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Line 6: === सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न ===
=== सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न ===
मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v' पर) के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'सदिश' अपने [[डॉट उत्पाद|बिंदु उत्पाद]] के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
मान लीजिए कि एफ ('वी ') सदिश 'वी ' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'वी ' (या 'वी ' पर) के संबंध में एफ ('वी ') का व्युत्पन्न 'सदिश' अपने [[डॉट उत्पाद|बिंदु उत्पाद]] के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
<math display="block">\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}</math>
<math display="block">\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}</math>
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Line 16: # यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}</math>
# यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}</math>
=== सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न ===
=== सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न ===
चूँकि f(v) सदिश v का सदिश मान फलन होता है। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
चूँकि एफ (वी ) सदिश वी का सदिश मान फलन होता है। फिर वी (या वी पर) के संबंध में एफ (वी ) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
<math display="block"> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}</math>
<math display="block"> \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}</math>
सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद सदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होता है, तब दिशात्मक यू में, v पर f का व्युत्पन्न देता है।
सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद सदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होता है, तब दिशात्मक यू में, वी पर एफ का व्युत्पन्न देता है।
गुण:
गुण:
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Line 47: # यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
# यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
== टेंसर क्षेत्र की [[ ग्रेडियेंट |प्रवणता]] ==
== टेंसर क्षेत्र की [[ ग्रेडियेंट |प्रवणता]] ==
प्रवणता, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, टेंसर क्षेत्र का <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> अनैतिक स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
प्रवणता, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, टेंसर क्षेत्र का <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> अनैतिक स्थिर सदिश सी की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})</math>
<math display="block"> \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})</math><br /> अतः एन क्रम के टेंसर क्षेत्र की प्रवणता क्रम एन +1 का टेंसर क्षेत्र होता है।
अतः n क्रम के टेंसर क्षेत्र की प्रवणता क्रम n+1 का टेंसर क्षेत्र होता है।
=== कार्तीय निर्देशांक ===
=== कार्तीय निर्देशांक ===
{{Einstein_summation_convention}}
{{Einstein_summation_convention}}
Line 70:
Line 66: = \left[\cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i\right]\cdot\mathbf{c} \qquad \square
= \left[\cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i\right]\cdot\mathbf{c} \qquad \square
\end{align} </math>}}
\end{align} </math>}}
चूंकि कार्तीय समन्वय प्रणाली में आधार सदिश भिन्न नहीं होते हैं, हमारे समीप अदिश क्षेत्र की प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं, <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> होता है।
चूंकि कार्तीय समन्वय प्रणाली में आधार सदिश भिन्न नहीं होते हैं, हमारे समीप अदिश क्षेत्र की प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं, <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> होता है।
<math display="block"> \begin{align}
<math display="block"> \begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\
Line 85:
Line 81: \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i
</math>
</math>
इस परिभाषा से हमारे समीप अदिश क्षेत्र के प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> होता है।
इस परिभाषा से हमारे समीप अदिश क्षेत्र के प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> होता है।
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\
\boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\
Line 154:
Line 150: \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v})
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v})
</math>
</math>
जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है। यदि <math>\boldsymbol{T}</math> क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र होता है तब क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर होता है।
जहाँ सी स्वेच्छ अचर सदिश है और वी सदिश क्षेत्र है। यदि <math>\boldsymbol{T}</math> क्रम एन > 1 का टेन्सर क्षेत्र होता है तब क्षेत्र का विचलन क्रम एन− 1 का टेन्सर होता है।
=== कार्तीय निर्देशांक ===
=== कार्तीय निर्देशांक ===
{{Einstein_summation_convention}}
{{Einstein_summation_convention}}
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> के लिए हमारे समीप निम्नलिखित संबंध होते हैं।
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math> के लिए हमारे समीप निम्नलिखित संबंध होते हैं।
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = v_{i,i} \\
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = v_{i,i} \\
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Line 195: {{main|वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर}}
{{main|वक्रीय निर्देशांक में टेन्सर}}
{{Einstein_summation_convention}}
{{Einstein_summation_convention}}
सामान्यतः घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{S}</math> होता हैं।
