स्केलर (गणित), [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और दूसरे क्रम के [[ टेन्सर |टेन्सर]] के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]] के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए [[एल्गोरिदम]] के डिजाइन में।<ref name=Simo98>J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, ''Computational Inelasticity'', Springer</ref>
दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।<ref name=Marsden00>J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, ''Mathematical Foundations of Elasticity'', Dover.</ref>
स्केलर (गणित), [[यूक्लिडियन वेक्टर]] और दूसरे क्रम के [[ टेन्सर ]] के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के [[दिशात्मक व्युत्पन्न]] सातत्य यांत्रिकी में काफी उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और [[प्लास्टिसिटी (भौतिकी)]] के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए [[एल्गोरिदम]] के डिजाइन में।<ref name=Simo98>J. C. Simo and T. J. R. Hughes, 1998, ''Computational Inelasticity'', Springer</ref>
दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।<ref name=Marsden00>J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, ''Mathematical Foundations of Elasticity'', Dover.</ref>
== वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव ==
== वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव ==
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू एक यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
# यदि <math>f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))</math> तब <math>\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}</math>
=== सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स ===
=== सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स ===
चलो f(v) सदिश v का एक सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है
चलो f(v) सदिश v का सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है
# यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव
===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो <math>\boldsymbol{S}</math>. फिर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> इसके संबंध में <math>\boldsymbol{S}</math> (या कि <math>\boldsymbol{S}</math>) दिशा में <math>\boldsymbol{T}</math> चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है
होने देना <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो <math>\boldsymbol{S}</math>. फिर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})</math> इसके संबंध में <math>\boldsymbol{S}</math> (या कि <math>\boldsymbol{S}</math>) दिशा में <math>\boldsymbol{T}</math> चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है
# यदि <math>f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))</math> तब <math> \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) </math>
== टेंसर क्षेत्र का [[ ग्रेडियेंट |ग्रेडियेंट]] ==
ढाल, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, टेंसर क्षेत्र का <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
== टेंसर फ़ील्ड का [[ ग्रेडियेंट ]] ==
ढाल, <math>\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}</math>, एक टेंसर क्षेत्र का <math>\boldsymbol{T}(\mathbf{x})</math> एक मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
ऑर्डर n के टेंसर फ़ील्ड का ग्रेडिएंट ऑर्डर n+1 का टेंसर फ़ील्ड है।
ऑर्डर n के टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट ऑर्डर n+1 का टेंसर क्षेत्र है।
=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
{{Einstein_summation_convention}}
{{Einstein_summation_convention}}
अगर <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math> कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है (<math>x_1, x_2, x_3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है
यदि <math>\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3</math> कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है (<math>x_1, x_2, x_3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है
चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>.
चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>.
अगर <math>\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3</math> [[वक्रीय निर्देशांक]] प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (<math>\xi^1, \xi^2, \xi^3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है (देखें <ref>R. W. Ogden, 2000, ''Nonlinear Elastic Deformations'', Dover.</ref> सबूत के लिए।)
यदि <math>\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3</math> [[वक्रीय निर्देशांक]] प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (<math>\xi^1, \xi^2, \xi^3</math>), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट <math>\boldsymbol{T}</math> द्वारा दिया गया है (देखें <ref>R. W. Ogden, 2000, ''Nonlinear Elastic Deformations'', Dover.</ref> सबूत के लिए।)
इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>.
इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं <math>\phi</math>, सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र <math>\boldsymbol{S}</math>.
जहाँ c एक स्वेच्छ अचर सदिश है और v एक सदिश क्षेत्र है। अगर <math>\boldsymbol{T}</math> क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र है तो क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर है।
जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है। यदि <math>\boldsymbol{T}</math> क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र है तो क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर है।
=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
=== कार्टेशियन निर्देशांक ===
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जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि
जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि
एक सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अक्सर इस रूप में भी लिखा जाता है<ref name=Hjelmstad2004>{{cite book|last1=Hjelmstad|first1=Keith|title=संरचनात्मक यांत्रिकी के मूल तत्व|date=2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387233307|page=45}}</ref>
सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अधिकांशतः इस रूप में भी लिखा जाता है<ref name=Hjelmstad2004>{{cite book|last1=Hjelmstad|first1=Keith|title=संरचनात्मक यांत्रिकी के मूल तत्व|date=2004|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9780387233307|page=45}}</ref>
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उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है
उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है
<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}</math> कार्टेशियन घटक रूप में (अक्सर इसे भी लिखा जाता है
<math>\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}</math> कार्टेशियन घटक रूप में (अधिकांशतः इसे भी लिखा जाता है
<math>\operatorname{div}\boldsymbol{S}</math>). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)।
<math>\operatorname{div}\boldsymbol{S}</math>). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)।
अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है <math>\boldsymbol{S}</math>, और पारंपरिक है। यह एक उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) <math>\mathbf{S}</math> एक वेक्टर फ़ंक्शन का ढाल है <math>\mathbf{v}</math>.
अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है <math>\boldsymbol{S}</math>, और पारंपरिक है। यह उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) <math>\mathbf{S}</math> वेक्टर फ़ंक्शन का ढाल है <math>\mathbf{v}</math>.
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\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v}
\boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v}
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=== वक्रीय निर्देशांक ===
=== वक्रीय निर्देशांक ===
{{main|Tensors in curvilinear coordinates}}
{{main|Tensors in curvilinear coordinates}}
{{Einstein_summation_convention}}
{{Einstein_summation_convention}}
घुमावदार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र v और एक दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{S}</math> हैं
घुमावदार निर्देशांक में, सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन <math>\boldsymbol{S}</math> हैं
यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण मामले के लिए, <math>\boldsymbol{S}</math>, इस पहचान का तात्पर्य है
यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए, <math>\boldsymbol{S}</math>, इस पहचान का तात्पर्य है
एक असामान्य आधार में, के घटक <math>\boldsymbol{A}</math> मैट्रिक्स ए के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।
असामान्य आधार में, के घटक <math>\boldsymbol{A}</math> मैट्रिक्स ए के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।
{{math proof| proof = Let <math>\boldsymbol{A}</math> be a second order tensor and let <math>f(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})</math>. Then, from the definition of the derivative of a scalar valued function of a tensor, we have
{{math proof| proof = Let <math>\boldsymbol{A}</math> be a second order tensor and let <math>f(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})</math>. Then, from the definition of the derivative of a scalar valued function of a tensor, we have
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== दूसरे क्रम के टेंसर == के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव
== दूसरे क्रम के टेंसर == के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव
दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं
दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं
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== दूसरे क्रम की पहचान टेंसर == का व्युत्पन्न
== दूसरे क्रम की पहचान टेंसर == का व्युत्पन्न
होने देना <math>\boldsymbol{\mathit{1}}</math> दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है
होने देना <math>\boldsymbol{\mathit{1}}</math> दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति <math>\boldsymbol{A}</math> द्वारा दिया गया है
[[File:StressMeasures.png|thumb|400px|कार्यक्षेत्र <math>\Omega</math>, इसकी सीमा <math>\Gamma</math> और जावक इकाई सामान्य <math>\mathbf{n}</math>]]सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित एक अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है
[[File:StressMeasures.png|thumb|400px|कार्यक्षेत्र <math>\Omega</math>, इसकी सीमा <math>\Gamma</math> और जावक इकाई सामान्य <math>\mathbf{n}</math>]]सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है
कहाँ <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, <math>\mathbf{n}</math> उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर फ़ील्ड परिभाषित हैं, <math>\otimes</math> एक सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और <math>\boldsymbol{\nabla}</math> एक सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर है। कब <math>\boldsymbol{F}</math> पहचान टेन्सर के बराबर है, हमें डायवर्जेंस प्रमेय मिलता है
कहाँ <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, <math>\mathbf{n}</math> उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर क्षेत्र परिभाषित हैं, <math>\otimes</math> सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और <math>\boldsymbol{\nabla}</math> सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर है। कब <math>\boldsymbol{F}</math> पहचान टेन्सर के बराबर है, हमें डायवर्जेंस प्रमेय मिलता है
विशेष मामले के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन एक सूचकांक का संकुचन है और ढाल संचालन एक विचलन है, और दोनों <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> दूसरे क्रम के टेंसर हैं, हमारे पास हैं
विशेष स्थितियों के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन सूचकांक का संकुचन है और ढाल संचालन विचलन है, और दोनों <math>\boldsymbol{F}</math> और <math>\boldsymbol{G}</math> दूसरे क्रम के टेंसर हैं, हमारे पास हैं
स्केलर (गणित), यूक्लिडियन वेक्टर और दूसरे क्रम के टेन्सर के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न सातत्य यांत्रिकी में अधिक उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में।[1]
दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का व्यवस्थित विधि प्रदान करता है।[2]
वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।
सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के डेरिवेटिव्स
मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v') के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'वेक्टर' है जो किसी भी वेक्टर 'यू' के साथ अपने डॉट उत्पाद के माध्यम से परिभाषित होता है
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।
गुण:
यदि तब
यदि तब
यदि तब
सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स
चलो f(v) सदिश v का सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है
सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद वेक्टर उत्पन्न करता है, और यदि यू इकाई वेक्टर है, तो दिशात्मक यू में, v पर f का डेरिवेटिव देता है।
गुण:
यदि तब
यदि तब
यदि तब
दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना दूसरे क्रम के टेंसर का वास्तविक मूल्यवान कार्य हो . फिर की व्युत्पत्ति इसके संबंध में (या कि ) दिशा में दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है
सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए .
गुण:
यदि तब
यदि तब
यदि तब
===दूसरे क्रम के टेंसर === के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो . फिर की व्युत्पत्ति इसके संबंध में (या कि ) दिशा में चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है
यदि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है (), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट द्वारा दिया गया है
Proof
The vectors x and c can be written as and . Let y := x + αc. In that case the gradient is given by
चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं , सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र .
यदि वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है (), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट द्वारा दिया गया है (देखें [3] सबूत के लिए।)
इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर क्षेत्र के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं , सदिश क्षेत्र v, और दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र .
जहां क्रिस्टोफेल प्रतीक है का प्रयोग करके परिभाषित किया गया है
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के लिए हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं .
जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि
सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अधिकांशतः इस रूप में भी लिखा जाता है[4]
उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है
कार्टेशियन घटक रूप में (अधिकांशतः इसे भी लिखा जाता है
). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)।
अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है , और पारंपरिक है। यह उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) वेक्टर फ़ंक्शन का ढाल है .
अंतिम समीकरण वैकल्पिक परिभाषा/व्याख्या के समतुल्य है[4]
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर क्षेत्र का कर्ल (गणित)। पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है
जहाँ c स्वेच्छ अचर सदिश है और v सदिश क्षेत्र है।
प्रथम-क्रम टेंसर (वेक्टर) क्षेत्र का कर्ल
सदिश क्षेत्र v और स्वेच्छ अचर सदिश c पर विचार करें। सूचकांक संकेतन में, क्रॉस उत्पाद किसके द्वारा दिया जाता है
कहाँ क्रमचय प्रतीक है, अन्यथा लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब,
इसलिए,
दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का कर्ल
दूसरे क्रम के टेंसर के लिए
इसलिए, प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र के कर्ल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,
इसलिए, हमारे पास है
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से संबंधित पहचान
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से जुड़ी सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली पहचान, , है
यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण स्थितियों के लिए, , इस पहचान का तात्पर्य है
== दूसरे क्रम के टेंसर == के निर्धारक का व्युत्पन्न
दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है
असामान्य आधार में, के घटक मैट्रिक्स ए के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।
Proof
Let be a second order tensor and let . Then, from the definition of the derivative of a scalar valued function of a tensor, we have
The determinant of a tensor can be expressed in the form of a characteristic equation in terms of the invariants using
Using this expansion we can write
Recall that the invariant is given by
Hence,
Invoking the arbitrariness of we then have
== दूसरे क्रम के टेंसर == के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव
दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं
के संबंध में इन तीन अपरिवर्तनीयों के डेरिवेटिव हैं
Proof
From the derivative of the determinant we know that
For the derivatives of the other two invariants, let us go back to the characteristic equation
Using the same approach as for the determinant of a tensor, we can show that
Now the left hand side can be expanded as
Hence
or,
Expanding the right hand side and separating terms on the left hand side gives
or,
If we define and , we can write the above as
Collecting terms containing various powers of λ, we get
Then, invoking the arbitrariness of λ, we have
This implies that
== दूसरे क्रम की पहचान टेंसर == का व्युत्पन्न
होने देना दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति द्वारा दिया गया है
यह है क्योंकि से स्वतंत्र है .
स्वयं के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर का व्युत्पन्न
होने देना दूसरे क्रम का टेंसर हो। तब
इसलिए,
यहाँ चौथा क्रम पहचान टेन्सर है। ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के संबंध में इंडेक्स नोटेशन में
इस परिणाम का तात्पर्य है
कहाँ
इसलिए, यदि टेंसर सममित है, तो व्युत्पन्न भी सममित है और हम प्राप्त करते हैं
जहां सममित चौथे क्रम की पहचान टेन्सर है
== दूसरे क्रम के टेंसर == के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न
होने देना और दो दूसरे क्रम के टेंसर बनें, फिर
ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के संबंध में इंडेक्स नोटेशन में
हमारे पास भी है
इंडेक्स नोटेशन में
यदि टेंसर तब सममित है
Proof
Recall that
Since , we can write
Using the product rule for second order tensors
we get
or,
Therefore,
भागों द्वारा एकीकरण
कार्यक्षेत्र , इसकी सीमा और जावक इकाई सामान्य
सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है
कहाँ और मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर क्षेत्र परिभाषित हैं, सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर है। कब पहचान टेन्सर के बराबर है, हमें डायवर्जेंस प्रमेय मिलता है
हम कार्टेशियन इंडेक्स नोटेशन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं
विशेष स्थितियों के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन सूचकांक का संकुचन है और ढाल संचालन विचलन है, और दोनों और दूसरे क्रम के टेंसर हैं, हमारे पास हैं