सॉलिटन: Difference between revisions
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अधिक औपचारिक परिभाषाएँ मौजूद हैं, लेकिन उनके लिए प्रभावशाली गणित की आवश्यकता है। इसके अलावा, कुछ वैज्ञानिक उन घटनाओं के लिए सॉलिटन शब्द का उपयोग करते हैं जिनमें ये तीन गुण नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, अरैखिक प्रकाशिकी के 'हल्की गोलियों' को | अधिक औपचारिक परिभाषाएँ मौजूद हैं, लेकिन उनके लिए प्रभावशाली गणित की आवश्यकता है। इसके अलावा, कुछ वैज्ञानिक उन घटनाओं के लिए सॉलिटन शब्द का उपयोग करते हैं जिनमें ये तीन गुण नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, अरैखिक प्रकाशिकी के 'हल्की गोलियों' को प्रायः अन्तःक्रिया के दौरान ऊर्जा खोने के बाद भी सॉलिटन कहा जाता है)।<ref>{{cite web|title=हल्की गोलियां|url=https://www.sfu.ca/~renns/lbullets.html#bullets}}</ref> | ||
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[[File:Sech soliton.svg|thumb|300px|right|पानी की तरंगों के लिए एक [[अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक]] (सेच) लिफाफा सॉलिटन: नीली रेखा [[वाहक संकेत]] है, जबकि लाल रेखा लिफाफा (तरंगें) सॉलिटन है।]]निक्षेपण और गैर-रैखिकता स्थायी और स्थानीय तरंग रूपों का उत्पादन करने के लिए अन्तःक्रिया कर सकते हैं। कांच में यात्रा करने वाली प्रकाश की एक नाड़ी स्पन्द पर विचार करें। इस नाड़ी स्पन्द को कई अलग-अलग आवृत्तियों के प्रकाश से मिलकर माना जा सकता है। चूँकि कांच फैलाव दिखाता है, ये विभिन्न आवृत्तियाँ अलग-अलग गति से यात्रा करती हैं और नाड़ी का आकार इसलिए समय के साथ बदलता है। हालाँकि, गैर-रैखिक [[केर प्रभाव]] भी होता है; किसी दिए गए आवृत्ति पर सामग्री का [[अपवर्तक सूचकांक]] प्रकाश के आयाम या शक्ति पर निर्भर करता है। यदि स्पंद का सही आकार होता है, तो केर प्रभाव बिल्कुल फैलाव प्रभाव को रद्द कर देता है और नाड़ी का आकार समय के साथ नहीं बदलता है। इस प्रकार, नाड़ी एक सॉलिटन है। अधिक विस्तृत विवरण के लिए [[सॉलिटॉन (ऑप्टिक्स)|सॉलिटन (ऑप्टिक्स)]] देखें। | [[File:Sech soliton.svg|thumb|300px|right|पानी की तरंगों के लिए एक [[अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक]] (सेच) लिफाफा सॉलिटन: नीली रेखा [[वाहक संकेत]] है, जबकि लाल रेखा लिफाफा (तरंगें) सॉलिटन है।]]निक्षेपण और गैर-रैखिकता स्थायी और स्थानीय तरंग रूपों का उत्पादन करने के लिए अन्तःक्रिया कर सकते हैं। कांच में यात्रा करने वाली प्रकाश की एक नाड़ी स्पन्द पर विचार करें। इस नाड़ी स्पन्द को कई अलग-अलग आवृत्तियों के प्रकाश से मिलकर माना जा सकता है। चूँकि कांच फैलाव दिखाता है, ये विभिन्न आवृत्तियाँ अलग-अलग गति से यात्रा करती हैं और नाड़ी का आकार इसलिए समय के साथ बदलता है। हालाँकि, गैर-रैखिक [[केर प्रभाव]] भी होता है; किसी दिए गए आवृत्ति पर सामग्री का [[अपवर्तक सूचकांक]] प्रकाश के आयाम या शक्ति पर निर्भर करता है। यदि स्पंद का सही आकार होता है, तो केर प्रभाव बिल्कुल फैलाव प्रभाव को रद्द कर देता है और नाड़ी का आकार समय के साथ नहीं बदलता है। इस प्रकार, नाड़ी एक सॉलिटन है। अधिक विस्तृत विवरण के लिए [[सॉलिटॉन (ऑप्टिक्स)|सॉलिटन (ऑप्टिक्स)]] देखें। | ||
