एर्गोडिसिटी: Difference between revisions
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गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तो[[गतिशील प्रणाली]] या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की [[कक्षा (गतिकी)|प्रक्षेपवक्र(गतिकी)]] से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। [[एर्गोडिक सिद्धांत]] एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है। | गणित में, एर्गोडिसिटी इस विचार को व्यक्त करती है कि गतिमान प्रणाली का एक बिंदु, या तो[[गतिशील प्रणाली]] या स्टोकेस्टिक प्रक्रिया, अंततः उस स्थान के सभी हिस्सों का दौरा करेगी जहां प्रणाली एक समान और यादृच्छिक अर्थ में चलता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रणाली के औसत आचरण को "विशिष्ट" बिंदु की [[कक्षा (गतिकी)|प्रक्षेपवक्र(गतिकी)]] से घटाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, प्रक्रिया से यादृच्छिक नमूनों का पर्याप्त रूप से बड़ा संग्रह पूरी प्रक्रिया के औसत सांख्यिकीय गुणों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। एर्गोडिसिटी प्रणाली की विशेषता है; यह एक कथन है कि प्रणाली को छोटे घटकों में घटाया या विभाजित नहीं किया जा सकता है। [[एर्गोडिक सिद्धांत]] एर्गोडिसिटी रखने वाली प्रणालियों का अध्ययन है। | ||
एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और [[ज्यामिति]] में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर [[ geodesic |जियोडेसिक्स]] अलग-अलग होते हैं; जब वह | एर्गोडिक प्रणाली भौतिकी और [[ज्यामिति]] में प्रणाली की विस्तृत श्रृंखला में होते हैं। मोटे तौर पर इसे सामान्य परिघटना के कारण समझा जा सकता है: कणों की गति, यानी अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर [[ geodesic |जियोडेसिक्स]] अलग-अलग होते हैं; जब वह मैनिफोल्ड्स [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट]] होता है, जो कि परिमित आकार का होता है, तो वे पॉइनकेयर पुनरावृत्ति की परिक्रमा करते हैं, अंततः पूरे स्थान को भर देती है। | ||
एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा [[मिश्रण (गणित)]] की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है। | एर्गोडिक प्रणाली सामान्य ज्ञान, यादृच्छिकता की हर दिन की धारणाओं को पकड़ते हैं, जैसे कि धुएं से भरे कमरे को भरने के लिए धुआं आ सकता है, या कि धातु का ब्लॉक अंततः एक ही तापमान में आ सकता है, या जो उत्क्षेप करता है सिक्का आधे समय में हेड और टेल आ सकता है। एर्गोडिसिटी की तुलना में मजबूत अवधारणा [[मिश्रण (गणित)]] की है, जिसका उद्देश्य गणितीय रूप से मिश्रण की सामान्य-ज्ञान की धारणाओं का वर्णन करना है, जैसे कि मिश्रण पेय या खाना पकाने की सामग्री को मिलाना है। | ||
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=== माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली === | === माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली === | ||
एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी | एर्गोडिसिटी की गणितीय परिभाषा का उद्देश्य यादृच्छिकता के बारे में हर दिन सामान्य विचारों को पकड़ना है। इसमें उन प्रणालियों के बारे में विचार शामिल हैं जो इस तरह से आगे बढ़ते हैं (अंततः) सभी स्थान भरते हैं, जैसे [[प्रसार|विसरण]] और [[एक प्रकार कि गति|ब्राउनियन गति]], साथ ही मिश्रण की सामान्य ज्ञान धारणाएं, जैसे मिश्रण पेंट, पेय, खाना पकाने की सामग्री, औद्योगिक प्रक्रिया मिश्रण, धुएँ से भरे कमरे में धुँआ, शनि वलय में धूल इत्यादि। ठोस गणितीय आधार प्रदान करने के लिए, एर्गोडिक प्रणाली का विवरण माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली की परिभाषा से प्रारंभ होता है। इसे इस प्रकार लिखा जाता है <math>(X, \mathcal{A}, \mu, T).</math> | ||
सेट <math>X</math> को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) <math>\mu</math> स्थान की प्राकृतिक वॉल्यूम <math>X</math> और इसके उप-स्थान को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}</math>, और किसी दिए गए [[सबसेट|उपसमुच्चय]] <math>A\subset X</math> का आकार <math>\mu(A)</math> है; आकार इसकी वॉल्यूम है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है <math>\mathcal{A}</math> का [[ सत्ता स्थापित | घात समुच्चय]] होना <math>X</math>; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में वॉल्यूम नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, [[बनच-तर्स्की विरोधाभास]])। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, <math>\mathcal{A}</math> मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें वॉल्यूम होता है। इसे हमेशा [[बोरेल सेट]] के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे [[ चौराहा सेट करें |प्रतिच्छेदन]], समुच्च और खुले सेटों के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया जाता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है। | सेट <math>X</math> को भरे जाने वाले कुल स्थान के रूप में समझा जाता है: मिक्सिंग बाउल, धुएँ से भरा कमरा, आदि। माप (गणित) <math>\mu</math> स्थान की प्राकृतिक वॉल्यूम <math>X</math> और इसके उप-स्थान को परिभाषित करने के लिए समझा जाता है। उपस्थानों के संग्रह को निरूपित किया जाता है <math>\mathcal{A}</math>, और किसी दिए गए [[सबसेट|उपसमुच्चय]] <math>A\subset X</math> का आकार <math>\mu(A)</math> है; आकार इसकी वॉल्यूम है। सरलता से, कोई कल्पना कर सकता है <math>\mathcal{A}</math> का [[ सत्ता स्थापित | घात समुच्चय]] होना <math>X</math>; यह काफी काम नहीं करता है, क्योंकि स्थान के सभी उपसमुच्चय में वॉल्यूम नहीं होती है (प्रसिद्ध रूप से, [[बनच-तर्स्की विरोधाभास]])। इस प्रकार, परंपरागत रूप से, <math>\mathcal{A}</math> मापने योग्य उपसमुच्चय होते हैं—वह उपसमुच्चय जिनमें वॉल्यूम होता है। इसे हमेशा [[बोरेल सेट]] के रूप में लिया जाता है - उपसमुच्चय का संग्रह जिसे [[ चौराहा सेट करें |प्रतिच्छेदन]], समुच्च और खुले सेटों के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया जाता है; इन्हें हमेशा मापने योग्य माना जा सकता है। | ||
