एर्गोडिसिटी: Difference between revisions

उपरोक्त माप-संरक्षण गतिशील प्रणाली को पूरी तरह से बनाने के लिए पर्याप्त है। <math>h</math> या <math>t</math> के सेट में होने वाला  <math>n</math>वें स्थान को [[सिलेंडर सेट]] कहा जाता है। सिलेंडर सेट के सभी संभावित प्रतिच्छेदन, यूनियनों और पूरकों का सेट तब बोरेल सेट बनाता है <math>\mathcal{A}</math> ऊपर परिभाषित है। औपचारिक शब्दों में, सिलेंडर सेट [[अंतरिक्ष (गणित)|स्थान (गणित)]] पर [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए [[आधार (टोपोलॉजी)]] बनाते हैं। <math>X</math> सभी संभावित अनंत-लंबाई वाले कॉइन-फ्लिप्स है। पैमाना <math>\mu</math> सभी सामान्य ज्ञान गुण हैं जिनकी कोई आशा कर सकता है: एक सिलेंडर का माप जिसके साथ सेट किया गया है <math>h</math> में <math>m</math>वें स्थान, और <math>t</math> में <math>k</math>'वें स्थान स्पष्ट रूप से 1/4 है, और इसी तरह आगे भी हैं। ये सामान्य ज्ञान गुण सेट-पूरक और सेट-यूनियन के लिए बने रहते हैं: इसके अलावा सब कुछ <math>h</math> और <math>t</math> स्थानों में <math>m</math> और <math>k</math> स्पष्ट रूप से 3/4 की वॉल्यूम है। सभी एक साथ, [[ सिग्मा योगात्मकता | सिग्मा-एडिटिव]] माप के स्वयंसिद्धों का निर्माण करते हैं; माप-संरक्षण गतिशील प्रणालियाँ हमेशा सिग्मा-योगात्मक उपायों का उपयोग करती हैं। कॉइन-फ्लिप्स के लिए, इस उपाय को [[बर्नौली उपाय|बर्नौली माप]] कहा जाता है।

किसी भी अपरिमेय दिशा का अनुसरण करते हुए समतल टोरस की अनुवाद सतहों पर अनुवाद सतह#[[जियोडेसिक प्रवाह]] एर्गोडिक है; अनौपचारिक रूप से इसका मतलब यह है कि किसी भी बिंदु पर शुरू होने वाले वर्ग में एक सीधी रेखा खींचते समय, और पक्षों के संबंध में एक अपरिमेय कोण के साथ, यदि हर बार जब कोई एक पक्ष से मिलता है तो एक ही कोण के साथ विपरीत दिशा में शुरू होता है, रेखा होगी अंततः सकारात्मक उपाय के हर उपसमुच्चय को पूरा करें। आम तौर पर किसी भी [[सपाट सतह]] पर जियोडेसिक प्रवाह के लिए कई एर्गोडिक दिशाएं होती हैं।

होने देना <math>(X, \mathcal B)</math> [[मापने योग्य स्थान]] हो। अगर <math>T</math> से मापने योग्य कार्य है <math>X</math> खुद को और <math>\mu</math> एक [[संभाव्यता माप]] पर <math>(X, \mathcal B)</math> तब हम कहते हैं<math>T</math> है <math>\mu</math>-एर्गोडिक या<math>\mu</math> के लिए एक एर्गोडिक उपाय है <math>T</math>अगर <math>T</math> बरकरार रखता है <math>\mu</math> और निम्नलिखित शर्त रखती है:

ध्यान दें कि कुछ लेखक (उदाहरण के लिए, एंडरसन द्वारा अनंत एर्गोडिक सिद्धांत का परिचय, पृष्ठ 21) उस आवश्यकता को शिथिल करते हैं जो <math>\mu</math> है <math>T</math>-आवश्यकता के लिए अपरिवर्तनीय है कि माप-शून्य सेट के पुलबैक माप-शून्य हैं, यानी पुशफॉरवर्ड उपाय <math>T_*\mu</math> के संबंध में एकवचन है <math>\mu</math>.