कई बिल्कुल सॉल्व करने योग्य मॉडलों में सॉलिटन | कई बिल्कुल सॉल्व करने योग्य मॉडलों में सॉलिटन समाधान होते हैं, जिनमें कॉर्टेवेग-डी वेरी समीकरण, नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण, युग्मित नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण और [[साइन-गॉर्डन समीकरण]] सम्मिलित हैं। सॉलिटन समाधान प्रायः व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं, और क्षेत्र समीकरणों के पूर्णांक प्रणाली के लिए उनकी स्थिरता का श्रेय देते हैं। इन समीकरणों का गणितीय सिद्धांत गणितीय अनुसंधान का एक व्यापक और बहुत सक्रिय क्षेत्र है। | ||
कुछ प्रकार के [[ज्वारीय बोर]], सेवरन नदी सहित कुछ नदियों की एक तरंग घटना, 'अंडुलर' हैं: एक | कुछ प्रकार के [[ज्वारीय बोर]], सेवरन नदी सहित कुछ नदियों की एक तरंग घटना, 'अंडुलर' हैं: एक वेवफ्रंट जिसके बाद सॉलिटन की एक ट्रेन आती है। अन्य सॉलिटन समुद्र के नीचे की आंतरिक तरंगों के रूप में होते हैं, जो समुद्र तल की स्थलाकृति द्वारा शुरू की जाती हैं, जो समुद्री [[pycnocline|पाइक्नोक्लाइन]] पर फैलती हैं। वायुमंडलीय सॉलिटन भी विद्यमान हैं, जैसे कारपेंटारिया की खाड़ी के[[ सुबह महिमा बादल | मॉर्निंग ग्लोरी क्लाउड]], जहां तापमान व्युत्क्रमण परत में यात्रा करने वाले प्रेशर सॉलिटन विशाल रैखिक [[रोल क्लाउड]] उत्पन्न करते हैं।[[ तंत्रिका विज्ञान ]] में हाल ही में और व्यापक रूप से स्वीकृत [[सॉलिटॉन मॉडल|सॉलिटन मॉडल]] ने दबाव सॉलिटन के रूप में न्यूरॉन्स के भीतर सिग्नल चालन की व्याख्या करने का प्रस्ताव दिया है। | ||
एक [[टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन|टोपोलॉजिकल सॉलिटन]], जिसे टोपोलॉजिकल | एक [[टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन|टोपोलॉजिकल सॉलिटन]], जिसे टोपोलॉजिकल दोष भी कहा जाता है, आंशिक अंतर समीकरणों के एक समुच्चय का कोई समाधान है जो <nowiki>''</nowiki>तुच्छ समाधान<nowiki>''</nowiki> के क्षय के खिलाफ स्थिर है। सॉलिटन स्थिरता क्षेत्र समीकरणों की पूर्णांकता के बजाय सामयिक बाधाओं के कारण है। बाधाएँ लगभग हमेशा उत्पन्न होती हैं क्योंकि अंतर समीकरणों को सीमा शर्तों के एक समुच्चय का पालन करना चाहिए, और सीमा में एक गैर-तुच्छ होमोटोपी समूह होता है, जो अंतर समीकरणों द्वारा संरक्षित होता है। इस प्रकार, अंतर समीकरण समाधानों को समरूप वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है। | ||
कोई निरंतर परिवर्तन एक [[होमोटॉपी समूह]] से दूसरे में समाधान का नक्शा नहीं बनाता है। समाधान | कोई निरंतर परिवर्तन एक [[होमोटॉपी समूह]] से दूसरे में समाधान का नक्शा नहीं बनाता है। समाधान सचमुच में विशिष्ट हैं, और अत्यंत शक्तिशाली ताकतों के सामने भी अपनी अखंडता बनाए रखते हैं। टोपोलॉजिकल सॉलिटन के उदाहरणों में एक क्रिस्टलीय जालक में स्क्रू अव्यवस्था, इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म में डायराक स्ट्रिंग और [[चुंबकीय मोनोपोल]], [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में [[स्किर्मियन]] और वेस-जुमिनो-विटन मॉडल, संघनित पदार्थ भौतिकी में [[चुंबकीय स्किर्मियन]] और भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में ब्रह्मांडीय स्ट्रिंग और डोमेन दीवार (स्ट्रिंग थ्योरी) सम्मिलित हैं। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