सामान्यतः घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{S}</math> होता हैं।
<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v}
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v}
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Line 235: ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है।
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का [[कर्ल (गणित)]] <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है।
<math display="block">(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})</math>
<math display="block">(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})</math>
जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र होता है।
जहाँ सी स्वेच्छ अचर सदिश है और वी सदिश क्षेत्र होता है।
=== प्रथम-क्रम टेंसर (सदिश) क्षेत्र का कर्ल ===
=== प्रथम-क्रम टेंसर (सदिश) क्षेत्र का कर्ल ===
सदिश क्षेत्र v और स्वेच्छ अचर सदिश c पर विचार कर सकते है। इस प्रकार सूचकांक संकेतन में क्रॉस उत्पाद इसके द्वारा दिया जाता है।
सदिश क्षेत्र वी और स्वेच्छ अचर सदिश सी पर विचार कर सकते है। इस प्रकार सूचकांक संकेतन में क्रॉस उत्पाद इसके द्वारा दिया जाता है।
<math display="block"> \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i </math>
<math display="block"> \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i </math>
जहाँ <math>\varepsilon_{ijk}</math> क्रमचय प्रतीक है, अर्थात् लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब,
जहाँ <math>\varepsilon_{ijk}</math> क्रमचय प्रतीक है, अर्थात् लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब,
दूसरे क्रम के टेंसरों के संबंध में अदिश (गणित), यूक्लिडियन सदिश और दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न का सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग होता हैं। इन व्युत्पन्न का उपयोग अरेखीय लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक अनुकरण के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में उपयोग किया जाता है।[1]
इस प्रकार दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने की व्यवस्थित विधि प्रदान करते है।[2]
सदिश और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में व्युत्पन्न विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक व्युत्पन्न की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। अतः यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू होते हैं कि व्युत्पन्न लिया जा सकता है।
सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न मान लीजिए कि एफ('वी') सदिश 'वी' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'वी' (या 'वी' पर) के संबंध में एफ('वी') का व्युत्पन्न 'सदिश' अपने बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α f ( v + α u ) ] α = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =Df(\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f(\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}
सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद अदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होती है तब यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
गुण:
यदि f ( v ) = f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )+f_{2}(\mathbf {v} )} ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v + ∂ f 2 ∂ v ) ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
यदि f ( v ) = f 1 ( v ) f 2 ( v ) {\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(\mathbf {v} )~f_{2}(\mathbf {v} )} ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v ⋅ u ) f 2 ( v ) + f 1 ( v ) ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)~f_{2}(\mathbf {v} )+f_{1}(\mathbf {v} )~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
यदि f ( v ) = f 1 ( f 2 ( v ) ) {\displaystyle f(\mathbf {v} )=f_{1}(f_{2}(\mathbf {v} ))} ∂ f ∂ v ⋅ u = ∂ f 1 ∂ f 2 ∂ f 2 ∂ v ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} } सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न चूँकि एफ(वी) सदिश वी का सदिश मान फलन होता है। फिर वी (या वी पर) के संबंध में एफ(वी) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके बिंदु उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है।
∂ f ∂ v ⋅ u = D f ( v ) [ u ] = [ d d α f ( v + α u ) ] α = 0 {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =D\mathbf {f} (\mathbf {v} )[\mathbf {u} ]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~\mathbf {f} (\mathbf {v} +\alpha ~\mathbf {u} )\right]_{\alpha =0}}
सभी सदिश यू के लिए उपरोक्त बिंदु उत्पाद सदिश उत्पन्न करता है और यदि यू इकाई सदिश होता है, तब दिशात्मक यू में, वी पर एफ का व्युत्पन्न देता है।
गुण:
यदि f ( v ) = f 1 ( v ) + f 2 ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )} ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v + ∂ f 2 ∂ v ) ⋅ u {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}+{\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\right)\cdot \mathbf {u} }
यदि f ( v ) = f 1 ( v ) × f 2 ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )} ∂ f ∂ v ⋅ u = ( ∂ f 1 ∂ v ⋅ u ) × f 2 ( v ) + f 1 ( v ) × ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)\times \mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} )+\mathbf {f} _{1}(\mathbf {v} )\times \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)}
यदि f ( v ) = f 1 ( f 2 ( v ) ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )=\mathbf {f} _{1}(\mathbf {f} _{2}(\mathbf {v} ))} ∂ f ∂ v ⋅ u = ∂ f 1 ∂ f 2 ⋅ ( ∂ f 2 ∂ v ⋅ u ) {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} ={\frac {\partial \mathbf {f} _{1}}{\partial \mathbf {f} _{2}}}\cdot \left({\frac {\partial \mathbf {f} _{2}}{\partial \mathbf {v} }}\cdot \mathbf {u} \right)} दूसरे क्रम के टेंसरों के अदिश मान वाले कार्यों के व्युत्पन्न इस प्रकार f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} f ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है।