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अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर सेट <math>A\in\mathcal{A}</math> अंत में सभी को भरने के लिए आता है <math>X</math> लंबे समय तक (यानी, अगर <math>T^n(A)</math> सभी के पास पहुंचता है <math>X</math> बड़े के लिए <math>n</math>), प्रणाली को [[ एर्गोडिक प्रणाली |एर्गोडिक प्रणाली]] कहा जाता है। अगर हर सेट <math>A</math> इस तरह से आचरण करता है, प्रणाली [[रूढ़िवादी प्रणाली|संरक्षी निकाय]] है, जो [[अपव्यय प्रणाली|क्षयी तंत्र]] के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय <math>A</math> अस्थिर सेट, कभी वापस नहीं किया जाता है। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। एर्गोडिक अपघटन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग। | अब प्रणाली के समय के विकास का अध्ययन करने में रुचि रखता है। अगर सेट <math>A\in\mathcal{A}</math> अंत में सभी को भरने के लिए आता है <math>X</math> लंबे समय तक (यानी, अगर <math>T^n(A)</math> सभी के पास पहुंचता है <math>X</math> बड़े के लिए <math>n</math>), प्रणाली को [[ एर्गोडिक प्रणाली |एर्गोडिक प्रणाली]] कहा जाता है। अगर हर सेट <math>A</math> इस तरह से आचरण करता है, प्रणाली [[रूढ़िवादी प्रणाली|संरक्षी निकाय]] है, जो [[अपव्यय प्रणाली|क्षयी तंत्र]] के विपरीत रखी जाती है, जहां कुछ उपसमुच्चय <math>A</math> अस्थिर सेट, कभी वापस नहीं किया जाता है। एक उदाहरण नीचे की ओर बहता हुआ पानी होगा: एक बार जब यह नीचे चला जाता है, तो यह फिर कभी ऊपर नहीं आता है। हालाँकि, इस नदी के तल पर बनने वाली झील अच्छी तरह से मिश्रित हो सकती है। एर्गोडिक अपघटन प्रमेय कहता है कि प्रत्येक एर्गोडिक प्रणाली को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है: रूढ़िवादी भाग और विघटनकारी भाग। | ||
एर्गोडिसिटी की तुलना में मिक्सिंग एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक विशेषता को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है <math>A, B</math>, और न केवल कुछ सेट के बीच <math>A</math> और <math>X</math>. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं <math>A, B\in\mathcal{A}</math>, यदि कोई पूर्णांक है तो प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है <math>N</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>A, B</math> और <math>n>N</math>, एक के पास है <math>T^n(A) \cap B \ne \varnothing</math>. यहाँ, <math>\cap</math> सेट सर्वनिष्ठ को दर्शाता है और <math>\varnothing</math> [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] है। मिश्रण की अन्य धारणाओं में मजबूत और कमजोर मिश्रण शामिल हैं, जो इस धारणा का वर्णन करते हैं कि मिश्रित पदार्थ हर | एर्गोडिसिटी की तुलना में मिक्सिंग एक मजबूत कथन है। मिश्रण इस एर्गोडिक विशेषता को किन्हीं दो सेटों के बीच रखने के लिए कहता है <math>A, B</math>, और न केवल कुछ सेट के बीच <math>A</math> और <math>X</math>. अर्थात् कोई दो समुच्चय दिए गए हैं <math>A, B\in\mathcal{A}</math>, यदि कोई पूर्णांक है तो प्रणाली को (सांस्थितिक रूप से) मिश्रण कहा जाता है <math>N</math> ऐसा कि, सभी के लिए <math>A, B</math> और <math>n>N</math>, एक के पास है <math>T^n(A) \cap B \ne \varnothing</math>. यहाँ, <math>\cap</math> सेट सर्वनिष्ठ को दर्शाता है और <math>\varnothing</math> [[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] है। मिश्रण की अन्य धारणाओं में मजबूत और कमजोर मिश्रण शामिल हैं, जो इस धारणा का वर्णन करते हैं कि मिश्रित पदार्थ हर स्थान समान अनुपात में मिलते हैं। यह गैर-तुच्छ हो सकता है, जैसा कि चिपचिपे, चिपचिपे पदार्थों को मिलाने के व्यावहारिक अनुभव से पता चलता है। | ||