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स्कॉट रसेल ने इन तरंगों की व्यावहारिक और सैद्धांतिक जांच करने में कुछ समय लगाया। उन्होंने अपने घर पर वेव टैंक बनाए और कुछ प्रमुख गुणों पर ध्यान दिया: | स्कॉट रसेल ने इन तरंगों की व्यावहारिक और सैद्धांतिक जांच करने में कुछ समय लगाया। उन्होंने अपने घर पर वेव टैंक बनाए और कुछ प्रमुख गुणों पर ध्यान दिया: | ||
* लहरें स्थिर हैं, और बहुत बड़ी दूरी तय कर सकती हैं (सामान्य तरंगें या तो चपटी हो जाती हैं, या खड़ी हो जाती हैं और ऊपर गिर जाती हैं) | * लहरें स्थिर हैं, और बहुत बड़ी दूरी तय कर सकती हैं (सामान्य तरंगें या तो चपटी हो जाती हैं, या खड़ी हो जाती हैं और ऊपर गिर जाती हैं) | ||
* गति | * गति लहर के आकार पर निर्भर करती है, और इसकी चौड़ाई पानी की गहराई पर निर्भर करती है। | ||
* सामान्य तरंगों के विपरीत वे कभी विलीन नहीं होंगी - इसलिए दो संयोजनों के बजाय एक छोटी लहर एक बड़ी लहर से आगे निकल जाती है। | * सामान्य तरंगों के विपरीत वे कभी विलीन नहीं होंगी - इसलिए दो संयोजनों के बजाय एक छोटी लहर एक बड़ी लहर से आगे निकल जाती है। | ||
* यदि कोई लहर पानी की गहराई के लिए बहुत बड़ी है, तो वह दो में विभाजित हो जाती है, एक बड़ी और एक छोटी। | * यदि कोई लहर पानी की गहराई के लिए बहुत बड़ी है, तो वह दो में विभाजित हो जाती है, एक बड़ी और एक छोटी। | ||
स्कॉट रसेल का प्रायोगिक कार्य [[आइजैक न्यूटन]] और [[डेनियल बर्नौली]] के [[ जल-गत्यात्मकता ]] के सिद्धांतों के विपरीत प्रतीत होता है। [[जॉर्ज बिडेल एरी]] और [[जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स]] को स्कॉट रसेल की प्रायोगिक टिप्पणियों को स्वीकार करने में कठिनाई हुई क्योंकि उन्हें | स्कॉट रसेल का प्रायोगिक कार्य [[आइजैक न्यूटन]] और [[डेनियल बर्नौली]] के [[ जल-गत्यात्मकता |हाइड्रोडायनामिक्स]] के सिद्धांतों के विपरीत प्रतीत होता है। [[जॉर्ज बिडेल एरी]] और [[जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स]] को स्कॉट रसेल की प्रायोगिक टिप्पणियों को स्वीकार करने में कठिनाई हुई क्योंकि उन्हें तत्कालीन जल तरंग सिद्धांतों द्वारा समझाया नहीं जा सका। उनके समकालीनों ने सिद्धांत का विस्तार करने का प्रयास करने में कुछ समय बिताया लेकिन [[जोसेफ बूसिन्सक]] से पहले 1870 के दशक तक यह समय लगेगा<ref>{{cite journal |last=Boussinesq |first=J. |title=Théorie de l'intumescence liquide appelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire |journal=[[Comptes Rendus de l'Académie des Sciences|C. R. Acad. Sci. Paris]] |volume=72 |year=1871}}</ref> और [[लॉर्ड रेले]] ने एक सैद्धांतिक उपचार और समाधान प्रकाशित किया।<ref group=nb>[[Lord Rayleigh]] published a paper in ''Philosophical Magazine'' in 1876 to support John Scott Russell's experimental observation with his mathematical theory. In his 1876 paper, Lord Rayleigh mentioned Scott Russell's name and also admitted that the first theoretical treatment was by Joseph Valentin Boussinesq in 1871. [[Joseph Boussinesq]] mentioned Russell's name in his 1871 paper. Thus Scott Russell's observations on solitons were accepted as true by some prominent scientists within his own lifetime of 1808–1882.