∂ f ∂ S : T = D f ( S ) [ T ] = [ d d α f ( S + α T ) ] α = 0 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}
सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए
T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} ,
गुण:
यदि f ( S ) = f 1 ( S ) + f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})} ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S + ∂ f 2 ∂ S ) : T {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
यदि f ( S ) = f 1 ( S ) f 2 ( S ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})} ∂ f ∂ S : T = ( ∂ f 1 ∂ S : T ) f 2 ( S ) + f 1 ( S ) ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
यदि f ( S ) = f 1 ( f 2 ( S ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))} ∂ f ∂ S : T = ∂ f 1 ∂ f 2 ( ∂ f 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} दूसरे क्रम के टेंसर के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के व्युत्पन्न इस प्रकार F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} F ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है।
∂ F ∂ S : T = D F ( S ) [ T ] = [ d d α F ( S + α T ) ] α = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}}
सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए
T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} ,
गुण:
यदि F ( S ) = F 1 ( S ) + F 2 ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})} ∂ F ∂ S : T = ( ∂ F 1 ∂ S + ∂ F 2 ∂ S ) : T {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
यदि F ( S ) = F 1 ( S ) ⋅ F 2 ( S ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})} ∂ F ∂ S : T = ( ∂ F 1 ∂ S : T ) ⋅ F 2 ( S ) + F 1 ( S ) ⋅ ( ∂ F 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
यदि F ( S ) = F 1 ( F 2 ( S ) ) {\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))} ∂ F ∂ S : T = ∂ F 1 ∂ F 2 : ( ∂ F 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
यदि f ( S ) = f 1 ( F 2 ( S ) ) {\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))} ∂ f ∂ S : T = ∂ f 1 ∂ F 2 : ( ∂ F 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} टेंसर क्षेत्र की प्रवणता प्रवणता, ∇ T {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}} T ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}
∇ T ⋅ c = lim α → 0 d d α T ( x + α c ) {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}\cdot \mathbf {c} =\lim _{\alpha \rightarrow 0}\quad {\cfrac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} +\alpha \mathbf {c} )} अतः एन क्रम के टेंसर क्षेत्र की प्रवणता क्रम एन+1 का टेंसर क्षेत्र होता है।
कार्तीय निर्देशांक Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below. यदि e 1 , e 2 , e 3 {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}} x 1 , x 2 , x 3 {\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
∇ T = ∂ T ∂ x i ⊗ e i {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}} Proof
The vectors x and c can be written as x = x i e i {\displaystyle \mathbf {x} =x_{i}~\mathbf {e} _{i}} c = c i e i {\displaystyle \mathbf {c} =c_{i}~\mathbf {e} _{i}} y := x + αc . In that case the gradient is given by
∇ T ⋅ c = d d α T ( x 1 + α c 1 , x 2 + α c 2 , x 3 + α c 3 ) | α = 0 ≡ d d α T ( y 1 , y 2 , y 3 ) | α = 0 = [ ∂ T ∂ y 1 ∂ y 1 ∂ α + ∂ T ∂ y 2 ∂ y 2 ∂ α + ∂ T ∂ y 3 ∂ y 3 ∂ α ] α = 0 = [ ∂ T ∂ y 1 c 1 + ∂ T ∂ y 2 c 2 + ∂ T ∂ y 3 c 3 ] α = 0 = ∂ T ∂ x 1 c 1 + ∂ T ∂ x 2 c 2 + ∂ T ∂ x 3 c 3 ≡ ∂ T ∂ x i c i चूंकि कार्तीय समन्वय प्रणाली में आधार सदिश भिन्न नहीं होते हैं, हमारे समीप अदिश क्षेत्र की प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं, ϕ {\displaystyle \phi } S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ x i e i = ϕ , i e i ∇ v = ∂ ( v j e j ) ∂ x i ⊗ e i = ∂ v j ∂ x i e j ⊗ e i = v j , i e j ⊗ e i ∇ S = ∂ ( S j k e j ⊗ e k ) ∂ x i ⊗ e i = ∂ S j k ∂ x i e j ⊗ e k ⊗ e i = S j k , i e j ⊗ e k ⊗ e i {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\cfrac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{i}=\phi _{,i}~\mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\cfrac {\partial (v_{j}\mathbf {e} _{j})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}=v_{j,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial (S_{jk}\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k})}{\partial x_{i}}}\otimes \mathbf {e} _{i}={\cfrac {\partial S_{jk}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}=S_{jk,i}~\mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{i}\end{aligned}}} वक्रीय निर्देशांक Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below. यदि g 1 , g 2 , g 3 {\displaystyle \mathbf {g} ^{1},\mathbf {g} ^{2},\mathbf {g} ^{3}} वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 {\displaystyle \xi ^{1},\xi ^{2},\xi ^{3}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} [3]
∇ T = ∂ T ∂ ξ i ⊗ g i {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {T}}}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}}
इस परिभाषा से हमारे समीप अदिश क्षेत्र के प्रवणता के लिए निम्नलिखित संबंध होते हैं
ϕ {\displaystyle \phi } , सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र
S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} होता है।
∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ ξ i g i ∇ v = ∂ ( v j g j ) ∂ ξ i ⊗ g i = ( ∂ v j ∂ ξ i + v k Γ i k j ) g j ⊗ g i = ( ∂ v j ∂ ξ i − v k Γ i j k ) g j ⊗ g i ∇ S = ∂ ( S j k g j ⊗ g k ) ∂ ξ i ⊗ g i = ( ∂ S j k ∂ ξ i − S l k Γ i j l − S j l Γ i k l ) g j ⊗ g k ⊗ g i {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\phi &={\frac {\partial \phi }{\partial \xi ^{i}}}~\mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} &={\frac {\partial \left(v^{j}\mathbf {g} _{j}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v^{j}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{j}\right)~\mathbf {g} _{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial v_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-v_{k}~\Gamma _{ij}^{k}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{i}\\{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial \left(S_{jk}~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\right)}{\partial \xi ^{i}}}\otimes \mathbf {g} ^{i}=\left({\frac {\partial S_{jk}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ij}^{l}-S_{jl}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{j}\otimes \mathbf {g} ^{k}\otimes \mathbf {g} ^{i}\end{aligned}}}
जहां क्रिस्टोफेल प्रतीक
Γ i j k {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}} है, इसका प्रयोग करके इसे परिभाषित किया गया है।
Γ i j k g k = ∂ g i ∂ ξ j ⟹ Γ i j k = ∂ g i ∂ ξ j ⋅ g k = − g i ⋅ ∂ g k ∂ ξ j {\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}~\mathbf {g} _{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\quad \implies \quad \Gamma _{ij}^{k}={\frac {\partial \mathbf {g} _{i}}{\partial \xi ^{j}}}\cdot \mathbf {g} ^{k}=-\mathbf {g} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {g} ^{k}}{\partial \xi ^{j}}}} बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक बेलनाकार निर्देशांक में, प्रवणता द्वारा दिया जाता है।
∇ ϕ = ∂ ϕ ∂ r e r + 1 r ∂ ϕ ∂ θ e θ + ∂ ϕ ∂ z e z ∇ v = ∂ v r ∂ r e r ⊗ e r + 1 r ( ∂ v r ∂ θ − v θ ) e r ⊗ e θ + ∂ v r ∂ z e r ⊗ e z + ∂ v θ ∂ r e θ ⊗ e r + 1 r ( ∂ v θ ∂ θ + v r ) e θ ⊗ e θ + ∂ v θ ∂ z e θ ⊗ e z + ∂ v z ∂ r e z ⊗ e r + 1 r ∂ v z ∂ θ e z ⊗ e θ + ∂ v z ∂ z e z ⊗ टेंसर क्षेत्र का विचलन टेंसर क्षेत्र का विचलन T ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}
( ∇ ⋅ T ) ⋅ c = ∇ ⋅ ( c ⋅ T T ) ; ∇ ⋅ v = tr ( ∇ v ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\right)~;\qquad {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} ={\text{tr}}({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} )}
जहाँ सी स्वेच्छ अचर सदिश है और वी सदिश क्षेत्र है। यदि
T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} क्रम एन > 1 का टेन्सर क्षेत्र होता है तब क्षेत्र का विचलन क्रम एन− 1 का टेन्सर होता है।
कार्तीय निर्देशांक Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below. कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
∇ ⋅ v = ∂ v i ∂ x i = v i , i ∇ ⋅ S = ∂ S i k ∂ x i e k = S i k , i e k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{i}}}=v_{i,i}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\frac {\partial S_{ik}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ik,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}
जहां आंशिक व्युत्पन्न के लिए टेन्सर उचित अंकन का उपयोग सबसे उचित अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दीजिए कि
∇ ⋅ S ≠ ∇ ⋅ S T . {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}\neq {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}^{\textsf {T}}.}
सामान्यतः सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अधिकांशतः इस रूप में भी लिखा जाता है।
[4]
∇ ⋅ S = ∂ S k i ∂ x i e k = S k i , i e k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&={\cfrac {\partial S_{ki}}{\partial x_{i}}}~\mathbf {e} _{k}=S_{ki,i}~\mathbf {e} _{k}\end{aligned}}}
उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है
∇ ⋅ S {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}} कार्तीय घटक के रूप में (अधिकांशतः इसे भी लिखा जाता है
div S {\displaystyle \operatorname {div} {\boldsymbol {S}}} ). ध्यान दीजिए कि इस प्रकार की परिभाषा इस लेख के उपरोक्त भागों के अनुरूप नहीं होता है। (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)
इसका अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है अतः S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} v {\displaystyle \mathbf {v} } S {\displaystyle \mathbf {S} }
∇ ⋅ ( ∇ v ) = ∇ ⋅ ( v i , j e i ⊗ e j ) = v i , j i e i ⋅ e i ⊗ e j = ( ∇ ⋅ v ) , j e j = ∇ ( ∇ ⋅ v ) ∇ ⋅ [ ( ∇ v ) T ] = ∇ ⋅ ( v j , i e i ⊗ e j ) = v j , i i e i ⋅ e i ⊗ e j = ∇ 2 v j e j = ∇ 2 v {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,ji}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)_{,j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} \right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left[\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)^{\textsf {T}}\right]&={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \left(v_{j,i}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{j,ii}~\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{j}~\mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}}
अंतिम समीकरण वैकल्पिक परिभाषा/व्याख्या के समतुल्य होता है।
[4]
( ∇ ⋅ ) alt ( ∇ v ) = ( ∇ ⋅ ) alt ( v i , j e i ⊗ e j ) = v i , j j e i ⊗ e j ⋅ e j = ∇ 2 v i e i = ∇ 2 v {\displaystyle {\begin{aligned}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {v} \right)=\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \right)_{\text{alt}}\left(v_{i,j}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\right)=v_{i,jj}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{j}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}v_{i}~\mathbf {e} _{i}={\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {v} \end{aligned}}} वक्रीय निर्देशांक Note: the Einstein summation convention of summing on repeated indices is used below. सामान्यतः घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र वी और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
