अर्बेलोस: Difference between revisions
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Latest revision as of 15:58, 29 May 2023
ज्यामिति में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य में से एक के सापेक्ष साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ "आधार रेखा" जिसमें उनके व्यास होते हैं।[1]
इस आंकड़े का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ आर्किमिडीज की नींबू की किताब में है, जहां इसके कुछ गणितीय गुणों को प्रस्ताव 4 से 8 के रूप में बताया गया है।[2]अर्बेलोस शब्द 'शोमेकर्स नाइफ' के लिए ग्रीक शब्द है। यह आंकड़ा पप्पस श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।
गुण
मनमाना व्यास के सापेक्ष दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं तीसरा अर्धवृत्त व्यास के सापेक्ष होता है।
दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल होती हैं, माना व्यास a और b के सापेक्ष तीसरा अर्धवृत्त उत्तल होता है, जिसका वक्र a+b. होता है। [1]
क्षेत्र
अर्बेलोस का क्षेत्रफल व्यास HA वाले वृत्त के क्षेत्रफल के समान होता है .
उपपत्ति: प्रमाण के लिए, आर्बेलोस को बिंदु B और C से होकर जाने वाली रेखा पर प्रतिबिंबित करें , और निरीक्षण करे कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले BA, AC के सापेक्ष) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल (व्यास के सापेक्ष BC) से घटाया जाता है . क्योंकी एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है , यह दर्शाने के लिए समस्या न्यूनतम हो जाती है
. लंबाई |BC| लंबाई के योग |BA| और |AC|, के समान है इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन को सरल करता है . इस प्रकार प्रमाण है कि खंड AH की लंबाई खंड की लंबाई का ज्यामितीय माध्य होता है अब त्रिभुज BHC, अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु H पर एक समकोण होता है, और परिणामस्वरूप |HA| वास्तव में |BA| तथा |AC| के मध्य का एक औसत समानुपातिक माध्य होता है । यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का दावा देते हैं[3] जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में प्रारंभ किया था।
आयत
मान लीजिए कि D और E वे बिंदु हों जहां खंड BH और CH क्रमशः अर्धवृत्तों AB और AC को प्रतिच्छेद करते हैं। चतुर्भुज ADHE वास्तव में एक आयत है।
- उपपत्ति: ∠BDA, ∠BHC, और ∠AEC समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में खुदे हुए हैं। इसलिए चतुर्भुज ADHE के तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक आयत है।
- मान लीजिए कि D और E वे बिंदु हैं जहां खण्ड BH और CH अर्द्धवृत्त AB और AC को प्रतिच्छेद करते हैं। चतुर्भुज ADHE वास्तव में एक आयत है। उपपत्ति: ∠BDA, ∠BHC, और ∠AEC समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में अंकित होता हैं। चतुर्भुज ADHE के तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक आयत है।
स्पर्शरेखा
रेखा DE, D पर अर्धवृत्त BA और E पर अर्धवृत्त AC को स्पर्श करती है।
- प्रमाण: क्योंकी ∠BDA एक समकोण है, ∠DBA π/2 ऋण ∠DAB के समान होता है. यद्यपि ∠DAH π/2 ऋण ∠DAB भी समान है (तब से ∠HAB एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण DBA और DAH समरूप हैं। इसलिए ∠DIA ∠DOH के समान है , जहाँ I BA का मध्यबिंदु है और O AH का मध्यबिंदु है . परंतु ∠AOH एक सीधी रेखा है, इसलिए ∠DOH और ∠DOA संपूरक कोण हैं। इसलिए ∠DIA और ∠DOA का योग π है। ∠IAO समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में IDOA, ∠IDO एक समकोण होना चाहिए। परंतु ADHE एक आयत है, इसलिए AH का मध्यबिंदु O DE का भी मध्यबिंदु है । जैसा I BA,अर्धवृत्त का केंद्र है और कोण ∠IDE तब एक समकोण है तो DE, D पर अर्धवृत्त BA की स्पर्शरेखा है । समान तर्क से DE पर E. अर्धवृत्त AC की स्पर्शरेखा है ।
आर्किमिडीज सर्कल
ऊँचाई AH अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित करती है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें आर्बेलोस के आर्किमिडीज़ के वृत्त के रूप में जाना जाता है, उसका आकार समान होता है।
ऊंचाई एएच अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित कर है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इनमें से प्रत्येक क्षेत्र में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें अर्बेलोस के आर्किमिडीज़ सर्कल के रूप में जाना जाता है, उसका आकार समान है।
विविधताएं और सामान्यीकरण
परबेलोस अर्बेलोस के समान एक आकृति है, जो अर्धवृत्त के अतिरिक्त परवलय खंडों का उपयोग करता है। एक सामान्यीकरण जिसमें अर्बेलोस और पर्बेलोस दोनों f-बेलोस है, जो एक निश्चित प्रकार के समान भिन्न फलनो का उपयोग करता है।[4]
अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोनकारे अर्ध-विमान मॉडल में, एक अर्बेलोस एक आदर्श त्रिभुज का मॉडल करता है।
व्युत्पत्ति
आर्बेलोस नाम प्राचीन ग्रीक ἡ ἄρβηλος he árbēlos या ἄρβυλος árbylos से आया है, जिसका अर्थ है शूमेकर का चाकू, प्राचीन काल से लेकर आज तक जूते बनाने द्वारा उपयोग किया जाने वाला चाकू, जिसका ब्लेड ज्यामितीय आकृति जैसा दिखता है।
यह भी देखें
- आर्किमिडीज की चौपाइयां
- बैंकऑफ सर्कल
- स्कोक सर्किल
- स्कोच लाइन
- वू हलकों
- पप्पस चेन
- सालिनॉन
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 Weisstein, Eric W. "Arbelos". MathWorld.
- ↑ Thomas Little Heath (1897), The Works of Archimedes. Cambridge University Press. Proposition 4 in the Book of Lemmas. Quote: If AB be the diameter of a semicircle and N any point on AB, and if semicircles be described within the first semicircle and having AN, BN as diameters respectively, the figure included between the circumferences of the three semicircles is "what Archimedes called arbelos"; and its area is equal to the circle on PN as diameter, where PN is perpendicular to AB and meets the original semicircle in P. ("Arbelos - the Shoemaker's Knife")
- ↑ {{cite journal |last1=Nelsen |first1=R B |title=शब्दों के बिना सबूत: एक अर्बेलोस का क्षेत्र|journal=Math. Mag. |date=2002 |volume=75 |issue=2 |page=144|doi= 10.2307/3219152|jstor=3219152 }
- ↑ Antonio M. Oller-Marcen: "The f-belos". In: Forum Geometricorum, Volume 13 (2013), pp. 103–111.
ग्रन्थसूची
- Johnson, R. A. (1960). Advanced Euclidean Geometry: An elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle (reprint of 1929 edition by Houghton Mifflin ed.). New York: Dover Publications. pp. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0.
- Ogilvy, C. S. (1990). Excursions in Geometry. Dover. pp. 51–54. ISBN 0-486-26530-7.
- Sondow, J. (2013). "The parbelos, a parabolic analog of the arbelos". Amer. Math. Monthly. 120 (10): 929–935. arXiv:1210.2279. doi:10.4169/amer.math.monthly.120.10.929. S2CID 33402874. American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
- Wells, D. (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. pp. 5–6. ISBN 0-14-011813-6.
बाहरी संबंध
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