नौ सूत्री केंद्र: Difference between revisions

Latest revision as of 16:13, 29 May 2023

त्रिकोण जो अपने परिवृत्त और परिधि (काला), ऊंचाई और ऑर्थोसेंटर (लाल), और नौ-बिंदु वृत्त और नौ-बिंदु केंद्र (नीला) दिखा रहा है

ज्यामिति में, नौ-बिंदु केंद्र [त्रिकोण केंद्र] होता है, दिए गए त्रिकोण से परिभाषित बिंदु जो त्रिकोण के स्थान या पैमाने पर निर्भर नहीं करता है।

इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र है, वृत्त जो त्रिभुज के नौ महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरता है: तीन किनारों के मध्य बिंदु, तीन ऊंचाई (त्रिकोण) के पैर, और बीच के बिंदु ऑर्थोसेंटर और तीन शीर्षों में से प्रत्येक। नौ-बिंदु केंद्र त्रिकोण केंद्रों के क्लार्क किम्बरलिंग के विश्वकोश में बिंदु X (5) के रूप में सूचीबद्ध है।^[1]^[2]

गुण

नौ सूत्री केंद्र $N$ अपने त्रिभुज की यूलर रेखा पर, उस त्रिभुज के ऑर्थोसेंटर के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित है $H$ और परिधि $O$ . केन्द्रक $G$ भी उसी रेखा पर स्थित है, लंबकेन्द्र से परिकेन्द्र के रास्ते का 2/3,^[2]^[3] इसलिए

NO=NH=3NG.

इस प्रकार, यदि इन चार त्रिभुज केंद्रों में से कोई दो ज्ञात हैं, तो अन्य दो की स्थिति उनसे निर्धारित की जा सकती है।

एंड्रयू गिनैंड ने 1984 में सिद्ध किया, जिसे अब यूलर के त्रिकोण निर्धारण समस्या के रूप में जाना जाता है, कि यदि इन केंद्रों की स्थिति अज्ञात त्रिकोण के लिए दी जाती है, तो त्रिकोण का अंतःकेन्द्र ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल के अन्दर स्थित होता है (वृत्त जिसमें खंड होता है) इसके व्यास के रूप में सेंट्रोइड से ऑर्थोसेंटर तक)। इस वृत्त के अंदर का एकमात्र बिंदु जो अंतःकेंद्र नहीं हो सकता है, वह नौ-बिंदु केंद्र है, और वृत्त का प्रत्येक अन्य आंतरिक बिंदु अद्वितीय त्रिभुज का अंत:केंद्र है।^[4]^[5]^[6]^[7]

नौ-बिंदु केंद्र से केंद्र तक की दूरी $I$ संतुष्ट करती है

{\begin{aligned}&IN<{\tfrac {1}{2}}IO,\\&IN={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot IN=OI^{2},\end{aligned}}

जहाँ $R$ तथा $r$ क्रमशः परित्रिज्या और अंतःत्रिज्या हैं।

नौ-बिंदु केंद्र दिए गए त्रिभुज के औसत दर्जे का त्रिभुज का परिकेंद्र है, दिए गए त्रिभुज के ओर्थिक त्रिभुज का परिकेन्द्र और यूलर त्रिभुज का परिकेन्द्र है।^[3] अधिक सामान्यतः यह नौ-बिंदु चक्र को परिभाषित करने वाले नौ बिंदुओं में से तीन से परिभाषित किसी भी त्रिकोण का परिकेंद्र है।

नौ-बिंदु केंद्र चार बिंदुओं के केंद्र में स्थित है: त्रिभुज के तीन कोने और इसका ऑर्थोसेंटर।^[8]

ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर लाइनें (चार बिंदुओं का सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर अन्य तीन बिंदुओं पर कोने के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती रेखाएं होती हैं।^[9]^: p.111