∇ ⋅ v = ( ∂ v i ∂ ξ i + v k Γ i k i ) ∇ ⋅ S = ( ∂ S i k ∂ ξ i − S l k Γ i i l − S i l Γ i k l ) g k {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} &=\left({\cfrac {\partial v^{i}}{\partial \xi ^{i}}}+v^{k}~\Gamma _{ik}^{i}\right)\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left({\cfrac {\partial S_{ik}}{\partial \xi _{i}}}-S_{lk}~\Gamma _{ii}^{l}-S_{il}~\Gamma _{ik}^{l}\right)~\mathbf {g} ^{k}\end{aligned}}}
सामान्यतः अधिक,
∇ ⋅ S = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ k i l S l j − Γ k j l S i l ] g i k b j = [ ∂ S i j ∂ q i + Γ i l i S l j + Γ i l j S i l ] b j = [ ∂ S j i ∂ q i + Γ i l i S j l − Γ i j l S l i ] b j = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ i k l S l j + Γ k l j S i l ] g i k b j {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}&=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}~S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S^{ij}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S^{lj}+\Gamma _{il}^{j}~S^{il}\right]~\mathbf {b} _{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{~j}^{i}}{\partial q^{i}}}+\Gamma _{il}^{i}~S_{~j}^{l}-\Gamma _{ij}^{l}~S_{~l}^{i}\right]~\mathbf {b} ^{j}\\[8pt]&=\left[{\cfrac {\partial S_{i}^{~j}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ik}^{l}~S_{l}^{~j}+\Gamma _{kl}^{j}~S_{i}^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf {b} _{j}\end{aligned}}} बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक में,
∇ ⋅ v = ∂ v r ∂ r + 1 r ( ∂ v θ ∂ θ + v r ) + ∂ v z ∂ z ∇ ⋅ S = ∂ S r r ∂ r e r + ∂ S r θ ∂ r e θ + ∂ S r z ∂ r e z + 1 r [ ∂ S θ r ∂ θ + ( S r r − S θ θ ) ] e r + 1 r [ ∂ S θ θ ∂ θ + ( S r θ + S θ r ) ] e θ + 1 r [ ∂ S θ z ∂ θ + S r z ] e z + ∂ S z r ∂ z e r + ∂ S z θ ∂ z e θ + ∂ S z z ∂ z e z {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =\quad &{\frac {\partial v_{r}}{\partial r}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial v_{\theta }}{\partial \theta }}+v_{r}\right)+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\quad &{\frac {\partial S_{rr}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{r\theta }}{\partial r}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{rz}}{\partial r}}~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta r}}{\partial \theta }}+(S_{rr}-S_{\theta \theta })\right]~\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta \theta }}{\partial \theta }}+(S_{r\theta }+S_{\theta r})\right]~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r}}\left[{\frac {\partial S_{\theta z}}{\partial \theta }}+S_{rz}\right]~\mathbf {e} _{z}\\{}+{}&{\frac {\partial S_{zr}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{r}+{\frac {\partial S_{z\theta }}{\partial z}}~\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial S_{zz}}{\partial z}}~\mathbf {e} _{z}\end{aligned}}} टेंसर क्षेत्र का कर्ल ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का कर्ल (गणित) T ( x ) {\displaystyle {\boldsymbol {T}}(\mathbf {x} )}
( ∇ × T ) ⋅ c = ∇ × ( c ⋅ T ) ; ( ∇ × v ) ⋅ c = ∇ ⋅ ( v × c ) {\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {T}})\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {T}})~;\qquad ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )}
जहाँ सी स्वेच्छ अचर सदिश है और वी सदिश क्षेत्र होता है।
प्रथम-क्रम टेंसर (सदिश) क्षेत्र का कर्ल सदिश क्षेत्र वी और स्वेच्छ अचर सदिश सी पर विचार कर सकते है। इस प्रकार सूचकांक संकेतन में क्रॉस उत्पाद इसके द्वारा दिया जाता है।
v × c = ε i j k v j c k e i {\displaystyle \mathbf {v} \times \mathbf {c} =\varepsilon _{ijk}~v_{j}~c_{k}~\mathbf {e} _{i}}
जहाँ
ε i j k {\displaystyle \varepsilon _{ijk}} क्रमचय प्रतीक है, अर्थात् लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब,
∇ ⋅ ( v × c ) = ε i j k v j , i c k = ( ε i j k v j , i e k ) ⋅ c = ( ∇ × v ) ⋅ c {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {v} \times \mathbf {c} )=\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~c_{k}=(\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} )\cdot \mathbf {c} }
इसलिए,
∇ × v = ε i j k v j , i e k {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}~v_{j,i}~\mathbf {e} _{k}} दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का कर्ल दूसरे क्रम के टेंसर के लिए S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
c ⋅ S = c m S m j e j {\displaystyle \mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}}=c_{m}~S_{mj}~\mathbf {e} _{j}}
अतः, प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र के कर्ल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,
∇ × ( c ⋅ S ) = ε i j k c m S m j , i e k = ( ε i j k S m j , i e k ⊗ e m ) ⋅ c = ( ∇ × S ) ⋅ c {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {c} \cdot {\boldsymbol {S}})=\varepsilon _{ijk}~c_{m}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}=(\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m})\cdot \mathbf {c} =({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {c} }
अतः, यह हमारे समीप होता है।
∇ × S = ε i j k S m j , i e k ⊗ e m {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {S}}=\varepsilon _{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{m}} टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित पहचान टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
∇ × ( ∇ T ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {T}})={\boldsymbol {0}}}
यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए होती है। इस प्रकार दूसरे क्रम के टेंसर महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए,
S {\displaystyle {\boldsymbol {S}}} , इस पहचान का तात्पर्य है।
∇ × ( ∇ S ) = 0 ⟹ S m i , j − S m j , i = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {0}}\quad \implies \quad S_{mi,j}-S_{mj,i}=0} दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
∂ ∂ A det ( A ) = det ( A ) [ A − 1 ] T . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.}
असामान्य आधार में,
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} के घटक को मैट्रिक्स
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।
Proof
Let A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} f ( A ) = det ( A ) {\displaystyle f({\boldsymbol {A}})=\det({\boldsymbol {A}})}
∂ f ∂ A : T = d d α det ( A + α T ) | α = 0 = d d α det [ α A ( 1 α I + A − 1 ⋅ T ) ] | α = 0 = d d α [ α 3 det ( A ) det ( 1 α I + A − 1 ⋅ T ) ] | α = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\det({\boldsymbol {A}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\det \left[\alpha ~{\boldsymbol {A}}\left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}\\&=\left.{\cfrac {d}{d\alpha }}\left[\alpha ^{3}~\det({\boldsymbol {A}})~\det \left({\cfrac {1}{\alpha }}~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\right)\right]\right|_{\alpha =0}.\end{aligned}}} The determinant of a tensor can be expressed in the form of a characteristic equation in terms of the invariants I 1 , I 2 , I 3 {\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}
det ( λ I + A ) = λ 3 + I 1 ( A ) λ 2 + I 2 ( A ) λ + I 3 ( A ) . {\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {I}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}}).} Using this expansion we can write
दूसरे क्रम के टेंसर के आक्रमणकारियों के व्युत्पन्न दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं।
I 1 ( A ) = tr A I 2 ( A ) = 1 2 [ ( tr A ) 2 − tr A 2 ] I 3 ( A ) = det ( A ) {\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}({\boldsymbol {A}})&={\text{tr}}{\boldsymbol {A}}\\I_{2}({\boldsymbol {A}})&={\frac {1}{2}}\left[({\text{tr}}{\boldsymbol {A}})^{2}-{\text{tr}}{{\boldsymbol {A}}^{2}}\right]\\I_{3}({\boldsymbol {A}})&=\det({\boldsymbol {A}})\end{aligned}}}
इसके संबंध में तीन अपरिवर्तनीयों के व्युत्पन्न
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} हैं।
∂ I 1 ∂ A = 1 ∂ I 2 ∂ A = I 1 1 − A T ∂ I 3 ∂ A = det ( A ) [ A − 1 ] T = I 2 1 − A T ( I 1 1 − A T ) = ( A 2 − I 1 A + I 2 1 ) T {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\[3pt]{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}} Proof
From the derivative of the determinant we know that
∂ I 3 ∂ A = det ( A ) [ A − 1 ] T . {\displaystyle {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det({\boldsymbol {A}})~\left[{\boldsymbol {A}}^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.} For the derivatives of the other two invariants, let us go back to the characteristic equation
det ( λ 1 + A ) = λ 3 + I 1 ( A ) λ 2 + I 2 ( A ) λ + I 3 ( A ) . {\displaystyle \det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})~.} Using the same approach as for the determinant of a tensor, we can show that
∂ ∂ A det ( λ 1 + A ) = det ( λ 1 + A ) [ ( λ 1 + A ) − 1 ] T . {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}~.} Now the left hand side can be expanded as
∂ ∂ A det ( λ 1 + A ) = ∂ ∂ A [ λ 3 + I 1 ( A ) λ 2 + I 2 ( A ) λ + I 3 ( A ) ] = ∂ I 1 ∂ A λ 2 + ∂ I 2 ∂ A λ + ∂ I 3 ∂ A . {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})&={\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left[\lambda ^{3}+I_{1}({\boldsymbol {A}})~\lambda ^{2}+I_{2}({\boldsymbol {A}})~\lambda +I_{3}({\boldsymbol {A}})\right]\\&={\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~.\end{aligned}}} Hence
∂ I 1 ∂ A λ 2 + ∂ I 2 ∂ A λ + ∂ I 3 ∂ A = det ( λ 1 + A ) [ ( λ 1 + A ) − 1 ] T {\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~\left[(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{-1}\right]^{\textsf {T}}}
or,
( λ 1 + A ) T ⋅ [ ∂ I 1 ∂ A λ 2 + ∂ I 2 ∂ A λ + ∂ I 3 ∂ A ] = det ( λ 1 + A ) 1 . {\displaystyle (\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})^{\textsf {T}}\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\det(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}})~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.} Expanding the right hand side and separating terms on the left hand side gives
( λ 1 + A T ) ⋅ [ ∂ I 1 ∂ A λ 2 + ∂ I 2 ∂ A λ + ∂ I 3 ∂ A ] = [ λ 3 + I 1 λ 2 + I 2 λ + I 3 ] 1 {\displaystyle \left(\lambda ~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)\cdot \left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}} or,
[ ∂ I 1 ∂ A λ 3 + ∂ I 2 ∂ A λ 2 + ∂ I 3 ∂ A λ ] 1 + A T ⋅ ∂ I 1 ∂ A λ 2 + A T ⋅ ∂ I 2 ∂ A λ + A T ⋅ ∂ I 3 ∂ A = [ λ 3 + I 1 λ 2 + I 2 λ + I 3 ] 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda \right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}} If we define I 0 := 1 {\displaystyle I_{0}:=1} I 4 := 0 {\displaystyle I_{4}:=0}
[ ∂ I 1 ∂ A λ 3 + ∂ I 2 ∂ A λ 2 + ∂ I 3 ∂ A λ + ∂ I 4 ∂ A ] 1 + A T ⋅ ∂ I 0 ∂ A λ 3 + A T ⋅ ∂ I 1 ∂ A λ 2 + A T ⋅ ∂ I 2 ∂ A λ + A T ⋅ ∂ I 3 ∂ A = [ I 0 λ 3 + I 1 λ 2 + I 2 λ + I 3 ] 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}\right.&\left.+{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{3}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda ^{2}+{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~\lambda +{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\\&=\left[I_{0}~\lambda ^{3}+I_{1}~\lambda ^{2}+I_{2}~\lambda +I_{3}\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.\end{aligned}}} Collecting terms containing various powers of λ, we get
