सहसंबंध (प्रोजेक्टिव ज्यामिति): Difference between revisions
(Created page with "{{about|correlation in projective geometry||Correlation (disambiguation)}} प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक सहसंबंध...") |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{about| | {{about|प्रक्षेपी ज्यामिति में कॉररेजन||कॉररेजन(बहुविकल्पी)}} | ||
[[प्रक्षेपी ज्यामिति]] में, | [[प्रक्षेपी ज्यामिति|प्रोजेक्टिव ज्यामिति]] में, कॉररेजन ''डी'' आयामी [[ प्रक्षेपण स्थान | प्रोजेक्टिव स्थान]] का रूपांतरण होता है, जो प्रोजेक्टिव स्थान को मैप करता है और आयाम K के प्रोजेक्टिव उपस्थान को आयाम ''d'' − ''k'' − 1 के उपस्थान के रूप में मैप करता है। समावेशन को उलटना सेट सिद्धांत और घटना को संरक्षित करना होता है और इस प्रकार ज्यामिति कॉररेजन को पारस्परिकता या पारस्परिक रूपांतरण भी कहा जाता है। | ||
== दो आयामों में == | == दो आयामों में == | ||
वास्तविक | वास्तविक प्रोजेक्टिव तल में, बिंदु और रेखाएँ एक दूसरे के लिए [[द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति)|द्वैत (प्रोजेक्टिव ज्यामिति)]] हैं। जैसा कॉक्सेटर द्वारा व्यक्त किया गया है, | ||
: एक | : एक कॉररेजन एक बिंदु से रेखा और एक रेखा से बिंदु परिवर्तन है जो द्वैत के सिद्धांत के अनुसार घटना के संबंध को संरक्षित करता है। इस प्रकार यह [[प्रक्षेप्य सीमा]] को [[पेंसिल (गणित)]] में, पेंसिल को रेंज में, चतुष्कोणों को चतुर्भुज में, और इसी तरह बदल देता है।<ref>[[H. S. M. Coxeter]] (1974) ''Projective Geometry'', second edition, page 57, [[University of Toronto Press]] {{ISBN|0-8020-2104-2}}</ref> | ||
एक रेखा m और P को एक बिंदु दिया गया है जो m पर नहीं है, एक प्रारंभिक | एक रेखा m और P को एक बिंदु दिया गया है जो m पर नहीं है, एक प्रारंभिक कॉररेजन निम्नानुसार प्राप्त होता है: m पर प्रत्येक Q के लिए रेखा PQ बनाते हैं। व्युत्क्रम फलन कॉररेजन P पर पेंसिल से शुरू होता है: इस पेंसिल में किसी भी रेखा q के लिए बिंदु लें {{nowrap|''m'' ∩ ''q''}}. एक ही पेंसिल साझा करने वाले दो कॉररेजन की कार्य संरचना एक परिप्रेक्ष्य है। | ||
== तीन आयामों में == | == तीन आयामों में == | ||
एक 3-आयामी प्रोजेक्टिव | एक 3-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में एक कॉररेजन एक बिंदु को एक विमान (ज्यामिति) पर मैप करता है। जैसा कि एक पाठ्यपुस्तक में कहा गया है:<ref>[[J. G. Semple]] and G. T. Kneebone (1952) ''Algebraic Projective Geometry'', p 360, [[Clarendon Press]]</ref> | ||
: यदि κ एक ऐसा | : यदि κ एक ऐसा कॉररेजन है, तो प्रत्येक बिंदु P इसके द्वारा एक समतल में रूपांतरित हो जाता है {{nowrap|1=''π''′ = ''κP''}}, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु P उलटा परिवर्तन κ द्वारा एक अद्वितीय विमान π' से उत्पन्न होता है<sup>-1</sup>. | ||
त्रि-आयामी | त्रि-आयामी कॉररेजन भी रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं, इसलिए उन्हें दो स्थानों के संयोग माना जा सकता है। | ||
== उच्च आयामों में == | == उच्च आयामों में == | ||
सामान्य एन- | सामान्य एन-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में, एक कॉररेजन एक [[ hyperplane ]] के लिए एक बिंदु लेता है। पॉल येल द्वारा इस संदर्भ का वर्णन किया गया था: | ||
: प्रोजेक्टिव | : प्रोजेक्टिव स्थान 'पी' (वी) का कॉररेजन 'पी' (वी) के उचित उप-स्थानों का एक समावेशन-प्रतिवर्ती क्रमपरिवर्तन है।<ref>Paul B. Yale (1968, 1988. 2004) ''Geometry and Symmetry'', chapter 6.9 Correlations and semi-bilinear forms, [[Dover Publications]] {{ISBN|0-486-43835-X}}</ref> | ||
वह एक प्रमेय साबित करता है जिसमें कहा गया है कि एक | वह एक प्रमेय साबित करता है जिसमें कहा गया है कि एक कॉररेजन φ इंटरचेंज जुड़ता है और चौराहे करता है, और 'पी' (वी) के किसी भी प्रोजेक्टिव उपस्थान डब्ल्यू के लिए, φ के तहत डब्ल्यू की छवि का आयाम है {{nowrap|(''n'' − 1) − dim ''W''}}, जहां n सदिश स्थान V का आयाम है जिसका उपयोग प्रोजेक्टिव स्थान 'P'(V) उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। | ||