=== एर्गोडिक प्रक्रियाएं === | === एर्गोडिक प्रक्रियाएं === | ||
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उपरोक्त चर्चा वॉल्यूम के भौतिक अर्थ की अपील करती है। वॉल्यूम को शाब्दिक रूप से 3D स्थान का कुछ भाग होना आवश्यक नहीं है; यह कुछ अमूर्त वॉल्यूम हो सकता है। यह आम तौर पर सांख्यिकीय प्रणालियों में होता है, जहां संभाव्यता द्वारा वॉल्यूम (माप) दी जाती है। कुल वॉल्यूम प्रायिकता एक से मेल खाती है। यह पत्राचार काम करता है क्योंकि [[संभाव्यता सिद्धांत]] के सिद्धांत माप सिद्धांत के समान हैं; ये संभाव्यता [[स्वयंसिद्ध]] हैं। | उपरोक्त चर्चा वॉल्यूम के भौतिक अर्थ की अपील करती है। वॉल्यूम को शाब्दिक रूप से 3D स्थान का कुछ भाग होना आवश्यक नहीं है; यह कुछ अमूर्त वॉल्यूम हो सकता है। यह आम तौर पर सांख्यिकीय प्रणालियों में होता है, जहां संभाव्यता द्वारा वॉल्यूम (माप) दी जाती है। कुल वॉल्यूम प्रायिकता एक से मेल खाती है। यह पत्राचार काम करता है क्योंकि [[संभाव्यता सिद्धांत]] के सिद्धांत माप सिद्धांत के समान हैं; ये संभाव्यता [[स्वयंसिद्ध]] हैं। | ||
वॉल्यूम का विचार बहुत सार हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी संभव कॉइन-फ्लिप्स के सेट पर विचार करें: हेड्स और टेल्स के अनंत अनुक्रमों का सेट है। इस स्थान को 1 का वॉल्यूम निर्दिष्ट करते हुए, यह स्पष्ट है कि ऐसे सभी अनुक्रमों में से आधे हेड्स से | वॉल्यूम का विचार बहुत सार हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी संभव कॉइन-फ्लिप्स के सेट पर विचार करें: हेड्स और टेल्स के अनंत अनुक्रमों का सेट है। इस स्थान को 1 का वॉल्यूम निर्दिष्ट करते हुए, यह स्पष्ट है कि ऐसे सभी अनुक्रमों में से आधे हेड्स से प्रारंभ होते हैं, और आधे टेल्स से प्रारंभ होते हैं। कोई इस वॉल्यूम को अन्य तरीकों से स्लाइस कर सकता है: कोई कह सकता है कि "मुझे पहले की परवाह नहीं है <math>n - 1</math> कॉइन-फ्लिप्स; लेकिन मैं चाहता हूँ <math>n</math> उनमें से वें हेड्स होने के लिए, और उसके बाद जो आता है उसके बारे में मुझे परवाह नहीं है। इसे सेट के रूप में लिखा जा सकता है <math>(*, \cdots, *, h, *, \cdots)</math> जहाँ <math>*</math> "परवाह मत करो" और <math>h</math> हेड्स है। इस स्थान का वॉल्यूम फिर से आधा है। | ||
उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक माप का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस माप को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है। | उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक माप का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस माप को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है। | ||
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कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह पीरियड-डबलिंग फ्रैक्टल्स को रेखांकित करता है; [[गणितीय विश्लेषण]] में, यह विभिन्न प्रकार के प्रमेयों में प्रकट होता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण [[वॉल्ड अपघटन]] है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी [[स्थिर प्रक्रिया]] को असंबद्ध प्रक्रियाओं की जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, निर्धारक