λ 3 ( I 0 1 − ∂ I 1 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 0 ∂ A ) + λ 2 ( I 1 1 − ∂ I 2 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 1 ∂ A ) + λ ( I 2 1 − ∂ I 3 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 2 ∂ A ) + ( I 3 1 − ∂ I 4 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 3 ∂ A ) = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}\lambda ^{3}&\left(I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\lambda ^{2}\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\\&\qquad \qquad \lambda \left(I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)+\left(I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}\right)=0~.\end{aligned}}} Then, invoking the arbitrariness of λ, we have
I 0 1 − ∂ I 1 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 0 ∂ A = 0 I 1 1 − ∂ I 2 ∂ A 1 − I 2 1 − ∂ I 3 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 2 ∂ A = 0 I 3 1 − ∂ I 4 ∂ A 1 − A T ⋅ ∂ I 3 ∂ A = 0 . {\displaystyle {\begin{aligned}I_{0}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{0}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0\\I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\frac {\partial I_{4}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\cdot {\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=0~.\end{aligned}}} This implies that
∂ I 1 ∂ A = 1 ∂ I 2 ∂ A = I 1 1 − A T ∂ I 3 ∂ A = I 2 1 − A T ( I 1 1 − A T ) = ( A 2 − I 1 A + I 2 1 ) T {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&={\boldsymbol {\mathit {1}}}\\{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\\{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}&=I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}~\left(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}\right)=\left({\boldsymbol {A}}^{2}-I_{1}~{\boldsymbol {A}}+I_{2}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right)^{\textsf {T}}\end{aligned}}} दूसरे क्रम की पहचान टेंसर का व्युत्पन्न सामान्यतः 1 {\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {1}}}} A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
∂ 1 ∂ A : T = 0 : T = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\mathit {1}}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {0}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}}
अतः जिससे कि यह
1 {\displaystyle {\boldsymbol {\mathit {1}}}} से स्वतंत्र
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} होता है।
स्वयं के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर का व्युत्पन्न इस प्रकार यह A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}
∂ A ∂ A : T = [ ∂ ∂ α ( A + α T ) ] α = 0 = T = I : T {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left[{\frac {\partial }{\partial \alpha }}({\boldsymbol {A}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}={\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}:{\boldsymbol {T}}}
इसलिए,
∂ A ∂ A = I {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}}
यहाँ
I {\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}} चौथा क्रम पहचान टेन्सर होता है। इस प्रकार ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में सूचकांक अंकन में,
I = δ i k δ j l e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l {\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}=\delta _{ik}~\delta _{jl}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}
यह इस परिणाम का तात्पर्य होता है।
∂ A T ∂ A : T = I T : T = T T {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{\textsf {T}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}}
जहाँ
I T = δ j k δ i l e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l {\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}=\delta _{jk}~\delta _{il}~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}
इसलिए, यदि टेंसर
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} सममित होता है, तब व्युत्पन्न भी सममित होता है और हम इसे प्राप्त करते हैं।
∂ A ∂ A = I ( s ) = 1 2 ( I + I T ) {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}={\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{(s)}={\frac {1}{2}}~\left({\boldsymbol {\mathsf {I}}}+{\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{\textsf {T}}\right)}
जहां सममित चौथे क्रम की पहचान टेन्सर है।
I ( s ) = 1 2 ( δ i k δ j l + δ i l δ j k ) e i ⊗ e j ⊗ e k ⊗ e l {\displaystyle {\boldsymbol {\mathsf {I}}}^{(s)}={\frac {1}{2}}~(\delta _{ik}~\delta _{jl}+\delta _{il}~\delta _{jk})~\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}\otimes \mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}} दूसरे क्रम के टेंसर के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न इस प्रकार A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} T {\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
∂ ∂ A ( A − 1 ) : T = − A − 1 ⋅ T ⋅ A − 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-1}}
ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में सूचकांक अंकन में,
∂ A i j − 1 ∂ A k l T k l = − A i k − 1 T k l A l j − 1 ⟹ ∂ A i j − 1 ∂ A k l = − A i k − 1 A l j − 1 {\displaystyle {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{ik}^{-1}~T_{kl}~A_{lj}^{-1}\implies {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-A_{ik}^{-1}~A_{lj}^{-1}}
हमारे समीप यह भी है।