== | == कॉररेजन का अस्तित्व == | ||
यदि स्थान स्व-द्वैत है तो ही | यदि स्थान स्व-द्वैत है तो ही कॉररेजन मौजूद हो सकते हैं। आयाम 3 और उच्चतर के लिए, स्व-द्वैत का परीक्षण करना आसान है: एक समन्वयकारी तिरछा क्षेत्र मौजूद है और स्व-द्वंद्व विफल हो जाता है यदि और केवल यदि तिरछा क्षेत्र इसके विपरीत आइसोमोर्फिक नहीं है। | ||
== विशेष प्रकार के | == विशेष प्रकार के कॉररेजन == | ||
=== ध्रुवीयता === | === ध्रुवीयता === | ||
यदि एक | यदि एक कॉररेजन φ एक अंतर्वलन (गणित) है (अर्थात, कॉररेजन के दो अनुप्रयोग पहचान के बराबर होते हैं: {{nowrap|1=''φ''<sup>2</sup>(''P'') = ''P''}} सभी बिंदुओं के लिए पी) तो इसे एक [[ध्रुव और ध्रुवीय]] कहा जाता है। प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान की ध्रुवीयताएं ध्रुवीय रिक्त स्थान की ओर ले जाती हैं, जो कि सभी उप-स्थानों का संग्रह ले कर परिभाषित की जाती हैं जो उनकी छवि में ध्रुवीयता के अंतर्गत निहित हैं। | ||
=== प्राकृतिक | === प्राकृतिक कॉररेजन === | ||
प्रोजेक्टिव स्थान P(''V'') और इसके दोहरे P(''V'' के बीच प्रेरित एक प्राकृतिक कॉररेजन है<sup>∗</sup>) [[प्राकृतिक जोड़ी]] द्वारा {{nowrap|{{langle}}⋅,⋅{{rangle}}}} अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान V और इसके दोहरे स्थान V के बीच<sup>∗</sup>, जहां V की प्रत्येक उपसमष्टि W<sup>∗</sup> को इसके [[ऑर्थोगोनल पूरक]] W से मैप किया गया है<sup>V में ⊥</sup>, के रूप में परिभाषित किया गया है {{nowrap|1=''W''<sup>⊥</sup> = {''v'' ∈ ''V'' {{!}} {{langle}}''w'', ''v''{{rangle}} = 0, ∀''w'' ∈ ''W''}.}}{{refn|{{citation|author=Irving Kaplansky|year=1974|origyear=1969|title=Linear Algebra and Geometry|edition=2nd|page=104}}}} | |||
इस प्राकृतिक | इस प्राकृतिक कॉररेजन की रचना एक सेमिलिनियर मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के समरूपता के साथ स्वयं P(''V'') का कॉररेजन उत्पन्न करता है। इस तरह, हर गैर-डीजेनेरेटेड सेमीलीनियर मैप {{nowrap|''V'' → ''V''<sup>∗</sup>}} खुद के लिए एक प्रोजेक्टिव स्थान का कॉररेजन प्रेरित करता है। | ||
==संदर्भ== | ==संदर्भ== | ||
Revision as of 23:31, 29 May 2023
प्रोजेक्टिव ज्यामिति में, कॉररेजन डी आयामी प्रोजेक्टिव स्थान का रूपांतरण होता है, जो प्रोजेक्टिव स्थान को मैप करता है और आयाम K के प्रोजेक्टिव उपस्थान को आयाम d − k − 1 के उपस्थान के रूप में मैप करता है। समावेशन को उलटना सेट सिद्धांत और घटना को संरक्षित करना होता है और इस प्रकार ज्यामिति कॉररेजन को पारस्परिकता या पारस्परिक रूपांतरण भी कहा जाता है।
दो आयामों में
वास्तविक प्रोजेक्टिव तल में, बिंदु और रेखाएँ एक दूसरे के लिए द्वैत (प्रोजेक्टिव ज्यामिति) हैं। जैसा कॉक्सेटर द्वारा व्यक्त किया गया है,
- एक कॉररेजन एक बिंदु से रेखा और एक रेखा से बिंदु परिवर्तन है जो द्वैत के सिद्धांत के अनुसार घटना के संबंध को संरक्षित करता है। इस प्रकार यह प्रक्षेप्य सीमा को पेंसिल (गणित) में, पेंसिल को रेंज में, चतुष्कोणों को चतुर्भुज में, और इसी तरह बदल देता है।[1]
एक रेखा m और P को एक बिंदु दिया गया है जो m पर नहीं है, एक प्रारंभिक कॉररेजन निम्नानुसार प्राप्त होता है: m पर प्रत्येक Q के लिए रेखा PQ बनाते हैं। व्युत्क्रम फलन कॉररेजन P पर पेंसिल से शुरू होता है: इस पेंसिल में किसी भी रेखा q के लिए बिंदु लें m ∩ q. एक ही पेंसिल साझा करने वाले दो कॉररेजन की कार्य संरचना एक परिप्रेक्ष्य है।
तीन आयामों में
एक 3-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में एक कॉररेजन एक बिंदु को एक विमान (ज्यामिति) पर मैप करता है। जैसा कि एक पाठ्यपुस्तक में कहा गया है:[2]
- यदि κ एक ऐसा कॉररेजन है, तो प्रत्येक बिंदु P इसके द्वारा एक समतल में रूपांतरित हो जाता है π′ = κP, और इसके विपरीत, प्रत्येक बिंदु P उलटा परिवर्तन κ द्वारा एक अद्वितीय विमान π' से उत्पन्न होता है-1.