और दूसरा [[चलती औसत प्रक्रिया]] है। | कैंटर सेट गणित की कई शाखाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। मनोरंजक गणित में, यह पीरियड-डबलिंग फ्रैक्टल्स को रेखांकित करता है; [[गणितीय विश्लेषण]] में, यह विभिन्न प्रकार के प्रमेयों में प्रकट होता है। स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए महत्वपूर्ण [[वॉल्ड अपघटन]] है, जिसमें कहा गया है कि किसी भी [[स्थिर प्रक्रिया]] को असंबद्ध प्रक्रियाओं की जोड़ी में विघटित किया जा सकता है, निर्धारक और दूसरा [[चलती औसत प्रक्रिया]] है। | ||
[[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया बर्नौली योजना (एक एन-पक्षीय (और संभवतः अनुचित) [[पासा]] के साथ एक बर्नौली प्रक्रिया) के बराबर है। अन्य परिणामों में शामिल है कि प्रत्येक गैर-विघटनकारी एर्गोडिक प्रणाली [[मार्कोव ओडोमीटर]] के बराबर है, जिसे कभी-कभी "एडिंग मशीन" कहा जाता है क्योंकि यह प्राथमिक-विद्यालय जोड़ की तरह दिखता है, यानी आधार-N अंक अनुक्रम लेना, जोड़ना और कैरी बिट्स का प्रचार करना है तुल्यता का प्रमाण बहुत सारगर्भित है; परिणाम को समझना नहीं है: प्रत्येक समय कदम पर जोड़कर, ओडोमीटर की हर संभव स्थिति का दौरा किया जाता है, जब तक कि यह रोल्स नहीं है, और फिर से | [[ऑर्नस्टीन समरूपता प्रमेय]] में कहा गया है कि प्रत्येक स्थिर स्टोकास्टिक प्रक्रिया बर्नौली योजना (एक एन-पक्षीय (और संभवतः अनुचित) [[पासा]] के साथ एक बर्नौली प्रक्रिया) के बराबर है। अन्य परिणामों में शामिल है कि प्रत्येक गैर-विघटनकारी एर्गोडिक प्रणाली [[मार्कोव ओडोमीटर]] के बराबर है, जिसे कभी-कभी "एडिंग मशीन" कहा जाता है क्योंकि यह प्राथमिक-विद्यालय जोड़ की तरह दिखता है, यानी आधार-N अंक अनुक्रम लेना, जोड़ना और कैरी बिट्स का प्रचार करना है तुल्यता का प्रमाण बहुत सारगर्भित है; परिणाम को समझना नहीं है: प्रत्येक समय कदम पर जोड़कर, ओडोमीटर की हर संभव स्थिति का दौरा किया जाता है, जब तक कि यह रोल्स नहीं है, और फिर से प्रारंभ होता है। इसी तरह, एर्गोडिक प्रणाली प्रत्येक स्थिति का दौरा करते हैं, समान रूप से, अगले पर चलते हुए, जब तक कि वे सभी का दौरा नहीं किया जाता हैं। | ||
प्रणाली जो ''N'' अक्षरों के अनुक्रम (अनंत) उत्पन्न करते हैं, प्रतीकात्मक गतिकी के माध्यम से अध्ययन किए जाते हैं। महत्वपूर्ण विशेष मामलों में परिमित प्रकार और [[सोफिक प्रणाली]] के सबशिफ्ट शामिल हैं। | प्रणाली जो ''N'' अक्षरों के अनुक्रम (अनंत) उत्पन्न करते हैं, प्रतीकात्मक गतिकी के माध्यम से अध्ययन किए जाते हैं। महत्वपूर्ण विशेष मामलों में परिमित प्रकार और [[सोफिक प्रणाली]] के सबशिफ्ट शामिल हैं। | ||
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=== सांख्यिकीय यांत्रिकी में === | === सांख्यिकीय यांत्रिकी में === | ||
यह खंड सांख्यिकीय यांत्रिकी में क्षुद्रता की समीक्षा करता है। भौतिकी में एर्गोडिसिटी की परिभाषाओं के लिए उपयुक्त सेटिंग के रूप में वॉल्यूम की उपरोक्त अमूर्त परिभाषा आवश्यक है। [[तरल]], | यह खंड सांख्यिकीय यांत्रिकी में क्षुद्रता की समीक्षा करता है। भौतिकी में एर्गोडिसिटी की परिभाषाओं के लिए उपयुक्त सेटिंग के रूप में वॉल्यूम की उपरोक्त अमूर्त परिभाषा आवश्यक है। [[तरल]], [[गैस]], या [[प्लाज्मा (भौतिकी)]], या परमाणुओं या [[कण]] के अन्य संग्रह के कंटेनर पर विचार करें। कण-कण <math>x_i</math> की 3D स्थिति और 3D वेग है, और इस प्रकार छह संख्याओं द्वारा वर्णित किया गया है: छह-आयामी स्थान में बिंदु <math>\mathbb{R}^6.