* हरएक के लिए <math> A \in \mathcal B</math> सकारात्मक उपाय के साथ हमारे पास है <math display="inline">\mu\mathord\left(\bigcup_{n=1}^\infty T^{-n}(A)\right) = 1</math>;

होने देना <math>S</math> एक परिमित सेट हो और <math>X = S^\mathbb{Z}</math> साथ <math>\mu</math> उत्पाद उपाय (प्रत्येक कारक <math>S</math> इसके गिनती के उपाय के साथ संपन्न किया जा रहा है)। फिर [[शिफ्ट स्पेस]] <math>T</math> द्वारा परिभाषित <math>T\left((s_k)_{k \in \mathbb Z})\right) = (s_{k+1})_{k \in \mathbb Z}</math> है {{nobr|<math>\mu</math>-ergodic}}.{{sfn|Walters|1982|p=32}}

शिफ्ट मैप के लिए कई और एर्गोडिक उपाय हैं <math>T</math> पर <math>X</math>. आवधिक अनुक्रम सूक्ष्म रूप से समर्थित उपाय देते हैं। अधिक दिलचस्प बात यह है कि असीम रूप से समर्थित हैं जो कि परिमित प्रकार के सबशिफ्ट हैं।

होने देना <math>X</math> यूनिट सर्कल हो <math>\{z \in \mathbb C,\, |z| = 1\}</math>, इसके Lebesgue उपाय के साथ <math>\mu</math>. किसी के लिए <math>\theta \in \mathbb R</math> का घूर्णन <math>X</math> कोण का <math>\theta</math> द्वारा दिया गया है <math>T_\theta(z) = e^{2i\pi\theta}z</math>. अगर <math>\theta \in \mathbb Q</math> तब <math>T_\theta</math> Lebesgue माप के लिए एर्गोडिक नहीं है क्योंकि इसमें असीम रूप से कई परिमित कक्षाएँ हैं। वहीं दूसरी ओर अगर <math>\theta</math> तब तर्कहीन है <math>T_\theta</math> एर्गोडिक है।{{sfn|Walters|1982|p=29}}

यह एक तुल्यता नहीं है क्योंकि एक परिवर्तन के लिए जो विशिष्ट रूप से क्षुद्र नहीं है, लेकिन जिसके लिए पूर्ण समर्थन के साथ एक क्षुद्र माप है <math>\mu_0</math>, किसी अन्य एर्गोडिक उपाय के लिए <math>\mu_1</math> पैमाना <math display="inline">\frac{1}{2}(\mu_0 + \mu_1)</math> के लिए एर्गोडिक नहीं है <math>T</math> लेकिन इसकी कक्षाएँ समर्थन में सघन हैं। शिफ्ट-इनवेरिएंट उपायों के साथ स्पष्ट उदाहरणों का निर्माण किया जा सकता है।<ref>{{cite web |url=https://mathoverflow.net/questions/74279/example-of-a-measure-preserving-system-with-dense-orbits-that-is-not-ergodic |title=सघन कक्षाओं के साथ एक माप-संरक्षण प्रणाली का उदाहरण जो कि एर्गोडिक नहीं है|date=September 1, 2011 |website=MathOverflow |access-date=May 16, 2020}}</ref>

एक परिवर्तन <math>T</math> संभाव्यता माप स्थान का <math>(X, \mu)</math> उपाय के लिए मिश्रण कहा जाता है <math>\mu</math> अगर किसी मापने योग्य सेट के लिए <math>A, B \subset X</math> निम्नलिखित धारण करता है:

<math display="block>\lim_{n \to +\infty} \mu\left(T^{-n}A \cap B\right) = \mu(A)\mu(B)</math>

परिभाषा अनिवार्य रूप से निरंतर-समय की गतिशील प्रणालियों के लिए एक ही परिवर्तन के लिए समान है। होने देना <math>(X, \mathcal B)</math> एक औसत दर्जे का स्थान हो और प्रत्येक के लिए <math>t \in \mathbb R_+</math>, तो ऐसी व्यवस्था एक परिवार द्वारा दी जाती है <math>T_t</math> मापने योग्य कार्यों से <math>X</math> खुद के लिए, ताकि किसी के लिए <math>t, s \in \mathbb R_+</math> रिश्ता <math>T_{s+t} = T_s \circ T_t</math> धारण करता है (आमतौर पर यह भी पूछा जाता है कि कक्षा मैप से <math>\mathbb R_+ \times X \to X</math> मापने योग्य भी है)। अगर <math>\mu</math> पर एक संभावना उपाय है <math>(X, \mathcal B)</math> तब हम कहते हैं<math>T_t</math> है <math>\mu</math>-एर्गोडिक या<math>\mu</math> के लिए एक एर्गोडिक उपाय है <math>T</math>यदि प्रत्येक <math>T_t</math> बरकरार रखता है <math>\mu</math> और निम्नलिखित शर्त रखती है:

अगर <math>X</math> एक कॉम्पैक्ट स्पेस [[मीट्रिक स्थान]] है जो बोरेल सेट के σ-बीजगणित के साथ स्वाभाविक रूप से संपन्न है। टोपोलॉजी से आने वाली अतिरिक्त संरचना तब एर्गोडिक परिवर्तनों और उपायों के लिए अधिक विस्तृत सिद्धांत की अनुमति देती है <math>X</math>.

[[ बनच स्थान ]] के सिद्धांत का उपयोग करके एर्गोडिक उपायों की एक बहुत ही शक्तिशाली वैकल्पिक परिभाषा दी जा सकती है। रैडॉन पर उपाय करता है <math>X</math> एक बनच स्थान बनाते हैं जिसमें सेट होता है <math>\mathcal P(X)</math> संभाव्यता उपायों पर <math>X</math> एक उत्तल समुच्चय है। निरंतर परिवर्तन को देखते हुए <math>T</math> का <math>X</math> उपसमुच्चय <math>\mathcal P(X)^T</math> का <math>T</math>-अपरिवर्तनीय उपाय एक बंद उत्तल उपसमुच्चय है, और एक उपाय के लिए एर्गोडिक है <math>T</math> अगर और केवल अगर यह इस उत्तल का [[चरम बिंदु]] है।{{sfn|Walters|1982|p=152}}

==== एर्गोडिक उपायों का अस्तित्व ====

ऊपर की सेटिंग में यह बानाच-अलाग्लु प्रमेय से अनुसरण करता है कि इसमें हमेशा चरम बिंदु मौजूद होते हैं <math>\mathcal P(X)^T</math>. इसलिए कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस का परिवर्तन हमेशा एर्गोडिक उपायों को स्वीकार करता है।

आम तौर पर एक अपरिवर्तनीय उपाय को एर्गोडिक नहीं होना चाहिए, लेकिन चॉकेट सिद्धांत के परिणामस्वरूप इसे हमेशा एर्गोडिक उपायों के सेट पर प्रायिकता माप के बायर्सेंटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे माप के एर्गोडिक अपघटन के रूप में जाना जाता है।{{sfn|Walters|1982|p=153}}

के मामले में <math>X = \{1, \ldots, n\}</math> और <math>T = (1\, 2)(3\, 4\, \cdots\, n)</math> गिनती का उपाय एर्गोडिक नहीं है। के लिए एर्गोडिक उपाय <math>T</math> एकसमान उपाय हैं <math>\mu_1, \mu_2</math> उपसमुच्चय पर समर्थित <math>\{1, 2\}</math> और <math>\{3, \ldots, n\}</math> और हर <math>T</math>-अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप के रूप में लिखा जा सकता है <math>t\mu_1 + (1 - t)\mu_2</math> कुछ के लिए <math>t \in [0, 1]</math>. विशेष रूप से <math display="inline">\frac{2}{n}\mu_1 + \frac{n - 2}{n}\mu_2</math> मतगणना माप का एर्गोडिक अपघटन है।

होने देना <math>S</math> एक परिमित सेट हो। एक मार्कोव श्रृंखला चालू <math>S</math> एक मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है <math>P \in [0, 1]^{S \times S}</math>, जहाँ <math>P(s_1, s_2)</math> से संक्रमण संभावना है <math>s_1</math> को <math>s_2</math>, इसलिए प्रत्येक के लिए <math>s \in S</math> अपने पास <math display="inline">\sum_{s' \in S} P(s, s') = 1</math>. के लिए एक स्थिर प्रक्रिया <math>P</math> संभाव्यता माप है <math>\nu</math> पर <math>S</math> ऐसा है कि <math>\nu P = \nu</math> ; वह है <math display="inline">\sum_{s' \in S} \nu(s') P(s', s) = \nu(s)</math> सभी के लिए <math>s \in S</math>.