</ref> 1895 में [[डिडेरिक कॉर्टेवेग]] और गुस्ताव डी व्रीज़ ने वह प्रदान किया जिसे अब कॉर्टेवेग-डी व्रीज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसमें एकान्त तरंग और आवधिक कनोइडल तरंग समाधान सम्मिलित हैं।<ref>{{cite journal | last1 = Korteweg | first1 = D. J. | author-link1 = Diederik Korteweg | first2=G. | last2=de Vries | author-link2=Gustav de Vries | title = एक आयताकार नहर में आगे बढ़ने वाली लंबी तरंगों के रूप में परिवर्तन पर और एक नए प्रकार की लंबी स्थिर तरंगों पर| journal = [[Philosophical Magazine]] | volume = 39 | issue = 240 | pages = 422–443 | year = 1895 | doi=10.1080/14786449508620739| url = https://zenodo.org/record/1431215 }}</ref><ref group=nb>Korteweg and de Vries did not mention John Scott Russell's name at all in their 1895 paper but they did quote Boussinesq's paper of 1871 and Lord Rayleigh's paper of 1876. The paper by Korteweg and de Vries in 1895 was not the first theoretical treatment of this subject but it was a very important milestone in the history of the development of soliton theory.</ref> | ||
[[File:BBM equation - overtaking solitary waves animation.gif|thumb|416px|right|बेंजामिन-बोना-महोनी समीकरण - या बीबीएम समीकरण के अनुसार दो एकान्त तरंगों के आगे निकलने का एक एनीमेशन, (दूसरों के बीच) लंबी सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए एक मॉडल समीकरण। एकान्त तरंगों की तरंग ऊँचाई क्रमशः 1.2 और 0.6 है, और उनका वेग 1.4 और 1.2 है।{{paragraph}} | [[File:BBM equation - overtaking solitary waves animation.gif|thumb|416px|right|बेंजामिन-बोना-महोनी समीकरण - या बीबीएम समीकरण के अनुसार दो एकान्त तरंगों के आगे निकलने का एक एनीमेशन, (दूसरों के बीच) लंबी सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए एक मॉडल समीकरण। एकान्त तरंगों की तरंग ऊँचाई क्रमशः 1.2 और 0.6 है, और उनका वेग 1.4 और 1.2 है।{{paragraph}} | ||
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दो सॉलिटोन की बंधी हुई अवस्था को बायोन के रूप में जाना जाता है,<ref>{{Cite journal|last1=Belova|first1=T.I.|last2=Kudryavtsev|first2=A.E.|year=1997|title=शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में सोलिटन्स और उनकी बातचीत|journal=Physics-Uspekhi|volume=40|issue=4|pages=359–386|doi=10.1070/pu1997v040n04abeh000227|bibcode=1997PhyU...40..359B|s2cid=250768449 }}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Gani|first1=V.A.|last2=Kudryavtsev|first2=A.E.|last3=Lizunova|first3=M.A.|year=2014|title=Kink interactions in the (1+1)-dimensional φ^6 model|journal=Physical Review D|volume=89|issue=12|pages=125009|doi=10.1103/PhysRevD.89.125009|arxiv=1402.5903|bibcode=2014PhRvD..89l5009G|s2cid=119333950}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Gani|first1=V.A.|last2=Lensky|first2=V.|last3=Lizunova|first3=M.A.