</math> अगर हैं <math>N</math> प्रणाली में इन कणों की, एक पूर्ण विवरण की आवश्यकता है <math>6N</math> नंबर। कोई भी प्रणाली केवल एक बिंदु है <math>\mathbb{R}^{6N}.</math> भौतिक प्रणाली सब कुछ नहीं है <math>\mathbb{R}^{6N}</math>, बिल्कुल; अगर यह चौड़ाई, ऊंचाई और लंबाई का बॉक्स है <math>W\times H\times L</math> तो एक बिंदु अंदर है <math>\left(W \times H \times L \times \mathbb{R}^3\right)^N.</math>न ही वेग अनंत हो सकते हैं: उन्हें कुछ संभाव्यता माप द्वारा बढ़ाया जाता है, उदाहरण के लिए बोल्ट्जमैन-गिब्स गैस के लिए उपाय करते हैं। कोई नहीं-कम, के लिए <math>N</math> [[अवोगाद्रो संख्या]] के करीब, यह स्पष्ट रूप से बहुत बड़ी स्थान है। इस स्थान को कैनोनिकल सामुदायिक कहा जाता है। | ||
भौतिक प्रणाली को एर्गोडिक कहा जाता है यदि प्रणाली का कोई प्रतिनिधि बिंदु अंततः प्रणाली की संपूर्ण वॉल्यूम का दौरा करने के लिए आता है। उपरोक्त उदाहरण के लिए, इसका तात्पर्य है कि कोई भी परमाणु न केवल बॉक्स के प्रत्येक भाग पर जाता है <math>W \times H \times L</math> समान संभावना के साथ, लेकिन यह ऐसा हर संभव वेग के साथ करता है, उस वेग के लिए बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दी गई संभावना के साथ (इसलिए, उस माप के संबंध में समान) करता है। एर्गोडिक परिकल्पना में कहा गया है कि भौतिक प्रणालियां वास्तव में एर्गोडिक हैं। मल्टीपल टाइम स्केल काम कर रहे हैं: गैस और तरल पदार्थ कम समय के पैमाने पर एर्गोडिक प्रतीत होते हैं। एक ठोस में एर्गोडिसिटी को [[कंपन मोड]] या [[फोनन]] के संदर्भ में देखा जा सकता है, क्योंकि स्पष्ट रूप से ठोस में परमाणु स्थान का आदान-प्रदान नहीं करते हैं। ग्लॉस एर्गोडिक परिकल्पना के लिए चुनौती पेश करता है; समय के पैमाने को लाखों वर्षों में माना जाता है, लेकिन परिणाम विवादास्पद हैं। स्पिन ग्लॉस विशेष कठिनाइयाँ पेश करते हैं। | |||
सांख्यिकीय भौतिकी में एर्गोडिसिटी के औपचारिक गणितीय प्रमाण प्राप्त करना कठिन है; गणितीय प्रमाण के बिना, अधिकांश उच्च-आयामी कई-निकाय प्रणालियों को एर्गोडिक माना जाता है। अपवादों में [[गतिशील बिलियर्ड्स]] शामिल हैं, जो | सांख्यिकीय भौतिकी में एर्गोडिसिटी के औपचारिक गणितीय प्रमाण प्राप्त करना कठिन है; गणितीय प्रमाण के बिना, अधिकांश उच्च-आयामी कई-निकाय प्रणालियों को एर्गोडिक माना जाता है। अपवादों में [[गतिशील बिलियर्ड्स]] शामिल हैं, जो [[आदर्श गैस]] या प्लाज्मा में परमाणुओं के बिलियर्ड बॉल-प्रकार के संघटन का मॉडल करते हैं। पहला हार्ड-स्फेयर एर्गोडिसिटी प्रमेय सिनाई के [[बिलियर्ड गेंद]] लिए था, जो दो गेंदों पर विचार करता है, उनमें से एक को मूल रूप से स्थिर माना जाता है। जैसे ही दूसरी गेंद टकराती है, वह दूर चली जाती है; आवधिक सीमा शर्तों को लागू करने के बाद, यह फिर से टकराने के लिए लौटता है। एकरूपता की अपील करके, "दूसरी" गेंद की वापसी को इसके बजाय "सिर्फ कुछ अन्य परमाणु" के रूप में लिया जा सकता है जो सीमा में आ गया है, और मूल पर परमाणु से टकराने के लिए आगे बढ़ रहा है (जिसे किसी अन्य परमाणु के रूप में लिया जा सकता है। ) यह मौजूद कुछ औपचारिक प्रमाणों में से एक है; कोई समकक्ष कथन नहीं है उदाहरण एक तरल में परमाणुओं के लिए, [[वैन डेर वाल्स बल]] के माध्यम से अन्योन्यकारी करना, भले ही यह विश्वास करना सामान्य ज्ञान होगा कि ऐसी प्रणालियां एर्गोडिक (और मिश्रण) हैं। हालाँकि, अधिक सटीक भौतिक तर्क दिए जा सकते हैं। | ||