∂ ∂ A ( A − T ) : T = − A − T ⋅ T T ⋅ A − T {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}\cdot {\boldsymbol {T}}^{\textsf {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-{\textsf {T}}}}
सूचकांक अंकन में,
∂ A j i − 1 ∂ A k l T k l = − A j k − 1 T l k A l i − 1 ⟹ ∂ A j i − 1 ∂ A k l = − A l i − 1 A j k − 1 {\displaystyle {\frac {\partial A_{ji}^{-1}}{\partial A_{kl}}}~T_{kl}=-A_{jk}^{-1}~T_{lk}~A_{li}^{-1}\implies {\frac {\partial A_{ji}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-A_{li}^{-1}~A_{jk}^{-1}}
यदि टेंसर
A {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} तब सममित होता है।
∂ A i j − 1 ∂ A k l = − 1 2 ( A i k − 1 A j l − 1 + A i l − 1 A j k − 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial A_{ij}^{-1}}{\partial A_{kl}}}=-{\cfrac {1}{2}}\left(A_{ik}^{-1}~A_{jl}^{-1}+A_{il}^{-1}~A_{jk}^{-1}\right)} Proof
Recall that
∂ 1 ∂ A : T = 0 {\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\mathit {1}}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}} Since A − 1 ⋅ A = 1 {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}}
∂ ∂ A ( A − 1 ⋅ A ) : T = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}\right):{\boldsymbol {T}}={\boldsymbol {\mathit {0}}}} Using the product rule for second order tensors
∂ ∂ S [ F 1 ( S ) ⋅ F 2 ( S ) ] : T = ( ∂ F 1 ∂ S : T ) ⋅ F 2 + F 1 ⋅ ( ∂ F 2 ∂ S : T ) {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {S}}}}[{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})]:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}+{\boldsymbol {F}}_{1}\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)} we get
∂ ∂ A ( A − 1 ⋅ A ) : T = ( ∂ A − 1 ∂ A : T ) ⋅ A + A − 1 ⋅ ( ∂ A ∂ A : T ) = 0 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {A}}):{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{-1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)={\boldsymbol {\mathit {0}}}}
or,
( ∂ A − 1 ∂ A : T ) ⋅ A = − A − 1 ⋅ T {\displaystyle \left({\frac {\partial {\boldsymbol {A}}^{-1}}{\partial {\boldsymbol {A}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}} Therefore,
∂ ∂ A ( A − 1 ) : T = − A − 1 ⋅ T ⋅ A − 1 {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {A}}}}\left({\boldsymbol {A}}^{-1}\right):{\boldsymbol {T}}=-{\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {T}}\cdot {\boldsymbol {A}}^{-1}} भागों द्वारा एकीकरण कार्यक्षेत्र
Ω {\displaystyle \Omega } , इसकी सीमा
Γ {\displaystyle \Gamma } और जावक इकाई सामान्य
n {\displaystyle \mathbf {n} } सातत्य यांत्रिकी में टेंसर व्युत्पन्न से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण होता है। अतः भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है।
∫ Ω F ⊗ ∇ G d Ω = ∫ Γ n ⊗ ( F ⊗ G ) d Γ − ∫ Ω G ⊗ ∇ F d Ω {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes ({\boldsymbol {F}}\otimes {\boldsymbol {G}})\,d\Gamma -\int _{\Omega }{\boldsymbol {G}}\otimes {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}\,d\Omega }
जहाँ
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} और
G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} अनैतिक क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं,
n {\displaystyle \mathbf {n} } उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर क्षेत्र परिभाषित होता हैं,
⊗ {\displaystyle \otimes } सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है और
∇ {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}} सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर होता है। तब
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} पहचान टेन्सर के समान्तर होता है,अतः हमें विचलन प्रमेय मिलता है।
∫ Ω ∇ G d Ω = ∫ Γ n ⊗ G d Γ . {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {G}}\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \otimes {\boldsymbol {G}}\,d\Gamma \,.}
हम कार्तीय सूचकांक अंकन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं।
∫ Ω F i j k . . . . G l m n . . . , p d Ω = ∫ Γ n p F i j k . . . G l m n . . . d Γ − ∫ Ω G l m n . . . F i j k . . . , p d Ω . {\displaystyle \int _{\Omega }F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,.}
विशेष स्थितियों के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन सूचकांक का संकुचन होता है और ढाल संचालन विचलन होता है और दोनों
F {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} और
G {\displaystyle {\boldsymbol {G}}} दूसरे क्रम के टेंसर हैं, अतः हमारे समीप हैं।
∫ Ω F ⋅ ( ∇ ⋅ G ) d Ω = ∫ Γ n ⋅ ( G ⋅ F T ) d Γ − ∫ Ω ( ∇ F ) : G T d Ω . {\displaystyle \int _{\Omega }{\boldsymbol {F}}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {G}})\,d\Omega =\int _{\Gamma }\mathbf {n} \cdot \left({\boldsymbol {G}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\right)\,d\Gamma -\int _{\Omega }({\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {F}}):{\boldsymbol {G}}^{\textsf {T}}\,d\Omega \,.}
सूचकांक अंकन में,
∫ Ω F i j G p j , p d Ω = ∫ Γ n p F i j G p j d Γ − ∫ Ω G p j F i j , p d Ω . {\displaystyle \int _{\Omega }F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega =\int _{\Gamma }n_{p}\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma -\int _{\Omega }G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,.} यह भी देखें संदर्भ
↑ J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, Computational Inelasticity , Springer
↑ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity , Dover.
↑ R. W. Ogden, 2000, Nonlinear Elastic Deformations , Dover.
↑ 4.0 4.1 Hjelmstad, Keith (2004). संरचनात्मक यांत्रिकी के मूल तत्व . Springer Science & Business Media. p. 45. ISBN 9780387233307