|year=2015|title=Kink excitation spectra in the (1+1)-dimensional φ^8 model|journal=Journal of High Energy Physics|language=en|volume=2015|issue=8|pages=147|arxiv=1506.02313|doi=10.1007/JHEP08(2015)147|s2cid=54184500|issn=1029-8479}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last=Khazali|first=Mohammadsadegh|date=2021-08-05|title=Rydberg शोर ड्रेसिंग और सॉलिटॉन अणु और बूंद क्वासिक क्रिस्टल बनाने में अनुप्रयोग|url=https://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevResearch.3.L032033|journal=Physical Review Research|volume=3|issue=3|pages=L032033|doi=10.1103/PhysRevResearch.3.L032033|arxiv=2007.01039|bibcode=2021PhRvR...3c2033K |s2cid=220301701 }}</ref> या उन प्रणालियों में जहां बाध्य अवस्था समय-समय पर दोलन करती है, एक सांस। सॉलिटन्स के बीच हस्तक्षेप-प्रकार की शक्तियों का उपयोग बायोन बनाने में किया जा सकता है <ref>{{Cite journal|last1=Nguyen|first1=Jason H. 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क्षेत्र सिद्धांत में बायोन | क्षेत्र सिद्धांत में बायोन प्रायः बोर्न-इन्फिल्ड मॉडल के समाधान को संदर्भित करता है। ऐसा प्रतीत होता है कि यह नाम G. W. गिबन्स द्वारा गढ़ा गया है ताकि इस समाधान को पारंपरिक सॉलिटन से अलग किया जा सके, जिसे कुछ भौतिक प्रणाली का वर्णन करने वाले अंतर समीकरण के एक नियमित, परिमित-ऊर्जा (और प्रायः स्थिर) समाधान के रूप में समझा जाता है।<ref>{{cite journal | title=Born–Infeld particles and Dirichlet ''p''-branes | first=G. W. | last=Gibbons | volume=514 | issue=3 | year=1998 | pages=603–639 | doi=10.1016/S0550-3213(97)00795-5 | journal=Nuclear Physics B |arxiv = hep-th/9709027 |bibcode = 1998NuPhB.514..603G | s2cid=119331128 }}</ref> नियमित शब्द का अर्थ है बिना किसी स्रोत के एक सहज समाधान। हालांकि, बोर्न-इन्फिल्ड मॉडल का समाधान अभी भी मूल में डायराक-डेल्टा फ़ंक्शन के रूप में एक स्रोत रखता है। एक परिणाम के रूप में यह इस बिंदु में एक विलक्षणता प्रदर्शित करता है (हालांकि विद्युत क्षेत्र हर जगह नियमित है)। कुछ भौतिक संदर्भों में (उदाहरण के लिए स्ट्रिंग थ्योरी) यह विशेषता महत्वपूर्ण हो सकती है, जिसने इस वर्ग के सोलिटन्स के लिए एक विशेष नाम की शुरुआत को प्रेरित किया। | ||
दूसरी ओर, जब गुरुत्वाकर्षण जोड़ा जाता है (यानी सामान्य सापेक्षता के लिए बोर्न-इन्फिल्ड मॉडल के युग्मन पर विचार करते समय) संबंधित समाधान को ईबीआईऑन कहा जाता है, जहां ई आइंस्टीन के लिए खड़ा होता है। | दूसरी ओर, जब गुरुत्वाकर्षण जोड़ा जाता है (यानी सामान्य सापेक्षता के लिए बोर्न-इन्फिल्ड मॉडल के युग्मन पर विचार करते समय) संबंधित समाधान को ईबीआईऑन कहा जाता है, जहां ई आइंस्टीन के लिए खड़ा होता है। | ||
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* [[कॉम्पैक्टन]], कॉम्पैक्ट सपोर्ट वाला एक सॉलिटन | * [[कॉम्पैक्टन]], कॉम्पैक्ट सपोर्ट वाला एक सॉलिटन | ||
* सनकी तरंगें [[पेरेग्रीन सॉलिटॉन|पेरेग्रीन सॉलिटन]] से संबंधित घटना हो सकती हैं जिसमें सांस की तरंगें | * सनकी तरंगें [[पेरेग्रीन सॉलिटॉन|पेरेग्रीन सॉलिटन]] से संबंधित घटना हो सकती हैं जिसमें सांस की तरंगें सम्मिलित होती हैं जो गैर-रैखिक गुणों के साथ केंद्रित स्थानीयकृत ऊर्जा प्रदर्शित करती हैं।<ref name="www.sciencenews.org">{{cite magazine | ||
| last = Powell | | last = Powell | ||