=== सरल गतिशील प्रणाली === | === सरल गतिशील प्रणाली === | ||
काफी सरल गतिशील प्रणालियों की जांच करके एर्गोडिसिटी का औपचारिक अध्ययन किया जा सकता है। कुछ प्राथमिक यहां सूचीबद्ध हैं। | काफी सरल गतिशील प्रणालियों की जांच करके एर्गोडिसिटी का औपचारिक अध्ययन किया जा सकता है। कुछ प्राथमिक यहां सूचीबद्ध हैं। | ||
वृत्त का [[तर्कहीन घुमाव|अपरिमेय घुमाव]] एर्गोडिक है: एक बिंदु की कक्षा (गतिकी) ऐसी है कि अंततः, वृत्त के हर दूसरे बिंदु का दौरा किया जाता है। इस तरह के घुमाव अंतराल विनिमय मैप का विशेष मामला है। किसी संख्या के अंकों का गैर-पूर्णांक आधार एर्गोडिक होता है: वास्तविक संख्या का बीटा विस्तार बेस-''N'' में नहीं, बल्कि बेस- <math>\beta</math> में कुछ के लिए <math>\beta.</math> किया जाता है। बीटा विस्तार का परिलक्षित संस्करण [[ तम्बू का नक्शा |टेंट मैप]] है; यूनिट अंतराल के कई अन्य एर्गोडिक मैप हैं। दो आयामों में जाने पर, अपरिमेय कोण वाले अंकगणितीय बिलियर्ड्स एर्गोडिक होते हैं। कोई सपाट आयत भी ले सकता है, इसे स्क्वैश कर सकता है, इसे काट सकता है और इसे फिर से जोड़ सकता है; यह पहले उल्लिखित बेकर का मैप है। इसके बिंदुओं को दो अक्षरों में द्वि-अनंत तार के सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो कि बाएँ और दाएँ दोनों तक फैला हुआ है; इस प्रकार, यह बरनौली प्रक्रिया की दो प्रतियों जैसा दिखता है। यदि स्क्वैशिंग के दौरान कोई साइड में विकृत हो जाता है, तो उसे अर्नोल्ड का कैट मैप प्राप्त होता है। ज्यादातर मायनों में, कैट मैप किसी अन्य समान परिवर्तन का प्रोटोटाइप है। | |||
=== चिरसम्मत यांत्रिकी और ज्यामिति में === | === चिरसम्मत यांत्रिकी और ज्यामिति में === | ||
सहानुभूति मैनिफोल्ड्स और [[ रीमैनियन कई गुना ]] | सहानुभूति मैनिफोल्ड्स और [[ रीमैनियन कई गुना |रीमैनियन मैनिफोल्ड्स]] के अध्ययन में एर्गोडिसिटी व्यापक घटना है। [[ सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड |सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड]] चिरसम्मत यांत्रिकी के लिए सामान्यीकृत सेटिंग प्रदान करते हैं, जहां यांत्रिक प्रणाली की गति को जियोडेसिक द्वारा वर्णित किया जाता है। रीमैनियन मैनिफोल्ड्स एक विशेष मामला है: रिमेंनियन मैनिफोल्ड का [[ स्पर्शरेखा बंडल |कोटेन्जेंट बंडल]] हमेशा सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड होता है। विशेष रूप से, रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के समाधान द्वारा दिए गए हैं। | ||
किसी भी अपरिमेय दिशा का अनुसरण करते हुए समतल टोरस | किसी भी अपरिमेय दिशा का अनुसरण करते हुए समतल टोरस का [[जियोडेसिक प्रवाह]] एर्गोडिक है; अनौपचारिक रूप से इसका मतलब यह है कि किसी भी बिंदु पर प्रारंभ होने वाले वर्ग में सीधी रेखा खींचते समय, और पक्षों के संबंध में अपरिमेय कोण के साथ, यदि हर बार जब कोई एक पक्ष से मिलता है तो एक ही कोण के साथ विपरीत दिशा में प्रारंभ होता है, रेखा होगी अंततः घनात्मक माप के हर उपसमुच्चय को पूरा करते हैं। आम तौर पर किसी भी [[सपाट सतह]] पर जियोडेसिक प्रवाह के लिए कई एर्गोडिक दिशाएं होती हैं। | ||
