रेडॉन माप: Difference between revisions

गणित में (विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में), [[जोहान रैडॉन|जोहान रेडॉन]] के नाम पर एक रेडॉन माप, [[हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस|हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि]] ''X'' के [[बोरेल सेट|बोरेल समुच्चय]] के σ-बीजगणित पर एक माप है जो सभी [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन समष्टि]] समुच्चयों पर परिमित है, सभी बोरेल समुच्चयों पर बाहरी नियमित है, और विवृत समुच्चय पर आंतरिक नियमित।<ref>{{cite book |last=Folland |first=Gerald |date=1999 |title=Real Analysis: Modern techniques and their applications |url=https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670 |url-access=limited |location=New York |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |isbn=0-471-31716-0 |page=[https://archive.org/details/realanalysismode00foll_670/page/n224 212] }}</ref> ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप समष्टि की सांस्थिति के अनुकूल है, और [[गणितीय विश्लेषण]] और [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश माप वस्तुतः रेडॉन माप हैं।

एक सामान्य समस्या एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|सांस्थितिक समष्टि]] पर माप की एक ठीक धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में सांस्थिति के साथ संगत है। ऐसा करने की एक विधि सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्यतः इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस प्रकार के माप में एक ठीक प्रकार से परिभाषित [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] नहीं हो सकता है। सिद्धांत को मापने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान|स्थानीय रूप से सघन]] समष्टि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि तक सीमित है, और मात्र उन मापों पर विचार करें जो सघन समर्थन के साथ [[निरंतर कार्य|संतत फलनों]] के समष्टि पर धनात्मक [[रैखिक कार्यात्मक|रैखिक प्रकार्यात्मकताओं]] के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के एक ठीक सिद्धांत पैदा करता है, परन्तु यह उन समष्टि पर लागू नहीं होता है जो स्थानीय रूप से सघन नहीं हैं। यदि गैर-ऋणात्मक मापों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल मापों की अनुमति है, तो रेडॉन मापों को सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर संतत दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो धनात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार धनात्मक रेडॉन मापों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रकार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो धनात्मक रेडॉन मापों के अंतर हैं।

रेडॉन मापों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश ठीक गुण हैं, परन्तु यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त समष्टि पर लागू होता है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर मापों को चिह्नित करते हैं जो धनात्मक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग यादृच्छिक हौसडॉर्फ समष्टि पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।

हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर m को माप दें।

माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'दृढ़' कहा जाता है, यदि किसी विवृत समुच्चय U के लिए, m(U) U के सभी सघन उपसमुच्चय K पर m(K) का सर्वोच्च है।

माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m(B) सभी विवृत समुच्चय U में B युक्त m(U) से कम हो।

माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक निकटवर्ती U है जिसके लिए m(U) परिमित है।

यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m सघन समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के लिए, विपरीत भी लागू होती है।<br>इस प्रकार, इस स्थिति में, सघन उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से सघन शब्द को प्रत्येक समष्टि संवृत सघन द्वारा प्रतिस्थापित करके। यद्यपि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)

जब अंतर्निहित माप समष्टि स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि होता है, तो सघन समर्थन के साथ संतत फलन के समष्टि पर संतत रैखिक प्रकार्यात्मकता के संदर्भ में रेडॉन माप की परिभाषा व्यक्त की जा सकती है। यह [[कार्यात्मक विश्लेषण|प्रकार्यात्मक विश्लेषण]], {{harvtxt|बोरबाकी|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} और कई अन्य लेखकों द्वारा अपनाए गए दृष्टिकोण के संदर्भ में माप और समाकलन को विकसित करना संभव बनाता है।

निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। X पर सघन समर्थन (गणित) के साथ संतत वास्तविक-मानित फलन एक [[सदिश स्थल|सदिश समष्टि]] <math>\mathcal{K}(X)=C_C(X)</math>बनाते हैं, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थिति दी जा सकती है। वस्तुतः, <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त समष्टि का संघ है <math>\mathcal{K}(X,K)</math> सघन समष्टि समुच्चय में निहित समर्थन के साथ संतत फलनों की K. प्रत्येक रिक्त समष्टि <math>\mathcal{K}(X,K)</math> स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की सांस्थिति वहन करती है, जो इसे [[बनच स्थान|बनच]] समष्टि बनाती है। परन्तु सांस्थितिक समष्टि के संघ के रूप में सांस्थितिक समष्टि, समष्टि की सीधी सीमा का एक विशेष स्थिति है <math>\mathcal{K}(X)</math> रिक्त समष्टि से प्रेरित प्रत्यक्ष सीमा [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक वेक्टर समष्टि]] सांस्थिति से लैस किया जा सकता है <math>\mathcal{K}(X,K)</math>; यह सांस्थिति एकसमान अभिसरण की सांस्थिति से बेहतर है।