| first = Devin | | first = Devin | ||
Revision as of 09:29, 29 April 2023
गणित और भौतिकी में, एक सॉलिटन या एकान्त तरंग एक स्व-मजबूत तरंग पैकेट है जो निरंतर वेग पर प्रेषण करते समय अपना आकार बनाए रखता है। सॉलिटन माध्यम में अरैखिक और परिक्षेपण प्रभावों के निरसन के कारण होता है। (परिक्षेपण प्रभाव कुछ प्रणालियों का एक गुण है जहां एक लहर की गति इसकी आवृत्ति पर निर्भर करती है।) सॉलिटन भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने वाले कमजोर अरैखिक फैलाव वाले आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक वर्ग के समाधान हैं।
सॉलिटन घटना का वर्णन पहली बार 1834 में जॉन रसेल (1808-1882) द्वारा किया गया था, जिन्होंने स्कॉटलैंड में यूनियन कैनाल में एक अकेली लहर देखी थी। उन्होंने इस घटना को एकतरंग टैंक में पुन: प्रस्तुत किया और इसे "वेव ऑफ ट्रांसलेशन" नाम दिया।
परिभाषा
सॉलिटन की एक एकल, सर्वसम्मत परिभाषा खोजना मुश्किल है। ड्रैज़िन एंड जॉनसन(1989, पृष्ठ 15) सॉलिटन्स के तीन गुण बताते हैं:
- वे स्थायी रूप के हैं;
- वे एक क्षेत्र के भीतर स्थानीयकृत हैं;
- वे अन्य सॉलिटन के साथ अन्तःक्रिया कर सकते हैं, और एक चरण बदलाव को छोड़कर, अपरिवर्तित टक्कर से उभर सकते हैं।
अधिक औपचारिक परिभाषाएँ मौजूद हैं, लेकिन उनके लिए प्रभावशाली गणित की आवश्यकता है। इसके अलावा, कुछ वैज्ञानिक उन घटनाओं के लिए सॉलिटन शब्द का उपयोग करते हैं जिनमें ये तीन गुण नहीं होते हैं (उदाहरण के लिए, अरैखिक प्रकाशिकी के 'हल्की गोलियों' को प्रायः अन्तःक्रिया के दौरान ऊर्जा खोने के बाद भी सॉलिटन कहा जाता है)।[1]
स्पष्टीकरण
निक्षेपण और गैर-रैखिकता स्थायी और स्थानीय तरंग रूपों का उत्पादन करने के लिए अन्तःक्रिया कर सकते हैं। कांच में यात्रा करने वाली प्रकाश की एक नाड़ी स्पन्द पर विचार करें। इस नाड़ी स्पन्द को कई अलग-अलग आवृत्तियों के प्रकाश से मिलकर माना जा सकता है। चूँकि कांच फैलाव दिखाता है, ये विभिन्न आवृत्तियाँ अलग-अलग गति से यात्रा करती हैं और नाड़ी का आकार इसलिए समय के साथ बदलता है। हालाँकि, गैर-रैखिक केर प्रभाव भी होता है; किसी दिए गए आवृत्ति पर सामग्री का अपवर्तक सूचकांक प्रकाश के आयाम या शक्ति पर निर्भर करता है। यदि स्पंद का सही आकार होता है, तो केर प्रभाव बिल्कुल फैलाव प्रभाव को रद्द कर देता है और नाड़ी का आकार समय के साथ नहीं बदलता है। इस प्रकार, नाड़ी एक सॉलिटन है। अधिक विस्तृत विवरण के लिए सॉलिटन (ऑप्टिक्स) देखें।
कई बिल्कुल सॉल्व करने योग्य मॉडलों में सॉलिटन समाधान होते हैं, जिनमें कॉर्टेवेग-डी वेरी समीकरण, नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण, युग्मित नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण और साइन-गॉर्डन समीकरण सम्मिलित हैं। सॉलिटन समाधान प्रायः व्युत्क्रम प्रकीर्णन रूपांतरण के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं, और क्षेत्र समीकरणों के पूर्णांक प्रणाली के लिए उनकी स्थिरता का श्रेय देते हैं। इन समीकरणों का गणितीय सिद्धांत गणितीय अनुसंधान का एक व्यापक और बहुत सक्रिय क्षेत्र है।