नौ बिंदुओं वाले वृत्त को परिभाषित करने वाले नौ बिंदुओं में से, कोने और ऑर्थोसेंटर के बीच रेखा खंडों के तीन मध्यबिंदु इसके नौ-बिंदु केंद्र के बारे में त्रिभुज के मध्यबिंदुओं के प्रतिबिंब हैं। इस प्रकार, नौ-बिंदु केंद्र बिंदु प्रतिबिंब का केंद्र बनाता है जो औसत दर्जे का त्रिकोण को यूलर त्रिकोण में मैप करता है, और इसके विपरीत।^[3]

लेस्टर के प्रमेय के अनुसार, नौ-बिंदु केंद्र तीन अन्य बिंदुओं के साथ सामान्य वृत्त पर स्थित है: दो फ़र्मेट बिंदु और परिकेन्द्र।^[10]

त्रिभुज का कोस्नीता बिंदु, कोस्निटा के प्रमेय से जुड़ा त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र का आइसोगोनल संयुग्म है।^[11]

निर्देशांक

नौ-बिंदु केंद्र के लिए ट्रिलिनियर निर्देशांक हैं।^[1]^[2]

{\begin{aligned}&\cos(B-C):\cos(C-A):\cos(A-B)\\&=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\&=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B\\&=bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}].\end{aligned}}

नौ-बिंदु केंद्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (गणित) हैं।^[2]

{\begin{aligned}&a\cos(B-C):b\cos(C-A):c\cos(A-B)\\&=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{aligned}}

इस प्रकार यदि और केवल यदि दो शीर्ष कोण दूसरे से 90 डिग्री से अधिक भिन्न होते हैं, तो बेरिकेंट्रिक निर्देशांक ऋणात्मक होता है और इसलिए नौ-बिंदु केंद्र त्रिभुज के बाहर होता है।

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021.
↑ ^2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 Dekov, Deko (2007), "Nine-point center" (PDF), Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.
↑ Stern, Joseph (2007), "Euler's triangle determination problem" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 1–9.
↑ Euler, Leonhard (1767), "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in Latin), 11: 103–123{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).
↑ Guinand, Andrew P. (1984), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, doi:10.2307/2322671, JSTOR 2322671.
↑ Franzsen, William N. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
↑ The Encyclopedia of Triangle Centers credits this observation to Randy Hutson, 2011.
↑ Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).
↑ Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations", Forum Geometricorum, 10: 175–209, MR 2868943.
↑ Rigby, John (1997), "Brief notes on some forgotten geometrical theorems", Mathematics and Informatics Quarterly, 7: 156–158.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

नौ-बिंदु चक्र
त्रिभुज केंद्रों का विश्वकोश
यूलर लाइन
circumcenter
केंद्र में
से कम
RADIUS
आर्थिक त्रिकोण
मध्य त्रिकोण
समवर्ती रेखाएँ
फर्मेट अंक

बाहरी संबंध

Weisstein, Eric W., "Nine-Point Center", MathWorld

[k94-1] 1.0 ^1.1 Kimberling, Clark (1994), "Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle", Mathematics Magazine, 67 (3): 163–187, doi:10.2307/2690608, JSTOR 2690608, MR 1573021.

[etc-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 ^2.3 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.

[dekov-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 Dekov, Deko (2007), "Nine-point center" (PDF), Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry.

[4] Stern, Joseph (2007), "Euler's triangle determination problem" (PDF), Forum Geometricorum, 7: 1–9.

[5] Euler, Leonhard (1767), "Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum", Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (in Latin), 11: 103–123{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link).

[6] Guinand, Andrew P. (1984), "Euler lines, tritangent centers, and their triangles", American Mathematical Monthly, 91 (5): 290–300, doi:10.2307/2322671, JSTOR 2322671.

[7] Franzsen, William N. "The distance from the incenter to the Euler line", Forum Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html

[8] The Encyclopedia of Triangle Centers credits this observation to Randy Hutson, 2011.

[ac-9] Altshiller-Court, Nathan, College Geometry, Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).

[10] Yiu, Paul (2010), "The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations", Forum Geometricorum, 10: 175–209, MR 2868943.

[11] Rigby, John (1997), "Brief notes on some forgotten geometrical theorems", Mathematics and Informatics Quarterly, 7: 156–158.