यदि m एक रेडॉन माप है <math>X,</math> फिर मैपिंग

से एक सतत धनात्मक रेखीय मानचित्र है <math>\mathcal{K}(X)</math> आर के लिए। धनात्मकता का अर्थ है कि ''आई''(''एफ'') ≥ 0 जब भी ''एफ'' एक गैर-ऋणात्मक कार्य है। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा सांस्थिति के संबंध में संततता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: ''X'' के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय ''K'' के लिए एक स्थिर ''M'' मौजूद है_''K'' ऐसा है कि, K में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक संतत वास्तविक-मानित फलन f के लिए,

:: <math> |I(f)| \leq M_K  \sup_{x\in X} |f(x)|. </math>

इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप पर <math>\mathcal{K}(X)</math> एक अद्वितीय नियमित बोरेल माप के संबंध में समाकलन के रूप में उत्पन्न होता है।

एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप को ''कोई भी'' संतत रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है <math>\mathcal{K}(X)</math>; वे बिल्कुल दो रेडॉन मापों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि के दोहरे समष्टि के साथ वास्तविक-मानित रेडॉन मापों की पहचान देता है <math>\mathcal{K}(X)</math>. इन वास्तविक-मानित रेडॉन मापों को [[हस्ताक्षरित उपाय|हस्ताक्षरित माप]]ों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin(x)dx एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप है, परन्तु यह एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।

कुछ लेखक पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग परिभाषित करने के लिए (धनात्मक) रेडॉन मापों को धनात्मक रैखिक रूपों पर करते हैं <math>\mathcal{K}(X)</math>; देखना {{harvtxt|Bourbaki|2004}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}}, {{harvtxt|Hewitt|Stromberg|1965}} या {{harvtxt|Dieudonné|1970}}. इस समुच्चय -अप में एक शब्दावली का उपयोग करना आम है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के मापों को धनात्मक माप कहा जाता है और वास्तविक-मान वाले रेडॉन मापों को ऊपर (वास्तविक) माप कहा जाता है।

प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, सघन रूप से समर्थित संतत फलनों से माप (अभिन्न) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मानित कार्यों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:

# ऊपरी अभिन्न ''μ''*(''g'') की परिभाषा एक निचले अर्ध-धनात्मक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन ''g'' की धनात्मक संख्याओं के सर्वोच्च (संभवतः अनंत) के रूप में ''μ'' '(''h'') सघन रूप से समर्थित संतत फलनों ''h'' ≤ ''g'' के लिए

# अपर इंटीग्रल की परिभाषा ''μ''*(''f'') एक यादृच्छिक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन ''f'' के लिए अपर इंटीग्रल ''μ''*(''g) के न्यूनतम के रूप में '') कम अर्ध-संतत फलनों के लिए ''g'' ≥ ''f''

# सदिश समष्टि की परिभाषा ''F'' = ''F''(''X'', ''μ'') X पर सभी कार्यों के समष्टि के रूप में ''f'' जिसके लिए ऊपरी अभिन्न ''μ''*(|''f''|) निरपेक्ष मान परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी अभिन्न 'एफ' पर एक अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'एफ' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित सांस्थिति के संबंध में एक पूर्ण समष्टि है

# समष्टि ''एल'' की परिभाषा¹(X, μ) 'अभिन्न कार्य' का संतत सघन रूप से समर्थित कार्यों के समष्टि के F के अंदर [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर (सांस्थिति)]] के रूप में

# एल में कार्यों के लिए 'अभिन्न' की परिभाषा¹(X, μ) संततता द्वारा विस्तार के रूप में (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L की सांस्थिति के संबंध में संतत है¹(X, μ))

# समुच्चय के [[सूचक समारोह]] के अभिन्न (जब यह मौजूद है) के रूप में एक समुच्चय के माप की परिभाषा।

यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान एक सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो X के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फलन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से शुरू होता है।

इस प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक समुच्चय -अप में 'R' पर Lebesgue माप को कुछ तरीकों से पेश किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के इंटीग्रल के लिए [[ डेनियल अभिन्न |डेनियल अभिन्न]] या [[रीमैन इंटीग्रल]] जैसे प्राथमिक इंटीग्रल पर भरोसा किया जाए, क्योंकि ये इंटीग्रल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए इंटीग्रल हैं। प्राथमिक समाकलन द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) सटीक रूप से [[लेबेस्ग उपाय|लेबेस्ग माप]] है। दूसरा, अगर कोई रीमैन या डेनियल इंटीग्रल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार मापों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेसेग माप को 'आर' पर हार माप λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है λ ([0,1]) = 1.