कुछ प्रकार के ज्वारीय बोर, सेवरन नदी सहित कुछ नदियों की एक तरंग घटना, 'अंडुलर' हैं: एक वेवफ्रंट जिसके बाद सॉलिटन की एक ट्रेन आती है। अन्य सॉलिटन समुद्र के नीचे की आंतरिक तरंगों के रूप में होते हैं, जो समुद्र तल की स्थलाकृति द्वारा शुरू की जाती हैं, जो समुद्री पाइक्नोक्लाइन पर फैलती हैं। वायुमंडलीय सॉलिटन भी विद्यमान हैं, जैसे कारपेंटारिया की खाड़ी के मॉर्निंग ग्लोरी क्लाउड, जहां तापमान व्युत्क्रमण परत में यात्रा करने वाले प्रेशर सॉलिटन विशाल रैखिक रोल क्लाउड उत्पन्न करते हैं।तंत्रिका विज्ञान में हाल ही में और व्यापक रूप से स्वीकृत सॉलिटन मॉडल ने दबाव सॉलिटन के रूप में न्यूरॉन्स के भीतर सिग्नल चालन की व्याख्या करने का प्रस्ताव दिया है।
एक टोपोलॉजिकल सॉलिटन, जिसे टोपोलॉजिकल दोष भी कहा जाता है, आंशिक अंतर समीकरणों के एक समुच्चय का कोई समाधान है जो ''तुच्छ समाधान'' के क्षय के खिलाफ स्थिर है। सॉलिटन स्थिरता क्षेत्र समीकरणों की पूर्णांकता के बजाय सामयिक बाधाओं के कारण है। बाधाएँ लगभग हमेशा उत्पन्न होती हैं क्योंकि अंतर समीकरणों को सीमा शर्तों के एक समुच्चय का पालन करना चाहिए, और सीमा में एक गैर-तुच्छ होमोटोपी समूह होता है, जो अंतर समीकरणों द्वारा संरक्षित होता है। इस प्रकार, अंतर समीकरण समाधानों को समरूप वर्गों में वर्गीकृत किया जा सकता है।
कोई निरंतर परिवर्तन एक होमोटॉपी समूह से दूसरे में समाधान का नक्शा नहीं बनाता है। समाधान सचमुच में विशिष्ट हैं, और अत्यंत शक्तिशाली ताकतों के सामने भी अपनी अखंडता बनाए रखते हैं। टोपोलॉजिकल सॉलिटन के उदाहरणों में एक क्रिस्टलीय जालक में स्क्रू अव्यवस्था, इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म में डायराक स्ट्रिंग और चुंबकीय मोनोपोल, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्किर्मियन और वेस-जुमिनो-विटन मॉडल, संघनित पदार्थ भौतिकी में चुंबकीय स्किर्मियन और भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में ब्रह्मांडीय स्ट्रिंग और डोमेन दीवार (स्ट्रिंग थ्योरी) सम्मिलित हैं।
इतिहास
1834 में, जॉन स्कॉट रसेल ने अनुवाद की अपनी लहर का वर्णन किया।[nb 1] इस खोज का वर्णन यहाँ स्कॉट रसेल के अपने शब्दों में किया गया है:[nb 2]
I was observing the motion of a boat which was rapidly drawn along a narrow channel by a pair of horses, when the boat suddenly stopped – not so the mass of water in the channel which it had put in motion; it accumulated round the prow of the vessel in a state of violent agitation, then suddenly leaving it behind, rolled forward with great velocity, assuming the form of a large solitary elevation, a rounded, smooth and well-defined heap of water, which continued its course along the channel apparently without change of form or diminution of speed. I followed it on horseback, and overtook it still rolling on at a rate of some eight or nine miles an hour, preserving its original figure some thirty feet long and a foot to a foot and a half in height. Its height gradually diminished, and after a chase of one or two miles I lost it in the windings of the channel. Such, in the month of August 1834, was my first chance interview with that singular and beautiful phenomenon which I have called the Wave of Translation.[2]
स्कॉट रसेल ने इन तरंगों की व्यावहारिक और सैद्धांतिक जांच करने में कुछ समय लगाया। उन्होंने अपने घर पर वेव टैंक बनाए और कुछ प्रमुख गुणों पर ध्यान दिया:
- लहरें स्थिर हैं, और बहुत बड़ी दूरी तय कर सकती हैं (सामान्य तरंगें या तो चपटी हो जाती हैं, या खड़ी हो जाती हैं और ऊपर गिर जाती हैं)
- गति लहर के आकार पर निर्भर करती है, और इसकी चौड़ाई पानी की गहराई पर निर्भर करती है।
- सामान्य तरंगों के विपरीत वे कभी विलीन नहीं होंगी - इसलिए दो संयोजनों के बजाय एक छोटी लहर एक बड़ी लहर से आगे निकल जाती है।
- यदि कोई लहर पानी की गहराई के लिए बहुत बड़ी है, तो वह दो में विभाजित हो जाती है, एक बड़ी और एक छोटी।
स्कॉट रसेल का प्रायोगिक कार्य आइजैक न्यूटन और डेनियल बर्नौली के हाइड्रोडायनामिक्स के सिद्धांतों के विपरीत प्रतीत होता है। जॉर्ज बिडेल एरी और जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स को स्कॉट रसेल की प्रायोगिक टिप्पणियों को स्वीकार करने में कठिनाई हुई क्योंकि उन्हें तत्कालीन जल तरंग सिद्धांतों द्वारा समझाया नहीं जा सका। उनके समकालीनों ने सिद्धांत का विस्तार करने का प्रयास करने में कुछ समय बिताया लेकिन जोसेफ बूसिन्सक से पहले 1870 के दशक तक यह समय लगेगा[3] और लॉर्ड रेले ने एक सैद्धांतिक उपचार और समाधान प्रकाशित किया।[nb 3] 1895 में डिडेरिक कॉर्टेवेग और गुस्ताव डी व्रीज़ ने वह प्रदान किया जिसे अब कॉर्टेवेग-डी व्रीज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है, जिसमें एकान्त तरंग और आवधिक कनोइडल तरंग समाधान सम्मिलित हैं।[4][nb 4]
1965 में बेल लैब्स के नॉर्मन ज़बस्की और प्रिंसटन विश्वविद्यालय के मार्टिन क्रुस्कल ने पहली बार कोर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण (केडीवी समीकरण) के अधीन एक परिमित अंतर दृष्टिकोण का उपयोग करके एक कम्प्यूटेशनल जांच में मीडिया में सॉलिटन व्यवहार का प्रदर्शन किया। उन्होंने यह भी दिखाया कि कैसे इस व्यवहार ने फर्मी-पास्ता-उलम-त्सिंगौ समस्या के पहले के पेचीदा काम को समझाया। फर्मी, पास्ता, उलम और त्सिंगौ।[6]
1967 में, गार्डनर, ग्रीन, क्रुस्कल और मिउरा ने केडीवी समीकरण के विश्लेषणात्मक कार्य समाधान को सक्षम करने वाले व्युत्क्रम बिखरने वाले परिवर्तन की खोज की।[7] लैक जोड़े और लैक समीकरण पर पीटर लैक के कार्य ने तब से इसे कई संबंधित सॉलिटन-जनरेटिंग सिस्टम के समाधान तक बढ़ा दिया है।
ध्यान दें कि सॉलिटन, परिभाषा के अनुसार, अन्य सॉलिटन के साथ टकराव से आकार और गति में अपरिवर्तित हैं।[8] तो एक पानी की सतह पर एकान्त तरंगें निकट-सॉलिटन हैं, लेकिन बिल्कुल नहीं - दो (टकराव या ओवरटेकिंग) एकान्त तरंगों के परस्पर क्रिया के बाद, वे आयाम में थोड़ा बदल गए हैं और एक दोलनशील अवशिष्ट पीछे रह गया है।[9] क्वांटम यांत्रिकी में सॉलिटन का भी अध्ययन किया जाता है, इस तथ्य के लिए धन्यवाद कि वे ब्रोगली का के अधूरे कार्यक्रम के माध्यम से इसका एक नया आधार प्रदान कर सकते हैं, जिसे डबल सॉल्यूशन थ्योरी या नॉनलाइनियर वेव मैकेनिक्स के रूप में जाना जाता है। 1927 में डी ब्रोगली द्वारा विकसित और 1950 के दशक में पुनर्जीवित किया गया यह सिद्धांत, 1923 और 1926 के बीच विकसित उनके विचारों की स्वाभाविक निरंतरता है, जिसने प्रकाश क्वांटा के लिए अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा प्रस्तुत किए गए तरंग-कण द्वैत को पदार्थ के सभी कणों तक विस्तारित किया। . 2019 में, तेल-अवीव विश्