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 {{short description|Triangle center associated with the nine-point circle}}
-{{Use American English|date=August 2020}}
-[[File:Ortocenter and circumcircle.svg|thumb|300px|एक त्रिकोण जो अपने परिवृत्त और परिधि (काला), ऊंचाई और ऑर्थोसेंटर (लाल), और नौ-बिंदु वृत्त और नौ-बिंदु केंद्र (नीला) दिखा रहा है]][[ज्यामिति]] में, नौ-बिंदु केंद्र एक [[[[त्रिकोण]] केंद्र]] होता है, एक दिए गए त्रिकोण से परिभाषित एक बिंदु जो त्रिकोण के स्थान या पैमाने पर निर्भर नहीं करता है।
+[[File:Ortocenter and circumcircle.svg|thumb|300px|त्रिकोण जो अपने परिवृत्त और परिधि (काला), ऊंचाई और ऑर्थोसेंटर (लाल), और नौ-बिंदु वृत्त और नौ-बिंदु केंद्र (नीला) दिखा रहा है]][[ज्यामिति]] में, नौ-बिंदु केंद्र [<nowiki/>[[त्रिकोण]] केंद्र] होता है, दिए गए त्रिकोण से परिभाषित बिंदु जो त्रिकोण के स्थान या पैमाने पर निर्भर नहीं करता है।
-इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र है, एक वृत्त जो त्रिभुज के नौ महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरता है: तीन किनारों के [[मध्य]] बिंदु, तीन [[ऊंचाई (त्रिकोण)]] के पैर, और बीच के बिंदु [[orthocenter|ऑर्थोसेंटर]] और तीन शीर्षों में से प्रत्येक। नौ-बिंदु केंद्र त्रिकोण केंद्रों के [[क्लार्क किम्बरलिंग]] के विश्वकोश में बिंदु X (5) के रूप में सूचीबद्ध है।<ref name="k94">{{citation
+इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि यह नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र है, वृत्त जो त्रिभुज के नौ महत्वपूर्ण बिंदुओं से होकर गुजरता है: तीन किनारों के [[मध्य]] बिंदु, तीन [[ऊंचाई (त्रिकोण)]] के पैर, और बीच के बिंदु [[orthocenter|ऑर्थोसेंटर]] और तीन शीर्षों में से प्रत्येक। नौ-बिंदु केंद्र त्रिकोण केंद्रों के [[क्लार्क किम्बरलिंग]] के विश्वकोश में बिंदु X (5) के रूप में सूचीबद्ध है।<ref name="k94">{{citation
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 इस प्रकार, यदि इन चार त्रिभुज केंद्रों में से कोई दो ज्ञात हैं, तो अन्य दो की स्थिति उनसे निर्धारित की जा सकती है।
-एंड्रयू गिनैंड ने 1984 में सिद्ध किया, जिसे अब यूलर के त्रिकोण निर्धारण समस्या के रूप में जाना जाता है, कि यदि इन केंद्रों की स्थिति अज्ञात त्रिकोण के लिए दी जाती है, तो त्रिकोण का अंतःकेन्द्र [[ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल]] के अन्दर स्थित होता है (वृत्त जिसमें खंड होता है) इसके व्यास के रूप में सेंट्रोइड से ऑर्थोसेंटर तक)। इस वृत्त के अंदर का एकमात्र बिंदु जो अंतःकेंद्र नहीं हो सकता है, वह नौ-बिंदु केंद्र है, और वृत्त का प्रत्येक अन्य आंतरिक बिंदु एक अद्वितीय त्रिभुज का अंत:केंद्र है।<ref>{{citation