* [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] पर लेबेस्ग्यू माप (बोरेल सबसमुच्चय तक सीमित);

* किसी भी सामयिक समष्टि पर डायराक माप;

* यूक्लिडियन समष्टि पर [[गाऊसी माप]] <math>\mathbb{R}^n</math> इसके बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ;

* किसी भी [[पोलिश स्थान|पोलिश]] समष्टि के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर [[संभाव्यता उपाय|संभाव्यता माप]]। यह उदाहरण न मात्र पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर कई मापों को शामिल करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मानित संतत फलनों के समष्टि पर [[वीनर माप]]।

* एक माप <math>\mathbb{R}</math> एक रेडॉन माप है यदि और मात्र यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।

*क्रमिक संख्या का समष्टि अधिक से अधिक के बराबर <math>\Omega</math>, [[ आदेश टोपोलॉजी |आदेश सांस्थिति]] के साथ [[पहला बेशुमार क्रमसूचक]] एक सघन सांस्थितिक समष्टि है। वह माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होता है जिसमें बेशुमार संवृत उपसमुच्चय होता है <math>[1,\Omega)</math>, और 0 अन्यथा, बोरेल है परन्तु रेडॉन नहीं, एक बिंदु समुच्चय के रूप में <math>\{\Omega\}</math> माप शून्य है परन्तु इसके किसी भी विवृत निकटवर्ती में माप 1 है। देखें {{harvtxt|Schwartz|1974|p=45}}.

* X को अंतराल होने दें [0, 1) आधे विवृत अंतराल के संग्रह द्वारा उत्पन्न सांस्थिति से लैस <math>\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 1\}</math>. इस सांस्थिति को कभी-कभी [[सोरगेनफ्रे लाइन]] भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू माप रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि सघन समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।

* मान लीजिए कि Z एक [[बर्नस्टीन सेट|बर्नस्टीन समुच्चय]] है <math>[0,1]</math> (या कोई पोलिश स्थान)। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर गायब हो जाता है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी सघन समुच्चय गणनीय है।

* मानक [[उत्पाद माप]] पर <math>(0,1)^\kappa</math> बेशुमार के लिए <math>\kappa</math> रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी सघन समुच्चय बेशुमार रूप से कई संवृत अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।

हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेसेग माप और डायराक माप दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेसेग के विपरीत, एक बिंदु पर एक रेडॉन माप जरूरी नहीं है। माप 0.<ref>Cont, Rama, and Peter Tankov. Financial modelling with jump processes. Chapman & Hall, 2004.</ref>

=== मॉडरेटेड रेडॉन माप ===

किसी समष्टि X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम एक अन्य माप M (बोरेल समुच्चय पर) लगाकर परिभाषित कर सकते हैं

:<math>M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{ is an open set with } B \subseteq V \subseteq X \} .</math>

माप m बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और विवृत समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह सघन और ओपन समुच्चय पर m के साथ मेल खाता है, और m को m से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो सघन समुच्चय पर m के समान है। माप m को 'मॉडरेट' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका मतलब यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक मजबूत है।)

वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ समष्टि पर प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।

माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है परन्तु मॉडरेट नहीं है, द्वारा दिया गया है {{harvtxt|Bourbaki|2004|loc=Exercise 5 of section 1}}{{which|date=October 2021|reason=which volume?}} निम्नलिखित नुसार। सांस्थितिक समष्टि X ने बिंदुओं (0, y) के वाई-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n) के साथ एक साथ समुच्चय किया है।²) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। सांस्थिति इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n²) सभी विवृत समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के निकटवर्ती का एक आधार वेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤ |यू| ≤ 1/n धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह समष्टि X स्थानीय रूप से सघन है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है²) का माप 1/n है<sup>3