त्रि-आयामी कॉररेजन भी रेखाओं को रेखाओं में बदल देते हैं, इसलिए उन्हें दो स्थानों के संयोग माना जा सकता है।
उच्च आयामों में
सामान्य एन-आयामी प्रोजेक्टिव स्थान में, एक कॉररेजन एक hyperplane के लिए एक बिंदु लेता है। पॉल येल द्वारा इस संदर्भ का वर्णन किया गया था:
- प्रोजेक्टिव स्थान 'पी' (वी) का कॉररेजन 'पी' (वी) के उचित उप-स्थानों का एक समावेशन-प्रतिवर्ती क्रमपरिवर्तन है।[3]
वह एक प्रमेय साबित करता है जिसमें कहा गया है कि एक कॉररेजन φ इंटरचेंज जुड़ता है और चौराहे करता है, और 'पी' (वी) के किसी भी प्रोजेक्टिव उपस्थान डब्ल्यू के लिए, φ के तहत डब्ल्यू की छवि का आयाम है (n − 1) − dim W, जहां n सदिश स्थान V का आयाम है जिसका उपयोग प्रोजेक्टिव स्थान 'P'(V) उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।
कॉररेजन का अस्तित्व
यदि स्थान स्व-द्वैत है तो ही कॉररेजन मौजूद हो सकते हैं। आयाम 3 और उच्चतर के लिए, स्व-द्वैत का परीक्षण करना आसान है: एक समन्वयकारी तिरछा क्षेत्र मौजूद है और स्व-द्वंद्व विफल हो जाता है यदि और केवल यदि तिरछा क्षेत्र इसके विपरीत आइसोमोर्फिक नहीं है।
विशेष प्रकार के कॉररेजन
ध्रुवीयता
यदि एक कॉररेजन φ एक अंतर्वलन (गणित) है (अर्थात, कॉररेजन के दो अनुप्रयोग पहचान के बराबर होते हैं: φ2(P) = P सभी बिंदुओं के लिए पी) तो इसे एक ध्रुव और ध्रुवीय कहा जाता है। प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान की ध्रुवीयताएं ध्रुवीय रिक्त स्थान की ओर ले जाती हैं, जो कि सभी उप-स्थानों का संग्रह ले कर परिभाषित की जाती हैं जो उनकी छवि में ध्रुवीयता के अंतर्गत निहित हैं।
प्राकृतिक कॉररेजन
प्रोजेक्टिव स्थान P(V) और इसके दोहरे P(V के बीच प्रेरित एक प्राकृतिक कॉररेजन है∗) प्राकृतिक जोड़ी द्वारा ⟨⋅,⋅⟩ अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान V और इसके दोहरे स्थान V के बीच∗, जहां V की प्रत्येक उपसमष्टि W∗ को इसके ऑर्थोगोनल पूरक W से मैप किया गया हैV में ⊥, के रूप में परिभाषित किया गया है W⊥ = {v ∈ V | ⟨w, v⟩ = 0, ∀w ∈ W}.[4]
इस प्राकृतिक कॉररेजन की रचना एक सेमिलिनियर मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के समरूपता के साथ स्वयं P(V) का कॉररेजन उत्पन्न करता है। इस तरह, हर गैर-डीजेनेरेटेड सेमीलीनियर मैप V → V∗ खुद के लिए एक प्रोजेक्टिव स्थान का कॉररेजन प्रेरित करता है।
संदर्भ
- ↑ H. S. M. Coxeter (1974) Projective Geometry, second edition, page 57, University of Toronto Press ISBN 0-8020-2104-2
- ↑ J. G. Semple and G. T. Kneebone (1952) Algebraic Projective Geometry, p 360, Clarendon Press
- ↑ Paul B. Yale (1968, 1988. 2004) Geometry and Symmetry, chapter 6.9 Correlations and semi-bilinear forms, Dover Publications ISBN 0-486-43835-X
- ↑ Irving Kaplansky (1974) [1969], Linear Algebra and Geometry (2nd ed.), p. 104
- Robert J. Bumcroft (1969), Modern Projective Geometry, Holt, Rinehart, and Winston, Chapter 4.5 Correlations p. 90
- Robert A. Rosenbaum (1963), Introduction to Projective Geometry and Modern Algebra, Addison-Wesley, p. 198