+एंड्रयू गिनैंड ने 1984 में सिद्ध किया, जिसे अब यूलर के त्रिकोण निर्धारण समस्या के रूप में जाना जाता है, कि यदि इन केंद्रों की स्थिति अज्ञात त्रिकोण के लिए दी जाती है, तो त्रिकोण का अंतःकेन्द्र [[ऑर्थोसेंट्रोइडल सर्कल]] के अन्दर स्थित होता है (वृत्त जिसमें खंड होता है) इसके व्यास के रूप में सेंट्रोइड से ऑर्थोसेंटर तक)। इस वृत्त के अंदर का एकमात्र बिंदु जो अंतःकेंद्र नहीं हो सकता है, वह नौ-बिंदु केंद्र है, और वृत्त का प्रत्येक अन्य आंतरिक बिंदु अद्वितीय त्रिभुज का अंत:केंद्र है।<ref>{{citation
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+[[ऑर्थोसेंट्रिक प्रणाली]] द्वारा गठित चार त्रिकोणों की यूलर लाइनें (चार बिंदुओं का सेट जैसे कि प्रत्येक त्रिभुज का ऑर्थोसेंटर अन्य तीन बिंदुओं पर कोने के साथ होता है) सभी त्रिकोणों के लिए सामान्य नौ-बिंदु केंद्र पर समवर्ती रेखाएं होती हैं।<ref name="ac">Altshiller-Court, Nathan, ''College Geometry'', Dover Publications, 2007 (orig. Barnes & Noble 1952).</ref>{{rp|p.111}}
-नौ बिंदुओं वाले वृत्त को परिभाषित करने वाले नौ बिंदुओं में से, कोने और ऑर्थोसेंटर के बीच रेखा खंडों के तीन मध्यबिंदु इसके नौ-बिंदु केंद्र के बारे में त्रिभुज के मध्यबिंदुओं के प्रतिबिंब हैं। इस प्रकार, नौ-बिंदु केंद्र एक [[बिंदु प्रतिबिंब]] का केंद्र बनाता है जो औसत दर्जे का त्रिकोण को यूलर त्रिकोण में मैप करता है, और इसके विपरीत।<ref name="dekov" />
+नौ बिंदुओं वाले वृत्त को परिभाषित करने वाले नौ बिंदुओं में से, कोने और ऑर्थोसेंटर के बीच रेखा खंडों के तीन मध्यबिंदु इसके नौ-बिंदु केंद्र के बारे में त्रिभुज के मध्यबिंदुओं के प्रतिबिंब हैं। इस प्रकार, नौ-बिंदु केंद्र [[बिंदु प्रतिबिंब]] का केंद्र बनाता है जो औसत दर्जे का त्रिकोण को यूलर त्रिकोण में मैप करता है, और इसके विपरीत।<ref name="dekov" />
-लेस्टर के प्रमेय के अनुसार, नौ-बिंदु केंद्र तीन अन्य बिंदुओं के साथ एक सामान्य वृत्त पर स्थित है: दो फ़र्मेट बिंदु और परिकेन्द्र।<ref>{{citation
+लेस्टर के प्रमेय के अनुसार, नौ-बिंदु केंद्र तीन अन्य बिंदुओं के साथ सामान्य वृत्त पर स्थित है: दो फ़र्मेट बिंदु और परिकेन्द्र।<ref>{{citation
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-एक त्रिभुज का [[कोस्नीता बिंदु]], कोस्निटा के प्रमेय से जुड़ा एक त्रिभुज केंद्र, नौ-बिंदु केंद्र का [[आइसोगोनल संयुग्म]] है।<ref>{{citation
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-इस प्रकार यदि और केवल यदि दो शीर्ष कोण एक दूसरे से 90 डिग्री से अधिक भिन्न होते हैं, तो एक बेरिकेंट्रिक निर्देशांक ऋणात्मक होता है और इसलिए नौ-बिंदु केंद्र त्रिभुज के बाहर होता है।
+इस प्रकार यदि और केवल यदि दो शीर्ष कोण दूसरे से 90 डिग्री से अधिक भिन्न होते हैं, तो बेरिकेंट्रिक निर्देशांक ऋणात्मक होता है और इसलिए नौ-बिंदु केंद्र त्रिभुज के बाहर होता है।
 ==संदर्भ==
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 ==बाहरी संबंध==
 *{{mathworld|id=Nine-PointCenter|title=Nine-Point Center|mode=cs2}}
-[[Category:त्रिकोण केंद्र]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1 maint]]
 [[Category:Created On 15/12/2022]]
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