उपरोक्त परिकल्पनाओं का अर्थ है कि मार्कोव श्रृंखला के लिए एक अद्वितीय स्थिर माप है। मैट्रिक्स के संदर्भ में <math>P</math> इसके लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि 1 मैट्रिक्स का एक साधारण eigenvalue हो <math>P</math> और के अन्य सभी eigenvalues <math>P</math> (में <math>\mathbb C</math>) मापांक <1 के हैं।

ध्यान दें कि संभाव्यता सिद्धांत में मार्कोव श्रृंखला को मार्कोव श्रृंखला # एर्गोडिसिटी कहा जाता है यदि इसके अलावा प्रत्येक स्थिति मार्कोव श्रृंखला # आवधिकता है (वह समय जहां वापसी की संभावना सकारात्मक है, एक पूर्णांक> 1 के गुणक नहीं हैं)। अपरिवर्तनीय उपाय के लिए यह आवश्यक नहीं है कि वह एर्गोडिक हो; इसलिए एक मार्कोव श्रृंखला और संबंधित शिफ्ट-इनवेरिएंट माप के लिए एर्गोडिसिटी की धारणाएं अलग हैं (श्रृंखला के लिए एक सख्ती से मजबूत है)।<ref>{{cite web |url=https://mathoverflow.net/questions/74503/different-uses-of-the-word-ergodic/74503 |title="एर्गोडिक" शब्द के विभिन्न उपयोग|date=September 4, 2011 |website=MathOverflow |access-date=May 16, 2020}}</ref>

इसके अलावा मानदंड एक अगर और केवल अगर श्रृंखला में सभी संचार वर्ग मार्कोव श्रृंखला # ट्रांज़िएंस और पुनरावृत्ति हैं और हम सभी स्थिर उपायों पर विचार करते हैं।

अगर <math>P(s, s') = 1/|S|</math> सभी के लिए <math>s, s' \in S</math> तो स्थिर उपाय गिनती का उपाय है, माप है <math>\mu_P</math> गिनती के उपायों का उत्पाद है। मार्कोव श्रृंखला एर्गोडिक है, इसलिए ऊपर से बदलाव का उदाहरण कसौटी का एक विशेष मामला है।

==== गैर-एर्गोडिक मार्कोव चेन ====

पुनरावर्ती संचार वर्गों के साथ मार्कोव चेन इरेड्यूसिबल नहीं हैं, एर्गोडिक नहीं हैं, और इसे तुरंत निम्नानुसार देखा जा सकता है। अगर <math>S_1 \subsetneq S</math> दो अलग-अलग आवर्तक संचार वर्ग हैं, गैर-स्थिर स्थिर उपाय हैं <math>\nu_1, \nu_2</math> पर समर्थन किया <math>S_1, S_2</math> क्रमशः और उपसमुच्चय <math>S_1^\mathbb{Z}</math> और <math>S_2^\mathbb{Z}</math> अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप के लिए शिफ्ट-इनवेरिएंट और माप 1.2 दोनों हैं <math display="inline">\frac{1}{2}(\nu_1 + \nu_2)</math>. इसका एक बहुत ही सरल उदाहरण है चेन ऑन <math>S = \{1, 2\}</math> मैट्रिक्स द्वारा दिया गया <math display="inline">\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)</math> (दोनों स्थिति स्थिर हैं)।

==== एक आवधिक श्रृंखला ====

मार्कोव श्रृंखला चालू <math>S = \{1, 2\}</math> मैट्रिक्स द्वारा दिया गया <math display="inline">\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)</math> अप्रासंगिक लेकिन आवधिक है। इस प्रकार यह संबंधित उपाय के बावजूद मार्कोव श्रृंखला के अर्थ में एर्गोडिक नहीं है <math>\mu</math> पर <math>\{1, 2\}^{\mathbb Z}</math> शिफ्ट मैप के लिए एर्गोडिक है। हालाँकि, इस उपाय के लिए शिफ्ट मिश्रण नहीं है, जैसा कि सेट के लिए है