गैर-समतल सतहों के लिए, किसी के पास यह है कि किसी भी | गैर-समतल सतहों के लिए, किसी के पास यह है कि किसी भी ऋणात्मक रूप से घुमावदार [[कॉम्पैक्ट रीमैन सतह]] का जियोडेसिक प्रवाह एर्गोडिक है। एक सतह इस मायने में सघन होती है कि उसका सतही क्षेत्रफल सीमित होता है। जियोडेसिक प्रवाह घुमावदार सतह पर एक सीधी रेखा में चलने के विचार का सामान्यीकरण है: ऐसी सीधी रेखाएं जियोडेसिक्स हैं। अध्ययन किए गए प्रारंभिक मामलों में से एक हैडमार्ड के बिलियर्ड्स हैं, जो [[बोल्ज़ा सतह]] पर भूगर्भ विज्ञान का वर्णन करता है, जो दो छेद वाले डोनट के समान है। एर्गोडिसिटी को अनौपचारिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है, अगर किसी के पास दो छेद वाले डोनट का शार्पी और कुछ उचित उदाहरण है: कहीं से भी, किसी भी दिशा में, सीधी रेखा खींचने का प्रयास करता है; शासक इसके लिए उपयोगी होते हैं। यह पता लगाने में इतना समय नहीं लगता कि कोई प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आ रहा है। (बेशक, टेढ़ी-मेढ़ी ड्राइंग भी इसका कारण हो सकती है; इसीलिए हमारे पास सबूत हैं।) | ||
ये परिणाम उच्च आयामों तक विस्तारित होते हैं। | ये परिणाम उच्च आयामों तक विस्तारित होते हैं। ऋणात्मक रूप से घुमावदार कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के लिए जियोडेसिक प्रवाह एर्गोडिक है। इसके लिए उत्कृष्ट उदाहरण एनोसोव प्रवाह है, जो अतिशयोक्तिपूर्ण मैनिफोल्ड पर हॉरोसायकल है। इसे एक तरह का [[हॉफ फिब्रेशन]] देखा जा सकता है। इस तरह के प्रवाह आमतौर पर चिरसम्मत यांत्रिकी में होते हैं, जो परिमित-आयामी गतिमान मशीनरी के भौतिकी में अध्ययन है, उदाहरण [[डबल पेंडुलम]] और इतने पर हैं। चिरसम्मत यांत्रिकी का निर्माण सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड्स पर किया गया है। ऐसी प्रणालियों पर प्रवाह को [[स्थिर कई गुना|स्थिर मैनिफोल्ड्स]] में विखंडित किया जा सकता है; एक सामान्य नियम के रूप में, जब यह संभव होता है, अराजक गति का परिणाम होता है। यह सामान्य है कि यह ध्यान देने से देखा जा सकता है कि रिमेंनियन मैनिफोल्ड का कॉटैंगेंट बंडल (हमेशा) सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है; इस मैनिफोल्ड्स के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों के समाधान द्वारा जियोडेसिक प्रवाह दिया जाता है। विहित निर्देशांक के संदर्भ में <math>(q,p)</math> कोटेन्जेंट मैनिफोल्ड पर, [[हैमिल्टनियन (फ़ंक्शन)|हैमिल्टनियन (फलन)]] या [[ऊर्जा]] द्वारा दिया जाता है | ||
:<math>H=\tfrac{1}{2}\sum_{ij} g^{ij}(q) p_i p_j</math> | :<math>H=\tfrac{1}{2}\sum_{ij} g^{ij}(q) p_i p_j</math> | ||
साथ <math>g^{ij}</math> (के व्युत्क्रम) [[मीट्रिक टेंसर]] और <math>p_i</math> [[गति]]। [[गतिज ऊर्जा]] से समानता <math>E=\tfrac{1}{2}mv^2</math> | साथ <math>g^{ij}</math> (के व्युत्क्रम) [[मीट्रिक टेंसर]] और <math>p_i</math> [[गति]]। [[गतिज ऊर्जा]] से समानता <math>E=\tfrac{1}{2}mv^2</math> मुश्किल से आकस्मिक होता है; ऐसी चीज़ों को "ऊर्जा" कहने का सार यही है। इस अर्थ में, एर्गोडिक कक्षाओं के साथ अराजक व्यवहार ज्यामिति के बड़े | ||