भौतिक प्रणालियां वास्तव में एर्गोडिक हैं। मल्टीपल टाइम स्केल काम कर रहे हैं: गैस और तरल पदार्थ कम समय के पैमाने पर एर्गोडिक प्रतीत होते हैं। एक ठोस में एर्गोडिसिटी को [[कंपन मोड]] या [[फोनन]] के संदर्भ में देखा जा सकता है, क्योंकि स्पष्ट रूप से ठोस में परमाणु स्थान का आदान-प्रदान नहीं करते हैं। ग्लॉस एर्गोडिक परिकल्पना के लिए चुनौती पेश करता है; समय के पैमाने को लाखों वर्षों में माना जाता है, लेकिन परिणाम विवादास्पद हैं। स्पिन ग्लॉस विशेष कठिनाइयाँ पेश करते हैं।

सहानुभूति मैनिफोल्ड्स और [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन मैनिफोल्ड्स]] के अध्ययन में एर्गोडिसिटी व्यापक घटना है। [[ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड |सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]] चिरसम्मत यांत्रिकी के लिए सामान्यीकृत सेटिंग प्रदान करते हैं, जहां यांत्रिक प्रणाली की गति को जियोडेसिक द्वारा वर्णित किया जाता है। रीमैनियन मैनिफोल्ड्स एक विशेष मामला है: रिमेंनियन मैनिफोल्ड का [[ स्पर्शरेखा बंडल |कोटेन्जेंट बंडल]] हमेशा सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड होता है। विशेष रूप से, रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के समाधान द्वारा दिए गए हैं।

ये परिणाम उच्च आयामों